19.2.2菱形的判定与性质的专题训练（附答案解析）
文档属性
| 名称 | 19.2.2菱形的判定与性质的专题训练（附答案解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 416.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2013-05-22 13:48:28 | ||
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文档简介
菱形的判定与性质 专题训练
一、选择题（共19小题）
1、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，则CF与GB的大小关系是（ ）
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A、CF＞GB B、GB=CF
C、CF＜GB D、无法确定
2、如图所示，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分腰AB，若AC=CD，AB∥CD，则∠A的度数为（ ）
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A、36° B、72°
C、120° D、44°
3、（2011 莱芜）如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB=CD．下列结论：①EG⊥FH，②四边形EFGH是矩形，③HF平分∠EHG，④EG=（BC﹣AD），⑤四边形EFGH是菱形．其中正确的个数是（ ）
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A、1 B、2
C、3 D、4
4、（2006 海南）如图，在菱形ABCD中，E，F，F，H分别是菱形四边的中点，连接EG与FH交于点O，则图中共有菱形（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
A、4个 B、5个
C、6个 D、7个
5、（2002 杭州）如图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD等于（ ）
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A、4 B、3
C、2 D、1
6、（1999 福州）下列语句中，正确的个数是（ ）
（1）等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线；（2）菱形的对角线相等且互相平分；（3）相等的角是对顶角；（4）顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形．
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
7、下列说法中，错误的是（ ）
A、平行四边形的对角线互相平分 B、对角线互相平分的四边形是平行四边形
C、菱形的对角线互相垂直 D、对角线互相垂直的四边形是菱形
8、分别顺次连接①等腰梯形；②矩形；③菱形；④对角线相等的四边形“各边中点所构成的四边形”中，为菱形的是（ ）
A、① B、②
C、①②③ D、①②④
9、如图，O既是AB的中点，又是CD的中点，并且AB⊥CD．连接AC、BC、AD、BD，则这四条线段的大小关系是（ ）
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A、全相等 B、互不相等
C、只有两条相等 D、不能确定
10、如图，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分（图中阴影部分）的面积是（ ）
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A、2 B、
C、1 D、
11、如图，D是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点．下列结论：①S△ADE=S△EOD；②四边形BFDE也是菱形；③四边形ABCD的面积为EF×BD；④∠ADE=∠EDO；⑤△DEF是轴对称图形．其中正确的结论有（ ）
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A、5个 B、4个
C、3个 D、2个
12、如图，在平行四边形ABCD和平行四边形BEFG中，AB=AD，BG=BE，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，则=（ ）
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A、 B、
C、 D、
13、下列说法正确的是（ ）
A、对角线垂直的四边形是菱形 B、对角线互相平分的四边形是菱形
C、菱形的对角线相等且互相平分 D、菱形的对角线互相垂直且平分
14、如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
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A、4 B、6
C、8 D、12
15、如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点，若∠AEF=54°，则∠B=（ ）
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A、54° B、60°
C、66° D、72°
16、如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合）且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是（ ）
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A、2 B、
C、3 D、
17、如图，已知四边形ABCD的四边都相等，等边△AEF的顶点E、F分别在BC、CD上，且AE=AB，则∠C=（ ）
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A、100° B、105°
C、110° D、120°
18、如图△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AE=4cm，那么四边形AEDF周长为（ ）
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A、12cm B、16cm
C、20cm D、22cm
19、下列命题中，真命题是（ ）
A、对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B、有一条对角线平分对角的四边形是菱形
C、菱形是对角线互相垂直平分的四边形 D、菱形的对角线相等
二、填空题（共5小题）
20、一个平行四边形的一边长是9，两条对角线的长分别是12和6，则此平行四边形的面积为 _________ ．
21、如图，在平行四边形ABCD中，AB=4a，E是BC的中点，BE=2a，∠BAD=120°，P是BD上的动点，则PE+PC的最小值为 _________
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22、小明借助没有刻度的直尺，按照下图的顺序作出了∠O的平分线OP，他这样做的数学原理是 _________ ．
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23、用两块完全重合的等腰三角形纸片能拼出不同形状的图形，试写出一个 _________ ．
24、如图，凸五边形ABCDE中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=2，CD=DE=4，则它的面积为 _________ ．
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三、解答题（共6小题）
25、已知：如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，O为BD的中点，EF⊥BD于点O，与AD，BC分别交于点E，F．
求证：
（1）△BOF≌△DOE．
（2）DE=DF．
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26、已知，如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，点P从点A沿AB以每秒2cm的速度向点B运动，点Q从点C以每秒1cm的速度向点A运动，设点P、Q分别从点A、C同时出发，运动时间为t（秒）（0＜t＜6），回答下列问题：
（1）直接写出线段AP、AQ的长（含I的代数式表示）：AP= _________ ，AQ= _________ ；
（2）设△APQ 的面积为S，写出S与t的函数关系式；
（3）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时间t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．
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27、如图，△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交线段DE的延长线相交于F点，取AF的中点G，如果BC=2AB．
求证：（1）四边形ABDF是菱形；
（2）AC=2DG．
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28、如图，四边形ABCD中，AB=CD，点E、F分别为AD、BC的中点，点G、H分别为对角线AC、BD的中点，连EF、GH．
（1）线段EF、GH有怎样的位置关系？并说明理由．
（2），若AB=10，求四边形EHFG的周长．
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29、如图，已知O是 ABCD的对角线的交点，AC=6，BD=8，AB=5，请你算出四边形ABCD的周长．
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30、如图， ABCD中，E为BC中点，连接AE并延长交DC的延长线于F点，连接BF．
（1）求证：AB=CF；
（2）试猜想当AB与AC满足什么数量关系时，四边形ABFC是菱形？并说明理由．
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答案与评分标准
一、选择题（共19小题）
1、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，则CF与GB的大小关系是（ ）
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A、CF＞GB B、GB=CF
C、CF＜GB D、无法确定
考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；菱形的判定与性质。
专题：几何综合题。
分析：用观察和作图的方法可以猜测CF=GB．下面只要证明CF=GB即可．由条件∠ACB=90°，AF平分∠CAB，想到FH⊥AB，垂足为H，连接EH，易证菱形CEHF，平行四边形EHBG，故有CF=EH=GB，从而得证．要证明菱形CEHF，只需证明两对边平行，临边相等，根据菱形的定义即可证明．要证平行四边形EHBG，两对边平行即可．关于证明EH∥BC，只需证明∠AHE=∠B，通过在Rt△ACD与Rt△ACD中，证明∠ACD=∠B、∠AHE=∠ACD即可得．
解答：解：过F做FH⊥AB且交于点H，连接EH，
在△ACF与△AHF中
∵AF平分∠CAB交CD于E ，
又∵AF=AF，
∴△ACF≌△AHF，
∴AC=AH，
同理在△ACE与△AHE中，△ACE≌△AHE，
可知CE=EH，∠ACE=∠AHE，
在Rt△ACD中，∠CAD+∠ACD=90°，
在Rt△ABC中，∠CAB+∠B=90°，
又∵∠CAD与∠CAB为同一角，
∴∠ACD=∠B，
