沪科版数学九年级下册同步课时练习：24.2　第4课时　圆的确定(word版含答案)

第4课时　圆的确定
知识点 1　圆的确定
1.如图4,已知平面内有A,B,C三个点,过点A作圆能作　　　　个;过A,B两点作圆,圆心应在　　　　　　　上,这样的圆有　　　　个;过B,C两点作圆,圆心在　　　　　上;若要求过A,B,C三点作圆,圆心为　　　　　　　　　　　　　　,半径也能确定,这样的圆有　　　　　　.
4
2.下列关于确定一个圆的说法中,正确的是 (　　)
A.三个点一定能确定一个圆
B.以已知线段为半径能确定一个圆
C.以已知线段为直径能确定一个圆
D.菱形的四个顶点能确定一个圆
3.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了,其中四块碎片如图5所示,为配到与原来大小一样的圆形镜子,小明带到商店去的一块碎片应该是 (　　)
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A.第①块 B.第②块
C.第③块 D.第④块
4.如图6,小明家的房前有一块矩形的空地,空地上有A,B,C三棵树,小明想建一个圆形花坛,使三棵树都在花坛的边上.请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹).
6
知识点 2　三角形的外接圆与外心
5.[教材练习第1题变式] 如图7,△ABC的三个顶点都在☉O上,则下列说法错误的是(　　)
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A.☉O是△ABC的外接圆
B.O是△ABC角平分线的交点
C.OA=OB=OC
D.☉O的内接三角形有无数个
6.如图8,在平面直角坐标系中,点A,B,C的坐标分别为(1,4),(5,4),(1,-2),则△ABC的外心的坐标是 (　　)
8
A.(2,3) B.(3,2) C.(1,3) D.(3,1)
7.如图9,O是△ABC的外心,OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,垂足分别为D,E,F.下列结论中,不一定成立的是 (　　)
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A.OA=OB=OC B.OD=OE=OF
C.AD=BD D.AF=CF
8.若一个三角形的外心在三角形的内部,则此三角形为　　　　三角形;若外心在三角形的一条边上,则此三角形为　　　　三角形;若外心在三角形的外部,则此三角形为　　　三角形.
9.两直角边长分别为15和20的直角三角形外接圆的半径为　　　　.
知识点 3　反证法
10.已知:在△ABC中,AB≠AC,求证:∠B≠∠C.若用反证法来证明这个结论,则应先假设 (　　)
A.∠A=∠B B.AB=BC
C.∠B=∠C D.∠A=∠C
11.完成下列证明.
如图0,在△ABC中,若∠C是直角,则∠B一定是锐角.
0
证明:假设结论不成立,
则∠B是　　　　或　　　　.
当∠B是　　　　时,
则　　　　　　　　　,
这与　　　　　　　　　矛盾;
当∠B是　　　　时,
则　　　　　　　　　,
这与　　　　　　　　　矛盾.
综上所述,假设不成立.
所以∠B一定是锐角.
12.[2020·赤峰] 如图1,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,EF是AC的垂直平分线,交AD于点O.若OA=3,则△ABC外接圆的面积为 (　　)
1
A.3π B.4π C.6π D.9π
13.半径为5的☉O是能够将锐角三角形ABC完全覆盖的最小圆,AB=AC,连接OB,OC,延长CO交弦AB于点D.若△OBD是直角三角形,则弦BC的长为　　　　.
14.如图2,在△ABC中,D,E两点分别在AB和AC上.求证:CD,BE不可能互相平分.
2
15.[教材习题24.2第15题变式] 如图3,要把破残的圆片复制完整,已知弧上的点A,B,C.
(1)试确定所在圆的圆心O;
(2)若△ABC是等腰三角形,底边BC=10厘米,腰AB=6厘米,求圆片的半径r.(结果保留根号)
3
16.已知△ABC是☉O的内接三角形,AB=AC,半径OB=5 cm,圆心O到BC的距离为3 cm,求AB的长.
17.定义:到一个三角形三个顶点的距离相等的点叫做该三角形的外心.
(1)如图4①,小海同学在作△ABC的外心时,只作出两边BC,AC的垂直平分线得到交点O,就认定点O是△ABC的外心,你觉得有道理吗 为什么
(2)如图图②,在等边三角形ABC的三边上,分别取点D,E,F,使AD=BE=CF,连接DE,EF,DF,得到△DEF.若点O为△ABC的外心.求证:点O也是△DEF的外心.
