18.2勾股定理的逆定理的专题训练（附答案解析）
文档属性
| 名称 | 18.2勾股定理的逆定理的专题训练（附答案解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 300.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2013-05-22 14:16:58 | ||
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文档简介
勾股定理的逆定理 专题训练
一、选择题（共19小题）
1、若△ABC三边长a，b，c满足+|b﹣a﹣1|+（c﹣5）2=0，则△ABC是（ ）
A、等腰三角形 B、等边三角形
C、直角三角形 D、等腰直角三角形
2、在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有（ ）
A、4个 B、5个
C、6个 D、8个
3、在平面直角坐标系中有两点A（﹣2，2），B（3，2），C是坐标轴上的一点，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点共有（ ）
A、1个 B、2个
C、4个 D、6个
4、长度为9、12、15、36、39的五根木棍，从中取三根依次搭成三角形，最多可搭成直角三角形的个数是（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
5、有下列说法：①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；②三边长为，，的三角形为直角三角形；③等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为10；④一边上的中线等于这边长的一半的三角形是等腰直角三角形．其中正确的个数是（ ）
A、4个 B、3个
C、2个 D、1个
6、The coordinates of the three points A．B．C on the plane are （﹣5，﹣5），（﹣2，﹣1）and（﹣1，﹣2）respectively，the triangle ABC is（ ）
（英汉小词典：right直角的；isosceles等腰的；equilateral等边的；obtuse钝角的）
A、a right trisngle B、an isosceles triangle
C、an equilateral triangle D、an obtuse triangle
7、如图所示方格纸中的三角形是（ ）
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A、等腰三角形 B、等边三角形
C、直角三角形 D、等腰直角三角形
8、下列说法中错误的是（ ）
A、正三角形既是轴对称图形也是中心对称轴图形 B、三边长分别为m2﹣n2、2mn和m2+n2（m＞n＞0）的三角形是直角三角形
C、等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合 D、正五边形不可以进行平面镶嵌
9、有下列说法：①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；②三边长为，，3的三角形为直角三角形；③等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为10；④一边上的中线等于这边长的一半的三角形是等腰直角三角形．其中正确的个数是（ ）
A、4个 B、3个
C、2个 D、1个
10、下列说法正确的有（ ）
①如果∠A+∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形；②如果∠A：∠B：∠C=1：2：3，则三角形是直角三角形；③如果三角形的三边长分别为4、4、6，那么这个三角形不是直角三角形；④有一个角是直角的三角形是直角三角形．
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
11、有四个三角形，分别满足下列条件：（1）一个角等于另外两个内角之和；（2）三个内角之比为3：4：5；（3）三边之比为5：12：13；（4）三边长分别为5，24，25．其中直角三角形有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
12、△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法中，错误的是（ ）
A、如果∠C﹣∠B=∠A，那么∠C=90° B、如果∠C=90°，那么c2﹣b2=a2
C、如果（a+b）（a﹣b）=c2，那么∠C=90° D、如果∠A=30°∠B=60°，那么AB=2BC
13、下列说法中，正确的个数有（ ）
①已知直角三角形的面积为2，两直角边的比为1：2，则斜边长为；
②直角三角形的最大边长为，最短边长为1，则另一边长为；
③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC为直角三角形；
④等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5．
