沪科版数学九年级下册同步课时练习：24.6　第1课时　正多边形与圆(word版含答案)

24.6　第1课时　正多边形与圆
知识点 1　正多边形的概念
1.等边三角形各边都　　　　,各角都　　　　,等边三角形又叫正三角形;正方形的各边都　　　　,各角都　　　　,正方形又叫正四边形.
2.下列命题正确的是 (　　)
A.各边都相等的多边形是正多边形
B.各内角都相等的多边形是正多边形
C.既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形
D.各边相等,各角也相等的多边形是正多边形
3.正十边形的外角和为 (　　)
A.180° B.360° C.720° D.1440°
4.如图,某人从点A出发,前进8 m后向右转60°,再前进8 m后又向右转60°……按照这样的方式一直走下去,当他第一次回到出发点A时,共走了 (　　)
A.24 m B.32 m C.40 m D.48 m
5.如图,该硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是　　　　.
6.如图所示,过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角∠EAB的平分线相交于点P,且∠ABP=60°,则∠APB=　　　　°.
知识点 2　正多边形与圆
7.如图,已知四边形ABCD内接于☉O,给出下列三个条件:①===;②AB=BC=CD=DA;③∠A=∠B=∠C=∠D.在这些条件中,能够判定四边形ABCD是正方形的共有(　　)
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
8.如图,等边三角形ABC内接于☉O,若△ABC的边长为4 cm,则☉O的半径为(　　)
A.6 cm B.4 cm
C.2 cm D.2 cm
9.[2020·阜阳模拟] 如图,四边形ABCD是☉O的内接正方形,P是劣弧AB上任意一点(与点B不重合),则∠BPC的度数为 (　　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
10.如图,将边长相等的正六边形和正五边形拼接在一起,则∠ABC的度数为　　　　.
知识点 3　正多边形的作法
11.正五边形的画法通常是先把圆分成五等份,然后连接五等分点而得,这种画法的理论依据应该是 (　　)
A.把圆n等分,顺次连接各分点得到的多边形是圆的内接正n边形
B.把圆n等分,依次过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
C.各边相等,并且各角也相等的多边形是正多边形
D.用量角器等分圆是一种简单而常用的方法
12.下列正多边形,通过直尺和圆规不能作出的是(　　)
A.正三角形 B.正四边形
C.正五边形 D.正六边形
13.[教材练习第2题变式] 在一个半径为2 cm的圆内,作出它的内接正六边形及内接正十二边形.
14.是两张型号完全一样的折叠式饭桌,将正方形桌面边上的四个弓形面板翻折起来后,就能形成一个圆形桌面(可近似看作正方形的外接圆),正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比最接近 (　　)
A. B. C. D.
15.如图,A,B,C,D,E为☉O的五等分点,动点M从圆心O出发,沿线段OA→劣弧AC→线段CO的路线做匀速运动,设运动的时间为t,∠DME的度数为y°,则下列图象中表示y与t之间的函数关系最恰当的是 (　　)
0
16.[2020·葫芦岛] 如图1,以AB为边,在AB的同侧分别作正五边形ABCDE和等边三角形ABF,连接FE,FC,则∠EFA的度数是　　　　.
1
17.在学习圆与正多边形时,马露、高静两名同学设计了一个画圆内接正三角形的方法:
(1)如图2,作☉O的直径AD;
(2)作半径OD的垂直平分线,交☉O于B,C两点;
(3)连接AB,AC,那么△ABC为所求的三角形.
请你判断两名同学的画法是否正确,如图果正确,请你按照两名同学设计的画法,画出△ABC,然后给出△ABC是等边三角形的证明过程;如图果不正确,请说明理由.
2
18.如图3,G,H分别是正六边形ABCDEF的边BC,CD上的点,且BG=CH,AG交BH于点P.
(1)求证:△ABG≌△BCH;
(2)求∠APH的度数.
3
19.如图4,在△AFG中,AF=AG,∠FAG=108°,点C,D在FG上,且CF=CA,DG=DA,过点A,C,D的☉O分别交AF,AG于点B,E.
求证:五边形ABCDE是正五边形.
4
答案
1.相等　相等　相等　相等　2.D　3.B　
4.D　5.140°　6.66　7.C　8.B
9.B　 如图图,连接OB,OC.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BOC=90°,
∴∠BPC=∠BOC=45°.
故选B.
10.132°　 ∵正六边形的每个内角都等于120°,正五边形的每个内角都等于108°,
∴∠ABC=360°-120°-108°=132°.
11.A　12.C
13.解:如图图所示,以点O为圆心,2 cm长为半径作圆,在☉O上任找一点A,以点A为圆心,2 cm长为半径作弧,交☉O于点B,然后在☉O上依次截取等弧(都等于弧AB),将圆六等分,顺次连接这6个等分点,得到圆的内接正六边形;作线段AB的垂直平分线交☉O于点C,按此方法将圆十二等分,顺次连接各等分点得到圆的内接正十二边形.
14.C　 如图图所示,由题意可知,☉O是正方形ABCD的外接圆,过圆心O作OE⊥BC于点E.
在Rt△OEC中,∠COE=45°,
∴sin∠COE==.
设CE=k,则OC=CE=k.
∵OE⊥BC,∴CE=BE=k,即BC=2k.
∴S正方形ABCD=BC2=4k2,
S☉O=πr2=π×(k)2=2πk2.
∴==≈.
15.B　 根据题意,可分3个阶段:
①当点M在线段OA上时,∠DME逐渐减小,到点A时,∠DME为36°;
②当点M在上时,∠DME保持36°不变;
③当点M在线段CO上时,∠DME逐渐增大,到点O时,∠DME为72°;
又由点M做匀速运动,故①③都是线段.
分析可得B选项符合3个阶段的描述.
故选B.
16.66°　 正五边形ABCDE每个内角的度数均为=108°.
∵△ABF是等边三角形,
∴∠FAB=60°,
∴∠EAF=108°-60°=48°.
∵AE=AF,
∴∠EFA=∠AEF=×(180°-48°)=66°.
故答案为66°.
17.解:两名同学的画法正确.△ABC如图图所示.
证明:如图图,连接BO,CO.
∵BC垂直平分OD,交OD于点E,
∴OE=OD=BO,
∴在Rt△OEB中,cos∠BOE==,
∴∠BOE=60°.
由垂径定理,得∠COE=∠BOE=60°.
∵AD为☉O的直径,∴∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°,∴AB=BC=CA,即△ABC为等边三角形.
18.解:(1)证明:∵六边形ABCDEF是正六边形,
∴AB=BC,∠ABC=∠C=120°.
在△ABG与△BCH中,∵
∴△ABG≌△BCH.
(2)由(1)知△ABG≌△BCH,
∴∠BAG=∠CBH,
∴∠BPG=∠BAG+∠ABP=∠CBH+∠ABP=∠ABG=120°,
∴∠APH=∠BPG=120°.
19.证明:因为AF=AG,∠FAG=108°,
所以∠F=∠G=36°.
因为CF=CA,DG=DA,
所以∠FAC=∠GAD=36°,
所以∠CAD=36°,所以==.
因为∠ACD=∠FAC+∠F=72°,∠GAD=36°,
所以的度数为144°,的度数为72°,
所以=.
同理=,
所以====,
所以A,B,C,D,E为圆的五等分点,
所以五边形ABCDE是正五边形.