∴∠AHE=∠B，
∴EH∥BC，
∵CD⊥AB，FH⊥AB，
∴CD∥FH，
∴四边形CEHF为菱形，四边形EGBH为平行四边形，
∴CF=EH=，EH=GB，
∴CF=GB．
故选B．
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点评：本题考查全等三角形的性质与判定、角平分线的性质与判定、菱形的性质与判定、直角三角形的性质．难点在于恰当添加辅助线FH、EH，根据题意证明菱形CEHF，平行四边形EHBG．此类题学生丢分率较高，需注意．
2、如图所示，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分腰AB，若AC=CD，AB∥CD，则∠A的度数为（ ）
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A、36° B、72°
C、120° D、44°
考点：等腰三角形的性质；菱形的判定与性质。
专题：计算题。
分析：先证明四边形ABDC是菱形，再根据DE是AB的垂直平分线，得到△ABD是正三角形，此题就不难求解了．
解答：解：如图，连接AD，BD，
∵AB=AC，AC=CD，
∴AB=CD，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABDC是菱形，
∵DE垂直平分腰AB，
∴AD=BD=AB，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠DAB=60°，
∴∠A=2∠DAB=120°，
∴∠A的度数为120°．
故选C．
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点评：本题考查了菱形的判定和性质，四边都相等的四边形是菱形，这是解决本题的关键．
3、（2011 莱芜）如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB=CD．下列结论：①EG⊥FH，②四边形EFGH是矩形，③HF平分∠EHG，④EG=（BC﹣AD），⑤四边形EFGH是菱形．其中正确的个数是（ ）
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A、1 B、2
C、3 D、4
考点：三角形中位线定理；菱形的判定与性质。
专题：推理填空题。
分析：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半与AB=CD可得四边形EFGH是菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直平分，并且平分每一组对角的性质对各小题进行判断．
解答：解：∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，
∴EF=CD，FG=AB，GH=CD，HE=AB，
∵AB=CD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFH是菱形，
∴①EG⊥FH，正确；
②四边形EFGH是矩形，错误；
③HF平分∠EHG，正确；
④EG=（BC﹣AD），只有AD∥BC是才可以成立，而本题AD与BC很显然不平行，故本小题错误；
⑤四边形EFGH是菱形，正确．
综上所述，①③⑤共3个正确．
故选C．
点评：本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质，根据三角形的中位线定理与AB=CD判定四边形EFGH是菱形是解答本题的关键．
4、（2006 海南）如图，在菱形ABCD中，E，F，F，H分别是菱形四边的中点，连接EG与FH交于点O，则图中共有菱形（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
A、4个 B、5个
C、6个 D、7个
考点：菱形的判定与性质；三角形中位线定理。
分析：由菱形的性质和判定，图中的菱形由：四边形AEOH，HOGD，EOFB，OFGC和ABCD，共5个．
解答：解：由菱形的性质可知，AE=AH=HD=GD=CG=CF=FB=BE=OE=OG=OH=OF，
∴四边形AEOH，HOGD，EOFB，OFGC和ABCD均为菱形，共5个．
故选B．
点评：本题考查了菱形的判定：四边相等的四边形是菱形．
5、（2002 杭州）如图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD等于（ ）
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A、4 B、3
C、2 D、1
考点：菱形的判定与性质；含30度角的直角三角形。
分析：过点P做PM∥CO交AO于M，可得∠CPO=∠POD，再结合题目推出四边形COMP为菱形，即可得PM=4，又由CO∥PM可得∠PMD=30°，由直角三角形性质即可得PD．
解答：解：如图：过点P做PM∥CO交AO于M，PM∥CO
∴∠CPO=∠POD，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA
∴四边形COMP为菱形，PM=4
PM∥CO ∠PMD=∠AOP+∠BOP=30°，
又∵PD⊥OA
∴PD=PC=2．
令解：作CN⊥OA．
∴CN=OC=2，
又∵∠CNO=∠PDO，
∴CN∥PD，
∵PC∥OD，
∴四边形CNDP是长方形，
∴PD=CN=2
故选C．
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点评：本题运用了平行线和直角三角形的性质，并且需通过辅助线求解，难度中等偏上．
6、（1999 福州）下列语句中，正确的个数是（ ）
（1）等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线；（2）菱形的对角线相等且互相平分；（3）相等的角是对顶角；（4）顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形．
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点：菱形的判定与性质；相交线；等腰三角形的性质。
专题：开放型。
分析：根据等腰三角形、菱形等相关知识进行解答．
解答：解：（1）等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线，根据等腰三角形三线合一的性质，知：此直线也垂直平分底边，故（1）正确；
（2）菱形的对角线互相垂直平分，但不相等，故（2）错误；
（3）对顶角相等，但相等的角不是对顶角，故（3）错误；
（4）矩形的对角线相等，根据三角形中位线定理，可证得顺次连接矩形各中点所得四边形的四边都相等，由此可判定所得四边形是菱形，故（4）正确；
所以正确的结论是（1）（4），故选B．
点评：此题主要考查的是等腰三角形的性质、菱形的判定和性质，熟练掌握各图形的性质是解答此类题目的关键．
7、下列说法中，错误的是（ ）
A、平行四边形的对角线互相平分 B、对角线互相平分的四边形是平行四边形
C、菱形的对角线互相垂直 D、对角线互相垂直的四边形是菱形
考点：菱形的判定与性质；平行四边形的判定与性质。
分析：根据平行四边形和菱形的性质对各个选项进行分析从而得到最后答案．
解答：解：根据平行四边形和菱形的性质得到ABC均正确，而D不正确，因为对角线互相垂直的四边形也可能是正方形，故选D．
点评：主要考查了平行四边形和特殊平行四边形的特性，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．菱形的特性是：四边相等，对角线互相垂直平分．
8、分别顺次连接①等腰梯形；②矩形；③菱形；④对角线相等的四边形“各边中点所构成的四边形”中，为菱形的是（ ）
A、① B、②
C、①②③ D、①②④
考点：菱形的判定与性质；三角形中位线定理。
分析：根据菱形的判定，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，只要保证四边形的对角线相等即可．
解答：解：∵连接任意四边形的四边中点都是平行四边形，
∴对角线相等的四边形有：①②④，
故选D．
点评：本题主要利用菱形的四条边都相等及连接任意四边形的四边中点都是平行四边形来解决．
9、如图，O既是AB的中点，又是CD的中点，并且AB⊥CD．连接AC、BC、AD、BD，则这四条线段的大小关系是（ ）
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A、全相等 B、互不相等
C、只有两条相等 D、不能确定
考点：菱形的判定与性质；比较线段的长短；垂线。
分析：由题意可得，四边形ACBD中，对角线互相平分，且互相垂直，故四边形ACBD是菱形，故有AC、BC、AD、BD全相等．
解答：解：根据题意，结合图形，可知：四边形ACBD是菱形，
故AC=BC=AD=BD．
故选A．
点评：本题考查线段长短的度量、比较，要求学生充分利用四边形的有关性质，得到线段长短的结论．
10、如图，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分（图中阴影部分）的面积是（ ）
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A、2 B、
C、1 D、
考点：菱形的判定与性质；含30度角的直角三角形。
专题：计算题。
分析：因为在直角三角形中30度角对应的直角边是斜边的一半，已知菱形的高为1，可得边长为2，所以面积为2．
解答：解：因为在直角三角形中30度角对应的直角边是斜边的一半，
在题目中的菱形中，已知菱形的高为1，可得边长为2，
所以面积为2．
故选：A．
点评：本题考查了菱形的判定与性质，属于基础题，关键是掌握在直角三角形中30度角对应的直角边是斜边的一半．
11、如图，D是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点．下列结论：①S△ADE=S△EOD；②四边形BFDE也是菱形；③四边形ABCD的面积为EF×BD；④∠ADE=∠EDO；⑤△DEF是轴对称图形．其中正确的结论有（ ）
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A、5个 B、4个
C、3个 D、2个
考点：菱形的判定与性质。
分析：①正确，根据三角形的面积公式可得到结论．
②根据已知条件利用菱形的判定定理可证得其正确．
③正确，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求得．
④不正确，根据已知可求得∠FDO=∠EDO，而无法求得∠ADE=∠EDO．
⑤正确，由已知可证得△DEO≌△DFO，从而可推出结论正确．
解答：解：①正确
∵E、F分别是OA、OC的中点．
∴AE=OE．
∵S△ADE=×AE×OD=×OE×OD=S△EOD∴S△ADE=S△EOD．②正确
∵四边形ABCD是菱形，E，F分别是OA，OC的中点．
∴EF⊥OD，OE=OF．
∵OD=OD．
∴DE=DF．
同理：BE=BF
∴四边形BFDE是菱形．
③正确
∵菱形ABCD的面积=AC×BD．
∵E、F分别是OA、OC的中点．
∴EF=AC．
∴菱形ABCD的面积=EF×BD．
④不正确
由已知可求得∠FDO=∠EDO，而无法求得∠ADE=∠EDO．
⑤正确
∵EF⊥OD，OE=OF，OD=OD．
∴△DEO≌△DFO．
∴△DEF是轴对称图形．
∴正确的结论有四个，分别是①②③⑤，故选B．
点评：此题主要考查学生对菱形的性质等知识的理解及运用能力．
12、如图，在平行四边形ABCD和平行四边形BEFG中，AB=AD，BG=BE，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，则=（ ）
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A、 B、
C、 D、
考点：菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质。
分析：可通过构建全等三角形求解．延长GP交DC于H，可证三角形DHP和PGF全等，已知的有DC∥GF，根据平行线间的内错角相等可得出两三角形中两组对应的角相等，又有DP=PF，因此构成了全等三角形判定条件中的（AAS），于是两三角形全等，那么HP=PG，可根据三角函数来得出PG、CP的比例关系．
解答：解：延长GP交DC于点H，
