沪科版数学七年级下册 8.4 因式分解课件(共22张PPT)

(共22张PPT)
第8章 整式乘法与因式分解
8.4 因式分解
计算下列各式:
(1) 3x(x-1)= ;
(2)m(a+b+c)= ;
(3) (m+4)(m-4)= ;
(4) ( y-3)2= ;
(5)a(a+1)(a-1)= .
3x2-3x
m2-16
y2-6y+9
ma+mb+mc
a3-a
根据左面的算式填空:
3x2-3x=( )( )
ma+mb+mc=( )( )
m2-16 =( )( )
y2-6y+9 =( )2
a3-a =( )( )( )
m
a+b+c
3x
x-1
y-3
m+4
m-4
a
a+1
a-1
左面是整式乘法运算，右面是因式分解 .
新知探究1
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解.也叫做把这个多项式分解因式.
思考: 因式分解与整式乘法有什么
关系
因式分解
因式分解 整式乘法
区别 (１)将一个多项式化成几个 整式的积的形式; (２)是多项式的恒等变形 (１)把几个整式相乘的形式转化为
一个整式的形式;
(２)是一种运算
联系 整式乘法与因式分解是互逆的恒等变形．例如, m(a＋b＋c) ma＋mb＋mc (a＋b)(a－b) a２－b２ (a±b)２ a２±２ab＋b２
整式乘法
因式分解
整式乘法
因式分解
整式乘法
因式分解
例1 判断下列各式哪些是整式乘法 哪些是因式分解
(1)x2-4y2=(x+2y)(x-2y)
(2)2x(x-3y)=2x2-6xy
(3)(5a-1)2=25a2-10a+1
(4)x2+4x+4=(x+2)2
(5)(a-3)(a+3)=a2-9
(6)m2-42=(m+4)(m-4)
(7)2πR+ 2 πr= 2π(R+r)
例题讲解
1.分解的对象必须是多项式.
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
因式分解
因式分解
因式分解
因式分解
整式乘法
整式乘法
整式乘法
公因式
多项式中每一项都含有的相同因式,叫做各项的公因式.
新知探究2
由m（a+b+c）=ma+mb+mc，可得
ma+mb+mc=m（a+b+c）.
8ab－4ab2c的公因式是什么？
最大公约数
相同字母最低次幂
公因式:4ab
4
a
b
一看系数　二看字母　三看指数
步骤
想一想：
思考: 多项式中的公因式是如何确定的？
多项式各项系数的最大公约数. （当系数是整数时）
定系数：
多项式各项中都含有的相同的字母.
相同字母的指数取各项中字母的最低次幂.
定字母：
定指数：
口答：找出下列各多项式中的公因式：
（1）ax+ay+a
（2）6a3b2－3a2b2－12a2b3
（3）4x2+10xy
（4）(a+b)2y+(a+b)y2
　提示：公因式可以是单项式，也可以是多项式。
因式分解：
把公因式提出来，多项式ma+mb+mc 就可以分解成两个因式的积m(a+b+c).这种因式分解的方法叫做提公因式法.
解:
公因式
提公因式法
例2
例题讲解
提公因式法分解因式的关键：正确的找出多项式各项的公因式.
注意：
1.多项式是几项，提公因式后也剩几项.
2.当多项式的某一项和公因式相同时提公因式后剩余的项是1.
3.当多项式第一项系数是负数，通常先提出“-”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号.
运用公式（完全平方公式和平方差公式）进行因式分解的方法叫做公式法.
新知探究3
完全平方公式
（1）公式：
（2）特点:
从每一项看：
都有两项可化为两个数(或整式)的平方,另一项为这两个数(或整式)的乘积的2倍.
从符号看：
平方项符号相同
（即：两平方项的符号同号，首尾2倍中间项）
平方差公式
（1）公式：
（2）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 这个公式就是平方差公式.
a - b = (a+b)·(a-b)
□2－△2＝(□＋△)(□－△)
☆2－○2＝(☆＋○)(☆－○)
（3）特点：
两数的和与差相积
两个数的平方差；只有两项
形象表示：
①左边：
②右边：
-x2-4y2＋4xy
例3 把下列各式分解因式：
(1)
3ax2＋6axy＋3ay2
解：
(2)
解：
例4 把下列各式分解因式：
(1) 25 － 16x2
解：25-16x2
=52-(4x)2
=(5+4x)(5-4x)
解：9a2- b2
=(3a)2-( b)2
=(3a+ b)(3a- b)
例5 把下列各式进行因式分解：
(1) (a-2b)2-(2a+b)2
解：
=[(a-2b)+(2a+b)][(a-2b)-(2a+b)]
=(3a-b)(-a-3b)
原式
解：
原式
（2）
1.把 9x2–6xy+3xz因式分解.
解：9x2–6xy+3xz= 3x 3x-3x 2y+3x z =3x(3x-2y+z).
随堂练习
2.把 -24x3 +12x2 -28x 因式分解.
解：-24x3 +12x2 -28x
=-(24x3 -12x2 +28x)
=-(4x· 6x2-4x·3x+4x·7)
=-4x(6x2 -3x+7)
当多项式第一项系数是负数，通常先提出“-”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号.
3. 用简便方法计算：
解：
4. 把下列各式分解因式：
(1)16a4+24a2b2+9b4
(3)-a2-10a -25
(4)4 - 12(x-y) + 9 (x-y)2
=(4a+3b)2
=3a(m-n)2
= -(a+5) 2
= (2-3x+3y)2
（2）
5. 如图，在一块长为a的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b的正方形．用a 与b表示剩余部分的面积，并求当a=3.6，b=0.8时的面积．
解: a2-4b2
=(a+2b)(a-2b)cm2
当a=3.6，b=0.8时,
原式=(3.6+2×0.8) (3.6-2×0.8)
=5.2×2
=10.4cm2
2.确定公因式的方法：一看系数,二看字母,三看指数.
3.提公因式法分解因式步骤(分三步)：
第一步，找出公因式；
第二步，提公因式；
第三步，将多项式化成两个因式乘积的形式.
4.公式法分解因式：
1.什么叫做因式分解？
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解.
课堂小结
a2 b2= (a+b)(a b)
a2±2ab+b2= (a±b)2