　　　　4
答案
1.无数　线段AB的垂直平分线　无数　线段BC的垂直平分线　线段AB,BC(或AB,AC或AC,BC)的垂直平分线的交点　且只有一个
2.C　 A项,不在同一直线上的三点可确定一个圆,没有强调不在同一直线上,故本选项错误;
B项,以已知线段为半径能确定2个圆,分别以线段的两个端点为圆心,故本选项错误;
C项,以已知线段为直径能确定一个圆,此时圆心为线段的中点,半径为已知线段长度的一半,故本选项正确;
D项,菱形的四个顶点不一定能确定一个圆,故本选项错误.故选C.
3.A
4.解:如图图,连接AB,AC,BC,用尺规作出△ABC任意两边的垂直平分线,交点记为O,以点O为圆心,OA长为半径作圆,☉O即为所求作的花坛的位置.
5.B　 三角形的外接圆圆心应该是三边垂直平分线的交点,圆心到三角形的三个顶点的距离相等,故选项B错误.
6.D　 三角形的外心应该在AC和AB垂直平分线的交点上,作出两条直线即可找到.
7.B　
8.锐角　直角　钝角
9.12.5　 由勾股定理得斜边长为25.直角三角形外接圆的圆心是斜边的中点,故半径为斜边长的一半,因此答案为12.5.
10.C　 ∠B≠∠C的反面是∠B=∠C.
故可以假设∠B=∠C.
故选C.
11.直角　钝角　直角　∠A+∠B+∠C>180°　三角形内角和定理　钝角　∠A+∠B+∠C>180°　三角形内角和定理
12.D　 ∵AB=AC,AD是∠BAC的平分线,
∴AD垂直平分BC.
∵EF是AC的垂直平分线,
∴点O是△ABC外接圆的圆心.
∵OA=3,
∴△ABC外接圆的面积=π×32=9π.
故选D.
13.5或5　 如图图①,当∠ODB=90°,即CD⊥AB时,可知AD=BD,∴AC=BC.
又∵AB=AC,∴△ABC是等边三角形,
∴∠DBO=30°.
∵OB=5,∴BD=OB=,
∴BC=AB=5.
如图图②,当∠DOB=90°时,则∠BOC=90°,
∴△BOC是等腰直角三角形,
∴BC=OB=5.
综上所述,若△OBD是直角三角形,则弦BC的长为5或5.
14.证明:假设CD,BE可以互相平分.
如图图,连接DE,则四边形BCED是平行四边形,∴BD∥CE.
这与△ABC的边BA,CA相交于点A相矛盾,∴CD,BE不可能互相平分.
15.解:(1)如图图①,分别作AB,AC的垂直平分线,其交点即为圆心O.
(2)如图图②,连接OA,OC,OA交BC于点D.
因为BA=AC,所以AO⊥BC,
所以BD=CD=BC=×10=5,则AD==.
在Rt△COD中,根据勾股定理,得(r-)2+52=r2,解得r=.
故圆片的半径r为厘米.
16.解:分两种情况:
(1)如图图①,过点A作AD⊥BC于点D.
∵AB=AC,∴点O在AD上,∴OD=3 cm.
连接OB.
在Rt△ODB中,OB=5 cm,OD=3 cm,
由勾股定理,得OB2=BD2+OD2,
∴BD===4(cm).
在Rt△ADB中,AD=AO+OD=5+3=8(cm),由勾股定理,得AB2=AD2+BD2,
∴AB===4(cm).
(2)如图图②,同理可得AB=2 cm.
综上所述,AB的长为4 cm或2 cm.
17.解:(1)有道理.
理由如图下:连接OA,OB,OC,如图图①.
∵BC,AC的垂直平分线的交点为O,
∴OB=OC,OC=OA,∴OA=OB=OC,
∴点O是△ABC的外心.
(2)证明:连接OA,OD,OC,OF,OB,OE,如图图②.
∵点O为等边三角形ABC的外心,
∴OA=OC,∠AOC=120°,
∴∠OAD=∠OCF=30°.
在△AOD和△COF中,
∴△AOD≌△COF(SAS),∴OD=OF.
同理可得OD=OE,∴OD=OE=OF,
∴点O也是△DEF的外心.