19.2.1矩形的判定与性质的专题训练（附答案解析）
文档属性
| 名称 | 19.2.1矩形的判定与性质的专题训练（附答案解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 480.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2013-05-22 13:59:12 | ||
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文档简介
矩形的判定与性质 专题训练
一、选择题（共11小题）
1、△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D是BC上的一点，那么点D到AB与AC的距离的和为（ ）
A、5 B、6
C、4 D、
2、如图∠BOP=∠AOP=15°，PC∥OB，PD⊥PB于D，PC=2，则PD的长度为（ ）
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A、4 B、3
C、2 D、1
3、（2011 江津区）如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn．下列结论正确的有（ ）
①四边形A2B2C2D2是矩形；
②四边形A4B4C4D4是菱形；
③四边形A5B5C5D5的周长是
④四边形AnBnCnDn的面积是．
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A、①② B、②③
C、②③④ D、①②③④
4、已知1个四边形的对角线互相垂直，且两条对角线的长度分别是8和10，那么顺次连接这个四边形的四边中点所得的四边形的面积是（ ）
A、40 B、
C、20 D、
5、取四边形ABCD的各边中点E、F、G、H，依次连接EFGH得到四边形EFGH，现知四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD的对角线（ ）
A、相等 B、相等且平分
C、垂直 D、垂直且平分
6、下列各组条件中，能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A、∠A+∠B=90° B、AB∥CD，AB=CD，AC=BD
C、AB∥CD，AD=BC，AC=BD D、AC=BD，∠A=90°
7、下列说法中，错误的是（ ）
A、矩形的四个内角都相等 B、四个内角都相等的四边形是矩形
C、菱形的对角线互相垂直 D、对角线互相垂直的四边形是菱形
8、顺次连接四边形ABCD的四条边的中点，得到一个矩形，那么（ ）
A、AC=BD B、AC⊥BD
C、AB=CD D、AB⊥CD
9、（2011 绵阳）下列关于矩形的说法，正确的是（ ）
A、对角线相等的四边形是矩形 B、对角线互相平分的四边形是矩形
C、矩形的对角线互相垂直且平分 D、矩形的对角线相等且互相平分
10、（2011 临沂）如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是（ ）
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A、2 B、3
C、4 D、4
11、在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=∠ADC=90°，BC=2，CD=11，自D作DH⊥AB于H，则DH的长是（ ）
A、7.5 B、7
C、6.5 D、5.5
二、填空题（共15小题）
12、如图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=10，则PD等于 _________ ．
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13、四边形ABCD中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB=，BC=，CD=6，则AD= _________ ．
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14、（2011 黑龙江）如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=8，BD=4，各边中点分别为A1、B1、C1、D1，顺次连接得到四边形A1B1C1D1，再取各边中点A2、B2、C2、D2，顺次连接得到四边形A2B2C2D2，…，依此类推，这样得到四边形AnBnCnDn，则四边形AnBnCnDn的面积为 _________ ．
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15、如图所示，点E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，且AB=AD，CB=CD，若四边形ABCD的面积为6cm2，那么四边形EFGH的面积为 _________ cm2． ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
16、如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2；…；如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn，那么四边形A15B15C15D15的周长为 _________ ．
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17、如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E、F、G、H分别是各边的中点，若AC=4cm，BD=6cm，则四边形EFGH的面积是 _________ cm2．
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18、在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB、BC满足条件 _________ 时，四边形PEMF为矩形．
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19、如图，以菱形ABCD各边的中点为顶点作四边形A1B1C1D1，再以A1B1C1D1各边的中点为顶点作四边形A2B2C2D2，…，如此下去，得到四边形A2011B2011C2011D2011，若ABCD对角线长分别为a和b，请用含a、b的代数式表示四边形A2011B2011C2011D2011的周长 _________ ．
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20、如图，AB∥CD，∠A=∠B=90°，AB=3cm，BC=2cm，则AB与CD之间的距离为 _________ cm．
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21、下列命题：①矩形的对角线互相平分且相等；②对角线相等的四边形是矩形；③菱形的每一条对角线平分一组对角；④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中正确的命题为 _________ （注：把你认为正确的命题序号都填上）
22、如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E、F、G、H分别是各边的中点，若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积是 _________ ．
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23、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点P为AB边上任一点，过P分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是 _________ ．
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24、菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，顺次连接菱形ABCD各边的中点所得四边形的面积为 _________ ．
25、在矩形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，点O到两邻边的距离分别是3cm，4cm，则此矩形的周长为 _________ cm．
26、如图，在四边形ABCD中，AC=4，BD=6，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…如此进行下去得到四边形AnBnCnDn．则四边形A3B3C3D3的面积 _________ ，四边形AnBnCnDn的面积 _________ ．
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三、解答题（共4小题）
27、如图，现有边长为a，边长为b的正方形卡片，和长为a，宽为b的长方形卡片各若干张．
（1）用给出的卡片拼成一个长为2a+b．宽为a+2b的长方形，画出拼成后的图形并计算：（2a+b）（a+2b）
（2）用上述卡片拼成一个面积为2a2+3ab+b2的长方形，画出拼成后的图形，并尝试对多项式2a2+3ab+b2进行分解因式．
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28、已知如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，∠ADB=30°且，求△ECD的面积．
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29、已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．
（1）如图1，若∠DAC=2∠ABC，AC=BC，四边形ABCD是平行四边形，则∠ABC= _________ ；
（2）如图2，若∠ABC=30°，△ACD是等边三角形，AB=3，BC=4．求BD的长；
（3）如图3，若∠ACD为锐角，作AH⊥BC于H．当BD2=4AH2+BC2时，∠DAC=2∠ABC是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论．
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30、在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G． 一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．
（1）在图1证明：BF=CG；
（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．证明：DE+DF=CG；
（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，DE+DF=CG是否仍然成立？若成立说明理由．
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答案与评分标准
一、选择题（共11小题）
1、△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D是BC上的一点，那么点D到AB与AC的距离的和为（ ）
A、5 B、6
C、4 D、
考点：等腰三角形的性质；平行线的判定与性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质。
分析：作△ABC的高CQ，AH，过C作CZ⊥DE交ED的延长线于Z，根据等腰三角形的性质得到BH=CH=3，根据勾股定理求出AH，再关键三角形的面积公式求出CQ，由CQ⊥AB，DE⊥AB，CZ⊥DE，得到矩形QEZC，得到CQ=ZE，根据垂直推出CZ∥AB，证出∠ACB=∠ZCB，根据AAS推出△ZCD≌△FCD，推出DF=DZ，根据DE+DF=CQ即可求出答案．
解答：解：作△ABC的高CQ，AH，过C作CZ⊥DE交ED的延长线于Z，
∵AB=AC=5，BC=6，AH⊥BC，
∴BH=CH=3，
根据勾股定理得：AH=4，
根据三角形的面积公式得：BC AH=AB CQ，
即：6×4=5CQ，
解得：CQ=，
∵CQ⊥AB，DE⊥AB，CZ⊥DE，
∴∠CQE=∠QEZ=∠Z=90°，
∴四边形QEZC是矩形，
∴CQ=ZE，
∵∠QEZ=∠Z=90°，
∴∠QEZ+∠Z=180°，
∴CZ∥AB，
∴∠B=∠ZCB，
∵DF⊥AC，CZ⊥DE，
∴∠Z=∠DFC=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠ACB=∠ZCB，
∵CD=CD，∠B=∠ZCB，
∴△ZCD≌△FCD，
∴DF=DZ，
∴DE+DF=CQ=．
故选D．
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点评：本题主要考查了全等三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，三角形的面积，等腰三角形的性质，平行线的性质和判定等知识点，能正确作辅助线并综合运用性质进行证明是解此题的关键．题型较好，综合性强．
