沾化区实验高中2021-2022学年高二下学期期中考试
数学
分值：150分 时间：120分钟
一、单选题（每个小题只有一个正确答案，每个小题5分，共40分）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．下列函数中，与函数的奇偶性相同，且在上有相同单调性的是（ ）
A． B． C． D．
4．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（ ）
A．48 B．54 C．60 D．72
5．医生按照某流行病检验指标将人群分为感染者和正常者，针对该病的快速检验试剂有阴性和阳性2种结果．根据前期研究数据，该试剂将感染者判为阳性的概率是80%，将正常者判为阳性的概率是10%．专家预测，某小区有5%的人口感染了该病，则在单次检验的结果为阴性的人群中，感染者的概率是（ ）
A． B． C．1% D．10%
6．若实数，且a，b同号，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，一次移动是指：从某一格开始只能移动到邻近的一格，并且总是向右或右上或右下移动，而一条移动路线由若干次移动构成，如1→3→4→5→6→7就是一条移动路线，则从数字“1”到“7”，漏掉两个数字的移动路线条数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”，在数学的学习和研究中，常用函数的图象研究函数的性质，也常用函数的性质来琢磨函数图象的特征，则下图最有可能是下列哪个函数的草图（ ）
A． B．C． D．
二、多选题（每个小题至少有一个选项是正确的，每个小题5分，共20分）
9．下列求导数运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．抛掷一红一绿两枚质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数．用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果．定义事件：事件为“为奇数”，事件为“为奇数”，事件为“为奇数”，则下列结论正确的是（ ）
A．与互斥 B．与对立
C． D．与相互独立
11．已知的二项展开式中二项式系数之和为64，下列结论正确的是（ ）
A．二项展开式中各项系数之和为
B．二项展开式中二项式系数最大的项为
C．二项展开式中有常数项
D．二项展开式中系数最大的项为
12．对于函数，下列说法错误的是（ ）
A．在上单调递减，在上单调递增
B．当时，
C．若方程有4个不等的实根，则
D．设，若对，使得成立，则
三、填空题 （每个小题5分，共20分）
13．二项式的展开式中的系数为21，则__________.
14．在高台跳水中，t s时运动员相对水面的高度（单位：m）是则时的速度是_________．
15．已知随机变量，且，则的最小值为______．
16．已知函数，若在恒成立，实数的取值范围为____.
四、解答题（共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知集合，，全集
(1)当时，求 B；
(2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
18．（12分）已知的展开式中，第4项的系数与倒数第4项的系数之比为.
(1)求展开式中所有项的系数和与最大的二项式系数的值；
(2)将展开式中所有项重新排列，求有理项不相邻的概率.
19．（12分）安徽新高考改革方案正式公布，根据改革方案，计入高考总分的考试科目共有6门，即“3＋1＋2”，“3”为语文、数学、外语3门全国统一考试科目，不分文理科，使用全国卷，选择性考试科目为思想政治、历史、地理、物理、化学、生物学6门．由考生根据报考高校要求，结合自身特长兴趣，首先在物理和历史中选择1门，再从思想政治、地理、化学、生物学中选择2门．
(1)若某学生根据方案从选择性考试科目中随机选择三科，求该生恰好选到政史地的概率；
(2)由于物理和历史两科必须选择1科，某校想了解学生选科的需求，随机选取100名学生进行调查，得到如下统计数据，判断是否有99%的把握认为“选科与性别有关”？
选择物理 选择历史 合计
男 40 10 50
女 30 20 50
合计 70 30 100
附表：
0.150 0.100 0.050 0.025 0.010
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
，n=a+b+c+d．
20．（12分）已知函数．
(1)求的最小值；
(2)若对所有，都有，求实数a的取值范围；
(3)若关于x的方程有且只有一个实数根，求实数b的取值范围．
21．（12分）某公司订购了一批树苗，为了研究其生长规律，从中随机抽测100株树苗的高度，经数据处理后得到如图①的频率分布直方图，其中最高的16株树苗高度的茎叶图如图②所示，以这100株树苗高度的频率估计整批树苗高度的概率．
(1)求这批树苗的高度高于1.60的概率，并求图①中a，b，c的值；
(2)研究发现高度在1.65以上的树苗有特殊的生长规律，于是从抽测高度在1.65以上（不含）的树苗中抽取3株做研究，设X为高度在的树苗数量，求X的分布列和数学期望．
(3)为做进一步对比研究，需从这批订购的树苗中随机选取3株，记为高度在的树苗数量，求的分布列和数学期望；
22．已知函数.
(1)若在上有2个零点，求a的取值范围；
(2)证明：.答案第1页，共2页高二数学 参考答案
1．A 2．A 3．D 4．C 5．A 6．D 7．B
8．C
【详解】
由图象知：定义域为，4个选项均满足；函数为偶函数，令，则，排除D，
令，，A符合，同理可得B、C选项符合；又时，函数先减后增，且极小值点位于区间内，
对于A，时，，则，当时，，函数单增；当时，，函数单减，不符合，排除；
对于B，时，，则，当时，，函数单增；当时，，函数单减，不符合，排除；
对于C，时，，则，当时，，函数单减，当时， ，函数单增，符合.