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∵AB=AD，BG=BE，
∴平行四边形ABCD和平行四边形BEFG都是菱形，
∵P是线段DF的中点，
∴FP=DP，
由题意可知DC∥GF，
∴∠GFP=∠HDP，
∵∠GPF=∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，
∴GP=HP，GF=HD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，
∴CG=CH，
∴△CHG是等腰三角形，
∴PG⊥PC，（三线合一）
又∵∠ABC=∠BEF=60°，
∴∠GCP=60°，
∴=．
故选B．
点评：此题主要考查了菱形的判定与性质，以及全等三角形的判定等知识点，根据已知和所求的条件正确的构建出相关的全等三角形是解题的关键．
13、下列说法正确的是（ ）
A、对角线垂直的四边形是菱形 B、对角线互相平分的四边形是菱形
C、菱形的对角线相等且互相平分 D、菱形的对角线互相垂直且平分
考点：菱形的判定与性质。
分析：利用菱形的对角线性质与利用对角线判定四边形是菱形的方法分别求出即可．
解答：解：A．对角线垂直的四边形是菱形，根据对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，故此选项错误；
B．对角线互相平分的四边形是菱形，根据对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，故此选项错误；
C．菱形的对角线相等且互相平分，根据菱形对角线垂直且互相平分，故此选项错误；
D．菱形的对角线互相垂直且平分，故此选项正确．
故选：D．
点评：此题主要考查了菱形的性质与判定，熟练掌握菱形对角线的性质是解题关键．
14、如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
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A、4 B、6
C、8 D、12
考点：菱形的判定与性质。
专题：计算题。
分析：在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，利用平行线的性质可证△ACD，△ABC为等腰三角形，又AB=CD，则四边形ABCD为菱形，根据菱形的性质求周长．
解答：解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠1=∠4，∠2=∠3，
∵AC平分∠DAB，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AD=DC，
四边形ABCD为菱形，
∴四边形ABCD的周长=4×2=8．
故选C．
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点评：本题考查了菱形的判定与性质．关键是根据平行四边形的性质，AC平分∠DAB，得出等腰三角形．
15、如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点，若∠AEF=54°，则∠B=（ ）
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A、54° B、60°
C、66° D、72°
考点：菱形的判定与性质；平行四边形的性质。
专题：计算题。
分析：过F作AB、CD的平行线FG，由于F是AD的中点，那么G是BC的中点，即Rt△BCE斜边上的中点，由此可得BC=2EG=2FG，即△GEF、△BEG都是等腰三角形，因此求∠B的度数，只需求得∠BEG的度数即可；易知四边形ABGF是平行四边形，得∠EFG=∠AEF，由此可求得∠FEG的度数，即可得到∠AEG的度数，根据邻补角的定义可得∠BEG的值，由此得解．
解答：解：
过F作FG∥AB∥CD，交BC于G；
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则四边形ABGF是平行四边形，所以AF=BG，即G是BC的中点；
连接EG，在Rt△BEC中，EG是斜边上的中线，则BG=GE=FG=BC；
∵AE∥FG，∴∠EFG=∠AEF=∠FEG=54°，
∴∠AEG=∠AEF+∠FEG=108°，
∴∠B=∠BEG=180°﹣108°=72°．
故选D．
点评：此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定和性质，正确地构造出与所求相关的等腰三角形是解决问题的关键．
16、如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合）且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是（ ）
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A、2 B、
C、3 D、
考点：菱形的判定与性质；三角形的面积。
专题：计算题。
分析：设AP，EF交于O点，四边形AFEP为平行四边形，可得△AEO的面积=△FOP的面积，所以阴影部分的面积等于△ABC的面积，因为△ABC的面积是菱形面积的一半，根据已知可求得菱形的面积则不难求得阴影部分的面积．
解答：解：设AP，EF交于O点，
∵四边形AFEP为平行四边形，∴△AEO的面积=△FOP的面积，
∴阴影部分的面积等于△ABC的面积．
∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，
菱形ABCD的面积=AC BD=5，
∴图中阴影部分的面积为5÷2=2.5．
故选：B．
点评：本题主要考查了菱形的面积的计算方法，根据菱形是中心对称图形，得到阴影部分的面积等于菱形面积的一半是解题的关键．
17、如图，已知四边形ABCD的四边都相等，等边△AEF的顶点E、F分别在BC、CD上，且AE=AB，则∠C=（ ）
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A、100° B、105°
C、110° D、120°
考点：菱形的判定与性质；解一元一次方程；平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质。
专题：计算题。
分析：根据四边形ABCD的四边都相等得出菱形ABCD，根据菱形的性质推出∠B=∠D，∠A=∠C，AD∥BC，根据平行线的性质得出∠DAB+∠B=180°，根据等边三角形的性质得出∠AEF=∠AFE=60°，AF=AD，根据等边对等角得出∠B=∠AEB，∠D=∠AFD，设∠BAE=∠FAD=x，根据三角形的内角和定理得出方程x+2（180°﹣60°﹣2x）=180°，求出方程的解即可求出答案．
解答：解：∵四边形ABCD的四边都相等，
∴四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D，∠A=∠C，AD∥BC，
∴∠DAB+∠B=180°，
∵△AEF是等边三角形，AE=AB，
∴∠AEF=∠AFE=60°，AF=AD，
∴∠B=∠AEB，∠D=∠AFD，
由三角形的内角和定理得：∠BAE=∠FAD，
设∠BAE=∠FAD=x，
则∠D=∠AFD=180°﹣60°﹣2x，
∵∠FAD+∠D+∠AFD=180°，
∴x+2（180°﹣60°﹣2x）=180°，
解得：x=20°，
∴∠C=∠BAD=2×20°+60°=100°，
故选A．
点评：本题主要考查对菱形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识点的理解和掌握，设∠BAE=∠FAD=x，根据这些性质得出∠D=∠AFD=180°﹣60°﹣2x是解此题的关键，题型较好，难度适中．
18、如图△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AE=4cm，那么四边形AEDF周长为（ ）
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A、12cm B、16cm
C、20cm D、22cm
考点：菱形的判定与性质；平行四边形的性质。
专题：计算题。
分析：由角平分线的定义，可得∠EAD=∠DAF=∠ADE，进而可得AE=ED，由平行四边形的性质可得答案．
解答：解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA=∠FAD，
∵∠EAD=∠FAD，
∴∠EAD=∠EDA，
∴EA=ED，
∴平行四边形AEDF是菱形．
∴四边形AEDF周长为4AE=16．
故选B．
点评：本题考查菱形的判定和平行四边形的性质．运用了菱形的判定方法“一组邻边相等的平行四边形是菱形”．
19、下列命题中，真命题是（ ）
A、对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B、有一条对角线平分对角的四边形是菱形
C、菱形是对角线互相垂直平分的四边形 D、菱形的对角线相等
考点：菱形的判定与性质。
分析：根据菱形的判定与性质进行判断．
解答：解：A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故此选项错误；
B、有一条对角线平分对角的四边形不一定是菱形，此选项错误；
C、菱形的对角线是互相垂直平分的四边形，此选项正确；
D、菱形的对角线不一定相等，此选项错误．
故选C．
点评：本题考查了菱形的判定与性质．解题的关键是熟练掌握菱形有关判定与性质．
二、填空题（共5小题）
20、一个平行四边形的一边长是9，两条对角线的长分别是12和6，则此平行四边形的面积为 36 ．
考点：勾股定理；菱形的判定与性质。
专题：计算题；数形结合。
分析：由题意画出相应的图形，得到平行四边形的边BC=9，对角线AC和BD分别为12和6，根据平行四边形的对角线互相平分，求出OB及OC的长，计算发现OC2+OB2=BC2，利用勾股定理的逆定理得到∠BOC为直角，根据垂直定义得到AC与BD垂直，根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形得到四边形ABCD为菱形，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，由两对角线的长即可求出菱形ABCD的面积．
解答：解：根据题意画出相应的图形，如图所示：
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则有平行四边形ABCD中，BC=9，AC=12，BD=6，
∴OC=AC=6，OB=BD=3，
∵OC2+OB2=36+45=81，BC2=81，
∴OC2+OB2=BC2，
∴∠BOC=90°，即AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形，
则菱形ABCD的面积S=BD OC+BD OA
=BD（OC+OA）
=AC BD=×12×6=36．
故答案为：36．
点评：此题考查了勾股定理的逆定理，菱形的判定与性质，以及菱形面积的求法，若四边形的对角线互相垂直，可得到其面积等于对角线乘积的一半，而菱形的对角线互相垂直，故菱形的面积也可以用对角线乘积的一半来求．
21、如图，在平行四边形ABCD中，AB=4a，E是BC的中点，BE=2a，∠BAD=120°，P是BD上的动点，则PE+PC的最小值为 2a
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考点：平行四边形的性质；菱形的判定与性质；轴对称-最短路线问题。
分析：根据菱形的判定，得出平行四边形ABCD为菱形，作出E关于BD的对称点E′，转化为线段长度的问题，再根据等边三角形的性质判断出△BCE′为直角三角形，利用勾股定理即可求出CE′的长．
解答：解：∵E是BC的中点，BE=2a，
∴BC=2BE=2×2a=4a，
故BC=AC，
∴平行四边形ABCD为菱形．
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD是∠ABC的平分线．
作E关BD的对称点E′，
连接CE′，PE，
则PE=PE′，
此时，PE+PC=PE′+PC=CE′，
CE′即为PE+PC的最小值．
∵∠A=120°，
∴∠ABD=∠ADB=180°﹣120°2=30°，
∴∠ABC=60°，
又∵BE′=BE，
∴△E′BE为正三角形，EE′=2a，∠ABE=60°，