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
14、下列说法：①已知直角三角形的面积为4，两直角边的比为1：2，则斜边长为；②直角三角形的最大边长为，最短边长为1，则另一边长为；③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC为直角三角形；④等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5，其中正确结论的序号是（ ）
A、只有①②③ B、只有①②④
C、只有③④ D、只有②③④
15、下列结沦中，错误的有（ ）
①Rt△ABC中，已知两边分别为3和4，则第三边的长为5；
②三角形的三边分别为a、b、c，若a2+b2=c2，则∠A=90°；
③若△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：5：6，则这个三角形是一个直角三角形；
④若（x﹣y）2+M=（x+y）2成立，则M=4xy．
A、0个 B、1个
C、2个 D、3个
16、如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）
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A、CD、EF、GH B、AB、EF、GH
C、AB、CD、GH D、AB、CD、EF
17、下列叙述中，正确的是（ ）
A、直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方 B、△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a2+b2=c2，则∠A=90°
C、如果△ABC是直角三角形，且∠C=90°，那么c2=b2﹣a2 D、如果∠A+∠B=∠C，则△ABC是直角三角形
18、如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，试判断三角形ABC的形状（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
A、钝角三角形 B、直角三角形
C、锐角三角形 D、以上都有可能
19、如图，四边形的四条边AB，BC，CD和DA的长分别是2，，5，4，其中∠B=90°，那么四边形的面积为（ ）
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A、 B、
C、 D、
二、填空题（共5小题）
20、已知三角形的三边依次为n2﹣1，2n，n2+1，当n取2至10这9个自然数时，得到9个不同的三角形，其中具有最小内角的三角形的三边长依次为 _________ ．
21、如图，已知八边形ABCDEFGH中4个正方形的面积分别为25，144，48，121个平方单位，PR=13（单位），则该八边形的面积= _________ 平方单位． ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
22、在△ABC中，AB=5，AC=12，CB=13，D、E为边BC上的点，满足BD=1，CE=8．则∠DAE的度数为 _________ ．
23、已知|m﹣|++（p﹣）2=0则以m、n、p为三边长的三角形是 _________ 三角形．
24、已知x，y，z均为正数，且|x﹣4|+（y﹣3）2+=0，若以x，y，z的长为边长画三角形，此三角形的形状为 _________ ．
三、解答题（共6小题）
25、一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，这样的直角三角形是否存在？若存在，确定它三边的长，若不存在，说明理由．
26、当a、b、c为何值时，代数式有最小值？并求出这个最小值和此时以a、b、c值为边的三角形的面积．
27、已知a，b，c为正数，满足如下两个条件：
a+b+c=32 ①
②
是否存在以为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角．
28、在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都为1．
（一）请建立xOy平面直角坐标系，使点A、B的坐标分别为（﹣2，0）和（﹣1，﹣5）；
（二）根据你建立的平面直角坐标系，解答下列问题：
（1）画出△ABC关于坐标原点对称的△A1B1C1；
（2）△ABC是否为直角三角形？（只作回答不用证明）；
（3）点C关于x轴的对称点为点C2，反比例函数的图象的一支恰好经过点C2，求此反比例函数解析式．
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29、（1）如图①所示，P是等边△ABC内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转60°得△BCQ，连接PQ．若PA2+PB2=PC2，证明∠PQC=90°；