9．BC
10．ACD
【详解】
对于A，若为奇数，则和一个为奇数，一个为偶数；若为奇数，则和都为奇数，所以事件与事件不可能同时发生，所以事件与事件互斥，故A正确；
对于B，虽然事件与事件不可能同时发生，但事件与事件也可能同时不发生，例如，所以事件与事件不对立，故B错误；
对于C，的所有可能结果如下表：
1 2 3 4 5 6
1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6)
2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6)
3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6)
4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6)
5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) (5，6)
6 (6，1) (6，2) (6，3) (6，4) (6，5) (6，6)
显然，,,所以，故C正确；
对于D，由表可知，，，，
所以，所以与相互独立，故D正确.
故选：ACD
11．ABC
【详解】
解：因为的二项展开式中二项式系数之和为64，
所以，得，
所以题中二项式为，二项式展开式的通式公式为：，
对于选项A，令，可得二项展开式中各项系数之和为，所以选项A正确；
对于选项B，第4项的二项式系数最大，此时，则二项展开式中二项式系数最大的项为，所以选项B正确；
对于选项C，令，则，所以二项展开式中的常数项为，所以选项C正确；
对于选项D，令第项的系数最大，则，解得，
因为，所以时，二项展开式中系数最大，则二项展开式中系数最大的项为
，所以选项D错误．
故选：ABC
12．ABC
【详解】
定义域为，
，当，时，，单调递减，
当时，，单调递增，故A选项说法错误；
当时，，即，且，
所以，B选项说法错误；
因为在上单调递减，在上单调递增，
且在处取得极小值，，
画出函数图象如下：
令，若方程有4个不等的实根，则要有两个不等实根，
故，C选项说法错误；
若对，使得成立，
则的值域为在上值域的子集，
因为在上值域为，的值域为，
则，D说法正确.
故选：ABC
13．7
【详解】
由题设，展开式通项为，而的系数为21，
所以，即且，可得.
故答案为：7
14．－3.3m/s##
【详解】
由题意得，，
故时的速度是，
故答案为：
15．4
【详解】
由随机变量，则正态分布的曲线的对称轴为，
又因为，所以，所以
当时，
有，
当且仅当，即时等号成立，故最小值为4．
故答案为：
16．
【详解】
由，因为，
所以由，
令，当时，令，
所以函数是增函数，所以有，
所以在上恒成立，，
令，即，当时，单调递增，
当时，单调递减，所以，
所以要想在上恒成立，只需，
故答案为：
17．
【解析】
(1)解：当时，，则或，
故.
(2)解：由题意可知且，所以，，解得.
18．【解析】
(1)展开式的通项为，
∴展开式中第4项的系数为，倒数第4项的系数为，
，即.
令可得展开式中所有项的系数和为，
最大的二项式系数的值为，
(2)展开式共有8项，由（1）可得当为整数，即时为有理项，共4项，
∴由插空法可得有理项不相邻的概率为.
19．【解析】(1)设物理、历史两门学科分别为A，B，思想政治、地理、化学、生物学四门学科分别为a，b，c，d．从选择性考试科目中随机选择三科，共有12种结果，分别是，，，，，，，，，，，．
所以该生恰好选到政史地的概率为．
(2)∵．
∵，所以没有99%的把握认为“选科与性别有关”．
20．【解析】(1)的定义域是，，令，得，
当时，有，当时，有，
故在上单调递减，在上单调递增，
故．
(2)∵，对所有，都有，
等价于恒成立，等价于恒成立，
令，则；
∵，∴当时，有，
∴在上单调递增，∴，
∴，即实数a的取值范围为；
(3)若关于x的方程有且只有一个实数根，
即和在上有且只有一个交点，
由（1）知在上单调递减且，在上单调递增，
当时，，在时，，当时，，
，
作出函数的大致图象：
故当或时，满足和在上有且只有一个交点，
即若关于x的方程有且只有一个实数根，则或．
即实数b的取值范围为 或.
21．【解析】(1)这批树苗的高度高于1.60的概率为，
，
.
(2)以上（不含）的有株，其中高度在的树苗数量为株，
,
,
所以的分布列为：
.
(3)依题意，即，
,
,
,
,
所以的分布列为：
所以.
22．【解析】(1)当时，，
由，得.
设函数，则.
当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
因为，且在上有2个零点.所以a的取值范围为.
(2)证明：要证，只需证.
当时，，则.
当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，当且仅当时，等号成立.
设函数，则.
当时，；当时，.
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，当且仅当时，等号成立.
故，因为，所以等号取不到，所以，
即，所以.答案第1页，共2页