2、如图∠BOP=∠AOP=15°，PC∥OB，PD⊥PB于D，PC=2，则PD的长度为（ ）
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A、4 B、3
C、2 D、1
考点：含30度角的直角三角形；矩形的判定与性质。
专题：计算题。
分析：作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质可得PE=PD，根据平行线的性质可得∠ACP=∠AOB=30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．
解答：解：作PE⊥OA于E，
∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵∠BOP=∠AOP=15°，
∴∠AOB=30°，
∵PC∥OB，
∴∠ACP=∠AOB=30°，
∴在Rt△PCE中，PE=PC=×2=1（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴PD=PE=1，
故选D．
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点评：此题主要考查角平分线的性质和平行线的性质，难度一般，作辅助线是关键．
3、（2011 江津区）如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn．下列结论正确的有（ ）
①四边形A2B2C2D2是矩形；
②四边形A4B4C4D4是菱形；
③四边形A5B5C5D5的周长是
④四边形AnBnCnDn的面积是．
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A、①② B、②③
C、②③④ D、①②③④
考点：三角形中位线定理；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质。
专题：规律型。
分析：首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD中各边长的长度关系规律，然后对以下选项作出分析与判断：
①根据矩形的判定与性质作出判断；
②根据菱形的判定与性质作出判断；
③由四边形的周长公式：周长=边长之和，来计算四边形A5B5C5D5的周长；
④根据四边形AnBnCnDn的面积与四边形ABCD的面积间的数量关系来求其面积．
解答：解：①连接A1C1，B1D1．
∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1，
∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC；
∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1，
∴四边形A1B1C1D1是平行四边形；
∴B1D1=A1C1（平行四边形的两条对角线相等）；
∴A2D2=C2D2=C2B2=B2A2（中位线定理），
∴四边形A2B2C2D2是菱形；
故本选项错误；
②由①知，四边形A2B2C2D2是菱形；
∴根据中位线定理知，四边形A4B4C4D4是菱形；
故本选项正确；
③根据中位线的性质易知，A5B5=A3B3=×A1B1=××AC，B5C5=B3C3=×B1C1=××BD，
∴四边形A5B5C5D5的周长是2×（a+b）=；
故本选项正确；
④∵四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，
∴S四边形ABCD=ab÷2；
由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
四边形AnBnCnDn的面积是；
故本选项正确；
综上所述，②③④正确．
故选C．
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点评：本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）．解答此题时，需理清菱形、矩形与平行四边形的关系．
4、已知1个四边形的对角线互相垂直，且两条对角线的长度分别是8和10，那么顺次连接这个四边形的四边中点所得的四边形的面积是（ ）
A、40 B、
C、20 D、
考点：三角形中位线定理；矩形的判定与性质。
专题：计算题。
分析：根据三角形中位线的定理可分别求得EF，HG，HE，GF的长，已知两对角线互相垂直，则可判定所求的四边形为矩形，根据矩形的面积公式求解即可．
解答：解：∵AC=10，BD=8，点E，F，G，H分别是边AB，AD，CD，BC的中点，
∴EF∥BD∥HG，EF=HG=BD=4，HE=GF=AC=5，
∵AC⊥BD，
∴四边形EFGH是矩形，
∴矩形EFGH的面积=4×5=20．
故选C．
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点评：此题主要考查三角形中位线定理及矩形的判定与性质的综合运用．
5、取四边形ABCD的各边中点E、F、G、H，依次连接EFGH得到四边形EFGH，现知四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD的对角线（ ）
A、相等 B、相等且平分
C、垂直 D、垂直且平分
考点：菱形的性质；矩形的判定与性质。
分析：四边相等的四边形是菱形．
解答：解：因为四边形四边中点的连线是四边形对角线的中位线，所以只要四边形的对角线相等，中点的连线就是菱形．
故选A．
点评：本题考查菱形的判定，四边相等的四边形是菱形和中位线定理．
6、下列各组条件中，能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A、∠A+∠B=90° B、AB∥CD，AB=CD，AC=BD
C、AB∥CD，AD=BC，AC=BD D、AC=BD，∠A=90°
考点：矩形的判定；矩形的判定与性质。
专题：证明题；推理填空题。
分析：根据矩形的判定，用排除法即可判定所选答案．
解答：解：A、不能判断四边形ABCD为矩形，故A选项错误；
B、由AB∥CD，AB=CD，所以四边形ABCD为平行四边形，
AC=BD，所以平行四边形ABCD为矩形．故B正确．
C、不能判断四边形ABCD为矩形，故C选项错误；
D、AC=BD，∠A=90°，不能判断四边形ABCD为矩形，故D选项错误；
故选B．
点评：本题主要考查了矩形的判定，即对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
7、下列说法中，错误的是（ ）
A、矩形的四个内角都相等 B、四个内角都相等的四边形是矩形
C、菱形的对角线互相垂直 D、对角线互相垂直的四边形是菱形
考点：菱形的判定与性质；矩形的判定与性质。
分析：根据菱形及矩形的性质与判定进行分析从而得到最后答案．
解答：解：A正确，符合矩形的性质；
B正确，符合矩形的判定；
C正确，符合菱形的性质；
D不正确，应该是对角线互相垂直平分的四边形是菱形；
故选D．
点评：本题主要考查了菱形的判定与性质及矩形的判定与性质的理解．
8、顺次连接四边形ABCD的四条边的中点，得到一个矩形，那么（ ）
A、AC=BD B、AC⊥BD
C、AB=CD D、AB⊥CD
考点：矩形的判定；垂线；平行线的性质；三角形中位线定理；矩形的判定与性质。
专题：证明题。
分析：根据矩形的性质得到∠FEH=90°，根据三角形的中位线定理得出EF∥AC，根据平行线的性质推出∠FEH+∠CME=180°，∠EMC+∠BOA=180°，即推出∠BOA=∠FEH=90°，即可得到答案．
解答：解：∵矩形EFGH，
∴∠FEH=90°，
∵E是AB的中点，F是BC的中点，
∴EF∥AC，
∴∠FEH+∠CME=180°，
同理EH∥BD，
∴∠EMC+∠BOA=180°，
∴∠BOA=∠FEH=90°，
∴AC⊥BD，
故选B．
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点评：本题主要考查对矩形的性质和判定，三角形的中位线定理，平行线的性质，垂直的定义等知识点的理解和掌握，能灵活运用这些性质进行证明是证此题的关键．题型较好，难度适中．
9、（2011 绵阳）下列关于矩形的说法，正确的是（ ）
A、对角线相等的四边形是矩形 B、对角线互相平分的四边形是矩形
C、矩形的对角线互相垂直且平分 D、矩形的对角线相等且互相平分
考点：矩形的判定与性质。
专题：推理填空题。
分析：根据定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形的性质：
1．矩形的四个角都是直角
2．矩形的对角线相等
3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等
4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线）．
5．对边平行且相等
6．对角线互相平分，对各个选项进行分析即可．
解答：解：A、因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以本选项错误；
B、因为对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以本选项错误；
C、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项错误；
D、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项正确．
故选D．
点评：本题主要考查学生对矩形的判定与性质这一知识点的理解和掌握，都是一些基础知识，要求学生应熟练掌握．
10、（2011 临沂）如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是（ ）
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A、2 B、3
C、4 D、4
考点：矩形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理。
分析：因为DE是AC的垂直的平分线，所以D是AC的中点，F是AB的中点，所以DF∥BC，所以∠C=90°，所以四边形BCDE是矩形，因为∠A=30°，∠C=90°，BC=2，能求出AB的长，根据勾股定理求出AC的长，从而求出DC的长，从而求出面积．
解答：解：∵DE是AC的垂直的平分线，F是AB的中点，
∴DF∥BC，
∴∠C=90°，
∴四边形BCDE是矩形．
∵∠A=30°，∠C=90°，BC=2，
∴AB=4，
∴AC==2．
∴DE=CB=．
∴四边形BCDE的面积为：2×=2．
故选A．
点评：本题考查了矩形的判定定理，矩形的面积的求法，以及中位线定理，勾股定理，线段垂直平分线的性质等．
11、在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=∠ADC=90°，BC=2，CD=11，自D作DH⊥AB于H，则DH的长是（ ）
A、7.5 B、7
C、6.5 D、5.5
考点：矩形的判定与性质；含30度角的直角三角形。
专题：几何综合题。
分析：过C作DH的垂线CE交DH于E，证明四边形BCEH是矩形．所以求出HE的长；再求出∠DCE=30°，又因为CD=11，所以求出DE，进而求出DH的长．
解答：解：过C作DH的垂线CE交DH于E，
∵DH⊥AB，CB⊥AB，
∴CB∥DH又CE⊥DH，
∴四边形BCEH是矩形．
∵HE=BC=2，在Rt△AHD中，∠A=60°，
∴∠ADH=30°，
又∵∠ADC=90°
∴∠CDE=60°，
∴∠DCE=30°，
∴在Rt△CED中，DE=CD=5.5，
∴DH=2+5.5=7.5．
故选A．
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点评：本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形的一个重要性质：30°的锐角所对的直角边是斜边的一半；以及勾股定理的运用．
二、填空题（共15小题）
12、如图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=10，则PD等于 5 ．
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考点：含30度角的直角三角形；等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质。
分析：过点P作PM⊥OB于M，根据平行线的性质可得到∠BCP的度数，再根据直角三角形的性质可求得PM的长，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到PM=PD，从而求得PD的长．
解答：解：过点P作PM⊥OB于M．
∵PC∥OA，
∴∠COP=∠CPO=∠POD=15°，
∴∠BCP=30°，
∴PM=PC=5．
∵PD=PM，
∴PD=5．
故填5．
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点评：本题考查了等腰三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质；解决本题的关键就是利用角平分线的性质，把求PD的长的问题进行转化．