（2）如图②所示，P是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转90°得△BCQ，连接PQ．当PA、PB、PC满足什么条件时，∠PQC=90°？请说明． ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
30、如图，在△ABC中，AB=41cm，BC=18cm，BC边上的中线AD=40cm．△ABC是等腰三角形吗？为什么？
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答案与评分标准
一、选择题（共19小题）
1、若△ABC三边长a，b，c满足+|b﹣a﹣1|+（c﹣5）2=0，则△ABC是（ ）
A、等腰三角形 B、等边三角形
C、直角三角形 D、等腰直角三角形
考点：非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；勾股定理的逆定理。
分析：根据非负数的性质可求得三边的长，再根据勾股定理的逆定理可推出这个三角形是直角三角形．
解答：解：∵△ABC三边长a，b，c满足+|b﹣a﹣1|+（c﹣5）2=0，且≥0，|b﹣a﹣1|≥0，（c﹣5）2≥0
∴a+b﹣25=0，b﹣a﹣1=0，c﹣5=0，
∴a=12，b=13，c=5，
∵122+52=132，
∴△ABC是直角三角形．
故选C．
点评：此题主要考查学生对非负数的性质及勾股定理逆定理的综合运用．
2、在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有（ ）
A、4个 B、5个
C、6个 D、8个
考点：坐标与图形性质；勾股定理的逆定理。
分析：当∠A=90°时，满足条件的C点2个；当∠B=90°时，满足条件的C点2个；当∠C=90°时，满足条件的C点2个．所以共有6个．
解答：解：∵点A，B的纵坐标相等，
∴AB∥x轴，点C到距离AB为5，并且在平行于AB的两条直线上．
∴满足条件的C点有：（1，6），（6，6），（11，6），（1，﹣4），（6，﹣4），（11，﹣4）
故选C．
点评：用到的知识点为：到一条直线距离为某个定值的直线有两条．△ABC是直角三角形，它的任意一个顶点都有可能为直角顶点．
3、在平面直角坐标系中有两点A（﹣2，2），B（3，2），C是坐标轴上的一点，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点共有（ ）
A、1个 B、2个
C、4个 D、6个
考点：坐标与图形性质；勾股定理的逆定理。
分析：因为A，B的纵坐标相等，所以AB∥x轴．因为C是坐标轴上的一点，所以过点A向x轴引垂线，过点B向x轴引垂线，分别可得一点，以AB为直径做圆可与坐标轴交于6点．所以满足条件的点共有6个．
解答：解：∵A，B的纵坐标相等，
∴AB∥x轴，AB=3﹣（﹣2）=5．
∵C是坐标轴上的一点，过点A向x轴引垂线，可得一点，过点B向x轴引垂线，可得一点，以AB为直径作圆可与坐标轴交于4点．
∴根据直径所对的圆周角是90°，满足条件的点共有4个，为C，D，E，H．加上A、B共6个．
故选D．
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点评：用到的知识点为：若△ABC是直角三角形，则它的任意一个顶点都有可能为直角顶点．
4、长度为9、12、15、36、39的五根木棍，从中取三根依次搭成三角形，最多可搭成直角三角形的个数是（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
考点：三角形三边关系；勾股定理的逆定理。
分析：首先根据三角形的三边关系找到所有的三角形，再根据勾股定理的逆定理进行分析排除．
解答：解：根据三角形的三边关系，知能够搭成的三角形有
9、12、15；9、36、39；12、36、39；15、36、39；
根据勾股定理的逆定理，知能够搭成直角三角形的有
9、12、15和15、36、39．
故选B．
点评：此题综合考查了三角形的三边关系和勾股定理的逆定理．
5、有下列说法：①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；②三边长为，，的三角形为直角三角形；③等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为10；④一边上的中线等于这边长的一半的三角形是等腰直角三角形．其中正确的个数是（ ）
A、4个 B、3个
C、2个 D、1个
考点：等腰三角形的性质；等边三角形的判定；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形。
分析：①直接根据等边三角形的判定得出；
②根据勾股定理的逆定理作出判断；
③根据腰为2或4，分类求解，注意根据三角形的三边关系进行判断；
④根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，等腰直角三角形的判定进行判断．
解答：解：①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，正确，符合题意；
②∵（）2+（）2=7≠（）2∴三边长为，，的三角形不是直角三角形，错误，不符合题意；
③当等腰三角形的腰为2时，三边为2，2，4，2+2=4，三边关系不成立；
