高中数学人教A版（2019）必修 第一册 第一章 1.1 集合的概念 学案（Word版含答案）

集合的概念
【学习目标】
1．掌握集合的表示方法，能在具体问题中选择适当的方法表示集合。
2．通过实例和阅读自学体会用列举法和描述法表示集合的方法和特点，培养自主探究意识和自学能力。
【学习重点】
集合的含义与表示方法，用集合语言表达数学对象或数学内容。
【学习难点】
区别元素与集合等概念及其符号表示。
【自学导引】
1．把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法。
2．用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。
3．写出不等式的解集：。
4．所有偶数的集合可表示为：。
5．方程的所有实数根组成的集合为：。
【学习过程】
一、用列举法表示集合
例1 用列举法表示下列集合：
（1）15的正约数组成的集合；
（2）平方后仍为原数的数组成的集合。
解：（1），故集合为。
（2）平方后仍为原数的数构成的集合是。
点评 用列举法表示集合时，里面元素与顺序无关，该法表示集合直观明了。
变式迁移1用列举法表示下列集合：
（1）不大于10的非负偶数集；
（2）由所确定的实数集合。
解：（1）
（2）
二、用描述法表示集合
例2 用描述法表示下列集合：
（1）正偶数集；（2）被3除余2的正整数集；
（3）不等式2x＋5<3的解集；（4）第一、三象限点的集合。
分析：（1）中的正偶数都能被2整除，所以正偶数可以表示为的形式；
（2）中被3除余2的正整数满足，则；
（4）中的点满足.
解：（1）。
（2）。
（3）或。
（4）。
点评：用描述法表示集合，一要看集合的代表元素是什么，是点集还是数集；二是看元素满足什么条件，一般情况下，用符号语言表示元素满足的条件。
变式迁移2 用适当方法表示下列集合：
（1）函数的图象上所有点的集合；
（2）一次函数与的图象的交点组成的集合；
（3）不等式的解集；
（4）自然数中不大于10的质数集。
解：
（1）。
（2）。
用列举法表示为：。
（3）
（4）。
三、集合语言与数学语言的转换
例3 已知集合，若A中的元素至多只有一个，求a的取值范围。
分析：讨论关于x的方程实数根的情况，从中确定a的取值范围，依题意方程有一个实数根或两个相等的实数根或无实数根。
解：（1）时，原方程为，，符合题意。
（2）时，方程为一元二次方程。由，得。
∴当时，方程无实数根或有两个相等的实数根。
综合（1）（2），知或。
点评：“”这种情况最容易被忽视，只有在“”的条件下，方程是一元二次方程，才能用判别式Δ解决问题。
变式迁移3 设集合，求实数m、n的值。
解：∵，
∴方程有两等根，
由根与系数的关系得，．
1．在用列举法表示集合时应注意以下四点：
（1）元素间用“，”分隔；
（2）元素不重复；
（3）不考虑元素顺序；
（4）对于含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号。
2．使用描述法时应注意以下四点：
（1）写清楚该集合中元素的代号（字母或用字母表示的元素符号）；
（2）说明该集合中元素的特征；
（3）不能出现未被说明的字母；
（4）用于描述的语句力求简明、确切。
【达标检测】
一、选择题
1．集合用描述法表示应是（ ）
A．{是不大于9的非负奇数}
B．
C．
D．
答案：A
2．在直角坐标系内，坐标轴上的点的集合可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
答案：C
3．下列语句：
①0与{0}表示同一个集合；
②由1，2，3组成的集合可表示为或；
③方程的所有解的集合可表示为；
④集合可以用列举法表示。
正确的是（ ）
A．只有①和④
B．只有②和③
C．只有②
D．以上语句都不对
答案：C
4．由大于－3且小于11的偶数组成的集合是（ ）
A．{x|－3B．{x|－3C．{x|－3D．{x|－3答案：D
5．下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．M={（3，2）}，N={（2，3）}
B．M={3，2}，N={2，3}
C．M={（x，y）|x＋y=1}，N={y|x＋y=1}
D．M={1，2}，N={（1，2）}
答案：B
二、填空题
6．下列可以作为方程组的解集的是__________（填序号）。
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）。
答案：（3）（5）（6）
7．已知，且，，则满足条件的a的值为________。
答案：0，1，2
解析：∵且
∴且
∴又
∴A的取值为0，1，2．
8．已知集合，则M中的元素最多有________个。
答案：9
三、解答题
9．用另一种方法表示下列集合。
（1）{绝对值不大于2的整数}；
（2）{能被3整除，且小于10的正数}；
（3）；
（4）；
（5）。
解:（1）。
（2）。
（3）∵，∴，又∵且，
∴或1或2或3或4．
∴集合可以表示为{0，1，2，3，4}。
（4）。
（5）。
10．已知数集M满足条件：若，则∈M（，），已知，试把由此确定的M的其他元素全部求出来。
解：∵，则。
∴
，，
则集合M的其他元素为，，。
即。