沪科版数学九年级下册同步课时练习：第24章 圆 复习小结(word版含答案)

第24章复习小结
类型之一　旋转与中心对称
1.[2020·内江] 下列图形是我国国产品牌汽车的标识,在这些汽车标识中,是中心对称图形的是 (　　)
2.[2021·广安] 如图24-X-2,将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到△ADE,若∠E=70°,且AD⊥BC于点F,则∠BAC的度数为 (　　)
图24-X-2
A.65° B.70° C.75° D.80°
3.[2020·合肥包河区一模] 如图24-X-3,在边长均为1个单位的小正方形组成的网格中,给出了格点三角形ABC(顶点在网格线的交点上).
图24-X-3
(1)将△ABC先向下平移3个单位,再向右平移4个单位得到△A1B1C1,画出平移后的图形;
(2)将△ABC绕点A1顺时针旋转90°后得到△A2B2C2,画出旋转后的图形;
(3)借助网格,利用无刻度直尺画出△A1B1C1的中线A1D1(画图中要体现找关键点的方法).
类型之二　垂径定理及其推论
4.[2020·滨州] 在☉O中,直径AB=15,弦DE⊥AB于点C,若OC∶OB=3∶5,则DE的长为(　　)
A.6 B.9 C.12 D.15
5.[2020·武汉] 如图24-X-4,在半径为3的☉O中,AB是直径,AC是弦,D是的中点,AC与BD相交于点E.若E是BD的中点,则AC的长是 (　　)
图24-X-4
A. B.3 C.3 D.4
6.如图24-X-5,点C,D分别在扇形AOB的半径OA,OB的延长线上,且OA=3,AC=2,CD∥AB,并与弧AB相交于点M,N.
图24-X-5
(1)线段OD的长为　　　　;
(2)若tanC=,则弦MN的长为　　　　.
类型之三　圆心角定理、圆周角定理及其推论
7.[2021·白银] 如图24-X-6,点A,B,C,D,E均在☉O上,AB=CD,∠AOB=42°,则∠CED的度数为 (　　)
图24-X-6
A.48° B.24° C.22° D.21°
8.[2020·贵阳] 如图24-X-7,△ABC是☉O的内接正三角形,点O是圆心,点D,E分别在边AC,AB上,若DA=EB,则∠DOE的度数是　　　　度.
图24-X-7
9.[2021·合肥蜀山区一模] 如图24-X-8,AB是半圆O的直径,D是的中点,DE⊥AB于点E,AC交DE于点F.
(1)求证:∠DAF=∠ADF;
(2)若CD=2,半圆O的半径为5,求BC的长.
图24-X-8
类型之四　切线的性质与判定
10.[2021·嘉兴] 已知平面内有☉O和点A,B,若☉O的半径为2 cm,线段OA=3 cm,OB=2 cm,则直线AB与☉O的位置关系为 (　　)
A.相离 B.相交
C.相切 D.相交或相切
11.[2021·温州] 如图24-X-9,☉O与△OAB的边AB相切,切点为B.将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B,使点O'落在☉O上,边A'B交线段AO于点C.若∠A'=25°,则∠OCB=　　　　°.
图24-X-9
12.如0,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,AC是☉O的直径,AC,PB的延长线相交于点D.
0
(1)若∠1=20°,则∠APB的度数为　　　　;
(2)当∠1=　　　　°时,OP=OD.
13.[2021·安徽二模] 如1,∠AOC=90°,且OA=OC,点D在以OA为直径的半圆上,圆心为点P,连接CD并延长交OA的延长线于点B,且AB=4,∠BDA=∠BOD.
(1)求证:BC为☉P的切线;
(2)求该半圆的面积.
1
类型之五　正多边形与圆的有关计算
14.[2020·凉山州] 如2,等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于☉O,则AD∶AB的值为 (　　)
2
A.2∶ 　　 B.∶
C.∶ 　　 D.∶2
类型之六　弧长及扇形面积
15.一个扇形的半径为4,弧长为2π,其圆心角的度数是 (　　)
A.45° B.60° C.90° D.180°
16.[2021·合肥包河区三模] 如3,△ABC内接于半径为2的☉O,∠ABC,∠ACB的平分线交于点I,∠BIC=110°,则劣弧BC的长为　　　　.