当等腰三角形的腰为4时，三边为2，4，4，三边关系成立，周长为2+4+4=10，正确，符合题意；
④一边上的中线等于这边长的一半的三角形是直角三角形，不一定是等腰直角三角形错误，不符合题意．
故选C．
点评：本题综合考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定，等腰直角三角形的判定和勾股定理的逆定理，但难度不大．
6、The coordinates of the three points A．B．C on the plane are （﹣5，﹣5），（﹣2，﹣1）and（﹣1，﹣2）respectively，the triangle ABC is（ ）
（英汉小词典：right直角的；isosceles等腰的；equilateral等边的；obtuse钝角的）
A、a right trisngle B、an isosceles triangle
C、an equilateral triangle D、an obtuse triangle
考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质；勾股定理的逆定理。
专题：计算题。
分析：过B作Y轴的平行线，过A作X轴的平行线，两线交于H，构造直角三角形，根据勾股定理求出AB的长，同理求出AC、BC的长，比较即可得出答案．
解答：解：如图过B作Y轴的平行线，过A作X轴的平行线，两线交于H，由勾股定理得：AB2=[（﹣2）﹣（﹣5）]2+[（﹣1）﹣（﹣5）]2，
即：AB2=25
同理：AC2=[（﹣1）﹣（﹣5）]2+[（﹣2）﹣（﹣5）]2，即：AC2=25，
BC2=[（﹣1）﹣（﹣2）]2+[（﹣1）﹣（﹣2）]2，BC2=2，
∴AB=AC．
故选B．
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点评：本题主要考查了等腰三角形的判定，勾股定理的逆定理等知识点，解此题的关键是能根据点的坐标求出AB、BC、AC的长度．
7、如图所示方格纸中的三角形是（ ）
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A、等腰三角形 B、等边三角形
C、直角三角形 D、等腰直角三角形
考点：等腰三角形的判定；勾股定理；勾股定理的逆定理。
分析：是等腰三角形，AB，AC分别位于两个全等的直角三角形里．
解答：解：从图上可知：△ADB≌△AEC，
∴AB=AC．
∴△ABC是等腰三角形．
故选A．
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点评：本题考查了等腰三角形的概念和全等三角形的判定定理，根据此知识点可得解．
8、下列说法中错误的是（ ）
A、正三角形既是轴对称图形也是中心对称轴图形 B、三边长分别为m2﹣n2、2mn和m2+n2（m＞n＞0）的三角形是直角三角形
C、等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合 D、正五边形不可以进行平面镶嵌
考点：等边三角形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理；平面镶嵌（密铺）。
分析：A选项考查等边三角形的性质，正三角形不是中心对称轴图形；
B选项考查了勾股定理的逆定理；
C选项考查了等腰三角形的性质，三线合一；
D选项考查了平面镶嵌（密铺）．
解答：解：A、正三角形是轴对称图形但不是中心对称轴图形，A错误；
B、三边长分别为m2﹣n2、2mn和m2+n2（m＞n＞0）的三角形是直角三角形，B正确；
C、等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合，符合三线合一，C正确；
D、因为镶嵌的话，各个板块的交点角度和为360度，
假设x个正五边形构成一个交点，180（5﹣2）x÷5=108x度=360度，x不是整数解，所以不能镶嵌，
故正五边形不可以进行平面镶嵌，D正确．
故选A．
点评：本题主要考查了对三角形的基本性质的掌握．
9、有下列说法：①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；②三边长为，，3的三角形为直角三角形；③等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为10；④一边上的中线等于这边长的一半的三角形是等腰直角三角形．其中正确的个数是（ ）
A、4个 B、3个
C、2个 D、1个
考点：等边三角形的判定；等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理。
分析：根据等腰三角形以及等边三角形的性质分别进行分析，从而确定正确的个数即可．
解答：解：①符合等边三角形的推论；故此选项正确；
②因为（）2=（）2+32所以该三角形为直角三角形；故此选项正确；
③因为当其两腰均为2时，两边之和等于第三边不符合三角形三边关系，故其周长只能为10；故此选项错误；
④符合全等三角形的判定中的HL；故此选项正确；
⑤加上前提是在直角三角形中此说法就对了；故此选项错误；
所以正确的有3个．
故选B．
点评：此题主要考查了学生对等腰三角形的性质，三角形三边关系及等边三角形的判定等知识点的综合运用能力．
