19.2.2菱形的性质的专题训练（附答案解析）
文档属性
| 名称 | 19.2.2菱形的性质的专题训练（附答案解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 398.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2013-05-22 13:42:05 | ||
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文档简介
菱形的性质 专题训练
一、选择题（共19小题）
1、如图，由12个相同的菱形组成，其中的阴影部分（小菱形）的面积为1，那么图中所有能够数得出来的平行四边形的面积之和为（ ）
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A、400 B、300
C、200 D、150
2、（2009 长春）菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．∠AOC=45°，OC=，则点B的坐标为（ ）
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A、（，1） B、（1，）
C、（+1，1） D、（1，+1）
3、如图，已知四边形ABCD是菱形，点B（0，6），点C（﹣8，0），E是AB的中点，则直线DE的解析式为（ ）
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A、y=x﹣6 B、y=x+6
C、y=x﹣6 D、y=x+6
4、如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于O，∠ABC≠90°，则图中全等的三角形共有（ ）
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A、4对 B、6对
C、8对 D、12对
5、（2011 茂名）如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂 A、B、D，已知AB=BC=CD=DA=5公里，村庄C到公路l1的距离为4公里，则村庄C到公路l2的距离是（ ）
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A、3公里 B、4公里
C、5公里 D、6公里
6、如图，P为菱形ABCD的对角线上的一点，PE⊥AD于E，PF⊥AB于F，PF=3cm，则PE=（ ）
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A、4cm B、5cm
C、3cm D、7cm
7、从菱形的一个钝角顶点向它的两条对边作垂线，这两条垂线分别垂直平分对边，则该菱形的钝角等于（ ）
A、135° B、150°
C、110° D、120°
8、（2007 黔东南州）如图所示，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF=2，那么ABCD的周长是（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
A、4 B、8
C、12 D、16
9、如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果ABCD的周长是16，那么EF的长是（ ）
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A、1 B、2
C、4 D、8
10、如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是AB，AC的中点，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长是（ ）
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A、24 B、18
C、12 D、6
11、如图，在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ=1，那么菱形ABCD的周长是（ ）
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A、4 B、6
C、8 D、16
12、四边形ABCD是边长为16的菱形，顺次连接它的各边中点组成四边形EFGH（四边形EFGH称为原四边形ABCD的中点四边形），再顺次连接四边形EFGH的各边中点组成第二个中点四边形，…，则按上述规律组成的第八个中点四边形的周长等于（ ）
A、 B、1
C、4 D、8
13、（2011 梧州）若一个菱形的一条边长为4cm，则这个菱形的周长为（ ）
A、20cm B、18cm
C、16cm D、12cm
14、（2011 台湾）如图为菱形ABCD与△ABE的重迭情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE的长度为何？（ ）
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A、8 B、9
C、11 D、12
15、（2011 青海）已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长度是6和8，则这个菱形的周长是（ ）
A、20 B、14
C、28 D、24
16、（2011 聊城）已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（ ）
A、12cm2 B、24cm2
C、48cm2 D、96cm2
17、（2011 济南）如图，菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为（ ）
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A、2 B、2
C、4 D、4
18、（2011 淮安）在菱形ABCD中，AB=5cm，则此菱形的周长为（ ）
A、5cm B、15cm
C、20cm D、25cm
19、（2011 衡阳）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（ ）
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A、M（5，0），N（8，4） B、M（4，0），N（8，4）
C、M（5，0），N（7，4） D、M（4，0），N（7，4）
二、填空题（共5小题）
20、（2008 陕西）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，则点D的坐标为 _________ ．
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21、如图，小鱼的鱼身ABCD为菱形，已知鱼身长BD=8，AB=5，以BD所在直线为x轴，以AC所在的直线为y轴，建立直角坐标系，则点C的坐标为 _________ ．
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22、如图，四边形ABCD是周长为20cm的菱形，点A的坐标是（4，0），则点B的坐标为 _________ ．
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23、菱形的四个顶点都在坐标轴上，已知其中两个顶点的坐标分别是（3，0），（0，4），则另两个顶点的坐标是 _________ ．
24、（易错题）如图，菱形ABCD的中心在直角坐标系的坐标原点上，且AD∥x轴，点A的坐标为（﹣4，2），点D的横坐标是1，则点B的坐标为 _________ ，点C的坐标为 _________ ，点D的坐标为 _________ ．
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三、解答题（共6小题）
25、求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．
26、（1）解方程+=2；
（2）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．求证：△ABE≌△ACF．
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27、一个菱形、相邻的内角比是1：2，对角线长是6，取两条对角线所在的直线为坐标轴，求四个顶点坐标．
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28、如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，
（1）请在所给的网格内画出以线段AB、BC为边的菱形，并写出点D的坐标 _________ ．
（2）线段BC的长为 _________ ，菱形ABCD的面积等于 _________
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29、如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线交于点A．
（1）分别求出点A、B、C的坐标；
（2）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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30、如图，四边形OABC是菱形，点C在x轴上，AB交y轴于点H，AC交y轴于点M．已知点A（﹣3，4）．
（1）求AO的长；
（2）求直线AC的解析式和点M的坐标；
（3）点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线A﹣B﹣C运动，到达点C终止．设点P的运动时间为t秒，△PMB的面积为S．