3
17.[2021·扬州] 如4,四边形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=90°,CB=CD,连接BD,以点B为圆心,BA长为半径作☉B,交BD于点E.
(1)试判断CD与☉B的位置关系,并说明理由;
(2)若AB=2,∠BCD=60°,求图中阴影部分的面积.
4
教师详解详析
1.C　[解析] 把一个图形绕某个定点旋转180°后能与自身重合的图形是中心对称图形.故选C.
2.C　[解析] ∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到△ADE,
∴∠BAD=55°,∠E=∠ACB=70°.
∵AD⊥BC,∴∠AFC=90°,
∴∠DAC=20°,
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=55°+20°=75°.
故选C.
3.解:(1)如图,△A1B1C1即为所求.
(2)如图,△A2B2C2即为所求.
(3)如图,线段A1D1即为所求.
4.C　[解析] 如图所示,连接OD.
∵直径AB=15,∴BO=7.5.
∵OC∶OB=3∶5,∴OC=4.5,
∴DC==6,∴DE=2DC=12.
故选C.
5.D　[解析] 如图,连接OD,交AC于点F.
∵D是的中点,
∴OD⊥AC,AF=CF,
∴∠DFE=90°.
∵OA=OB,AF=CF,∴OF=BC.
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.
在△EFD和△ECB中,
∵
∴△EFD≌△ECB(AAS),
∴DF=BC,∴OF=DF.
∵OD=3,∴OF=1,∴BC=2,
∴在Rt△ABC中,AC===4.
故选D.
6.(1)5　(2)4　[解析] (1)∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA.
∵AB∥CD,
∴∠OAB=∠C,∠OBA=∠D,
∴∠C=∠D,
∴OD=OC=OA+AC=3+2=5.
(2)如图,过点O作OE⊥CD于点E,连接OM,则ME=MN.
∵tanC=,即=.
设OE=x,则CE=2x.
在Rt△OEC中,OC2=OE2+CE2,即52=x2+(2x)2,解得x=(负值已舍去).
在Rt△OME中,OM2=OE2+ME2,即32=()2+ME2,解得ME=2(负值已舍去).
∴MN=2ME=4.
7.D　[解析] 如图,连接OC,OD.
∵AB=CD,∠AOB=42°,
∴∠AOB=∠COD=42°,
∴∠CED=∠COD=21°.
故选D.
8.120　[解析] 如图,连接OA,OB.
∵△ABC是☉O的内接正三角形,
∴AB=BC=AC,∠CAB=∠ACB=60°,
∴∠AOB=2∠ACB=120°.
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA=30°.
∵∠CAB=60°,∴∠OAD=30°,
∴∠OAD=∠OBE.
又∵AD=BE,∴△OAD≌△OBE(SAS),
∴∠DOA=∠BOE,
∴∠DOE=∠DOA+∠AOE=∠BOE+∠AOE=∠AOB=120°.
故答案为120.
9.解:(1)证明:如图,连接BD.
∵D为的中点,
∴=,
∴∠DAC=∠ABD.
∵AB为半圆O的直径,DE⊥AB,
∴∠DEA=∠ADB=90°,
则∠ADF+∠DAE=∠DAE+∠ABD=90°,
∴∠ADF=∠ABD,
∴∠DAF=∠ADF.
(2)如图,连接OD交AC于点H.
∵=,
∴OD⊥AC,AD=CD=2,∴AH=CH.
在Rt△AOH中,AH2=OA2-OH2,
在Rt△ADH中,AH2=AD2-DH2,
∴OA2-OH2=AD2-DH2,
即52-OH2=(2)2-(5-OH)2,
解得OH=3.
∵AO=BO,AH=CH,
∴OH=BC,
∴BC=2OH=6.
10.D　
11.85　[解析] 连接OO',如图.