故EE′=EC，
∠EE′C=∠ECE′=30°，
∴∠BE′C=60°+30°=90°，
在Rt△BCE′中，
CE′=（4a）2﹣（2a）2=2a．
故答案为2a．
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点评：此题考查了轴对称﹣﹣﹣最短路径问题，内容涉及菱形的性质和判定、等边三角形的性质和判定及勾股定理，综合性较强．
22、小明借助没有刻度的直尺，按照下图的顺序作出了∠O的平分线OP，他这样做的数学原理是 菱形的每一条对角线都平分它的一组对角 ．
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考点：菱形的判定与性质。
专题：作图题。
分析：首先证明四边形AOBP是菱形，然后根据菱形的每一条对角线都平分它的一组对角，得出OP平分∠AOB．
解答：解：如图．
∵直尺的对边互相平行，
∴AP∥OB，OA∥BP，
∴四边形AOBP是平行四边形．
∵直尺的宽度相同，
∴AP与OB间的距离=OA与BP间的距离，
∵ AOBP的面积不变，
∴OA=OB，
∴ AOBP是菱形，
∴OP平分∠AOB．
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点评：本题考查了菱形的判定、性质及在实际中的应用．
23、用两块完全重合的等腰三角形纸片能拼出不同形状的图形，试写出一个 菱形或平行四边形或两组邻边相等的四边形 ．
考点：菱形的判定与性质；等腰三角形的性质。
专题：开放型。
分析：根据等腰三角形的性质拼即可．
解答：解：根据等腰三角形的性质得，可拼成：菱形或平行四边形或两组邻边相等的四边形．
点评：此题主要考查等腰三角形的性质的运用．
24、如图，凸五边形ABCDE中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=2，CD=DE=4，则它的面积为 7 ．
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考点：菱形的判定与性质；等边三角形的判定与性质。
专题：计算题。
分析：作辅助线延长EA，BC相交于点F，CG⊥EF于G，BH⊥EF于H，因为∠EAB=∠CBA=120°，可得∠FAB=∠FBA=60°，可得△FAB为等边三角形，容易证明四边形EFCD是菱形，所以SABCDE=SCDEF﹣S△ABF由此即可求解．
解答：解：如图，延长EA，BC相交于点F，CG⊥EF于G，BH⊥EF于H，
因为∠EAB=∠CBA=120°，
所以∠FAB=∠FBA=60°，
所以△FAB为等边三角形，
AF=FB=AB=2，
所以CD=DE=EF=FC=4，
所以四边形EFCD是菱形，
所以SABCDE=SCDEF﹣S△ABF
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点评：本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
三、解答题（共6小题）
25、已知：如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，O为BD的中点，EF⊥BD于点O，与AD，BC分别交于点E，F．
求证：
（1）△BOF≌△DOE．
（2）DE=DF．
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考点：全等三角形的判定与性质；平行线的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质。
专题：证明题。
分析：（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，推出∠ADB=∠DBC，根据三角形全等的判定即可推出结论；
（2）先证四边形BEDF是平行四边形，根据EF⊥BD，得出菱形BEDF，根据菱形的性质即可得出答案．
解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵∠DOE=∠BOF，OB=OD，
∴△BOF≌△DOE．
（2）证明：连接BE， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
∵△BOF≌△DOE，
∴DE=BF，
∵DE‖BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD
∴平行四边形BEDF为菱形，
∴DE=DF．
点评：本题主要考查对平行四边形的性质和判定，平行线的性质，菱形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能灵活运用这些性质进行证明是证此题的关键，题型较好，难度适中．
26、已知，如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，点P从点A沿AB以每秒2cm的速度向点B运动，点Q从点C以每秒1cm的速度向点A运动，设点P、Q分别从点A、C同时出发，运动时间为t（秒）（0＜t＜6），回答下列问题：
（1）直接写出线段AP、AQ的长（含I的代数式表示）：AP= 2t ，AQ= 6﹣t ；
（2）设△APQ 的面积为S，写出S与t的函数关系式；
（3）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时间t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．
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考点：勾股定理；三角形的面积；菱形的判定与性质。
专题：动点型。
分析：（1）根据∠A=60°，AB=12cm，得出AC的长，进而得出AP=5﹣t，AQ=2t．
（2）过点P作PH⊥AC于H．由AP=2t，AH=t，得出PH=t，从而求得S与t的函数关系式；
（3）过点P作PM⊥AC于M，根据菱形的性质得PQ=PC，则可得出PN=QM=CM，求得t即可．
解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，
∴AC=6，
∴由题意知：AP=5﹣t，AQ=2t，
（2）如图①过点P作PH⊥AC于H．
∵∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，
∴∠B=30°，
∴∠HPA=30°，
∵AP=2t，AH=t，
∴PH=t，
∴S=×AQ×PH=×t×（6﹣t）=﹣t2+3t；
（3）当t=4时，四边形PQP′C是菱形，
证明：如图②过点P作PM⊥AC于M，
∵CQ=t，由（2）可知，AM=AP=tcm，
∴QC=AM，当PC=PQ时，即CM=MQ=AQ=AC=2时，
∴四边形PQP′C是菱形，
即当t=4时，四边形PQP′C是菱形．
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点评：此题主要考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、菱形的性质等知识点，是中考压轴题，难度偏大，正确利用菱形判定得出是解题关键．
27、如图，△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交线段DE的延长线相交于F点，取AF的中点G，如果BC=2AB．
求证：（1）四边形ABDF是菱形；
（2）AC=2DG．
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考点：三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质。
分析：（1）首先根据三角形的中位线定理，得DE∥AB，结合AF∥BC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判断该四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；
（2）根据菱形的性质可以进一步得到△FGD≌△FEA，则GD=AE，即可证明结论．
解答：证明：（1）∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线（三角形中位线的定义），
∴DE∥AB，DE=AB（三角形中位线性质）．（1分）
∵AF∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形定义）．（1分）
∵BC=2AB，BC=2BD，
∴AB=BD．（1分）
∴四边形ABDF是菱形．（1分）
（2）∵四边形ABDF是菱形，
∴AF=AB=DF（菱形的四条边都相等）．
∵DE=AB，
∴EF=AF．（1分）
∵G是AF的中点．
∴GF=AF，
∴GF=EF．（1分）
∴△FGD≌△FEA，（1分）
∴GD=AE，
∵AC=2EC=2AE，
∴AC=2DG．（1分）
点评：此题综合运用了三角形的中位线定理、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质．
28、如图，四边形ABCD中，AB=CD，点E、F分别为AD、BC的中点，点G、H分别为对角线AC、BD的中点，连EF、GH．
（1）线段EF、GH有怎样的位置关系？并说明理由．
（2），若AB=10，求四边形EHFG的周长．
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考点：三角形中位线定理；菱形的判定与性质。
专题：证明题。
分析：（1）根据三角形的中位线定理，判断出EG、GF、FH、HE的数量关系，从而判断出四边形EGFH为菱形，进而得到线段EF、GH的位置关系；
（2）利用三角形的中位线定理，结合AB=10，即可求出EG的长，从而求出四边形EHFG的周长．
解答：解：（1）在△ABD中，
E为AD中点，G为BD中点，
则EG为△ABD的中位线，
∴EG=AB，
同理，HF=AB，GF=CD，EH=CD，
又∵AB=CD，
∴EG=GF=FH=HE，
∴四边形EGFH为菱形，
∴EF⊥GH．
（2）∵AB=10，EG为△ABD的中位线，
∴EG=5cm，
又∵四边形EGFH为菱形，
∴GF=FH=HE=EG=5cm，
∴四边形EHFG的周长为5×4=20cm．
点评：本题考查了三角形众位线定理，菱形的判定与性质，要注意观察，找到题中的三角形即可解答．
29、如图，已知O是 ABCD的对角线的交点，AC=6，BD=8，AB=5，请你算出四边形ABCD的周长．
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考点：平行四边形的性质；菱形的判定与性质。
分析：首先根据平行四边形的对角线互相平分，求得OA=3，OB=4．在三角形AOB中，根据勾股定理的逆定理可判定三角形AOB是直角三角形．再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，得到菱形ABCD．根据菱形的四条边都相等，从而求得该四边形的周长．
解答：解：由平行四边形的性质得：，
在△AOB中，∵OB2+OA2=AB2
∴△AOB是直角三角形
∴AC⊥BD
∴平行四边形ABCD是菱形
故此四边形的周长为20．
点评：此题综合运用了平行四边形的性质、勾股定理的逆定理以及菱形的判定和性质．
30、如图， ABCD中，E为BC中点，连接AE并延长交DC的延长线于F点，连接BF．
（1）求证：AB=CF；
（2）试猜想当AB与AC满足什么数量关系时，四边形ABFC是菱形？并说明理由．
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考点：平行四边形的性质；菱形的判定与性质。
分析：（1）根据平行四边形的性质可得到AB∥CD，从而可得到AB∥DF，根据平行线的性质可得到两组角相等，已知点E是BC的中点，从而可根据AAS来判定△BAE≌△CFE，根据全等三角形的对应边相等可证得AB=CF．
（2）由第（1）知AB=CF，已知AB∥DF，从而根据有一组边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABFC是平行四边形，再根据有一给邻边相等的平行四边形是菱形，从而不难推出AB与AC的数量关系．
解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵点F为DC的延长线上的一点，