①求S与t的函数关系式；
②求S的最大值．
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答案与评分标准
一、选择题（共19小题）
1、如图，由12个相同的菱形组成，其中的阴影部分（小菱形）的面积为1，那么图中所有能够数得出来的平行四边形的面积之和为（ ）
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A、400 B、300
C、200 D、150
考点：加法原理与乘法原理；平行四边形的性质；菱形的性质。
专题：探究型。
分析：用列举法列举出面积分别是1、2、3、4、5、6、7、8、9的平行四边形的个数，再求出总面积即可．
解答：解：面积1的12个，
面积2的3×3+2×4=17个，
面积3的1×4+2×3=10个，
面积4的1×3+2×3=9个，
面积6的1×3+2×2=7个，
面积8的1×2=2个，
面积9的1×2=2个，
面积12的1×1=1个，
总共有1×12+2×17+3×10+4×9+6×7+8×2+9×2+12×1=200．
故选C．
点评：本题考查的是加法原理与乘法原理、菱形的性质及平行四边形的性质，先用列举法列举出可能出现的面积不同的平行四边形的个数时解答此题的关键．
2、（2009 长春）菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．∠AOC=45°，OC=，则点B的坐标为（ ）
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A、（，1） B、（1，）
C、（+1，1） D、（1，+1）
考点：坐标与图形性质；菱形的性质。
分析：根据菱形的性质，作CD⊥x轴，先求C点坐标，然后求得点B的坐标．
解答：解：作CD⊥x轴于点D，
∵四边形OABC是菱形，OC=，
∴OA=OC=，
又∵∠AOC=45°
∴△OCD为等腰直角三角形，
∵OC=，
∴OD=CD=OCsin45°=1，
则点C的坐标为（1，1），
又∵BC=OA=，
∴B的横坐标为OD+BC=1+，B的纵坐标为CD=1，
则点B的坐标为（+1，1）．
故选C．
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点评：本题综合考查了图形的性质和坐标的确定，综合性较强．
3、如图，已知四边形ABCD是菱形，点B（0，6），点C（﹣8，0），E是AB的中点，则直线DE的解析式为（ ）
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A、y=x﹣6 B、y=x+6
C、y=x﹣6 D、y=x+6
考点：待定系数法求一次函数解析式；菱形的性质。
专题：待定系数法。
分析：求直线DE的解析式关键是确定点D和点E的坐标，然后设解析式为y=kx+b，代入求得k和b的值即可．
解答：解：由题意可先求得，D的坐标为（0，﹣6），E点的坐标为（4，3），设直线DE的解析式为y=kx+b，把D、E的值代入可得k=，b=﹣6，直线DE的解析式为y=x﹣6．
故选C．
点评：本题要注意利用一次函数的特点，列出方程，求出未知数．
4、如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于O，∠ABC≠90°，则图中全等的三角形共有（ ）
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A、4对 B、6对
C、8对 D、12对
考点：全等三角形的判定；菱形的性质。
分析：根据菱形的性质可得OA=OC，OB=OD再利用全等三角形的判定求解．
解答：解：根据菱形的性质及已知条件全等的三角形有：△AOD≌△AOB≌△COB≌△COD，共有6对；
又△ABD≌△CBD，△ABC≌△ADC共2对，所以共8对．
故选C．
点评：本题考查菱形的性质以及全等三角形的判定条件．
5、（2011 茂名）如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂 A、B、D，已知AB=BC=CD=DA=5公里，村庄C到公路l1的距离为4公里，则村庄C到公路l2的距离是（ ）
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A、3公里 B、4公里
C、5公里 D、6公里
考点：角平分线的性质；菱形的性质。
专题：证明题。
分析：根据菱形的对角线平分对角，作出辅助线，即可证明．
解答：解：如图，连接AC，作CF⊥l1，CE⊥l2；
∵AB=BC=CD=DA=5公里，
∴四边形ABCD是菱形，
∴∠CAE=∠CAF，
∴CE=CF=4公里．
故选B．
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点评：本题主要考查角平分线的性质，由已知能够注意到四边形ABCD是菱形：菱形的对角线平分对角，是解题的关键．
6、如图，P为菱形ABCD的对角线上的一点，PE⊥AD于E，PF⊥AB于F，PF=3cm，则PE=（ ）
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A、4cm B、5cm
C、3cm D、7cm
考点：角平分线的性质；菱形的性质。
专题：探究型。
分析：先根据菱形的性质得出AC是∠DAB的平分线，再根据角平分线的性质即可得出结论．
解答：解：∵四边形ABCD是菱形，P为菱形ABCD的对角线上的一点，
∴AC是∠DAB的平分线，
∵PE⊥AD，PF⊥AB，PF=3cm，
∴PE=PF=3cm．
故选C．
点评：本题考查的是角平分线的性质，即角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
7、从菱形的一个钝角顶点向它的两条对边作垂线，这两条垂线分别垂直平分对边，则该菱形的钝角等于（ ）
A、135° B、150°
C、110° D、120°
考点：线段垂直平分线的性质；菱形的性质。
分析：画图分析，易证△ABC，△ADC是等边三角形，然后求得∠BAD=120°．
解答：解：在菱形ABCD中，已知AE，AF分别垂直平分BC，CD．连接AC．
故AB=AC=AD，BE=EC=CF=FD．
∴△ABC，△ADC是等边三角形．
故∠BAD=∠BAC+∠DAC=120°．
故选D．
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点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等）以及菱形的性质．难度一般．
8、（2007 黔东南州）如图所示，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF=2，那么ABCD的周长是（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
A、4 B、8
C、12 D、16
考点：三角形中位线定理；菱形的性质。
分析：根据中位线定理求边长，再求ABCD的周长．
解答：解：由题意可知，EF是△ABC的中位线，有EF=BC．所以BC=2EF=2×2=4，
那么ABCD的周长是4×4=16．故选D．
点评：本题考查了三角形中位线的性质，菱形四边相等的性质．
9、如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果ABCD的周长是16，那么EF的长是（ ）
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A、1 B、2
C、4 D、8
考点：三角形中位线定理；菱形的性质。
分析：由ABCD的周长可得BC长，利用三角形中位线定理易得EF长为BC长的一半．
解答：解：由题意可知，EF是△ABC的中位线
∴EF∥BC，EF=BC
又∵ABCD的周长是16
∴BC=4
∴EF=2
故选B．
点评：本题考查了三角形中位线等于第三边的一半的性质，菱形四边相等的性质．
10、如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是AB，AC的中点，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长是（ ）
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A、24 B、18
C、12 D、6
考点：三角形中位线定理；菱形的性质。
分析：根据中位线定理易得BC=2EF，那么菱形的周长等于4BC．
解答：解：∵E，F分别是AB，AC的中点，EF=3，
∴BC=2EF=2×3=6，
菱形ABCD的周长是4BC=4×6=24，故选A．
点评：本题比较简单，考查的是三角形中位线定理及菱形的性质．
11、如图，在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ=1，那么菱形ABCD的周长是（ ）
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A、4 B、6
C、8 D、16
考点：三角形中位线定理；菱形的性质。
分析：根据三角形的中位线定理，即可求得CD的长，进而求得菱形的周长．
解答：解：∵P、Q分别是AD、AC的中点，
∴CD=2PQ=2，
∴菱形ABCD的周长是2×4=8．
故选C．
点评：本题主要考查了菱形的性质，以及三角形的中位线定理，正确求得CD的长是关键．
12、四边形ABCD是边长为16的菱形，顺次连接它的各边中点组成四边形EFGH（四边形EFGH称为原四边形ABCD的中点四边形），再顺次连接四边形EFGH的各边中点组成第二个中点四边形，…，则按上述规律组成的第八个中点四边形的周长等于（ ）
A、 B、1
C、4 D、8
考点：三角形中位线定理；菱形的性质。
专题：规律型。
分析：根据题意，结合图形寻找规律：第二、四、六、八个中点四边形为菱形，第一个菱形边长为，第二个菱形边长为，第三个菱形边长为，第四个菱形边长为．
解答：解：由图可知，第二、四、六、八个中点四边形为菱形，
第一个菱形边长为，第二个菱形边长为，第三个菱形边长为，第四个菱形边长为．