13、四边形ABCD中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB=，BC=，CD=6，则AD= ．
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考点：勾股定理；矩形的判定与性质。
专题：计算题。
分析：作AE⊥BC，DE⊥BC，AG⊥DF，则四边形AEFG为矩形，AE=FG．EF=AG，因为△ADG为直角三角形，所以AD=，根据直角△AEB和直角△CDF即可求AE，BE，CF，FD．
解答：解：作AE⊥BC，DF⊥BC，AG⊥DF，
则四边形AEFG四个内角均为直角，
∴四边形AEFG为矩形，AE=FG．EF=AG
∠ABE=180°﹣135°=45°，∠DCF=180°﹣120°=60°，
∴AE=EB=×=，CF=×CD=3，FD=CF=3，
∴AG=EF=8，DG=DF﹣AE=2，
∴AD==，
故答案为．
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点评：本题考查了矩形的判定和矩形对边相等的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中构造矩形AEFG是解题的关键．
14、（2011 黑龙江）如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=8，BD=4，各边中点分别为A1、B1、C1、D1，顺次连接得到四边形A1B1C1D1，再取各边中点A2、B2、C2、D2，顺次连接得到四边形A2B2C2D2，…，依此类推，这样得到四边形AnBnCnDn，则四边形AnBnCnDn的面积为 （或或，只要答案正确即可） ．
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考点：三角形中位线定理；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质。
专题：规律型。
分析：根据三角形的面积公式，可以求得四边形ABCD的面积是16；根据三角形的中位线定理，得A1B1∥AC，A1B1=AC，则△BA1B1∽△BAC，得△BA1B1和△BAC的面积比是相似比的平方，即，因此四边形A1B1C1D1的面积是四边形ABCD的面积的，即a2；推而广之，则AC=8，BD=4，四边形AnBnCnDn的面积=．
解答：解：∵四边形A1B1C1D1的四个顶点A1、B1、C1、D1分别为AB、BC、CD、DA的中点，
∴A1B1∥AC，A1B1=AC．
∴△BA1B1∽△BAC．
∴△BA1B1和△BAC的面积比是相似比的平方，即．
又四边形ABCD的对角线AC=8，BD=4，AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积是16．
推而广之，则AC=8，BD=4，四边形AnBnCnDn的面积=．
故答案为（或或，只要答案正确即可）．
点评：此题综合运用了三角形的中位线定理、相似三角形的判定及性质．注意：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．
15、如图所示，点E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，且AB=AD，CB=CD，若四边形ABCD的面积为6cm2，那么四边形EFGH的面积为 3 cm2． ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
考点：三角形中位线定理；矩形的判定与性质。
专题：计算题。
分析：连接AC，BD，交于点O，可证明四边形EFGH为矩形，根据三角形的中位线定理可得出答案．
解答：解：连接AC，BD，交于点O， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
∵AB=AD，CB=CD，
∴AC与BD互相垂直平分，
∵点E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，
∴四边形EFGH为矩形，
∵四边形ABCD的面积为6cm2，
∴AC BD=12，
∵EF=AC，EG=BD，
∴EF EG=×AC BD=3．
故答案为3．
点评：本题考查了三角形的中位线定理、矩形的判定和性质，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
16、如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2；…；如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn，那么四边形A15B15C15D15的周长为 ．
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考点：三角形中位线定理；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质。
分析：根据三角形中位线性质定理可得每一次去各边中点所形成新的四边形周长都为前一个的；并且四边形是平行四边形，即可计算四边形A15B15C15D15的周长，
解答：解：根据中位线的性质易知，A15B15=A13B13×A11B11…×A1B1=××…×AC；
B15C15=B13C13×A11B11×…=×B1C1=××…×BD，
∴四边形A15B15C15D15的周长是2×（a+b）=．
故答案为．
点评：本题考查了三角形的中位线性质定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
17、如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E、F、G、H分别是各边的中点，若AC=4cm，BD=6cm，则四边形EFGH的面积是 6 cm2．
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考点：三角形中位线定理；矩形的判定与性质。
专题：计算题。
分析：根据E、F、G、H分别是各边的中点，利用三角形中位线定理求出EH和EF，判定四边形EFGH是矩形，然后即可四边形EFGH的面积．
解答：解；∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，
∴EH∥BD且EH=BD，FG∥BD且=BD，
∴EH∥FG，EH=FG，
同理EF∥HG，EF=HG，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD=EF×EH=AC×BD=×4××6=6cm2．
点评：此题主要考查学生对三角形中位线定理和矩形的判定与性质等知识点的理解和掌握，此题难度不大，属于中档题．
18、在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB、BC满足条件 AB=BC 时，四边形PEMF为矩形．
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考点：矩形的判定与性质。
分析：根据已知条件、矩形的性质和判定，欲证明四边形PEMF为矩形，只需证明∠BMC=90°，易得AB=BC时能满足∠BMC=90°的条件．
解答：解：AB=BC时，四边形PEMF是矩形．
∵在矩形ABCD中，M为AD边的中点，AB=BC，
∴AB=DC=AM=MD，∠A=∠D=90°，
∴∠ABM=∠MCD=45°，
∴在△MBC中，∠BMC=90°，
又∵PE⊥MC，PF⊥MB，
∴∠PFM=∠PEM=90°，
∴四边形PEMF是矩形．
点评：此题考查了矩形的判定和性质的综合应用，是以开放型试题，是中考命题的热点．
19、如图，以菱形ABCD各边的中点为顶点作四边形A1B1C1D1，再以A1B1C1D1各边的中点为顶点作四边形A2B2C2D2，…，如此下去，得到四边形A2011B2011C2011D2011，若ABCD对角线长分别为a和b，请用含a、b的代数式表示四边形A2011B2011C2011D2011的周长 ．
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考点：矩形的判定与性质；三角形中位线定理；菱形的性质。
专题：规律型。
分析：根据图形，四边形A1B1C1D1的长为，宽为，四边形A2B2C2D2是菱形，边长为；四边形A3B3C3D3的长为，宽为，四边形A4B4C4D4是菱形，边长为，依次类推，A2n﹣1B2n﹣1C2n﹣1D2n﹣1长为，宽为，四边形A2nB2nC2nD2n是菱形，边长为，四边形A2010B2010C2010D2010是菱形，边长乘以4就是周长．
解答：解：结合图形，脚码为奇数时，四边形A2n﹣1B2n﹣1C2n﹣1D2n﹣1是矩形，长为，宽为；
脚码为偶数时，四边形A2nB2nC2nD2n是菱形，边长为，
∴四边形A2010B2010C2010D2010是菱形，边长为，
周长为，
即．
故答案为：．
点评：本题是规律探寻题，探索出当脚码为奇数时，四边形为矩形，当脚码为偶数时，四边形为菱形，并表示出矩形的长与宽的表达式以及菱形的边长的表达式是解题的关键．
20、如图，AB∥CD，∠A=∠B=90°，AB=3cm，BC=2cm，则AB与CD之间的距离为 2 cm．
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考点：矩形的判定与性质。
专题：证明题。
分析：由AB∥CD，可得∠A+∠D=180°，∠B+∠C=180°，再根据∠A=∠B=90°，可得出∠C=∠D=90°，则四边形ABCD为矩形，从而得出AB与CD之间的距离为BC的长．
解答：解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，∠B+∠C=180°，
∵∠A=∠B=90°，
∴∠C=∠D=90°，
∴四边形ABCD为矩形，
∴AB与CD之间的距离为BC，
∵BC=2cm，
∴AB与CD之间的距离为2cm．
故答案为2．
点评：本题考查了矩形的判定和性质，是基础知识比较简单．
21、下列命题：①矩形的对角线互相平分且相等；②对角线相等的四边形是矩形；③菱形的每一条对角线平分一组对角；④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中正确的命题为 ①③④ （注：把你认为正确的命题序号都填上）
考点：矩形的判定与性质；菱形的判定与性质。
分析：根据正方形、平行四边形、菱形和矩形的判定，对选项一一分析，选择正确答案．
解答：解：①矩形的对角线互相平分且相等；故正确；
②对角线相等的四边形是矩形，不能正确判定，故错误；
③菱形的每一条对角线平分一组对角，这是菱形的一条重要性质，故正确；
④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，故正确．
故答案为：①③④．
点评：考查了正方形、平行四边形、菱形和矩形的判定方法．解决此题的关键是熟练掌握运用这些判定．
22、如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E、F、G、H分别是各边的中点，若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积是 12 ．
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考点：矩形的判定与性质；三角形中位线定理。
专题：计算题。
分析：根据E、F、G、H分别是各边的中点，利用三角形中位线定理求出EH和EF，判定四边形EFGH是矩形，然后即可四边形EFGH的面积．
解答：解：∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，
∴EH∥BD且EH=BD，FG∥BD且=BD，
∴EH∥FG，EH=FG，
同理EF∥HG，EF=HG，
又∵AC⊥BD，
∴四边形EFGH是矩形，
∴四边形EFGH=EF×EH=AC×BD=×8××6=12．
点评：此题主要考查学生对三角形中位线定理和矩形的判定与性质等知识点的理解和掌握，此题难度不大，属于中档题．
23、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点P为AB边上任一点，过P分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是 ．
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考点：矩形的判定与性质；垂线段最短；三角形的面积；勾股定理。
专题：计算题。
分析：根据勾股定理求出AB，证矩形EPFC，推出EF=CP，过C作CD⊥AB，得到CD=EF，求出CD的长即可．
解答：解：∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理得：AB=5，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC=∠PFC=∠ACB=90°，
∴四边形EPFC是矩形，
∴EF=CP，
即EF表示C与边AB上任意一点的距离，
根据垂线段最短，
过C作CD⊥AB，
当EF=DC最短，
根据三角形面积公式得：AC×BC=AB×CD，
∴CD=，
故答案为：．