∴AB∥DF，
∴∠BAE=∠CFE，∠ECF=∠EBA，
∵E为BC中点，
∴BE=CE，
∴△BAE≌△CFE，
∴AB=CF；
解：（2）∵AB=CF，AB∥DF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∴当AB=AC时，四边形ABFC是菱形．
点评：此题主要考查学生对平行四边形的性质，菱形的判定与性质的综合运用能力．
一、选择题（共19小题）
1、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，则CF与GB的大小关系是（ ）
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A、CF＞GB B、GB=CF
C、CF＜GB D、无法确定
2、如图所示，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分腰AB，若AC=CD，AB∥CD，则∠A的度数为（ ）
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A、36° B、72°
C、120° D、44°
3、（2011 莱芜）如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB=CD．下列结论：①EG⊥FH，②四边形EFGH是矩形，③HF平分∠EHG，④EG=（BC﹣AD），⑤四边形EFGH是菱形．其中正确的个数是（ ）
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A、1 B、2
C、3 D、4
4、（2006 海南）如图，在菱形ABCD中，E，F，F，H分别是菱形四边的中点，连接EG与FH交于点O，则图中共有菱形（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
A、4个 B、5个
C、6个 D、7个
5、（2002 杭州）如图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD等于（ ）
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A、4 B、3
C、2 D、1
6、（1999 福州）下列语句中，正确的个数是（ ）
（1）等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线；（2）菱形的对角线相等且互相平分；（3）相等的角是对顶角；（4）顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形．
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
7、下列说法中，错误的是（ ）
A、平行四边形的对角线互相平分 B、对角线互相平分的四边形是平行四边形
C、菱形的对角线互相垂直 D、对角线互相垂直的四边形是菱形
8、分别顺次连接①等腰梯形；②矩形；③菱形；④对角线相等的四边形“各边中点所构成的四边形”中，为菱形的是（ ）
A、① B、②
C、①②③ D、①②④
9、如图，O既是AB的中点，又是CD的中点，并且AB⊥CD．连接AC、BC、AD、BD，则这四条线段的大小关系是（ ）
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A、全相等 B、互不相等
C、只有两条相等 D、不能确定
10、如图，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分（图中阴影部分）的面积是（ ）
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A、2 B、
C、1 D、
11、如图，D是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点．下列结论：①S△ADE=S△EOD；②四边形BFDE也是菱形；③四边形ABCD的面积为EF×BD；④∠ADE=∠EDO；⑤△DEF是轴对称图形．其中正确的结论有（ ）
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A、5个 B、4个
C、3个 D、2个
12、如图，在平行四边形ABCD和平行四边形BEFG中，AB=AD，BG=BE，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，则=（ ）
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A、 B、
C、 D、
13、下列说法正确的是（ ）
A、对角线垂直的四边形是菱形 B、对角线互相平分的四边形是菱形
C、菱形的对角线相等且互相平分 D、菱形的对角线互相垂直且平分
14、如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
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A、4 B、6
C、8 D、12
15、如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点，若∠AEF=54°，则∠B=（ ）
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A、54° B、60°
C、66° D、72°
16、如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合）且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是（ ）
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A、2 B、
C、3 D、
17、如图，已知四边形ABCD的四边都相等，等边△AEF的顶点E、F分别在BC、CD上，且AE=AB，则∠C=（ ）
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A、100° B、105°
C、110° D、120°
18、如图△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AE=4cm，那么四边形AEDF周长为（ ）
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A、12cm B、16cm
C、20cm D、22cm
19、下列命题中，真命题是（ ）
A、对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B、有一条对角线平分对角的四边形是菱形
C、菱形是对角线互相垂直平分的四边形 D、菱形的对角线相等
二、填空题（共5小题）
20、一个平行四边形的一边长是9，两条对角线的长分别是12和6，则此平行四边形的面积为 _________ ．
21、如图，在平行四边形ABCD中，AB=4a，E是BC的中点，BE=2a，∠BAD=120°，P是BD上的动点，则PE+PC的最小值为 _________
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22、小明借助没有刻度的直尺，按照下图的顺序作出了∠O的平分线OP，他这样做的数学原理是 _________ ．
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23、用两块完全重合的等腰三角形纸片能拼出不同形状的图形，试写出一个 _________ ．
24、如图，凸五边形ABCDE中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=2，CD=DE=4，则它的面积为 _________ ．
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三、解答题（共6小题）
25、已知：如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，O为BD的中点，EF⊥BD于点O，与AD，BC分别交于点E，F．
求证：
（1）△BOF≌△DOE．
（2）DE=DF．
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26、已知，如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，点P从点A沿AB以每秒2cm的速度向点B运动，点Q从点C以每秒1cm的速度向点A运动，设点P、Q分别从点A、C同时出发，运动时间为t（秒）（0＜t＜6），回答下列问题：
（1）直接写出线段AP、AQ的长（含I的代数式表示）：AP= _________ ，AQ= _________ ；
（2）设△APQ 的面积为S，写出S与t的函数关系式；
（3）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时间t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．
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27、如图，△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交线段DE的延长线相交于F点，取AF的中点G，如果BC=2AB．
求证：（1）四边形ABDF是菱形；
（2）AC=2DG．
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28、如图，四边形ABCD中，AB=CD，点E、F分别为AD、BC的中点，点G、H分别为对角线AC、BD的中点，连EF、GH．
（1）线段EF、GH有怎样的位置关系？并说明理由．
（2），若AB=10，求四边形EHFG的周长．
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29、如图，已知O是 ABCD的对角线的交点，AC=6，BD=8，AB=5，请你算出四边形ABCD的周长．
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30、如图， ABCD中，E为BC中点，连接AE并延长交DC的延长线于F点，连接BF．
（1）求证：AB=CF；
（2）试猜想当AB与AC满足什么数量关系时，四边形ABFC是菱形？并说明理由．
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答案与评分标准
一、选择题（共19小题）
1、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，则CF与GB的大小关系是（ ）
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A、CF＞GB B、GB=CF
C、CF＜GB D、无法确定
考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；菱形的判定与性质。
专题：几何综合题。
分析：用观察和作图的方法可以猜测CF=GB．下面只要证明CF=GB即可．由条件∠ACB=90°，AF平分∠CAB，想到FH⊥AB，垂足为H，连接EH，易证菱形CEHF，平行四边形EHBG，故有CF=EH=GB，从而得证．要证明菱形CEHF，只需证明两对边平行，临边相等，根据菱形的定义即可证明．要证平行四边形EHBG，两对边平行即可．关于证明EH∥BC，只需证明∠AHE=∠B，通过在Rt△ACD与Rt△ACD中，证明∠ACD=∠B、∠AHE=∠ACD即可得．
解答：解：过F做FH⊥AB且交于点H，连接EH，
在△ACF与△AHF中
∵AF平分∠CAB交CD于E ，
又∵AF=AF，
∴△ACF≌△AHF，
∴AC=AH，
同理在△ACE与△AHE中，△ACE≌△AHE，
可知CE=EH，∠ACE=∠AHE，
在Rt△ACD中，∠CAD+∠ACD=90°，
在Rt△ABC中，∠CAB+∠B=90°，
又∵∠CAD与∠CAB为同一角，
∴∠ACD=∠B，
∴∠AHE=∠B，
∴EH∥BC，
∵CD⊥AB，FH⊥AB，
∴CD∥FH，
∴四边形CEHF为菱形，四边形EGBH为平行四边形，