即第八个中点四边形的边长等于．
∵四边形ABCD是边长为16，
∴周长为64，
∴第八个中点四边形的周长等于64×=4．
故选C．
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点评：本题是一道开放性题目，先画出图形，根据图形所体现的规律，找出各图形之间的数量关系，便可解答，此题不难，但趣味性强，深受同学们喜爱．
13、（2011 梧州）若一个菱形的一条边长为4cm，则这个菱形的周长为（ ）
A、20cm B、18cm
C、16cm D、12cm
考点：菱形的性质。
专题：计算题。
分析：根据菱形的四条边都相等，现在已知其一条边长为4cm，即可求出菱形的周长．
解答：解：∵菱形的四条边都相等，
∴其边长都为4cm，
∴菱形的周长=4×4cm=16cm．
故选C．
点评：本题考查菱形的性质，属于基础题，比较简单，掌握菱形的四条边相等是解题关键．
14、（2011 台湾）如图为菱形ABCD与△ABE的重迭情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE的长度为何？（ ）
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A、8 B、9
C、11 D、12
考点：菱形的性质；勾股定理。
分析：首先连接AC，设AC交BD于O点，由四边形ABCD为菱形，利用菱形对角线互相垂直且平分的性质及勾股定理，即可求得DE的长度．
解答：解：连接AC，设AC交BD于O点，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，且BO=DO==8，
在△AOD中，
∵∠AOD=90°，
∴AO===15，
在△AOE中，
∵∠AOE=90°，
∴OE===20，
又OD=8，
∴DE=OE﹣OD=20﹣8=12．
故选D．
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点评：此题考查了勾股定理与菱形的性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用．
15、（2011 青海）已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长度是6和8，则这个菱形的周长是（ ）
A、20 B、14
C、28 D、24
考点：菱形的性质；勾股定理。
专题：计算题。
分析：由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长．
解答：解：根据题意，设对角线AC、BD相交于O，
则由菱形对角线性质知，AO=AC=3，BO=BD=4，且AO⊥BO，
∴AB=5，
∴周长L=4AB=20，
故选A．
点评：本题考查菱形的性质，难度适中，要熟练掌握菱形对角线的性质，及勾股定理的灵活运用．
16、（2011 聊城）已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（ ）
A、12cm2 B、24cm2
C、48cm2 D、96cm2
考点：菱形的性质。
分析：设菱形的对角线分别为8x和6x，首先求出菱形的边长，然后根据勾股定理求出x的值，最后根据菱形的面积公式求出面积的值．
解答：解：设菱形的对角线分别为8x和6x，
已知菱形的周长为20cm，故菱形的边长为5cm，
根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，
即可知（4x）2+（3x）2=25，
解得x=1，
故菱形的对角线分别为8cm和6cm，
所以菱形的面积=×8×6=24cm2，
故选B．
点评：本题主要考查菱形的性质的知识点，解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分，此题比较简单．
17、（2011 济南）如图，菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为（ ）
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A、2 B、2
C、4 D、4
考点：菱形的性质。
分析：由菱形ABCD的周长是16，即可求得AB=AD=4，又由∠A=60°，即可证得△ABD是等边三角形，则可求得对角线BD的长度．
解答：解：∵菱形ABCD的周长是16，
∴AB=AD=CD=BC=4，
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=AD=BD=4．
∴对角线BD的长度为4．
故选C．
点评：此题考查了菱形的性质与等边三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
18、（2011 淮安）在菱形ABCD中，AB=5cm，则此菱形的周长为（ ）
A、5cm B、15cm
C、20cm D、25cm
考点：菱形的性质。
专题：计算题。
分析：根据菱形的四条边长都相等的性质、菱形的周长=边长×4解答
解答：解：∵在菱形ABCD中，AB=BC=CD=DA，AB=5cm，
∴菱形的周长=AB×4=20cm；
故选C．
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点评：本题主要考查了菱形的基本性质．菱形的四条边都相等，菱形的对角线互相垂直平分．
19、（2011 衡阳）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（ ）
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A、M（5，0），N（8，4） B、M（4，0），N（8，4）
C、M（5，0），N（7，4） D、M（4，0），N（7，4）
考点：菱形的性质；坐标与图形性质。
专题：数形结合。
分析：此题可过P作PE⊥OM，根据勾股定理求出OP的长度，则M、N两点坐标便不难求出．
解答：解：过P作PE⊥OM，
∵顶点P的坐标是（3，4），
∴OE=3，PE=4，
∴OP==5，
∴点M的坐标为（5，0），
∵5+3=8，
∴点N的坐标为（8，4）．
故选A．
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点评：此题考查了菱形的性质，根据菱形的性质和点P的坐标，作出辅助线是解决本题的突破口．
二、填空题（共5小题）
20、（2008 陕西）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，则点D的坐标为 （2+，） ．
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考点：坐标与图形性质；菱形的性质。
分析：根据坐标意义，点D坐标与垂线段有关，过点D向X轴垂线段DE，则OE、DE长即为点D坐标．
解答：解：过点D作DE⊥X轴，垂足为E在RT△CDE中，CD=2
∴CE=DE=
∴OE=OC+CE=2+
∴点D坐标为（2，）．
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点评：此题主要考查坐标意义及坐标与垂线段关系，同时考查等腰直角三角形知识．
21、如图，小鱼的鱼身ABCD为菱形，已知鱼身长BD=8，AB=5，以BD所在直线为x轴，以AC所在的直线为y轴，建立直角坐标系，则点C的坐标为 （0，﹣3） ．
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考点：坐标与图形性质；菱形的性质。
专题：代数几何综合题。
分析：由菱形性质可知：此平面直角坐标系建立在对角线上，且原点是对角线交点．点C在Y轴负半轴上，根据勾股定理可求出OC长，即解．
解答：解：∵四边形ABCD是菱形
∴BD⊥AC，BC=AB=5，OB=BD=×8=4
∴OC==3
∴点D的坐标为（0，﹣3）．
故答案为（0，﹣3）．
点评：此题为作图题，考查动手画图能力；另外，还考查菱形性质和平面直角坐标系性质．
22、如图，四边形ABCD是周长为20cm的菱形，点A的坐标是（4，0），则点B的坐标为 （0，3） ．
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考点：坐标与图形性质；菱形的性质。
专题：计算题。
分析：本题可根据菱形的四边相等，得出两点之间的距离为20÷4=5，再设B点的坐标为（0，y），根据两点之间的距离公式代入A、B两点的坐标，化简即可得出B点的坐标．
解答：解：根据菱形的性质，四边相等得AB=20÷4=5，OA=4，
∵菱形的对角线互相垂直平分，在直角三角形AOB中，由勾股定理，OB==3，
∴B（0，3）．
故答案为：（0，3）．
点评：在直角坐标系中，运用菱形的性质，四边相等，对角线互相垂直平分，根据点的坐标确定相关线段的长度，运用勾股定理求解．
23、菱形的四个顶点都在坐标轴上，已知其中两个顶点的坐标分别是（3，0），（0，4），则另两个顶点的坐标是 （﹣3，0），（0，﹣4） ．
考点：坐标与图形性质；菱形的性质。
专题：代数几何综合题。
分析：根据菱形对角线垂直平分的性质及轴对称性求解．
解答：解：菱形的四个顶点都在坐标轴上，所以坐标原点在两对角线的交点上．
又因菱形对角线垂直平分，因而另两个顶点的坐标是（﹣3，0），（0，﹣4）．
故答案为（﹣3，0），（0，﹣4）．
点评：考查菱形的性质与坐标与图形性质．
24、（易错题）如图，菱形ABCD的中心在直角坐标系的坐标原点上，且AD∥x轴，点A的坐标为（﹣4，2），点D的横坐标是1，则点B的坐标为 （﹣1，﹣2） ，点C的坐标为 （4，﹣2） ，点D的坐标为 （1，2） ．
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考点：坐标与图形性质；菱形的性质。
专题：综合题。
分析：菱形四边相等，本题可从菱形ABCD的中心在直角坐标系的坐标原点上入手得知A、C关于原点对称，进而得出C点的坐标．根据BC∥x轴可知B点的纵坐标，再根据中心对称可知D点的坐标．