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点评：本题主要考查对矩形的性质和判定，三角形的面积，垂线段最短，勾股定理等知识点的理解和掌握，能得到CD=EF是解此题的关键．
24、菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，顺次连接菱形ABCD各边的中点所得四边形的面积为 ．
考点：矩形的判定与性质；三角形中位线定理；菱形的性质。
分析：顺次连接这个菱形各边中点所得的四边形是矩形，且矩形的边长分别是菱形对角线的一半，所以可得矩形的面积．
解答：解：∵四边形ABCD是菱形，且AB=2，∠ABC=60°，
∴菱形的一条对角线长是2，另一个对角线的长是2．
∵矩形的边长分别是菱形对角线的一半
∴矩形的边长分别是1，，1，．
∴矩形的面积是．
即顺次连接菱形ABCD各边中点所得的四边形的面积为．
故应填：．
点评：本题考查菱形的性质，矩形的判定与性质等知识．注意准确掌握菱形的四边相等，对角线互相垂直，连接菱形各边的中点得到矩形，且矩形的边长是菱形对角线的一半．
25、在矩形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，点O到两邻边的距离分别是3cm，4cm，则此矩形的周长为 28 cm．
考点：矩形的判定与性质；等腰三角形的性质。
专题：计算题。
分析：根据矩形的判定证矩形OEBF，求出BF、BE，根据等腰三角形的性质求出BF=CF，求出BC、AB即可．
解答：解：
∵矩形ABCD，OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠OEB=∠OFN=∠ABC=90°，AO=OC，OD=OB，AC=BD，
∴四边形OEBF是矩形，OB=OC，
∴OE=BF=4，OF=BE=3，BF=CF，
∴BC=4+4=8=AD，
同理CD=AB=6，
∴矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=6+8+6+8=28，
故答案为：28．
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点评：本题主要考查对等腰三角形的性质，矩形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能求出BC和AB的长是解此题的关键．
26、如图，在四边形ABCD中，AC=4，BD=6，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…如此进行下去得到四边形AnBnCnDn．则四边形A3B3C3D3的面积 ，四边形AnBnCnDn的面积 ．
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考点：矩形的判定与性质；三角形中位线定理。
专题：规律型。
分析：由三角形的中位线的性质知，B1C1=BD=3，B1A1=AC=2，故矩形A1B1C1D1的面积为6，可以得到故四边形A2B2C2D2的面积是A1B1C1D1的面积的一半，以此类推可得四边形A3B3C3D3的面积；
由三角形的中位线的性质可以推得，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，故四边形AnBnCnDn的面积为 12×．
解答：解：点A1，D1分别是AB、AD的中点，
∴A1D1是△ABD的中位线
∴A1D1∥BD，A1D1=BD，
同理：B1C1∥BD，B1C1=BD
∴A1D1∥B1C1，A1D1=B1C1，
∴四边形A1B1C1D1是平行四边形．
∵AC⊥BD，AC∥A1B1，BD∥A1D1，
∴A1B1⊥A1D1即∠B1A1D1=90°
∴四边形A1B1C1D1是矩形；
由三角形的中位线的性质知，B1C1=BD=3，B1A1=AC=2，
得：四边形A1B1C1D1的面积为6；四边形A2B2C2D2的面积为3；
∴四边形A3B3C3D3的面积=．
由三角形的中位线的性质可以推得，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
故四边形AnBnCnDn的面积为：12×．
点评：本题考查了矩形的性质和判定，以及三角形的中位线的性质，处理此类问题，要灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决有关线段和面积等有关的问题．
三、解答题（共4小题）
27、如图，现有边长为a，边长为b的正方形卡片，和长为a，宽为b的长方形卡片各若干张．
（1）用给出的卡片拼成一个长为2a+b．宽为a+2b的长方形，画出拼成后的图形并计算：（2a+b）（a+2b）
（2）用上述卡片拼成一个面积为2a2+3ab+b2的长方形，画出拼成后的图形，并尝试对多项式2a2+3ab+b2进行分解因式．
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考点：列代数式；因式分解-十字相乘法等；矩形的判定与性质。
分析：（1）根据长方形的长、宽之间的关系画出图形即可；
（2）根据长方形的面积公式与长、宽之间的关系画出图形即可．
解答：解：（1）如图，（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2
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（2）如图，2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b），
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点评：此题考查了列代数式；解决问题的关键是读懂题意，画出图形，列出式子．
28、已知如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，∠ADB=30°且，求△ECD的面积．
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考点：三角形的面积；含30度角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质。
专题：计算题。
分析：由矩形ABCD，得到AD=BC=4，由勾股定理得到3AB2=AD2=，求出AB=4，过E作FE⊥AD于F，EN⊥CD于N，证四边形EFDN是矩形，推出EF=DN，DF=EN，由勾股定理求出AE=2，DE=6，根据三角形的面积公式得到4EF=2×6，求出EF，由勾股定理求出DF、EN的长根据△ECD的面积DC EN求出即可．
解答：解：∵矩形ABCD，
∴AD=BC=4，
∠DAB=90°=∠ADC，
∵∠ADB=30°，
由勾股定理得：3AB2=AD2=，
解得：AB=4，
过E作FE⊥AD于F，EN⊥CD于N，
∵∠ADC=90°，
∴∠EFD=∠END=∠ADC=90°，
∴四边形EFDN是矩形，
∴EF=DN，DF=EN，
在△ADE中，由勾股定理得：AE=2，DE=6，
根据三角形的面积公式得：4EF=2×6，
解得：EF=3，
由勾股定理得：DF==3=EN，
∴△ECD的面积是DC EN=×4×3=6，
答：△ECD的面积是6．
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点评：本题主要考查对矩形的性质和判定，勾股定理，三角形的面积，含30度角的直角三角形等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
29、已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．
（1）如图1，若∠DAC=2∠ABC，AC=BC，四边形ABCD是平行四边形，则∠ABC= 45° ；
（2）如图2，若∠ABC=30°，△ACD是等边三角形，AB=3，BC=4．求BD的长；
（3）如图3，若∠ACD为锐角，作AH⊥BC于H．当BD2=4AH2+BC2时，∠DAC=2∠ABC是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论．
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考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质。
专题：计算题。
分析：（1）由AC=AD得∠D=∠ACD，由平行四边形的性质得∠D=∠ABC，在△ACD中，由内角和定理求解；
（2）如图2，在△ABC外作等边△BAE，连接CE，利用旋转法证明△EAC≌△BAD，可证∠EBC=90°，BE=AB=3，在Rt△BCE中，由勾股定理求CE，由三角形全等得BD=CE；
（3）∠DAC=2∠ABC成立，过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC．并取BE的中点K，连接AK，仿照（2）利用旋转法证明△EAC≌△BAD，利用内角和定理证明结论．
解答：解：（1）45；
（2）如图2，以A为顶点AB为边在△ABC外作∠BAE=60°，并在AE上取AE=AB，连接BE和CE．
∵△ACD是等边三角形，
∴AD=AC，∠DAC=60°．
∵∠BAE=60°，
∴∠DAC+∠BAC=∠BAE+∠BAC．
即∠EAC=∠BAD．
∴△EAC≌△BAD．
∴EC=BD．
∵∠BAE=60°，AE=AB=3，
∴△AEB是等边三角形，
∴∠EBA=60°，EB=3，
∵∠ABC=30°，
∴∠EBC=90°．
∵∠EBC=90°，EB=3，BC=4，
∴EC=5．
∴BD=5．
（3）∠DAC=2∠ABC成立，
以下证明：
如图3，过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC．并取BE的中点K，连接AK．
∵AH⊥BC于H，
∴∠AHC=90°．
∵BE∥AH，
∴∠EBC=90°．
∵∠EBC=90°，BE=2AH，
∴EC2=EB2+BC2=4AH2+BC2．
∵BD2=4AH2+BC2，
∴EC=BD．
∵K为BE的中点，BE=2AH，
∴BK=AH．
∵BK∥AH，
∴四边形AKBH为平行四边形．
又∵∠EBC=90°，
∴四边形AKBH为矩形．
∴∠AKB=90°．
∴AK是BE的垂直平分线．
∴AB=AE．
∵AB=AE，EC=BD，AC=AD，
∴△EAC≌△BAD．
∴∠EAC=∠BAD．
∴∠EAC﹣∠EAD=∠BAD﹣∠EAD．
即∠EAB=∠DAC．
∵∠EBC=90°，∠ABC为锐角，
∴∠ABC=90°﹣∠EBA．
∵AB=AE，
∴∠EBA=∠BEA．
∴∠EAB=180°﹣2∠EBA．
∴∠EAB=2∠ABC．
∴∠DAC=2∠ABC．
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点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的运用．关键是根据已知条件构造全等三角形．
30、在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G． 一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．
（1）在图1证明：BF=CG；
（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．证明：DE+DF=CG；
（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，DE+DF=CG是否仍然成立？若成立说明理由．
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考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；平移的性质。
专题：证明题。
分析：（1）由于∠F=∠G=90°，∠BAF=∠CAG，AB=AC，利用AAS易证△BAF≌△CAG，从而有BF=CG；
（2）先过D作DH⊥CG于点H，由于DE⊥BA，∠G=90°，DH⊥CG于H，易证四边形EDHG是矩形，那么DE=HG，DH∥BG，根据平行线的性质，结合AB=AC，易得∠FCD=∠GBC=∠HDC，而∠DHC=∠CFD=90°，CD=DC，利用AAS易证△DCH≌△CDF，从而DF=CH，那么DE+DF=GH+CH，即DE+DF=CG；
（3）仍然成立．证法同（2）．
解答：证明：（1）∵∠F=∠G=90°，∠BAF=∠CAG，AB=AC，
∴△BAF≌△CAG，
∴BF=CG；
（2）如右图（2），
过D作DH⊥CG于点H，
∵DE⊥BA，∠G=90°，DH⊥CG于H，
∴四边形EDHG是矩形，
∴DE=HG，DH∥BG，
∴∠GBC=∠HDC，
∵AB=AC，
∴∠FCD=∠GBC=∠HDC，
又∵∠DHC=∠CFD=90°，CD=DC，
∴△DCH≌△CDF，
∴DF=CH，
∴DE+DF=GH+CH，
即DE+DF=CG；
（3）仍然成立． ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
过D作DH⊥CG于点H，
∵DE⊥BA，∠G=90°，DH⊥CG于H，
∴四边形EDHG是矩形，
∴DE=HG，DH∥BG，
∴∠GBC=∠HDC，
∵AB=AC，
∴∠FCD=∠GBC=∠HDC，
又∵∠DHC=∠CFD=90°，CD=DC，