∴CF=EH=，EH=GB，
∴CF=GB．
故选B．
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点评：本题考查全等三角形的性质与判定、角平分线的性质与判定、菱形的性质与判定、直角三角形的性质．难点在于恰当添加辅助线FH、EH，根据题意证明菱形CEHF，平行四边形EHBG．此类题学生丢分率较高，需注意．
2、如图所示，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分腰AB，若AC=CD，AB∥CD，则∠A的度数为（ ）
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A、36° B、72°
C、120° D、44°
考点：等腰三角形的性质；菱形的判定与性质。
专题：计算题。
分析：先证明四边形ABDC是菱形，再根据DE是AB的垂直平分线，得到△ABD是正三角形，此题就不难求解了．
解答：解：如图，连接AD，BD，
∵AB=AC，AC=CD，
∴AB=CD，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABDC是菱形，
∵DE垂直平分腰AB，
∴AD=BD=AB，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠DAB=60°，
∴∠A=2∠DAB=120°，
∴∠A的度数为120°．
故选C．
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点评：本题考查了菱形的判定和性质，四边都相等的四边形是菱形，这是解决本题的关键．
3、（2011 莱芜）如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，且AB=CD．下列结论：①EG⊥FH，②四边形EFGH是矩形，③HF平分∠EHG，④EG=（BC﹣AD），⑤四边形EFGH是菱形．其中正确的个数是（ ）
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A、1 B、2
C、3 D、4
考点：三角形中位线定理；菱形的判定与性质。
专题：推理填空题。
分析：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半与AB=CD可得四边形EFGH是菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直平分，并且平分每一组对角的性质对各小题进行判断．
解答：解：∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，
∴EF=CD，FG=AB，GH=CD，HE=AB，
∵AB=CD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFH是菱形，
∴①EG⊥FH，正确；
②四边形EFGH是矩形，错误；
③HF平分∠EHG，正确；
④EG=（BC﹣AD），只有AD∥BC是才可以成立，而本题AD与BC很显然不平行，故本小题错误；
⑤四边形EFGH是菱形，正确．
综上所述，①③⑤共3个正确．
故选C．
点评：本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质，根据三角形的中位线定理与AB=CD判定四边形EFGH是菱形是解答本题的关键．
4、（2006 海南）如图，在菱形ABCD中，E，F，F，H分别是菱形四边的中点，连接EG与FH交于点O，则图中共有菱形（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
A、4个 B、5个
C、6个 D、7个
考点：菱形的判定与性质；三角形中位线定理。
分析：由菱形的性质和判定，图中的菱形由：四边形AEOH，HOGD，EOFB，OFGC和ABCD，共5个．
解答：解：由菱形的性质可知，AE=AH=HD=GD=CG=CF=FB=BE=OE=OG=OH=OF，
∴四边形AEOH，HOGD，EOFB，OFGC和ABCD均为菱形，共5个．
故选B．
点评：本题考查了菱形的判定：四边相等的四边形是菱形．
5、（2002 杭州）如图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD等于（ ）
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A、4 B、3
C、2 D、1
考点：菱形的判定与性质；含30度角的直角三角形。
分析：过点P做PM∥CO交AO于M，可得∠CPO=∠POD，再结合题目推出四边形COMP为菱形，即可得PM=4，又由CO∥PM可得∠PMD=30°，由直角三角形性质即可得PD．
解答：解：如图：过点P做PM∥CO交AO于M，PM∥CO
∴∠CPO=∠POD，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA
∴四边形COMP为菱形，PM=4
PM∥CO ∠PMD=∠AOP+∠BOP=30°，
又∵PD⊥OA
∴PD=PC=2．
令解：作CN⊥OA．
∴CN=OC=2，
又∵∠CNO=∠PDO，
∴CN∥PD，
∵PC∥OD，
∴四边形CNDP是长方形，
∴PD=CN=2
故选C．
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点评：本题运用了平行线和直角三角形的性质，并且需通过辅助线求解，难度中等偏上．
6、（1999 福州）下列语句中，正确的个数是（ ）
（1）等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线；（2）菱形的对角线相等且互相平分；（3）相等的角是对顶角；（4）顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形．
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点：菱形的判定与性质；相交线；等腰三角形的性质。
专题：开放型。
分析：根据等腰三角形、菱形等相关知识进行解答．
解答：解：（1）等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线，根据等腰三角形三线合一的性质，知：此直线也垂直平分底边，故（1）正确；
（2）菱形的对角线互相垂直平分，但不相等，故（2）错误；
（3）对顶角相等，但相等的角不是对顶角，故（3）错误；
（4）矩形的对角线相等，根据三角形中位线定理，可证得顺次连接矩形各中点所得四边形的四边都相等，由此可判定所得四边形是菱形，故（4）正确；
所以正确的结论是（1）（4），故选B．
点评：此题主要考查的是等腰三角形的性质、菱形的判定和性质，熟练掌握各图形的性质是解答此类题目的关键．
7、下列说法中，错误的是（ ）
A、平行四边形的对角线互相平分 B、对角线互相平分的四边形是平行四边形
C、菱形的对角线互相垂直 D、对角线互相垂直的四边形是菱形
考点：菱形的判定与性质；平行四边形的判定与性质。
分析：根据平行四边形和菱形的性质对各个选项进行分析从而得到最后答案．
解答：解：根据平行四边形和菱形的性质得到ABC均正确，而D不正确，因为对角线互相垂直的四边形也可能是正方形，故选D．
点评：主要考查了平行四边形和特殊平行四边形的特性，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．菱形的特性是：四边相等，对角线互相垂直平分．
8、分别顺次连接①等腰梯形；②矩形；③菱形；④对角线相等的四边形“各边中点所构成的四边形”中，为菱形的是（ ）
A、① B、②
C、①②③ D、①②④
考点：菱形的判定与性质；三角形中位线定理。
分析：根据菱形的判定，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，只要保证四边形的对角线相等即可．
解答：解：∵连接任意四边形的四边中点都是平行四边形，
∴对角线相等的四边形有：①②④，
故选D．
点评：本题主要利用菱形的四条边都相等及连接任意四边形的四边中点都是平行四边形来解决．
9、如图，O既是AB的中点，又是CD的中点，并且AB⊥CD．连接AC、BC、AD、BD，则这四条线段的大小关系是（ ）
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A、全相等 B、互不相等
C、只有两条相等 D、不能确定
考点：菱形的判定与性质；比较线段的长短；垂线。
分析：由题意可得，四边形ACBD中，对角线互相平分，且互相垂直，故四边形ACBD是菱形，故有AC、BC、AD、BD全相等．
解答：解：根据题意，结合图形，可知：四边形ACBD是菱形，
故AC=BC=AD=BD．
故选A．
点评：本题考查线段长短的度量、比较，要求学生充分利用四边形的有关性质，得到线段长短的结论．
10、如图，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分（图中阴影部分）的面积是（ ）
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A、2 B、
C、1 D、
考点：菱形的判定与性质；含30度角的直角三角形。
专题：计算题。
分析：因为在直角三角形中30度角对应的直角边是斜边的一半，已知菱形的高为1，可得边长为2，所以面积为2．
解答：解：因为在直角三角形中30度角对应的直角边是斜边的一半，
在题目中的菱形中，已知菱形的高为1，可得边长为2，
所以面积为2．
故选：A．
点评：本题考查了菱形的判定与性质，属于基础题，关键是掌握在直角三角形中30度角对应的直角边是斜边的一半．
11、如图，D是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点，E、F分别是OA、OC的中点．下列结论：①S△ADE=S△EOD；②四边形BFDE也是菱形；③四边形ABCD的面积为EF×BD；④∠ADE=∠EDO；⑤△DEF是轴对称图形．其中正确的结论有（ ）
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A、5个 B、4个
C、3个 D、2个
考点：菱形的判定与性质。
分析：①正确，根据三角形的面积公式可得到结论．
②根据已知条件利用菱形的判定定理可证得其正确．
③正确，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求得．
④不正确，根据已知可求得∠FDO=∠EDO，而无法求得∠ADE=∠EDO．
⑤正确，由已知可证得△DEO≌△DFO，从而可推出结论正确．
解答：解：①正确
∵E、F分别是OA、OC的中点．
∴AE=OE．
∵S△ADE=×AE×OD=×OE×OD=S△EOD∴S△ADE=S△EOD．②正确
∵四边形ABCD是菱形，E，F分别是OA，OC的中点．
∴EF⊥OD，OE=OF．
∵OD=OD．
∴DE=DF．
同理：BE=BF
∴四边形BFDE是菱形．
③正确
∵菱形ABCD的面积=AC×BD．
∵E、F分别是OA、OC的中点．
∴EF=AC．
∴菱形ABCD的面积=EF×BD．
④不正确
由已知可求得∠FDO=∠EDO，而无法求得∠ADE=∠EDO．
⑤正确
∵EF⊥OD，OE=OF，OD=OD．
∴△DEO≌△DFO．
∴△DEF是轴对称图形．
∴正确的结论有四个，分别是①②③⑤，故选B．
点评：此题主要考查学生对菱形的性质等知识的理解及运用能力．
12、如图，在平行四边形ABCD和平行四边形BEFG中，AB=AD，BG=BE，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，则=（ ）
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A、 B、
C、 D、
考点：菱形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质。
分析：可通过构建全等三角形求解．延长GP交DC于H，可证三角形DHP和PGF全等，已知的有DC∥GF，根据平行线间的内错角相等可得出两三角形中两组对应的角相等，又有DP=PF，因此构成了全等三角形判定条件中的（AAS），于是两三角形全等，那么HP=PG，可根据三角函数来得出PG、CP的比例关系．
解答：解：延长GP交DC于点H，
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∵AB=AD，BG=BE，
