人教版八年级数学上册《14.1.3积的乘方》教学设计

14.1.3 积的乘方
一、内容和内容分析
1.内容
积的乘方。
2.内容解析
积的乘方是幂的一种运算性质，在整式乘法中具有基础地位。在整式的乘法中，多项式的乘法要转化为单项式的乘法，单项式的乘法要转化为幂的运算，而幂的运算又以同底数幂、幂的乘方和积的乘方为基础。
积的乘方将幂的运算转化为幂的乘法运算，其中底数ab可以是具体的数、单项式、多项式、分式乃至任何代数式。积的乘方是类比数的乘方来学习的，首先在具体例子的基础上抽象出积的乘方的法则，进而通过推理加以推导，这一过程蕴含数式通性、从具体到抽象、从特殊到一般的思想方法。
基于以上分析，确定本节课的教学重点：积的乘方的运算性质及其应用。
二、目标和目标解析
1.目标
⑴理解积的乘方运算性质，会用这一性质进行积的乘方运算．
⑵体会数式通性、从具体到抽象、从特殊到一般的思想方法在研究数学问题中的作用．
2.目标解析
达成目标⑴的标志是：学生能根据乘方的意义推导出积的乘方的运算性质，会用符号语言、文字语言表述这一运算性质，会用运算性质进行积的乘方运算。
达成目标⑵的标志是：学生在发现和推导积的乘方的运算性质的过程中，能认识到具体例子在发现结论的过程中所起的作用，能体会到数式通性在推导结论的过程中的重要作用。
三、教学问题诊断分析
在前面的学习中，学生已经学习了用字母表示数以及整式的加减运算，且已学习了用字母表示幂以及同底数幂的乘法、幂的乘方等运算。但幂的运算抽象程度高，不易理解。教学时，应引导学生回顾乘方的意义，从数式通性的角度理解字母表示的幂的意义，进而明确积的乘方的算理。
本节课的教学难点是：积的乘方的运算性质的理解和推导。
四、教学过程设计
㈠.回顾与思考
前面我们已经学习了同底数的幂和幂的乘方的运算性质，我们一起来回顾与思考，回答下列问题：
填空：
1.a2+a2=____,依据________________.
2.a2·a3=___,依据_____________.
3.若am=8,an=3,则am+n=____.
4.(a2)3=_____,依据___________________.
5.(m4)2+m5·m3=____,(a3)2·(a2)2=____.
㈡.提出问题，创设情境，感受学习积的乘方的必要性
问题1：若已知一个正方形的边长为3cm，你能计算出它的面积是多少吗？
改问：如果这个正方形的边长为abcm呢？
⑴如何列出算式？
⑵这个式子的意义是什么？
⑶怎样根据乘方的意义进行计算？
生得到：（ab）2；生猜想：（ab）2＝a2b2
师问：猜想：（ab）n＝anbn，引出课题。
师生活动：教师提出问题，学生列出算式并解答。要求学生写出解答过程中每一步的依据，明确算理。
㈢探索并推导积的乘方的运算性质
1.算一算
⑴(2×2)2＝____; 22×32 =____;
⑵[2×(-2)]3＝____; 23×(-2)3=____;
⑶[(-2)×(-3)]3＝___; (-2)3×(-3)3 ＝___;
2.填一填
⑴填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？
①（ab）2=（ab）·（ab）=（a·a）·（b·b）=a( )b( )
②（ab）3=______=_______=a( )b( )
③（ab）n=______=______=a( )b( )（n是正整数）
⑵把你发现的规律用文字语言表述，再用符号语言表达．
⑶积的乘方的运算法则能否进行逆运算呢？请验证你的想法．
教师引导学生自主探究、讨论、尝试、归纳．
学生探究的经过：
⑴①（ab）2 =（ab）·（ab）= （a·a）·（b·b）= a2b2，其中第①步是用乘方的意义；第②步是用乘法的交换律和结合律；第③步是用同底数幂的乘法法则．
同样的方法可以算出②、③题．
⑵通过上述探究，我们可以发现积的乘方的运算性质：
积的乘方的结果是把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
也就是说积的乘方等于幂的乘积．
用符号语言叙述是：（ab）n=an·bn（n是正整数）
⑶积的乘方性质可以进行逆运算．即：an·bn=（ab）n（n为正整数）
分析这个等式：左边是幂的乘积，而且幂指数相同，右边是积的乘方，且指数与左边指数相等。
那么可以总结为：同指数幂相乘，底数相乘，指数不变．
这样可以将幂的乘积转化为底数的乘法运算．
㈣巩固积的乘方的运算性质
1.例题讲解
例1 计算：（1）（2a）3 （2）（-5b）3 （3）（xy2）2 （4）（-2x3）4
解：（1）（2a）3=23·a3=8a3．
（2）（-5b）3=（-5）3·b3=-125b3．
（3）（xy2）2=x2·（y2）2=x2·y2×2=x2·y4=x2y4．
（4）（-2x3）4=（-2）4·（x3）4=16·x3×4=16x12．
例2 计算：⑴（m)3 ⑵ (-x2y2)3 ⑶ (3×103)2
（学生活动时，老师要深入到学生中，发现问题，及时启发引导，使各个层面的学生都能学有所获）
2.师生归纳
通过自己的努力，发现了积的乘方的运算性质，并能做简单的应用．
可以作如下归纳总结：
⑴积的乘方性质：积的乘方等于每一个因式乘方的积．
即（ab）n=an·bn（n为正整数）．
⑵三个或三个以上的因式的积的乘方也具有这一性质．
如（abc）n=an·bn·cn（n为正整数）．
⑶积的乘方性质也可以逆用．
即an·bn=（ab）n，an·bn·cn=（abc）n，（n为正整数）．
3.随堂练习
⑴课本练习
课本P98练习（由学生板演或口答）
⑵拓展练习
计算：⑴ (-ab)5 ⑵ (x2y3)4 ⑶ (4×103)2 ⑷ (-3a3)3
4.课堂小结
通过本节课的学习，你有什么新的体会和收获？
预设：
通过自己的努力，探索总结出了积的乘方性质，还能理解它的真正含义．
其实数学新知识的学习，好多都是由旧知识推理出来的．我现在逐渐体会到温故知新的深刻道理了．
通过一些例子，我们更熟悉了积的乘方的运算性质，而且还能在不同情况下对幂的运算性质活用．
5.课后作业
1．计算：
⑴ (-a2)3.(-a3)2
⑵ -(n2).(-n5)3
⑶ a5.a3+(2a2)4
⑷ (-2a)3－(-a).(a)2
2．总结我们学过的三个幂的运算性质，反思作业中的错误．
3．预习“整式的乘法”一节．