∴△DCH≌△CDF，
∴DF=CH，
∴DE+DF=GH+CH，
即DE+DF=CG．
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点评：本题考查了全等三角形判定和性质、矩形的判定．知道有三个角是直角的四边形是矩形，解题的关键是作辅助线DH．
一、选择题（共11小题）
1、△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D是BC上的一点，那么点D到AB与AC的距离的和为（ ）
A、5 B、6
C、4 D、
2、如图∠BOP=∠AOP=15°，PC∥OB，PD⊥PB于D，PC=2，则PD的长度为（ ）
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A、4 B、3
C、2 D、1
3、（2011 江津区）如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn．下列结论正确的有（ ）
①四边形A2B2C2D2是矩形；
②四边形A4B4C4D4是菱形；
③四边形A5B5C5D5的周长是
④四边形AnBnCnDn的面积是．
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A、①② B、②③
C、②③④ D、①②③④
4、已知1个四边形的对角线互相垂直，且两条对角线的长度分别是8和10，那么顺次连接这个四边形的四边中点所得的四边形的面积是（ ）
A、40 B、
C、20 D、
5、取四边形ABCD的各边中点E、F、G、H，依次连接EFGH得到四边形EFGH，现知四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD的对角线（ ）
A、相等 B、相等且平分
C、垂直 D、垂直且平分
6、下列各组条件中，能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A、∠A+∠B=90° B、AB∥CD，AB=CD，AC=BD
C、AB∥CD，AD=BC，AC=BD D、AC=BD，∠A=90°
7、下列说法中，错误的是（ ）
A、矩形的四个内角都相等 B、四个内角都相等的四边形是矩形
C、菱形的对角线互相垂直 D、对角线互相垂直的四边形是菱形
8、顺次连接四边形ABCD的四条边的中点，得到一个矩形，那么（ ）
A、AC=BD B、AC⊥BD
C、AB=CD D、AB⊥CD
9、（2011 绵阳）下列关于矩形的说法，正确的是（ ）
A、对角线相等的四边形是矩形 B、对角线互相平分的四边形是矩形
C、矩形的对角线互相垂直且平分 D、矩形的对角线相等且互相平分
10、（2011 临沂）如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是（ ）
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A、2 B、3
C、4 D、4
11、在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=∠ADC=90°，BC=2，CD=11，自D作DH⊥AB于H，则DH的长是（ ）
A、7.5 B、7
C、6.5 D、5.5
二、填空题（共15小题）
12、如图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=10，则PD等于 _________ ．
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13、四边形ABCD中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB=，BC=，CD=6，则AD= _________ ．
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14、（2011 黑龙江）如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=8，BD=4，各边中点分别为A1、B1、C1、D1，顺次连接得到四边形A1B1C1D1，再取各边中点A2、B2、C2、D2，顺次连接得到四边形A2B2C2D2，…，依此类推，这样得到四边形AnBnCnDn，则四边形AnBnCnDn的面积为 _________ ．
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15、如图所示，点E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，且AB=AD，CB=CD，若四边形ABCD的面积为6cm2，那么四边形EFGH的面积为 _________ cm2． ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
16、如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2；…；如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn，那么四边形A15B15C15D15的周长为 _________ ．
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17、如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E、F、G、H分别是各边的中点，若AC=4cm，BD=6cm，则四边形EFGH的面积是 _________ cm2．
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18、在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB、BC满足条件 _________ 时，四边形PEMF为矩形．
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19、如图，以菱形ABCD各边的中点为顶点作四边形A1B1C1D1，再以A1B1C1D1各边的中点为顶点作四边形A2B2C2D2，…，如此下去，得到四边形A2011B2011C2011D2011，若ABCD对角线长分别为a和b，请用含a、b的代数式表示四边形A2011B2011C2011D2011的周长 _________ ．
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20、如图，AB∥CD，∠A=∠B=90°，AB=3cm，BC=2cm，则AB与CD之间的距离为 _________ cm．
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21、下列命题：①矩形的对角线互相平分且相等；②对角线相等的四边形是矩形；③菱形的每一条对角线平分一组对角；④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中正确的命题为 _________ （注：把你认为正确的命题序号都填上）
22、如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E、F、G、H分别是各边的中点，若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积是 _________ ．
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23、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点P为AB边上任一点，过P分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是 _________ ．
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24、菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，顺次连接菱形ABCD各边的中点所得四边形的面积为 _________ ．
25、在矩形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，点O到两邻边的距离分别是3cm，4cm，则此矩形的周长为 _________ cm．
26、如图，在四边形ABCD中，AC=4，BD=6，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…如此进行下去得到四边形AnBnCnDn．则四边形A3B3C3D3的面积 _________ ，四边形AnBnCnDn的面积 _________ ．
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三、解答题（共4小题）
27、如图，现有边长为a，边长为b的正方形卡片，和长为a，宽为b的长方形卡片各若干张．
（1）用给出的卡片拼成一个长为2a+b．宽为a+2b的长方形，画出拼成后的图形并计算：（2a+b）（a+2b）
（2）用上述卡片拼成一个面积为2a2+3ab+b2的长方形，画出拼成后的图形，并尝试对多项式2a2+3ab+b2进行分解因式．
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28、已知如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，∠ADB=30°且，求△ECD的面积．
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29、已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．
（1）如图1，若∠DAC=2∠ABC，AC=BC，四边形ABCD是平行四边形，则∠ABC= _________ ；
（2）如图2，若∠ABC=30°，△ACD是等边三角形，AB=3，BC=4．求BD的长；
（3）如图3，若∠ACD为锐角，作AH⊥BC于H．当BD2=4AH2+BC2时，∠DAC=2∠ABC是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论．
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30、在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G． 一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．
（1）在图1证明：BF=CG；
（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．证明：DE+DF=CG；
（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，DE+DF=CG是否仍然成立？若成立说明理由．
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答案与评分标准
一、选择题（共11小题）
1、△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D是BC上的一点，那么点D到AB与AC的距离的和为（ ）
A、5 B、6
C、4 D、
考点：等腰三角形的性质；平行线的判定与性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质。
分析：作△ABC的高CQ，AH，过C作CZ⊥DE交ED的延长线于Z，根据等腰三角形的性质得到BH=CH=3，根据勾股定理求出AH，再关键三角形的面积公式求出CQ，由CQ⊥AB，DE⊥AB，CZ⊥DE，得到矩形QEZC，得到CQ=ZE，根据垂直推出CZ∥AB，证出∠ACB=∠ZCB，根据AAS推出△ZCD≌△FCD，推出DF=DZ，根据DE+DF=CQ即可求出答案．
解答：解：作△ABC的高CQ，AH，过C作CZ⊥DE交ED的延长线于Z，
∵AB=AC=5，BC=6，AH⊥BC，
∴BH=CH=3，
根据勾股定理得：AH=4，
根据三角形的面积公式得：BC AH=AB CQ，
即：6×4=5CQ，
解得：CQ=，
∵CQ⊥AB，DE⊥AB，CZ⊥DE，
∴∠CQE=∠QEZ=∠Z=90°，
∴四边形QEZC是矩形，
∴CQ=ZE，
∵∠QEZ=∠Z=90°，
∴∠QEZ+∠Z=180°，
∴CZ∥AB，
∴∠B=∠ZCB，
∵DF⊥AC，CZ⊥DE，
∴∠Z=∠DFC=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠ACB=∠ZCB，
∵CD=CD，∠B=∠ZCB，
∴△ZCD≌△FCD，
∴DF=DZ，
∴DE+DF=CQ=．
故选D．
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点评：本题主要考查了全等三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，三角形的面积，等腰三角形的性质，平行线的性质和判定等知识点，能正确作辅助线并综合运用性质进行证明是解此题的关键．题型较好，综合性强．
2、如图∠BOP=∠AOP=15°，PC∥OB，PD⊥PB于D，PC=2，则PD的长度为（ ）