∴平行四边形ABCD和平行四边形BEFG都是菱形，
∵P是线段DF的中点，
∴FP=DP，
由题意可知DC∥GF，
∴∠GFP=∠HDP，
∵∠GPF=∠HPD，
∴△GFP≌△HDP，
∴GP=HP，GF=HD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，
∴CG=CH，
∴△CHG是等腰三角形，
∴PG⊥PC，（三线合一）
又∵∠ABC=∠BEF=60°，
∴∠GCP=60°，
∴=．
故选B．
点评：此题主要考查了菱形的判定与性质，以及全等三角形的判定等知识点，根据已知和所求的条件正确的构建出相关的全等三角形是解题的关键．
13、下列说法正确的是（ ）
A、对角线垂直的四边形是菱形 B、对角线互相平分的四边形是菱形
C、菱形的对角线相等且互相平分 D、菱形的对角线互相垂直且平分
考点：菱形的判定与性质。
分析：利用菱形的对角线性质与利用对角线判定四边形是菱形的方法分别求出即可．
解答：解：A．对角线垂直的四边形是菱形，根据对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，故此选项错误；
B．对角线互相平分的四边形是菱形，根据对角线垂直且互相平分的四边形是菱形，故此选项错误；
C．菱形的对角线相等且互相平分，根据菱形对角线垂直且互相平分，故此选项错误；
D．菱形的对角线互相垂直且平分，故此选项正确．
故选：D．
点评：此题主要考查了菱形的性质与判定，熟练掌握菱形对角线的性质是解题关键．
14、如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
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A、4 B、6
C、8 D、12
考点：菱形的判定与性质。
专题：计算题。
分析：在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，利用平行线的性质可证△ACD，△ABC为等腰三角形，又AB=CD，则四边形ABCD为菱形，根据菱形的性质求周长．
解答：解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠1=∠4，∠2=∠3，
∵AC平分∠DAB，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AD=DC，
四边形ABCD为菱形，
∴四边形ABCD的周长=4×2=8．
故选C．
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点评：本题考查了菱形的判定与性质．关键是根据平行四边形的性质，AC平分∠DAB，得出等腰三角形．
15、如图，在平行四边形ABCD中，BC=2AB，CE⊥AB于E，F为AD的中点，若∠AEF=54°，则∠B=（ ）
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A、54° B、60°
C、66° D、72°
考点：菱形的判定与性质；平行四边形的性质。
专题：计算题。
分析：过F作AB、CD的平行线FG，由于F是AD的中点，那么G是BC的中点，即Rt△BCE斜边上的中点，由此可得BC=2EG=2FG，即△GEF、△BEG都是等腰三角形，因此求∠B的度数，只需求得∠BEG的度数即可；易知四边形ABGF是平行四边形，得∠EFG=∠AEF，由此可求得∠FEG的度数，即可得到∠AEG的度数，根据邻补角的定义可得∠BEG的值，由此得解．
解答：解：
过F作FG∥AB∥CD，交BC于G；
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则四边形ABGF是平行四边形，所以AF=BG，即G是BC的中点；
连接EG，在Rt△BEC中，EG是斜边上的中线，则BG=GE=FG=BC；
∵AE∥FG，∴∠EFG=∠AEF=∠FEG=54°，
∴∠AEG=∠AEF+∠FEG=108°，
∴∠B=∠BEG=180°﹣108°=72°．
故选D．
点评：此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定和性质，正确地构造出与所求相关的等腰三角形是解决问题的关键．
16、如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合）且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是（ ）
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A、2 B、
C、3 D、
考点：菱形的判定与性质；三角形的面积。
专题：计算题。
分析：设AP，EF交于O点，四边形AFEP为平行四边形，可得△AEO的面积=△FOP的面积，所以阴影部分的面积等于△ABC的面积，因为△ABC的面积是菱形面积的一半，根据已知可求得菱形的面积则不难求得阴影部分的面积．
解答：解：设AP，EF交于O点，
∵四边形AFEP为平行四边形，∴△AEO的面积=△FOP的面积，
∴阴影部分的面积等于△ABC的面积．
∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，
菱形ABCD的面积=AC BD=5，
∴图中阴影部分的面积为5÷2=2.5．
故选：B．
点评：本题主要考查了菱形的面积的计算方法，根据菱形是中心对称图形，得到阴影部分的面积等于菱形面积的一半是解题的关键．
17、如图，已知四边形ABCD的四边都相等，等边△AEF的顶点E、F分别在BC、CD上，且AE=AB，则∠C=（ ）
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A、100° B、105°
C、110° D、120°
考点：菱形的判定与性质；解一元一次方程；平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质。
专题：计算题。
分析：根据四边形ABCD的四边都相等得出菱形ABCD，根据菱形的性质推出∠B=∠D，∠A=∠C，AD∥BC，根据平行线的性质得出∠DAB+∠B=180°，根据等边三角形的性质得出∠AEF=∠AFE=60°，AF=AD，根据等边对等角得出∠B=∠AEB，∠D=∠AFD，设∠BAE=∠FAD=x，根据三角形的内角和定理得出方程x+2（180°﹣60°﹣2x）=180°，求出方程的解即可求出答案．
解答：解：∵四边形ABCD的四边都相等，
∴四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D，∠A=∠C，AD∥BC，
∴∠DAB+∠B=180°，
∵△AEF是等边三角形，AE=AB，
∴∠AEF=∠AFE=60°，AF=AD，
∴∠B=∠AEB，∠D=∠AFD，
由三角形的内角和定理得：∠BAE=∠FAD，
设∠BAE=∠FAD=x，
则∠D=∠AFD=180°﹣60°﹣2x，
∵∠FAD+∠D+∠AFD=180°，
∴x+2（180°﹣60°﹣2x）=180°，
解得：x=20°，
∴∠C=∠BAD=2×20°+60°=100°，
故选A．
点评：本题主要考查对菱形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质等知识点的理解和掌握，设∠BAE=∠FAD=x，根据这些性质得出∠D=∠AFD=180°﹣60°﹣2x是解此题的关键，题型较好，难度适中．
18、如图△ABC中，AD是角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AE=4cm，那么四边形AEDF周长为（ ）
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A、12cm B、16cm
C、20cm D、22cm
考点：菱形的判定与性质；平行四边形的性质。
专题：计算题。
分析：由角平分线的定义，可得∠EAD=∠DAF=∠ADE，进而可得AE=ED，由平行四边形的性质可得答案．
解答：解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠EDA=∠FAD，
∵∠EAD=∠FAD，
∴∠EAD=∠EDA，
∴EA=ED，
∴平行四边形AEDF是菱形．
∴四边形AEDF周长为4AE=16．
故选B．
点评：本题考查菱形的判定和平行四边形的性质．运用了菱形的判定方法“一组邻边相等的平行四边形是菱形”．
19、下列命题中，真命题是（ ）
A、对角线相等且互相垂直的四边形是菱形 B、有一条对角线平分对角的四边形是菱形
C、菱形是对角线互相垂直平分的四边形 D、菱形的对角线相等
考点：菱形的判定与性质。
分析：根据菱形的判定与性质进行判断．
解答：解：A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故此选项错误；
B、有一条对角线平分对角的四边形不一定是菱形，此选项错误；
C、菱形的对角线是互相垂直平分的四边形，此选项正确；
D、菱形的对角线不一定相等，此选项错误．
故选C．
点评：本题考查了菱形的判定与性质．解题的关键是熟练掌握菱形有关判定与性质．
二、填空题（共5小题）
20、一个平行四边形的一边长是9，两条对角线的长分别是12和6，则此平行四边形的面积为 36 ．
考点：勾股定理；菱形的判定与性质。
专题：计算题；数形结合。
分析：由题意画出相应的图形，得到平行四边形的边BC=9，对角线AC和BD分别为12和6，根据平行四边形的对角线互相平分，求出OB及OC的长，计算发现OC2+OB2=BC2，利用勾股定理的逆定理得到∠BOC为直角，根据垂直定义得到AC与BD垂直，根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形得到四边形ABCD为菱形，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，由两对角线的长即可求出菱形ABCD的面积．
解答：解：根据题意画出相应的图形，如图所示：
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则有平行四边形ABCD中，BC=9，AC=12，BD=6，
∴OC=AC=6，OB=BD=3，
∵OC2+OB2=36+45=81，BC2=81，
∴OC2+OB2=BC2，
∴∠BOC=90°，即AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形，
则菱形ABCD的面积S=BD OC+BD OA
=BD（OC+OA）
=AC BD=×12×6=36．
故答案为：36．
点评：此题考查了勾股定理的逆定理，菱形的判定与性质，以及菱形面积的求法，若四边形的对角线互相垂直，可得到其面积等于对角线乘积的一半，而菱形的对角线互相垂直，故菱形的面积也可以用对角线乘积的一半来求．
21、如图，在平行四边形ABCD中，AB=4a，E是BC的中点，BE=2a，∠BAD=120°，P是BD上的动点，则PE+PC的最小值为 2a
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考点：平行四边形的性质；菱形的判定与性质；轴对称-最短路线问题。
分析：根据菱形的判定，得出平行四边形ABCD为菱形，作出E关于BD的对称点E′，转化为线段长度的问题，再根据等边三角形的性质判断出△BCE′为直角三角形，利用勾股定理即可求出CE′的长．
解答：解：∵E是BC的中点，BE=2a，
∴BC=2BE=2×2a=4a，
故BC=AC，
∴平行四边形ABCD为菱形．
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD是∠ABC的平分线．
作E关BD的对称点E′，
连接CE′，PE，
则PE=PE′，
此时，PE+PC=PE′+PC=CE′，
CE′即为PE+PC的最小值．
∵∠A=120°，
∴∠ABD=∠ADB=180°﹣120°2=30°，
∴∠ABC=60°，
又∵BE′=BE，
∴△E′BE为正三角形，EE′=2a，∠ABE=60°，
故EE′=EC，
∠EE′C=∠ECE′=30°，
∴∠BE′C=60°+30°=90°，
在Rt△BCE′中，
CE′=（4a）2﹣（2a）2=2a．
故答案为2a．
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点评：此题考查了轴对称﹣﹣﹣最短路径问题，内容涉及菱形的性质和判定、等边三角形的性质和判定及勾股定理，综合性较强．