解答：解：菱形ABCD的中心在直角坐标系的坐标原点上，因而A、C关于原点对称，因而点C的坐标是（4，﹣2）；
BC∥x轴因而B的纵坐标是﹣2，同理D点的纵坐标是2，因而点B的坐标为（﹣1，﹣2），点C的坐标为（4，﹣2），
点D的坐标为（1，2）．
故答案为（﹣1，﹣2），（4，﹣2），（1，2）．
点评：本题综合考查了图形的性质和坐标的确定，是综合性较强，难度较大的综合题．
三、解答题（共6小题）
25、求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．
考点：四点共圆；菱形的性质。
专题：证明题。
分析：如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，菱形ABCD各边中点分别为M、N、P、Q，根据菱形的性质得到AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OM=ON=OP=OQ=AB，得到M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上．
解答：已知：如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．
求证：菱形ABCD各边中点M、N、P、Q在以O为圆心的同一个圆上．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，
而M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴OM=ON=OP=OQ=AB，
∴M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上．
所以菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．
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点评：本题考查了四点共圆的判定方法．也考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
26、（1）解方程+=2；
（2）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．求证：△ABE≌△ACF．
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考点：解分式方程；直角三角形全等的判定；菱形的性质。
专题：计算题；证明题。
分析：（1）观察方程，知最简公分母为：2x﹣1，去分母把分式方程化为整式方程求解；
（2）先根据菱形的性质得到AB=AC，∠B=∠C，又知∠AEB=∠AFC=90°，故有△ABE≌△ACF（AAS）．
解答：解：（1）两边都乘以（2x﹣1），
得：x﹣5=4x﹣2，
﹣3x=3，
∴x=﹣1，
检验：把x=﹣1代入（2x﹣1）=2×（﹣1）﹣1=﹣3，
∴x=﹣1是原分式方程的解；
证明：（2）∵菱形ABCD，
∴AB=AC，∠B=∠C，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFC=90°，
∴△ABE≌△ACF（AAS）．
故答案为x=﹣1．
点评：本题考查分式方程的解法和三角形全等的判定：
（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；解分式方程一定注意要验根．
（2）判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
27、一个菱形、相邻的内角比是1：2，对角线长是6，取两条对角线所在的直线为坐标轴，求四个顶点坐标．
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考点：坐标与图形性质；菱形的性质。
专题：分类讨论。
分析：本题应分两种情况讨论，当AC=6，或BC=6两种情况讨论．
解答：解：当AC=6时，A（﹣3，0），C（3，0），又内角比为1：2，
∴B（0，﹣），D（0，）
或当BD=6时，B（0，﹣3），D（0，3），又内角比为1：2，
∴C（，0），A（﹣，0）．
故答案为A（﹣3，0），B（0，﹣），C（3，0），D（0，）或A（﹣，0），B（0，﹣3），C（，0），D（0，3）．
点评：菱形的问题可以转化为直角三角形的问题．
28、如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，
（1）请在所给的网格内画出以线段AB、BC为边的菱形，并写出点D的坐标 （﹣2，1） ．
（2）线段BC的长为 ，菱形ABCD的面积等于 15
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考点：坐标与图形性质；菱形的性质。
专题：作图题；网格型。
分析：（1）菱形要求四边相等，根据AB，BC的位置及长度可确定D点位置及坐标，如图所示；
（2）在网格中，运用勾股定理求BC、对角线AC，BD的长度，再计算面积．
解答：（1）解：正确画出图（4分）
D（﹣2，1）（5分）
（2）解：BC==（6分）
AC==3，BD==5
∴S菱形ABCD=AC×BD=×3×5=15． （9分）
故答案为（﹣2，1），，15．
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点评：本题考查了菱形的性质，图形画法，菱形面积的求法及勾股定理的运用，需要形数结合，培养学生动手能力．
29、如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线交于点A．
（1）分别求出点A、B、C的坐标；
（2）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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考点：一次函数综合题；解二元一次方程组；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；菱形的性质。
专题：计算题。
分析：（1）把x=0，y=0分别代入直线L1，即可求出y和x的值，即得到B、C的坐标，解由直线BC和直线OA的方程组即可求出A的坐标；（2）设D（x，x），代入面积公式即可求出x，即得到D的坐标，设直线CD的函数表达式是y=kx+b，把C（0，6），D（4，2）代入即可求出直线CD的函数表达式；（3）存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，根据菱形的性质能写出Q的坐标．
解答：解：（1）直线，
当x=0时，y=6，
当y=0时，x=12，
∴B（12，0），C（0，6），
解方程组：得：，
∴A（6，3），
答：A（6，3），B（12，0），C（0，6）．
（2）解：设D（x，x），
∵△COD的面积为12，
∴×6×x=12，
解得：x=4，
∴D（4，2），
设直线CD的函数表达式是y=kx+b，把C（0，6），D（4，2）代入得：
，
解得：，
∴y=﹣x+6，
答：直线CD的函数表达式是y=﹣x+6．
（3）答：存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，点Q的坐标是（6，6）或（﹣3，3）或．
点评：本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，解二元一次方程组，菱形的性质，三角形的面积等知识点，解此题的关键是熟练地运用知识进行计算．此题是一个综合性很强的题目．
30、如图，四边形OABC是菱形，点C在x轴上，AB交y轴于点H，AC交y轴于点M．已知点A（﹣3，4）．
（1）求AO的长；
（2）求直线AC的解析式和点M的坐标；
（3）点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线A﹣B﹣C运动，到达点C终止．设点P的运动时间为t秒，△PMB的面积为S．
①求S与t的函数关系式；
②求S的最大值．
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考点：一次函数综合题；解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；菱形的性质。
专题：计算题。
分析：（1）根据A的坐标求出AH、OH，根据勾股定理求出即可；
（2）根据菱形性质求出B、C的坐标，设直线AC的解析式是y=kx+b，把A（﹣3，4），C（5，0）代入得到方程组，求出即可；
（3）①过M作MN⊥BC于N，根据角平分线性质求出MN，P在AB上，根据三角形面积公式求出即可；P在BC上，根据三角形面积公式求出即可；②求出P在AB的最大值和P在BC上的最大值比较即可得到答案．
解答：（1）解：∵A（﹣3，4），
∴AH=3，OH=4，
由勾股定理得：AO==5，
答：OA的长是5．
（2）解：∵菱形OABC，
∴OA=OC=BC=AB=5，
5﹣3=2，
∴B（2，4），C（5，0），
设直线AC的解析式是y=kx+b，
把A（﹣3，4），C（5，0）代入得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为，
当x=0时，y=2.5
∴M（0，2.5），
答：直线AC的解析式是，点M的坐标是（0，2.5）．
（3）①解：过M作MN⊥BC于N， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
∵菱形OABC，
∴∠BAC=∠OCA，
∵MO⊥CO，MN⊥BC，
∴OM=MN，
当0≤t＜2.5时，P在AB上，MH=4﹣2.5=，
S=×BP×MH=×（5﹣2t）×=﹣t+，
∴，
当2.5＜t≤5时，P在BC上，S=×PB×MN=×（2t﹣5）×=t﹣，
∴，
答：S与t的函数关系式是（0≤t＜2.5）或（2.5＜t≤5）．
②解：当P在AB上时，高MH一定，只有BP取最大值即可，即P与A重合，S最大是×5×=，