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A、4 B、3
C、2 D、1
考点：含30度角的直角三角形；矩形的判定与性质。
专题：计算题。
分析：作PE⊥OA于E，根据角平分线的性质可得PE=PD，根据平行线的性质可得∠ACP=∠AOB=30°，由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD．
解答：解：作PE⊥OA于E，
∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵∠BOP=∠AOP=15°，
∴∠AOB=30°，
∵PC∥OB，
∴∠ACP=∠AOB=30°，
∴在Rt△PCE中，PE=PC=×2=1（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴PD=PE=1，
故选D．
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点评：此题主要考查角平分线的性质和平行线的性质，难度一般，作辅助线是关键．
3、（2011 江津区）如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn．下列结论正确的有（ ）
①四边形A2B2C2D2是矩形；
②四边形A4B4C4D4是菱形；
③四边形A5B5C5D5的周长是
④四边形AnBnCnDn的面积是．
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A、①② B、②③
C、②③④ D、①②③④
考点：三角形中位线定理；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质。
专题：规律型。
分析：首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD中各边长的长度关系规律，然后对以下选项作出分析与判断：
①根据矩形的判定与性质作出判断；
②根据菱形的判定与性质作出判断；
③由四边形的周长公式：周长=边长之和，来计算四边形A5B5C5D5的周长；
④根据四边形AnBnCnDn的面积与四边形ABCD的面积间的数量关系来求其面积．
解答：解：①连接A1C1，B1D1．
∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A1B1C1D1，
∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC；
∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1，
∴四边形A1B1C1D1是平行四边形；
∴B1D1=A1C1（平行四边形的两条对角线相等）；
∴A2D2=C2D2=C2B2=B2A2（中位线定理），
∴四边形A2B2C2D2是菱形；
故本选项错误；
②由①知，四边形A2B2C2D2是菱形；
∴根据中位线定理知，四边形A4B4C4D4是菱形；
故本选项正确；
③根据中位线的性质易知，A5B5=A3B3=×A1B1=××AC，B5C5=B3C3=×B1C1=××BD，
∴四边形A5B5C5D5的周长是2×（a+b）=；
故本选项正确；
④∵四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，
∴S四边形ABCD=ab÷2；
由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
四边形AnBnCnDn的面积是；
故本选项正确；
综上所述，②③④正确．
故选C．
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点评：本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）．解答此题时，需理清菱形、矩形与平行四边形的关系．
4、已知1个四边形的对角线互相垂直，且两条对角线的长度分别是8和10，那么顺次连接这个四边形的四边中点所得的四边形的面积是（ ）
A、40 B、
C、20 D、
考点：三角形中位线定理；矩形的判定与性质。
专题：计算题。
分析：根据三角形中位线的定理可分别求得EF，HG，HE，GF的长，已知两对角线互相垂直，则可判定所求的四边形为矩形，根据矩形的面积公式求解即可．
解答：解：∵AC=10，BD=8，点E，F，G，H分别是边AB，AD，CD，BC的中点，
∴EF∥BD∥HG，EF=HG=BD=4，HE=GF=AC=5，
∵AC⊥BD，
∴四边形EFGH是矩形，
∴矩形EFGH的面积=4×5=20．
故选C．
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点评：此题主要考查三角形中位线定理及矩形的判定与性质的综合运用．
5、取四边形ABCD的各边中点E、F、G、H，依次连接EFGH得到四边形EFGH，现知四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD的对角线（ ）
A、相等 B、相等且平分
C、垂直 D、垂直且平分
考点：菱形的性质；矩形的判定与性质。
分析：四边相等的四边形是菱形．
解答：解：因为四边形四边中点的连线是四边形对角线的中位线，所以只要四边形的对角线相等，中点的连线就是菱形．
故选A．
点评：本题考查菱形的判定，四边相等的四边形是菱形和中位线定理．
6、下列各组条件中，能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A、∠A+∠B=90° B、AB∥CD，AB=CD，AC=BD
C、AB∥CD，AD=BC，AC=BD D、AC=BD，∠A=90°
考点：矩形的判定；矩形的判定与性质。
专题：证明题；推理填空题。
分析：根据矩形的判定，用排除法即可判定所选答案．
解答：解：A、不能判断四边形ABCD为矩形，故A选项错误；
B、由AB∥CD，AB=CD，所以四边形ABCD为平行四边形，
AC=BD，所以平行四边形ABCD为矩形．故B正确．
C、不能判断四边形ABCD为矩形，故C选项错误；
D、AC=BD，∠A=90°，不能判断四边形ABCD为矩形，故D选项错误；
故选B．
点评：本题主要考查了矩形的判定，即对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．
7、下列说法中，错误的是（ ）
A、矩形的四个内角都相等 B、四个内角都相等的四边形是矩形
C、菱形的对角线互相垂直 D、对角线互相垂直的四边形是菱形
考点：菱形的判定与性质；矩形的判定与性质。
分析：根据菱形及矩形的性质与判定进行分析从而得到最后答案．
解答：解：A正确，符合矩形的性质；
B正确，符合矩形的判定；
C正确，符合菱形的性质；
D不正确，应该是对角线互相垂直平分的四边形是菱形；
故选D．
点评：本题主要考查了菱形的判定与性质及矩形的判定与性质的理解．
8、顺次连接四边形ABCD的四条边的中点，得到一个矩形，那么（ ）
A、AC=BD B、AC⊥BD
C、AB=CD D、AB⊥CD
考点：矩形的判定；垂线；平行线的性质；三角形中位线定理；矩形的判定与性质。
专题：证明题。
分析：根据矩形的性质得到∠FEH=90°，根据三角形的中位线定理得出EF∥AC，根据平行线的性质推出∠FEH+∠CME=180°，∠EMC+∠BOA=180°，即推出∠BOA=∠FEH=90°，即可得到答案．
解答：解：∵矩形EFGH，
∴∠FEH=90°，
∵E是AB的中点，F是BC的中点，
∴EF∥AC，
∴∠FEH+∠CME=180°，
同理EH∥BD，
∴∠EMC+∠BOA=180°，
∴∠BOA=∠FEH=90°，
∴AC⊥BD，
故选B．
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点评：本题主要考查对矩形的性质和判定，三角形的中位线定理，平行线的性质，垂直的定义等知识点的理解和掌握，能灵活运用这些性质进行证明是证此题的关键．题型较好，难度适中．
9、（2011 绵阳）下列关于矩形的说法，正确的是（ ）
A、对角线相等的四边形是矩形 B、对角线互相平分的四边形是矩形
C、矩形的对角线互相垂直且平分 D、矩形的对角线相等且互相平分
考点：矩形的判定与性质。
专题：推理填空题。
分析：根据定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形的性质：
1．矩形的四个角都是直角
2．矩形的对角线相等
3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等
4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线）．
5．对边平行且相等
6．对角线互相平分，对各个选项进行分析即可．
解答：解：A、因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以本选项错误；
B、因为对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以本选项错误；
C、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项错误；
D、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项正确．
故选D．
点评：本题主要考查学生对矩形的判定与性质这一知识点的理解和掌握，都是一些基础知识，要求学生应熟练掌握．
10、（2011 临沂）如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是（ ）
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A、2 B、3
C、4 D、4
考点：矩形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理。
分析：因为DE是AC的垂直的平分线，所以D是AC的中点，F是AB的中点，所以DF∥BC，所以∠C=90°，所以四边形BCDE是矩形，因为∠A=30°，∠C=90°，BC=2，能求出AB的长，根据勾股定理求出AC的长，从而求出DC的长，从而求出面积．
解答：解：∵DE是AC的垂直的平分线，F是AB的中点，
∴DF∥BC，
∴∠C=90°，
∴四边形BCDE是矩形．
∵∠A=30°，∠C=90°，BC=2，
∴AB=4，
∴AC==2．
∴DE=CB=．
∴四边形BCDE的面积为：2×=2．
故选A．
点评：本题考查了矩形的判定定理，矩形的面积的求法，以及中位线定理，勾股定理，线段垂直平分线的性质等．
11、在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=∠ADC=90°，BC=2，CD=11，自D作DH⊥AB于H，则DH的长是（ ）
A、7.5 B、7
C、6.5 D、5.5
考点：矩形的判定与性质；含30度角的直角三角形。
专题：几何综合题。
分析：过C作DH的垂线CE交DH于E，证明四边形BCEH是矩形．所以求出HE的长；再求出∠DCE=30°，又因为CD=11，所以求出DE，进而求出DH的长．
解答：解：过C作DH的垂线CE交DH于E，
∵DH⊥AB，CB⊥AB，
∴CB∥DH又CE⊥DH，
∴四边形BCEH是矩形．
∵HE=BC=2，在Rt△AHD中，∠A=60°，
∴∠ADH=30°，
又∵∠ADC=90°
∴∠CDE=60°，
∴∠DCE=30°，
∴在Rt△CED中，DE=CD=5.5，
∴DH=2+5.5=7.5．
故选A．
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点评：本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形的一个重要性质：30°的锐角所对的直角边是斜边的一半；以及勾股定理的运用．
二、填空题（共15小题）
12、如图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=10，则PD等于 5 ．
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考点：含30度角的直角三角形；等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质。
分析：过点P作PM⊥OB于M，根据平行线的性质可得到∠BCP的度数，再根据直角三角形的性质可求得PM的长，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到PM=PD，从而求得PD的长．
解答：解：过点P作PM⊥OB于M．
∵PC∥OA，
∴∠COP=∠CPO=∠POD=15°，
∴∠BCP=30°，
∴PM=PC=5．
∵PD=PM，
∴PD=5．
故填5．
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点评：本题考查了等腰三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质；解决本题的关键就是利用角平分线的性质，把求PD的长的问题进行转化．
13、四边形ABCD中，∠ABC=135°，∠BCD=120°，AB=，BC=，CD=6，则AD= ．