∵☉O与△OAB的边AB相切,
∴∠OBA=90°.
∵△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O'A'B,
∴∠A=∠A'=25°,∠ABA'=∠OBO',BO=BO'.
又∵OB=OO',
∴△OO'B为等边三角形,
∴∠OBO'=60°,
∴∠ABA'=60°,
∴∠OCB=∠A+∠ABC=25°+60°=85°.
故答案为85.
12.(1)40°　(2)30　[解析] (1)∵PA是☉O的切线,
∴∠PAO=90°.
又∵∠1=20°,∴∠BAP=90°-∠1=70°.
∵PA,PB是☉O的切线,∴PA=PB,
∴∠BAP=∠ABP=70°,
∴∠APB=180°-70°×2=40°.
(2)当∠1=30°时,OP=OD.
理由:∵OP=OD,∴∠D=∠OPD.
∵AC是☉O的直径,PA,PB是☉O的切线,
∴PA=PB,OA⊥PA,即∠PAO=90°.
在△POA和△POB中,∵
∴△POA≌△POB(SSS),
∴∠APO=∠OPD=∠D=∠APD,
即∠APD=2∠D.
在Rt△ADP中,∠APD+∠D=90°,
∴2∠D+∠D=90°,
即∠D=30°,∴∠APD=60°,
∴△APB是等边三角形,∴∠PAB=60°,
∴∠1=∠PAO-∠PAB=90°-60°=30°.
13.解:(1)证明:如图,连接PD.
∵OA是半圆的直径,
∴∠ODA=90°,
即∠ODP+∠PDA=90°.
∵OP=PD,
∴∠ODP=∠BOD.
又∵∠BDA=∠BOD,
∴∠BDA=∠ODP,
∴∠PDA+∠BDA=90°,即∠PDB=90°,
则PD⊥BC.
又∵点D在半圆上,
∴BC是☉P的切线.
(2)设☉P的半径为r,则OP=PA=PD=r,BO=2r+4,PB=r+4,OC=OA=2r.
∵∠BOC=∠BDP=90°,∠B=∠B,
∴△BOC∽△BDP,
∴=,
即=,
∴BD=r+2.
在Rt△BDP中,由勾股定理得BD2=PB2-PD2,
即(r+2)2=(r+4)2-r2,
解得r=-2(舍去)或r=6,
∴该半圆的面积为π×62=18π.
14.B　[解析] 如图,连接OA,OB,OD,过点O作OH⊥AB于点H,则AH=BH=AB.
∵正方形ADEF和等边三角形ABC都内接于☉O,
∴∠AOB=120°,∠AOD=90°.
∵OA=OD=OB,
∴△AOD是等腰直角三角形,∠AOH=∠BOH=×120°=60°,
∴AD=OA,AH=OA·sin60°=OA,
∴AB=2AH=2×OA=OA,
∴==.故选B.
15.C　
16.π　[解析] 如图,连接OB,OC.
∵∠BIC=110°,
∴∠IBC+∠ICB=180°-∠BIC=70°.
∵BI,CI分别为∠ABC,∠ACB的平分线,
∴∠IBC=∠ABC,∠ICB=∠ACB,
∴∠ABC+∠ACB=2(∠IBC+∠ICB)=140°,
∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=40°.
由圆周角定理得∠BOC=2∠A=80°,
∴劣弧BC的长为=π.
故答案为π.
17.解:(1)CD与☉B相切.理由:如图,过点B作BF⊥CD,垂足为F,则∠DAB=∠DFB=90°.
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠CBD.
∵CB=CD,
∴∠CBD=∠CDB,
∴∠ADB=∠CDB.
∴BF=BA,则BF为☉B的半径,
∴CD与☉B相切.
(2)∵∠BCD=60°,CB=CD,
∴△BCD是等边三角形,
∴∠CBD=60°.
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠CBD=60°.
又∵∠BAD=90°,
∴∠ABD=30°.
∵AB=2,
∴AD=ABtan30°=2×=2,
∴阴影部分的面积=S△ABD-S扇形ABE=×2×2-=2-π.