同理在BC上时，P与C重合时，S最大是×5×=，
∴S的最大值是，
答：S的最大值是．
点评：本题主要考查对勾股定理，三角形的面积，菱形的性质，角平分线性质，解二元一次方程组，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
一、选择题（共19小题）
1、如图，由12个相同的菱形组成，其中的阴影部分（小菱形）的面积为1，那么图中所有能够数得出来的平行四边形的面积之和为（ ）
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A、400 B、300
C、200 D、150
2、（2009 长春）菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．∠AOC=45°，OC=，则点B的坐标为（ ）
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A、（，1） B、（1，）
C、（+1，1） D、（1，+1）
3、如图，已知四边形ABCD是菱形，点B（0，6），点C（﹣8，0），E是AB的中点，则直线DE的解析式为（ ）
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A、y=x﹣6 B、y=x+6
C、y=x﹣6 D、y=x+6
4、如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于O，∠ABC≠90°，则图中全等的三角形共有（ ）
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A、4对 B、6对
C、8对 D、12对
5、（2011 茂名）如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂 A、B、D，已知AB=BC=CD=DA=5公里，村庄C到公路l1的距离为4公里，则村庄C到公路l2的距离是（ ）
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A、3公里 B、4公里
C、5公里 D、6公里
6、如图，P为菱形ABCD的对角线上的一点，PE⊥AD于E，PF⊥AB于F，PF=3cm，则PE=（ ）
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A、4cm B、5cm
C、3cm D、7cm
7、从菱形的一个钝角顶点向它的两条对边作垂线，这两条垂线分别垂直平分对边，则该菱形的钝角等于（ ）
A、135° B、150°
C、110° D、120°
8、（2007 黔东南州）如图所示，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF=2，那么ABCD的周长是（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
A、4 B、8
C、12 D、16
9、如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果ABCD的周长是16，那么EF的长是（ ）
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A、1 B、2
C、4 D、8
10、如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是AB，AC的中点，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长是（ ）
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A、24 B、18
C、12 D、6
11、如图，在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ=1，那么菱形ABCD的周长是（ ）
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A、4 B、6
C、8 D、16
12、四边形ABCD是边长为16的菱形，顺次连接它的各边中点组成四边形EFGH（四边形EFGH称为原四边形ABCD的中点四边形），再顺次连接四边形EFGH的各边中点组成第二个中点四边形，…，则按上述规律组成的第八个中点四边形的周长等于（ ）
A、 B、1
C、4 D、8
13、（2011 梧州）若一个菱形的一条边长为4cm，则这个菱形的周长为（ ）
A、20cm B、18cm
C、16cm D、12cm
14、（2011 台湾）如图为菱形ABCD与△ABE的重迭情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE的长度为何？（ ）
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A、8 B、9
C、11 D、12
15、（2011 青海）已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长度是6和8，则这个菱形的周长是（ ）
A、20 B、14
C、28 D、24
16、（2011 聊城）已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（ ）
A、12cm2 B、24cm2
C、48cm2 D、96cm2
17、（2011 济南）如图，菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为（ ）
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A、2 B、2
C、4 D、4
18、（2011 淮安）在菱形ABCD中，AB=5cm，则此菱形的周长为（ ）
A、5cm B、15cm
C、20cm D、25cm
19、（2011 衡阳）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（ ）
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A、M（5，0），N（8，4） B、M（4，0），N（8，4）
C、M（5，0），N（7，4） D、M（4，0），N（7，4）
二、填空题（共5小题）
20、（2008 陕西）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，则点D的坐标为 _________ ．
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21、如图，小鱼的鱼身ABCD为菱形，已知鱼身长BD=8，AB=5，以BD所在直线为x轴，以AC所在的直线为y轴，建立直角坐标系，则点C的坐标为 _________ ．
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22、如图，四边形ABCD是周长为20cm的菱形，点A的坐标是（4，0），则点B的坐标为 _________ ．
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23、菱形的四个顶点都在坐标轴上，已知其中两个顶点的坐标分别是（3，0），（0，4），则另两个顶点的坐标是 _________ ．
24、（易错题）如图，菱形ABCD的中心在直角坐标系的坐标原点上，且AD∥x轴，点A的坐标为（﹣4，2），点D的横坐标是1，则点B的坐标为 _________ ，点C的坐标为 _________ ，点D的坐标为 _________ ．
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三、解答题（共6小题）
25、求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．
26、（1）解方程+=2；
（2）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．求证：△ABE≌△ACF．
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27、一个菱形、相邻的内角比是1：2，对角线长是6，取两条对角线所在的直线为坐标轴，求四个顶点坐标．
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28、如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，
（1）请在所给的网格内画出以线段AB、BC为边的菱形，并写出点D的坐标 _________ ．
（2）线段BC的长为 _________ ，菱形ABCD的面积等于 _________
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29、如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线交于点A．
（1）分别求出点A、B、C的坐标；
（2）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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30、如图，四边形OABC是菱形，点C在x轴上，AB交y轴于点H，AC交y轴于点M．已知点A（﹣3，4）．
（1）求AO的长；
（2）求直线AC的解析式和点M的坐标；
（3）点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线A﹣B﹣C运动，到达点C终止．设点P的运动时间为t秒，△PMB的面积为S．
①求S与t的函数关系式；
②求S的最大值．
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答案与评分标准
一、选择题（共19小题）