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考点：勾股定理；矩形的判定与性质。
专题：计算题。
分析：作AE⊥BC，DE⊥BC，AG⊥DF，则四边形AEFG为矩形，AE=FG．EF=AG，因为△ADG为直角三角形，所以AD=，根据直角△AEB和直角△CDF即可求AE，BE，CF，FD．
解答：解：作AE⊥BC，DF⊥BC，AG⊥DF，
则四边形AEFG四个内角均为直角，
∴四边形AEFG为矩形，AE=FG．EF=AG
∠ABE=180°﹣135°=45°，∠DCF=180°﹣120°=60°，
∴AE=EB=×=，CF=×CD=3，FD=CF=3，
∴AG=EF=8，DG=DF﹣AE=2，
∴AD==，
故答案为．
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点评：本题考查了矩形的判定和矩形对边相等的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中构造矩形AEFG是解题的关键．
14、（2011 黑龙江）如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=8，BD=4，各边中点分别为A1、B1、C1、D1，顺次连接得到四边形A1B1C1D1，再取各边中点A2、B2、C2、D2，顺次连接得到四边形A2B2C2D2，…，依此类推，这样得到四边形AnBnCnDn，则四边形AnBnCnDn的面积为 （或或，只要答案正确即可） ．
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考点：三角形中位线定理；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质。
专题：规律型。
分析：根据三角形的面积公式，可以求得四边形ABCD的面积是16；根据三角形的中位线定理，得A1B1∥AC，A1B1=AC，则△BA1B1∽△BAC，得△BA1B1和△BAC的面积比是相似比的平方，即，因此四边形A1B1C1D1的面积是四边形ABCD的面积的，即a2；推而广之，则AC=8，BD=4，四边形AnBnCnDn的面积=．
解答：解：∵四边形A1B1C1D1的四个顶点A1、B1、C1、D1分别为AB、BC、CD、DA的中点，
∴A1B1∥AC，A1B1=AC．
∴△BA1B1∽△BAC．
∴△BA1B1和△BAC的面积比是相似比的平方，即．
又四边形ABCD的对角线AC=8，BD=4，AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积是16．
推而广之，则AC=8，BD=4，四边形AnBnCnDn的面积=．
故答案为（或或，只要答案正确即可）．
点评：此题综合运用了三角形的中位线定理、相似三角形的判定及性质．注意：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．
15、如图所示，点E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，且AB=AD，CB=CD，若四边形ABCD的面积为6cm2，那么四边形EFGH的面积为 3 cm2． ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
考点：三角形中位线定理；矩形的判定与性质。
专题：计算题。
分析：连接AC，BD，交于点O，可证明四边形EFGH为矩形，根据三角形的中位线定理可得出答案．
解答：解：连接AC，BD，交于点O， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
∵AB=AD，CB=CD，
∴AC与BD互相垂直平分，
∵点E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，
∴四边形EFGH为矩形，
∵四边形ABCD的面积为6cm2，
∴AC BD=12，
∵EF=AC，EG=BD，
∴EF EG=×AC BD=3．
故答案为3．
点评：本题考查了三角形的中位线定理、矩形的判定和性质，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．
16、如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边的中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边的中点，得到四边形A2B2C2D2；…；如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn，那么四边形A15B15C15D15的周长为 ．
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考点：三角形中位线定理；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质。
分析：根据三角形中位线性质定理可得每一次去各边中点所形成新的四边形周长都为前一个的；并且四边形是平行四边形，即可计算四边形A15B15C15D15的周长，
解答：解：根据中位线的性质易知，A15B15=A13B13×A11B11…×A1B1=××…×AC；
B15C15=B13C13×A11B11×…=×B1C1=××…×BD，
∴四边形A15B15C15D15的周长是2×（a+b）=．
故答案为．
点评：本题考查了三角形的中位线性质定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
17、如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E、F、G、H分别是各边的中点，若AC=4cm，BD=6cm，则四边形EFGH的面积是 6 cm2．
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考点：三角形中位线定理；矩形的判定与性质。
专题：计算题。
分析：根据E、F、G、H分别是各边的中点，利用三角形中位线定理求出EH和EF，判定四边形EFGH是矩形，然后即可四边形EFGH的面积．
解答：解；∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，
∴EH∥BD且EH=BD，FG∥BD且=BD，
∴EH∥FG，EH=FG，
同理EF∥HG，EF=HG，
又∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD=EF×EH=AC×BD=×4××6=6cm2．
点评：此题主要考查学生对三角形中位线定理和矩形的判定与性质等知识点的理解和掌握，此题难度不大，属于中档题．
18、在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB、BC满足条件 AB=BC 时，四边形PEMF为矩形．
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考点：矩形的判定与性质。
分析：根据已知条件、矩形的性质和判定，欲证明四边形PEMF为矩形，只需证明∠BMC=90°，易得AB=BC时能满足∠BMC=90°的条件．
解答：解：AB=BC时，四边形PEMF是矩形．
∵在矩形ABCD中，M为AD边的中点，AB=BC，
∴AB=DC=AM=MD，∠A=∠D=90°，
∴∠ABM=∠MCD=45°，
∴在△MBC中，∠BMC=90°，
又∵PE⊥MC，PF⊥MB，
∴∠PFM=∠PEM=90°，
∴四边形PEMF是矩形．
点评：此题考查了矩形的判定和性质的综合应用，是以开放型试题，是中考命题的热点．
19、如图，以菱形ABCD各边的中点为顶点作四边形A1B1C1D1，再以A1B1C1D1各边的中点为顶点作四边形A2B2C2D2，…，如此下去，得到四边形A2011B2011C2011D2011，若ABCD对角线长分别为a和b，请用含a、b的代数式表示四边形A2011B2011C2011D2011的周长 ．
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考点：矩形的判定与性质；三角形中位线定理；菱形的性质。
专题：规律型。
分析：根据图形，四边形A1B1C1D1的长为，宽为，四边形A2B2C2D2是菱形，边长为；四边形A3B3C3D3的长为，宽为，四边形A4B4C4D4是菱形，边长为，依次类推，A2n﹣1B2n﹣1C2n﹣1D2n﹣1长为，宽为，四边形A2nB2nC2nD2n是菱形，边长为，四边形A2010B2010C2010D2010是菱形，边长乘以4就是周长．
解答：解：结合图形，脚码为奇数时，四边形A2n﹣1B2n﹣1C2n﹣1D2n﹣1是矩形，长为，宽为；
脚码为偶数时，四边形A2nB2nC2nD2n是菱形，边长为，
∴四边形A2010B2010C2010D2010是菱形，边长为，
周长为，
即．
故答案为：．
点评：本题是规律探寻题，探索出当脚码为奇数时，四边形为矩形，当脚码为偶数时，四边形为菱形，并表示出矩形的长与宽的表达式以及菱形的边长的表达式是解题的关键．
20、如图，AB∥CD，∠A=∠B=90°，AB=3cm，BC=2cm，则AB与CD之间的距离为 2 cm．
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考点：矩形的判定与性质。
专题：证明题。
分析：由AB∥CD，可得∠A+∠D=180°，∠B+∠C=180°，再根据∠A=∠B=90°，可得出∠C=∠D=90°，则四边形ABCD为矩形，从而得出AB与CD之间的距离为BC的长．
解答：解：∵AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，∠B+∠C=180°，
∵∠A=∠B=90°，
∴∠C=∠D=90°，
∴四边形ABCD为矩形，
∴AB与CD之间的距离为BC，
∵BC=2cm，
∴AB与CD之间的距离为2cm．
故答案为2．
点评：本题考查了矩形的判定和性质，是基础知识比较简单．
21、下列命题：①矩形的对角线互相平分且相等；②对角线相等的四边形是矩形；③菱形的每一条对角线平分一组对角；④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中正确的命题为 ①③④ （注：把你认为正确的命题序号都填上）
考点：矩形的判定与性质；菱形的判定与性质。
分析：根据正方形、平行四边形、菱形和矩形的判定，对选项一一分析，选择正确答案．
解答：解：①矩形的对角线互相平分且相等；故正确；
②对角线相等的四边形是矩形，不能正确判定，故错误；
③菱形的每一条对角线平分一组对角，这是菱形的一条重要性质，故正确；
④一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，故正确．
故答案为：①③④．
点评：考查了正方形、平行四边形、菱形和矩形的判定方法．解决此题的关键是熟练掌握运用这些判定．
22、如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E、F、G、H分别是各边的中点，若AC=8，BD=6，则四边形EFGH的面积是 12 ．
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考点：矩形的判定与性质；三角形中位线定理。
专题：计算题。
分析：根据E、F、G、H分别是各边的中点，利用三角形中位线定理求出EH和EF，判定四边形EFGH是矩形，然后即可四边形EFGH的面积．
解答：解：∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，
∴EH∥BD且EH=BD，FG∥BD且=BD，
∴EH∥FG，EH=FG，
同理EF∥HG，EF=HG，
又∵AC⊥BD，
∴四边形EFGH是矩形，
∴四边形EFGH=EF×EH=AC×BD=×8××6=12．
点评：此题主要考查学生对三角形中位线定理和矩形的判定与性质等知识点的理解和掌握，此题难度不大，属于中档题．
23、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点P为AB边上任一点，过P分别作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF的最小值是 ．
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考点：矩形的判定与性质；垂线段最短；三角形的面积；勾股定理。
专题：计算题。
分析：根据勾股定理求出AB，证矩形EPFC，推出EF=CP，过C作CD⊥AB，得到CD=EF，求出CD的长即可．
解答：解：∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理得：AB=5，
∵PE⊥AC，PF⊥BC，
∴∠PEC=∠PFC=∠ACB=90°，
∴四边形EPFC是矩形，
∴EF=CP，
即EF表示C与边AB上任意一点的距离，
根据垂线段最短，
过C作CD⊥AB，
当EF=DC最短，
根据三角形面积公式得：AC×BC=AB×CD，
∴CD=，
故答案为：．
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点评：本题主要考查对矩形的性质和判定，三角形的面积，垂线段最短，勾股定理等知识点的理解和掌握，能得到CD=EF是解此题的关键．