22、小明借助没有刻度的直尺，按照下图的顺序作出了∠O的平分线OP，他这样做的数学原理是 菱形的每一条对角线都平分它的一组对角 ．
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考点：菱形的判定与性质。
专题：作图题。
分析：首先证明四边形AOBP是菱形，然后根据菱形的每一条对角线都平分它的一组对角，得出OP平分∠AOB．
解答：解：如图．
∵直尺的对边互相平行，
∴AP∥OB，OA∥BP，
∴四边形AOBP是平行四边形．
∵直尺的宽度相同，
∴AP与OB间的距离=OA与BP间的距离，
∵ AOBP的面积不变，
∴OA=OB，
∴ AOBP是菱形，
∴OP平分∠AOB．
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点评：本题考查了菱形的判定、性质及在实际中的应用．
23、用两块完全重合的等腰三角形纸片能拼出不同形状的图形，试写出一个 菱形或平行四边形或两组邻边相等的四边形 ．
考点：菱形的判定与性质；等腰三角形的性质。
专题：开放型。
分析：根据等腰三角形的性质拼即可．
解答：解：根据等腰三角形的性质得，可拼成：菱形或平行四边形或两组邻边相等的四边形．
点评：此题主要考查等腰三角形的性质的运用．
24、如图，凸五边形ABCDE中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=2，CD=DE=4，则它的面积为 7 ．
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考点：菱形的判定与性质；等边三角形的判定与性质。
专题：计算题。
分析：作辅助线延长EA，BC相交于点F，CG⊥EF于G，BH⊥EF于H，因为∠EAB=∠CBA=120°，可得∠FAB=∠FBA=60°，可得△FAB为等边三角形，容易证明四边形EFCD是菱形，所以SABCDE=SCDEF﹣S△ABF由此即可求解．
解答：解：如图，延长EA，BC相交于点F，CG⊥EF于G，BH⊥EF于H，
因为∠EAB=∠CBA=120°，
所以∠FAB=∠FBA=60°，
所以△FAB为等边三角形，
AF=FB=AB=2，
所以CD=DE=EF=FC=4，
所以四边形EFCD是菱形，
所以SABCDE=SCDEF﹣S△ABF
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点评：本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
三、解答题（共6小题）
25、已知：如图，BD为平行四边形ABCD的对角线，O为BD的中点，EF⊥BD于点O，与AD，BC分别交于点E，F．
求证：
（1）△BOF≌△DOE．
（2）DE=DF．
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考点：全等三角形的判定与性质；平行线的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质。
专题：证明题。
分析：（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，推出∠ADB=∠DBC，根据三角形全等的判定即可推出结论；
（2）先证四边形BEDF是平行四边形，根据EF⊥BD，得出菱形BEDF，根据菱形的性质即可得出答案．
解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵∠DOE=∠BOF，OB=OD，
∴△BOF≌△DOE．
（2）证明：连接BE， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
∵△BOF≌△DOE，
∴DE=BF，
∵DE‖BF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∵EF⊥BD
∴平行四边形BEDF为菱形，
∴DE=DF．
点评：本题主要考查对平行四边形的性质和判定，平行线的性质，菱形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能灵活运用这些性质进行证明是证此题的关键，题型较好，难度适中．
26、已知，如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，点P从点A沿AB以每秒2cm的速度向点B运动，点Q从点C以每秒1cm的速度向点A运动，设点P、Q分别从点A、C同时出发，运动时间为t（秒）（0＜t＜6），回答下列问题：
（1）直接写出线段AP、AQ的长（含I的代数式表示）：AP= 2t ，AQ= 6﹣t ；
（2）设△APQ 的面积为S，写出S与t的函数关系式；
（3）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时间t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．
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考点：勾股定理；三角形的面积；菱形的判定与性质。
专题：动点型。
分析：（1）根据∠A=60°，AB=12cm，得出AC的长，进而得出AP=5﹣t，AQ=2t．
（2）过点P作PH⊥AC于H．由AP=2t，AH=t，得出PH=t，从而求得S与t的函数关系式；
（3）过点P作PM⊥AC于M，根据菱形的性质得PQ=PC，则可得出PN=QM=CM，求得t即可．
解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，
∴AC=6，
∴由题意知：AP=5﹣t，AQ=2t，
（2）如图①过点P作PH⊥AC于H．
∵∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，
∴∠B=30°，
∴∠HPA=30°，
∵AP=2t，AH=t，
∴PH=t，
∴S=×AQ×PH=×t×（6﹣t）=﹣t2+3t；
（3）当t=4时，四边形PQP′C是菱形，
证明：如图②过点P作PM⊥AC于M，
∵CQ=t，由（2）可知，AM=AP=tcm，
∴QC=AM，当PC=PQ时，即CM=MQ=AQ=AC=2时，
∴四边形PQP′C是菱形，
即当t=4时，四边形PQP′C是菱形．
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点评：此题主要考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、菱形的性质等知识点，是中考压轴题，难度偏大，正确利用菱形判定得出是解题关键．
27、如图，△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交线段DE的延长线相交于F点，取AF的中点G，如果BC=2AB．
求证：（1）四边形ABDF是菱形；
（2）AC=2DG．
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考点：三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质。
分析：（1）首先根据三角形的中位线定理，得DE∥AB，结合AF∥BC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判断该四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；
（2）根据菱形的性质可以进一步得到△FGD≌△FEA，则GD=AE，即可证明结论．
解答：证明：（1）∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线（三角形中位线的定义），
∴DE∥AB，DE=AB（三角形中位线性质）．（1分）
∵AF∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形定义）．（1分）
∵BC=2AB，BC=2BD，
∴AB=BD．（1分）
∴四边形ABDF是菱形．（1分）
（2）∵四边形ABDF是菱形，
∴AF=AB=DF（菱形的四条边都相等）．
∵DE=AB，
∴EF=AF．（1分）
∵G是AF的中点．
∴GF=AF，
∴GF=EF．（1分）
∴△FGD≌△FEA，（1分）
∴GD=AE，
∵AC=2EC=2AE，
∴AC=2DG．（1分）
点评：此题综合运用了三角形的中位线定理、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质．
28、如图，四边形ABCD中，AB=CD，点E、F分别为AD、BC的中点，点G、H分别为对角线AC、BD的中点，连EF、GH．
（1）线段EF、GH有怎样的位置关系？并说明理由．
（2），若AB=10，求四边形EHFG的周长．
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考点：三角形中位线定理；菱形的判定与性质。
专题：证明题。
分析：（1）根据三角形的中位线定理，判断出EG、GF、FH、HE的数量关系，从而判断出四边形EGFH为菱形，进而得到线段EF、GH的位置关系；
（2）利用三角形的中位线定理，结合AB=10，即可求出EG的长，从而求出四边形EHFG的周长．
解答：解：（1）在△ABD中，
E为AD中点，G为BD中点，
则EG为△ABD的中位线，
∴EG=AB，
同理，HF=AB，GF=CD，EH=CD，
又∵AB=CD，
∴EG=GF=FH=HE，
∴四边形EGFH为菱形，
∴EF⊥GH．
（2）∵AB=10，EG为△ABD的中位线，
∴EG=5cm，
又∵四边形EGFH为菱形，
∴GF=FH=HE=EG=5cm，
∴四边形EHFG的周长为5×4=20cm．
点评：本题考查了三角形众位线定理，菱形的判定与性质，要注意观察，找到题中的三角形即可解答．
29、如图，已知O是 ABCD的对角线的交点，AC=6，BD=8，AB=5，请你算出四边形ABCD的周长．
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考点：平行四边形的性质；菱形的判定与性质。
分析：首先根据平行四边形的对角线互相平分，求得OA=3，OB=4．在三角形AOB中，根据勾股定理的逆定理可判定三角形AOB是直角三角形．再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，得到菱形ABCD．根据菱形的四条边都相等，从而求得该四边形的周长．
解答：解：由平行四边形的性质得：，
在△AOB中，∵OB2+OA2=AB2
∴△AOB是直角三角形
∴AC⊥BD
∴平行四边形ABCD是菱形
故此四边形的周长为20．
点评：此题综合运用了平行四边形的性质、勾股定理的逆定理以及菱形的判定和性质．
30、如图， ABCD中，E为BC中点，连接AE并延长交DC的延长线于F点，连接BF．
（1）求证：AB=CF；
（2）试猜想当AB与AC满足什么数量关系时，四边形ABFC是菱形？并说明理由．
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考点：平行四边形的性质；菱形的判定与性质。
分析：（1）根据平行四边形的性质可得到AB∥CD，从而可得到AB∥DF，根据平行线的性质可得到两组角相等，已知点E是BC的中点，从而可根据AAS来判定△BAE≌△CFE，根据全等三角形的对应边相等可证得AB=CF．
（2）由第（1）知AB=CF，已知AB∥DF，从而根据有一组边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABFC是平行四边形，再根据有一给邻边相等的平行四边形是菱形，从而不难推出AB与AC的数量关系．
解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵点F为DC的延长线上的一点，
∴AB∥DF，
∴∠BAE=∠CFE，∠ECF=∠EBA，
∵E为BC中点，
∴BE=CE，
∴△BAE≌△CFE，
∴AB=CF；
解：（2）∵AB=CF，AB∥DF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∴当AB=AC时，四边形ABFC是菱形．
点评：此题主要考查学生对平行四边形的性质，菱形的判定与性质的综合运用能力．