1、如图，由12个相同的菱形组成，其中的阴影部分（小菱形）的面积为1，那么图中所有能够数得出来的平行四边形的面积之和为（ ）
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A、400 B、300
C、200 D、150
考点：加法原理与乘法原理；平行四边形的性质；菱形的性质。
专题：探究型。
分析：用列举法列举出面积分别是1、2、3、4、5、6、7、8、9的平行四边形的个数，再求出总面积即可．
解答：解：面积1的12个，
面积2的3×3+2×4=17个，
面积3的1×4+2×3=10个，
面积4的1×3+2×3=9个，
面积6的1×3+2×2=7个，
面积8的1×2=2个，
面积9的1×2=2个，
面积12的1×1=1个，
总共有1×12+2×17+3×10+4×9+6×7+8×2+9×2+12×1=200．
故选C．
点评：本题考查的是加法原理与乘法原理、菱形的性质及平行四边形的性质，先用列举法列举出可能出现的面积不同的平行四边形的个数时解答此题的关键．
2、（2009 长春）菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．∠AOC=45°，OC=，则点B的坐标为（ ）
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A、（，1） B、（1，）
C、（+1，1） D、（1，+1）
考点：坐标与图形性质；菱形的性质。
分析：根据菱形的性质，作CD⊥x轴，先求C点坐标，然后求得点B的坐标．
解答：解：作CD⊥x轴于点D，
∵四边形OABC是菱形，OC=，
∴OA=OC=，
又∵∠AOC=45°
∴△OCD为等腰直角三角形，
∵OC=，
∴OD=CD=OCsin45°=1，
则点C的坐标为（1，1），
又∵BC=OA=，
∴B的横坐标为OD+BC=1+，B的纵坐标为CD=1，
则点B的坐标为（+1，1）．
故选C．
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点评：本题综合考查了图形的性质和坐标的确定，综合性较强．
3、如图，已知四边形ABCD是菱形，点B（0，6），点C（﹣8，0），E是AB的中点，则直线DE的解析式为（ ）
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A、y=x﹣6 B、y=x+6
C、y=x﹣6 D、y=x+6
考点：待定系数法求一次函数解析式；菱形的性质。
专题：待定系数法。
分析：求直线DE的解析式关键是确定点D和点E的坐标，然后设解析式为y=kx+b，代入求得k和b的值即可．
解答：解：由题意可先求得，D的坐标为（0，﹣6），E点的坐标为（4，3），设直线DE的解析式为y=kx+b，把D、E的值代入可得k=，b=﹣6，直线DE的解析式为y=x﹣6．
故选C．
点评：本题要注意利用一次函数的特点，列出方程，求出未知数．
4、如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于O，∠ABC≠90°，则图中全等的三角形共有（ ）
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A、4对 B、6对
C、8对 D、12对
考点：全等三角形的判定；菱形的性质。
分析：根据菱形的性质可得OA=OC，OB=OD再利用全等三角形的判定求解．
解答：解：根据菱形的性质及已知条件全等的三角形有：△AOD≌△AOB≌△COB≌△COD，共有6对；
又△ABD≌△CBD，△ABC≌△ADC共2对，所以共8对．
故选C．
点评：本题考查菱形的性质以及全等三角形的判定条件．
5、（2011 茂名）如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂 A、B、D，已知AB=BC=CD=DA=5公里，村庄C到公路l1的距离为4公里，则村庄C到公路l2的距离是（ ）
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A、3公里 B、4公里
C、5公里 D、6公里
考点：角平分线的性质；菱形的性质。
专题：证明题。
分析：根据菱形的对角线平分对角，作出辅助线，即可证明．
解答：解：如图，连接AC，作CF⊥l1，CE⊥l2；
∵AB=BC=CD=DA=5公里，
∴四边形ABCD是菱形，
∴∠CAE=∠CAF，
∴CE=CF=4公里．
故选B．
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点评：本题主要考查角平分线的性质，由已知能够注意到四边形ABCD是菱形：菱形的对角线平分对角，是解题的关键．
6、如图，P为菱形ABCD的对角线上的一点，PE⊥AD于E，PF⊥AB于F，PF=3cm，则PE=（ ）
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A、4cm B、5cm
C、3cm D、7cm
考点：角平分线的性质；菱形的性质。
专题：探究型。
分析：先根据菱形的性质得出AC是∠DAB的平分线，再根据角平分线的性质即可得出结论．
解答：解：∵四边形ABCD是菱形，P为菱形ABCD的对角线上的一点，
∴AC是∠DAB的平分线，
∵PE⊥AD，PF⊥AB，PF=3cm，
∴PE=PF=3cm．
故选C．
点评：本题考查的是角平分线的性质，即角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
7、从菱形的一个钝角顶点向它的两条对边作垂线，这两条垂线分别垂直平分对边，则该菱形的钝角等于（ ）
A、135° B、150°
C、110° D、120°
考点：线段垂直平分线的性质；菱形的性质。
分析：画图分析，易证△ABC，△ADC是等边三角形，然后求得∠BAD=120°．
解答：解：在菱形ABCD中，已知AE，AF分别垂直平分BC，CD．连接AC．
故AB=AC=AD，BE=EC=CF=FD．
∴△ABC，△ADC是等边三角形．
故∠BAD=∠BAC+∠DAC=120°．
故选D．
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点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等）以及菱形的性质．难度一般．
8、（2007 黔东南州）如图所示，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF=2，那么ABCD的周长是（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
A、4 B、8
C、12 D、16
考点：三角形中位线定理；菱形的性质。
分析：根据中位线定理求边长，再求ABCD的周长．
解答：解：由题意可知，EF是△ABC的中位线，有EF=BC．所以BC=2EF=2×2=4，
那么ABCD的周长是4×4=16．故选D．
点评：本题考查了三角形中位线的性质，菱形四边相等的性质．
9、如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果ABCD的周长是16，那么EF的长是（ ）
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A、1 B、2
C、4 D、8
考点：三角形中位线定理；菱形的性质。
分析：由ABCD的周长可得BC长，利用三角形中位线定理易得EF长为BC长的一半．
解答：解：由题意可知，EF是△ABC的中位线
∴EF∥BC，EF=BC
又∵ABCD的周长是16
∴BC=4
∴EF=2
故选B．
点评：本题考查了三角形中位线等于第三边的一半的性质，菱形四边相等的性质．
10、如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是AB，AC的中点，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长是（ ）
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A、24 B、18
C、12 D、6
考点：三角形中位线定理；菱形的性质。
分析：根据中位线定理易得BC=2EF，那么菱形的周长等于4BC．
解答：解：∵E，F分别是AB，AC的中点，EF=3，
∴BC=2EF=2×3=6，
菱形ABCD的周长是4BC=4×6=24，故选A．
点评：本题比较简单，考查的是三角形中位线定理及菱形的性质．
11、如图，在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ=1，那么菱形ABCD的周长是（ ）
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A、4 B、6
C、8 D、16
考点：三角形中位线定理；菱形的性质。
分析：根据三角形的中位线定理，即可求得CD的长，进而求得菱形的周长．
解答：解：∵P、Q分别是AD、AC的中点，
∴CD=2PQ=2，
∴菱形ABCD的周长是2×4=8．
故选C．
点评：本题主要考查了菱形的性质，以及三角形的中位线定理，正确求得CD的长是关键．
12、四边形ABCD是边长为16的菱形，顺次连接它的各边中点组成四边形EFGH（四边形EFGH称为原四边形ABCD的中点四边形），再顺次连接四边形EFGH的各边中点组成第二个中点四边形，…，则按上述规律组成的第八个中点四边形的周长等于（ ）
A、 B、1
C、4 D、8
考点：三角形中位线定理；菱形的性质。
专题：规律型。
分析：根据题意，结合图形寻找规律：第二、四、六、八个中点四边形为菱形，第一个菱形边长为，第二个菱形边长为，第三个菱形边长为，第四个菱形边长为．
解答：解：由图可知，第二、四、六、八个中点四边形为菱形，
第一个菱形边长为，第二个菱形边长为，第三个菱形边长为，第四个菱形边长为．
即第八个中点四边形的边长等于．
∵四边形ABCD是边长为16，
∴周长为64，
∴第八个中点四边形的周长等于64×=4．
故选C．