24、菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，顺次连接菱形ABCD各边的中点所得四边形的面积为 ．
考点：矩形的判定与性质；三角形中位线定理；菱形的性质。
分析：顺次连接这个菱形各边中点所得的四边形是矩形，且矩形的边长分别是菱形对角线的一半，所以可得矩形的面积．
解答：解：∵四边形ABCD是菱形，且AB=2，∠ABC=60°，
∴菱形的一条对角线长是2，另一个对角线的长是2．
∵矩形的边长分别是菱形对角线的一半
∴矩形的边长分别是1，，1，．
∴矩形的面积是．
即顺次连接菱形ABCD各边中点所得的四边形的面积为．
故应填：．
点评：本题考查菱形的性质，矩形的判定与性质等知识．注意准确掌握菱形的四边相等，对角线互相垂直，连接菱形各边的中点得到矩形，且矩形的边长是菱形对角线的一半．
25、在矩形ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，点O到两邻边的距离分别是3cm，4cm，则此矩形的周长为 28 cm．
考点：矩形的判定与性质；等腰三角形的性质。
专题：计算题。
分析：根据矩形的判定证矩形OEBF，求出BF、BE，根据等腰三角形的性质求出BF=CF，求出BC、AB即可．
解答：解：
∵矩形ABCD，OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠OEB=∠OFN=∠ABC=90°，AO=OC，OD=OB，AC=BD，
∴四边形OEBF是矩形，OB=OC，
∴OE=BF=4，OF=BE=3，BF=CF，
∴BC=4+4=8=AD，
同理CD=AB=6，
∴矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=6+8+6+8=28，
故答案为：28．
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点评：本题主要考查对等腰三角形的性质，矩形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能求出BC和AB的长是解此题的关键．
26、如图，在四边形ABCD中，AC=4，BD=6，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…如此进行下去得到四边形AnBnCnDn．则四边形A3B3C3D3的面积 ，四边形AnBnCnDn的面积 ．
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考点：矩形的判定与性质；三角形中位线定理。
专题：规律型。
分析：由三角形的中位线的性质知，B1C1=BD=3，B1A1=AC=2，故矩形A1B1C1D1的面积为6，可以得到故四边形A2B2C2D2的面积是A1B1C1D1的面积的一半，以此类推可得四边形A3B3C3D3的面积；
由三角形的中位线的性质可以推得，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，故四边形AnBnCnDn的面积为 12×．
解答：解：点A1，D1分别是AB、AD的中点，
∴A1D1是△ABD的中位线
∴A1D1∥BD，A1D1=BD，
同理：B1C1∥BD，B1C1=BD
∴A1D1∥B1C1，A1D1=B1C1，
∴四边形A1B1C1D1是平行四边形．
∵AC⊥BD，AC∥A1B1，BD∥A1D1，
∴A1B1⊥A1D1即∠B1A1D1=90°
∴四边形A1B1C1D1是矩形；
由三角形的中位线的性质知，B1C1=BD=3，B1A1=AC=2，
得：四边形A1B1C1D1的面积为6；四边形A2B2C2D2的面积为3；
∴四边形A3B3C3D3的面积=．
由三角形的中位线的性质可以推得，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
故四边形AnBnCnDn的面积为：12×．
点评：本题考查了矩形的性质和判定，以及三角形的中位线的性质，处理此类问题，要灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决有关线段和面积等有关的问题．
三、解答题（共4小题）
27、如图，现有边长为a，边长为b的正方形卡片，和长为a，宽为b的长方形卡片各若干张．
（1）用给出的卡片拼成一个长为2a+b．宽为a+2b的长方形，画出拼成后的图形并计算：（2a+b）（a+2b）
（2）用上述卡片拼成一个面积为2a2+3ab+b2的长方形，画出拼成后的图形，并尝试对多项式2a2+3ab+b2进行分解因式．
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考点：列代数式；因式分解-十字相乘法等；矩形的判定与性质。
分析：（1）根据长方形的长、宽之间的关系画出图形即可；
（2）根据长方形的面积公式与长、宽之间的关系画出图形即可．
解答：解：（1）如图，（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2
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（2）如图，2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b），
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点评：此题考查了列代数式；解决问题的关键是读懂题意，画出图形，列出式子．
28、已知如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD，垂足为E，∠ADB=30°且，求△ECD的面积．
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考点：三角形的面积；含30度角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质。
专题：计算题。
分析：由矩形ABCD，得到AD=BC=4，由勾股定理得到3AB2=AD2=，求出AB=4，过E作FE⊥AD于F，EN⊥CD于N，证四边形EFDN是矩形，推出EF=DN，DF=EN，由勾股定理求出AE=2，DE=6，根据三角形的面积公式得到4EF=2×6，求出EF，由勾股定理求出DF、EN的长根据△ECD的面积DC EN求出即可．
解答：解：∵矩形ABCD，
∴AD=BC=4，
∠DAB=90°=∠ADC，
∵∠ADB=30°，
由勾股定理得：3AB2=AD2=，
解得：AB=4，
过E作FE⊥AD于F，EN⊥CD于N，
∵∠ADC=90°，
∴∠EFD=∠END=∠ADC=90°，
∴四边形EFDN是矩形，
∴EF=DN，DF=EN，
在△ADE中，由勾股定理得：AE=2，DE=6，
根据三角形的面积公式得：4EF=2×6，
解得：EF=3，
由勾股定理得：DF==3=EN，
∴△ECD的面积是DC EN=×4×3=6，
答：△ECD的面积是6．
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点评：本题主要考查对矩形的性质和判定，勾股定理，三角形的面积，含30度角的直角三角形等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．
29、已知△ABC，以AC为边在△ABC外作等腰△ACD，其中AC=AD．
（1）如图1，若∠DAC=2∠ABC，AC=BC，四边形ABCD是平行四边形，则∠ABC= 45° ；
（2）如图2，若∠ABC=30°，△ACD是等边三角形，AB=3，BC=4．求BD的长；
（3）如图3，若∠ACD为锐角，作AH⊥BC于H．当BD2=4AH2+BC2时，∠DAC=2∠ABC是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论．
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考点：全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质。
专题：计算题。
分析：（1）由AC=AD得∠D=∠ACD，由平行四边形的性质得∠D=∠ABC，在△ACD中，由内角和定理求解；
（2）如图2，在△ABC外作等边△BAE，连接CE，利用旋转法证明△EAC≌△BAD，可证∠EBC=90°，BE=AB=3，在Rt△BCE中，由勾股定理求CE，由三角形全等得BD=CE；
（3）∠DAC=2∠ABC成立，过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC．并取BE的中点K，连接AK，仿照（2）利用旋转法证明△EAC≌△BAD，利用内角和定理证明结论．
解答：解：（1）45；
（2）如图2，以A为顶点AB为边在△ABC外作∠BAE=60°，并在AE上取AE=AB，连接BE和CE．
∵△ACD是等边三角形，
∴AD=AC，∠DAC=60°．
∵∠BAE=60°，
∴∠DAC+∠BAC=∠BAE+∠BAC．
即∠EAC=∠BAD．
∴△EAC≌△BAD．
∴EC=BD．
∵∠BAE=60°，AE=AB=3，
∴△AEB是等边三角形，
∴∠EBA=60°，EB=3，
∵∠ABC=30°，
∴∠EBC=90°．
∵∠EBC=90°，EB=3，BC=4，
∴EC=5．
∴BD=5．
（3）∠DAC=2∠ABC成立，
以下证明：
如图3，过点B作BE∥AH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC．并取BE的中点K，连接AK．
∵AH⊥BC于H，
∴∠AHC=90°．
∵BE∥AH，
∴∠EBC=90°．
∵∠EBC=90°，BE=2AH，
∴EC2=EB2+BC2=4AH2+BC2．
∵BD2=4AH2+BC2，
∴EC=BD．
∵K为BE的中点，BE=2AH，
∴BK=AH．
∵BK∥AH，
∴四边形AKBH为平行四边形．
又∵∠EBC=90°，
∴四边形AKBH为矩形．
∴∠AKB=90°．
∴AK是BE的垂直平分线．
∴AB=AE．
∵AB=AE，EC=BD，AC=AD，
∴△EAC≌△BAD．
∴∠EAC=∠BAD．
∴∠EAC﹣∠EAD=∠BAD﹣∠EAD．
即∠EAB=∠DAC．
∵∠EBC=90°，∠ABC为锐角，
∴∠ABC=90°﹣∠EBA．
∵AB=AE，
∴∠EBA=∠BEA．
∴∠EAB=180°﹣2∠EBA．
∴∠EAB=2∠ABC．
∴∠DAC=2∠ABC．
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点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的运用．关键是根据已知条件构造全等三角形．
30、在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G． 一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．
（1）在图1证明：BF=CG；
（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．证明：DE+DF=CG；
（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，DE+DF=CG是否仍然成立？若成立说明理由．
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考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；平移的性质。
专题：证明题。
分析：（1）由于∠F=∠G=90°，∠BAF=∠CAG，AB=AC，利用AAS易证△BAF≌△CAG，从而有BF=CG；
（2）先过D作DH⊥CG于点H，由于DE⊥BA，∠G=90°，DH⊥CG于H，易证四边形EDHG是矩形，那么DE=HG，DH∥BG，根据平行线的性质，结合AB=AC，易得∠FCD=∠GBC=∠HDC，而∠DHC=∠CFD=90°，CD=DC，利用AAS易证△DCH≌△CDF，从而DF=CH，那么DE+DF=GH+CH，即DE+DF=CG；
（3）仍然成立．证法同（2）．
解答：证明：（1）∵∠F=∠G=90°，∠BAF=∠CAG，AB=AC，
∴△BAF≌△CAG，
∴BF=CG；
（2）如右图（2），
过D作DH⊥CG于点H，
∵DE⊥BA，∠G=90°，DH⊥CG于H，
∴四边形EDHG是矩形，
∴DE=HG，DH∥BG，
∴∠GBC=∠HDC，
∵AB=AC，
∴∠FCD=∠GBC=∠HDC，
又∵∠DHC=∠CFD=90°，CD=DC，
∴△DCH≌△CDF，
∴DF=CH，
∴DE+DF=GH+CH，
即DE+DF=CG；
（3）仍然成立． ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
过D作DH⊥CG于点H，
∵DE⊥BA，∠G=90°，DH⊥CG于H，
∴四边形EDHG是矩形，
∴DE=HG，DH∥BG，
∴∠GBC=∠HDC，
∵AB=AC，
∴∠FCD=∠GBC=∠HDC，
又∵∠DHC=∠CFD=90°，CD=DC，
∴△DCH≌△CDF，
∴DF=CH，
∴DE+DF=GH+CH，
即DE+DF=CG．
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点评：本题考查了全等三角形判定和性质、矩形的判定．知道有三个角是直角的四边形是矩形，解题的关键是作辅助线DH．