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点评：本题是一道开放性题目，先画出图形，根据图形所体现的规律，找出各图形之间的数量关系，便可解答，此题不难，但趣味性强，深受同学们喜爱．
13、（2011 梧州）若一个菱形的一条边长为4cm，则这个菱形的周长为（ ）
A、20cm B、18cm
C、16cm D、12cm
考点：菱形的性质。
专题：计算题。
分析：根据菱形的四条边都相等，现在已知其一条边长为4cm，即可求出菱形的周长．
解答：解：∵菱形的四条边都相等，
∴其边长都为4cm，
∴菱形的周长=4×4cm=16cm．
故选C．
点评：本题考查菱形的性质，属于基础题，比较简单，掌握菱形的四条边相等是解题关键．
14、（2011 台湾）如图为菱形ABCD与△ABE的重迭情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE的长度为何？（ ）
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A、8 B、9
C、11 D、12
考点：菱形的性质；勾股定理。
分析：首先连接AC，设AC交BD于O点，由四边形ABCD为菱形，利用菱形对角线互相垂直且平分的性质及勾股定理，即可求得DE的长度．
解答：解：连接AC，设AC交BD于O点，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，且BO=DO==8，
在△AOD中，
∵∠AOD=90°，
∴AO===15，
在△AOE中，
∵∠AOE=90°，
∴OE===20，
又OD=8，
∴DE=OE﹣OD=20﹣8=12．
故选D．
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点评：此题考查了勾股定理与菱形的性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用．
15、（2011 青海）已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长度是6和8，则这个菱形的周长是（ ）
A、20 B、14
C、28 D、24
考点：菱形的性质；勾股定理。
专题：计算题。
分析：由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长．
解答：解：根据题意，设对角线AC、BD相交于O，
则由菱形对角线性质知，AO=AC=3，BO=BD=4，且AO⊥BO，
∴AB=5，
∴周长L=4AB=20，
故选A．
点评：本题考查菱形的性质，难度适中，要熟练掌握菱形对角线的性质，及勾股定理的灵活运用．
16、（2011 聊城）已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（ ）
A、12cm2 B、24cm2
C、48cm2 D、96cm2
考点：菱形的性质。
分析：设菱形的对角线分别为8x和6x，首先求出菱形的边长，然后根据勾股定理求出x的值，最后根据菱形的面积公式求出面积的值．
解答：解：设菱形的对角线分别为8x和6x，
已知菱形的周长为20cm，故菱形的边长为5cm，
根据菱形的性质可知，菱形的对角线互相垂直平分，
即可知（4x）2+（3x）2=25，
解得x=1，
故菱形的对角线分别为8cm和6cm，
所以菱形的面积=×8×6=24cm2，
故选B．
点评：本题主要考查菱形的性质的知识点，解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分，此题比较简单．
17、（2011 济南）如图，菱形ABCD的周长是16，∠A=60°，则对角线BD的长度为（ ）
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A、2 B、2
C、4 D、4
考点：菱形的性质。
分析：由菱形ABCD的周长是16，即可求得AB=AD=4，又由∠A=60°，即可证得△ABD是等边三角形，则可求得对角线BD的长度．
解答：解：∵菱形ABCD的周长是16，
∴AB=AD=CD=BC=4，
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=AD=BD=4．
∴对角线BD的长度为4．
故选C．
点评：此题考查了菱形的性质与等边三角形的判定与性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
18、（2011 淮安）在菱形ABCD中，AB=5cm，则此菱形的周长为（ ）
A、5cm B、15cm
C、20cm D、25cm
考点：菱形的性质。
专题：计算题。
分析：根据菱形的四条边长都相等的性质、菱形的周长=边长×4解答
解答：解：∵在菱形ABCD中，AB=BC=CD=DA，AB=5cm，
∴菱形的周长=AB×4=20cm；
故选C．
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点评：本题主要考查了菱形的基本性质．菱形的四条边都相等，菱形的对角线互相垂直平分．
19、（2011 衡阳）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是（ ）
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A、M（5，0），N（8，4） B、M（4，0），N（8，4）
C、M（5，0），N（7，4） D、M（4，0），N（7，4）
考点：菱形的性质；坐标与图形性质。
专题：数形结合。
分析：此题可过P作PE⊥OM，根据勾股定理求出OP的长度，则M、N两点坐标便不难求出．
解答：解：过P作PE⊥OM，
∵顶点P的坐标是（3，4），
∴OE=3，PE=4，
∴OP==5，
∴点M的坐标为（5，0），
∵5+3=8，
∴点N的坐标为（8，4）．
故选A．
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点评：此题考查了菱形的性质，根据菱形的性质和点P的坐标，作出辅助线是解决本题的突破口．
二、填空题（共5小题）
20、（2008 陕西）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，则点D的坐标为 （2+，） ．
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考点：坐标与图形性质；菱形的性质。
分析：根据坐标意义，点D坐标与垂线段有关，过点D向X轴垂线段DE，则OE、DE长即为点D坐标．
解答：解：过点D作DE⊥X轴，垂足为E在RT△CDE中，CD=2
∴CE=DE=
∴OE=OC+CE=2+
∴点D坐标为（2，）．
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点评：此题主要考查坐标意义及坐标与垂线段关系，同时考查等腰直角三角形知识．
21、如图，小鱼的鱼身ABCD为菱形，已知鱼身长BD=8，AB=5，以BD所在直线为x轴，以AC所在的直线为y轴，建立直角坐标系，则点C的坐标为 （0，﹣3） ．
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考点：坐标与图形性质；菱形的性质。
专题：代数几何综合题。
分析：由菱形性质可知：此平面直角坐标系建立在对角线上，且原点是对角线交点．点C在Y轴负半轴上，根据勾股定理可求出OC长，即解．
解答：解：∵四边形ABCD是菱形
∴BD⊥AC，BC=AB=5，OB=BD=×8=4
∴OC==3
∴点D的坐标为（0，﹣3）．
故答案为（0，﹣3）．
点评：此题为作图题，考查动手画图能力；另外，还考查菱形性质和平面直角坐标系性质．
22、如图，四边形ABCD是周长为20cm的菱形，点A的坐标是（4，0），则点B的坐标为 （0，3） ．
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考点：坐标与图形性质；菱形的性质。
专题：计算题。
分析：本题可根据菱形的四边相等，得出两点之间的距离为20÷4=5，再设B点的坐标为（0，y），根据两点之间的距离公式代入A、B两点的坐标，化简即可得出B点的坐标．
解答：解：根据菱形的性质，四边相等得AB=20÷4=5，OA=4，
∵菱形的对角线互相垂直平分，在直角三角形AOB中，由勾股定理，OB==3，
∴B（0，3）．
故答案为：（0，3）．
点评：在直角坐标系中，运用菱形的性质，四边相等，对角线互相垂直平分，根据点的坐标确定相关线段的长度，运用勾股定理求解．
23、菱形的四个顶点都在坐标轴上，已知其中两个顶点的坐标分别是（3，0），（0，4），则另两个顶点的坐标是 （﹣3，0），（0，﹣4） ．
考点：坐标与图形性质；菱形的性质。
专题：代数几何综合题。
分析：根据菱形对角线垂直平分的性质及轴对称性求解．
解答：解：菱形的四个顶点都在坐标轴上，所以坐标原点在两对角线的交点上．
又因菱形对角线垂直平分，因而另两个顶点的坐标是（﹣3，0），（0，﹣4）．
故答案为（﹣3，0），（0，﹣4）．
点评：考查菱形的性质与坐标与图形性质．
24、（易错题）如图，菱形ABCD的中心在直角坐标系的坐标原点上，且AD∥x轴，点A的坐标为（﹣4，2），点D的横坐标是1，则点B的坐标为 （﹣1，﹣2） ，点C的坐标为 （4，﹣2） ，点D的坐标为 （1，2） ．
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考点：坐标与图形性质；菱形的性质。
专题：综合题。
分析：菱形四边相等，本题可从菱形ABCD的中心在直角坐标系的坐标原点上入手得知A、C关于原点对称，进而得出C点的坐标．根据BC∥x轴可知B点的纵坐标，再根据中心对称可知D点的坐标．
解答：解：菱形ABCD的中心在直角坐标系的坐标原点上，因而A、C关于原点对称，因而点C的坐标是（4，﹣2）；
BC∥x轴因而B的纵坐标是﹣2，同理D点的纵坐标是2，因而点B的坐标为（﹣1，﹣2），点C的坐标为（4，﹣2），
点D的坐标为（1，2）．
故答案为（﹣1，﹣2），（4，﹣2），（1，2）．
点评：本题综合考查了图形的性质和坐标的确定，是综合性较强，难度较大的综合题．
三、解答题（共6小题）
25、求证：菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．
考点：四点共圆；菱形的性质。
专题：证明题。
分析：如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，菱形ABCD各边中点分别为M、N、P、Q，根据菱形的性质得到AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OM=ON=OP=OQ=AB，得到M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上．
解答：已知：如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．
求证：菱形ABCD各边中点M、N、P、Q在以O为圆心的同一个圆上．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，垂足为O，且AB=BC=CD=DA，
而M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA的中点，
∴OM=ON=OP=OQ=AB，
∴M、N、P、Q四点在以O为圆心OM为半径的圆上．
所以菱形各边中点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上．
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点评：本题考查了四点共圆的判定方法．也考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
26、（1）解方程+=2；
（2）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F．求证：△ABE≌△ACF．
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考点：解分式方程；直角三角形全等的判定；菱形的性质。
专题：计算题；证明题。
分析：（1）观察方程，知最简公分母为：2x﹣1，去分母把分式方程化为整式方程求解；
（2）先根据菱形的性质得到AB=AC，∠B=∠C，又知∠AEB=∠AFC=90°，故有△ABE≌△ACF（AAS）．
解答：解：（1）两边都乘以（2x﹣1），
得：x﹣5=4x﹣2，
﹣3x=3，
∴x=﹣1，
检验：把x=﹣1代入（2x﹣1）=2×（﹣1）﹣1=﹣3，
∴x=﹣1是原分式方程的解；
证明：（2）∵菱形ABCD，
∴AB=AC，∠B=∠C，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFC=90°，
∴△ABE≌△ACF（AAS）．
故答案为x=﹣1．
点评：本题考查分式方程的解法和三角形全等的判定：
（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；解分式方程一定注意要验根．
（2）判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
27、一个菱形、相邻的内角比是1：2，对角线长是6，取两条对角线所在的直线为坐标轴，求四个顶点坐标．
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考点：坐标与图形性质；菱形的性质。
专题：分类讨论。
分析：本题应分两种情况讨论，当AC=6，或BC=6两种情况讨论．
解答：解：当AC=6时，A（﹣3，0），C（3，0），又内角比为1：2，
∴B（0，﹣），D（0，）
或当BD=6时，B（0，﹣3），D（0，3），又内角比为1：2，
∴C（，0），A（﹣，0）．
故答案为A（﹣3，0），B（0，﹣），C（3，0），D（0，）或A（﹣，0），B（0，﹣3），C（，0），D（0，3）．
点评：菱形的问题可以转化为直角三角形的问题．
28、如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度，
（1）请在所给的网格内画出以线段AB、BC为边的菱形，并写出点D的坐标 （﹣2，1） ．
（2）线段BC的长为 ，菱形ABCD的面积等于 15
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考点：坐标与图形性质；菱形的性质。
专题：作图题；网格型。
分析：（1）菱形要求四边相等，根据AB，BC的位置及长度可确定D点位置及坐标，如图所示；
（2）在网格中，运用勾股定理求BC、对角线AC，BD的长度，再计算面积．
解答：（1）解：正确画出图（4分）
D（﹣2，1）（5分）
（2）解：BC==（6分）
AC==3，BD==5
∴S菱形ABCD=AC×BD=×3×5=15． （9分）
故答案为（﹣2，1），，15．
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点评：本题考查了菱形的性质，图形画法，菱形面积的求法及勾股定理的运用，需要形数结合，培养学生动手能力．
29、如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线交于点A．
（1）分别求出点A、B、C的坐标；
（2）若D是线段OA上的点，且△COD的面积为12，求直线CD的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
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考点：一次函数综合题；解二元一次方程组；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；菱形的性质。
专题：计算题。
分析：（1）把x=0，y=0分别代入直线L1，即可求出y和x的值，即得到B、C的坐标，解由直线BC和直线OA的方程组即可求出A的坐标；（2）设D（x，x），代入面积公式即可求出x，即得到D的坐标，设直线CD的函数表达式是y=kx+b，把C（0，6），D（4，2）代入即可求出直线CD的函数表达式；（3）存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，根据菱形的性质能写出Q的坐标．
解答：解：（1）直线，
当x=0时，y=6，
当y=0时，x=12，
∴B（12，0），C（0，6），
解方程组：得：，
∴A（6，3），
答：A（6，3），B（12，0），C（0，6）．
（2）解：设D（x，x），
∵△COD的面积为12，
∴×6×x=12，
解得：x=4，
∴D（4，2），
设直线CD的函数表达式是y=kx+b，把C（0，6），D（4，2）代入得：
，
解得：，
∴y=﹣x+6，
答：直线CD的函数表达式是y=﹣x+6．
（3）答：存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，点Q的坐标是（6，6）或（﹣3，3）或．
点评：本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，解二元一次方程组，菱形的性质，三角形的面积等知识点，解此题的关键是熟练地运用知识进行计算．此题是一个综合性很强的题目．
30、如图，四边形OABC是菱形，点C在x轴上，AB交y轴于点H，AC交y轴于点M．已知点A（﹣3，4）．
（1）求AO的长；
（2）求直线AC的解析式和点M的坐标；
（3）点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿折线A﹣B﹣C运动，到达点C终止．设点P的运动时间为t秒，△PMB的面积为S．
①求S与t的函数关系式；
②求S的最大值．
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考点：一次函数综合题；解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；菱形的性质。
专题：计算题。
分析：（1）根据A的坐标求出AH、OH，根据勾股定理求出即可；
（2）根据菱形性质求出B、C的坐标，设直线AC的解析式是y=kx+b，把A（﹣3，4），C（5，0）代入得到方程组，求出即可；
（3）①过M作MN⊥BC于N，根据角平分线性质求出MN，P在AB上，根据三角形面积公式求出即可；P在BC上，根据三角形面积公式求出即可；②求出P在AB的最大值和P在BC上的最大值比较即可得到答案．
解答：（1）解：∵A（﹣3，4），
∴AH=3，OH=4，
由勾股定理得：AO==5，
答：OA的长是5．
（2）解：∵菱形OABC，
∴OA=OC=BC=AB=5，
5﹣3=2，
∴B（2，4），C（5，0），
设直线AC的解析式是y=kx+b，
把A（﹣3，4），C（5，0）代入得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为，
当x=0时，y=2.5
∴M（0，2.5），
答：直线AC的解析式是，点M的坐标是（0，2.5）．
（3）①解：过M作MN⊥BC于N， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
∵菱形OABC，
∴∠BAC=∠OCA，
∵MO⊥CO，MN⊥BC，
∴OM=MN，
当0≤t＜2.5时，P在AB上，MH=4﹣2.5=，
S=×BP×MH=×（5﹣2t）×=﹣t+，
∴，
当2.5＜t≤5时，P在BC上，S=×PB×MN=×（2t﹣5）×=t﹣，
∴，
答：S与t的函数关系式是（0≤t＜2.5）或（2.5＜t≤5）．
②解：当P在AB上时，高MH一定，只有BP取最大值即可，即P与A重合，S最大是×5×=，
同理在BC上时，P与C重合时，S最大是×5×=，
∴S的最大值是，
答：S的最大值是．
点评：本题主要考查对勾股定理，三角形的面积，菱形的性质，角平分线性质，解二元一次方程组，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．