10、下列说法正确的有（ ）
①如果∠A+∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形；②如果∠A：∠B：∠C=1：2：3，则三角形是直角三角形；③如果三角形的三边长分别为4、4、6，那么这个三角形不是直角三角形；④有一个角是直角的三角形是直角三角形．
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点：直角三角形的性质；三角形内角和定理；勾股定理的逆定理。
分析：根据题意，一一查看选项，根据勾股定理的逆定理或有一个角为直角的三角形为直角三角形判断选项是否正确．
解答：解：①∵∠A+∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，得∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，故①正确；
②设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，则∠A+∠B=∠C，由①知，该三角形是直角三角形，故②正确；
③42=16，62=36，显然42+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，该三角形不是直角三角形，故③正确；
④符合直角三角形的判定方法，故④正确；
所以4个结论都正确，故选D．
点评：本题考查直角三角形的判定方法，此题中涉及到直角三角形的三种判定方法：
①有一个角是直角的三角形是直角三角形；
②有两个锐角互余的三角形是直角三角形；
③勾股定理的逆定理；
属基础题．
11、有四个三角形，分别满足下列条件：（1）一个角等于另外两个内角之和；（2）三个内角之比为3：4：5；（3）三边之比为5：12：13；（4）三边长分别为5，24，25．其中直角三角形有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点：直角三角形的性质；勾股定理的逆定理。
专题：计算题。
分析：（1）（2）根据三角形的内角和等于180°，求出三角形中最大的角的度数，然后即可判断；
（3）（4）根据勾股定理逆定理列式进行计算即可得解．
解答：解：（1）∵一个角等于另外两个内角之和，
∴这个角=×180°=90°，是直角三角形；
（2）三个内角之比为3：4：5，
∴最大的角=×180°=×180°＜90°，是锐角三角形；
（3）设三边分别为5k，12k，13k，
则（5k）2+（12k）2=25k2+144k2=169k2=（13k）2，是直角三角形；
（4）∵52+242=25+576=601≠252，
∴三边长分别为5，24，25的三角形不是直角三角形．
综上所述，是直角三角形的有（1）（3）共2个．
故选B．
点评：本题考查了直角三角形的性质以及勾股定理逆定理的应用，灵活求解，只要与90°进行比较即可，技巧性较强．
12、△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法中，错误的是（ ）
A、如果∠C﹣∠B=∠A，那么∠C=90° B、如果∠C=90°，那么c2﹣b2=a2
C、如果（a+b）（a﹣b）=c2，那么∠C=90° D、如果∠A=30°∠B=60°，那么AB=2BC
考点：含30度角的直角三角形；三角形内角和定理；勾股定理的逆定理。
分析：根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理及含30度角的直角三角形对各个选项进行分析，从而不难求解．
解答：解：A、∵∠C﹣∠B=∠A，∠C+∠B+∠A=180°
∴2∠C=180°
∴∠C=90°
故此选项正确；
B、∵∠C=90°
∴c是斜边
∴满足c2﹣b2=a2故此选项正确；
C、∵（a+b）（a﹣b）=c2∴a2﹣b2=c2∴a是斜边
故此选项错误；
D、∵∠A=30°∠B=60°
∴∠C=90°，AB为斜边，BC为30°角所对的边
∴AB=2BC
故此选项正确；
故选C．
点评：此题主要考查：（1）含30度角的直角三角形：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
13、下列说法中，正确的个数有（ ）
①已知直角三角形的面积为2，两直角边的比为1：2，则斜边长为；
②直角三角形的最大边长为，最短边长为1，则另一边长为；
③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC为直角三角形；
④等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5．
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点：勾股定理；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理。
分析：根据勾股定理以及三角形的内角和定理即可解答．
解答：解：①、设较短的一个直角边为M，则另一个直角边为2M，所以M×2M=2，解得M=，2M=2．根据勾股定理解得斜边为．所以此项正确；
②、根据勾股定理解得，另一边==，所以此项正确；
③、设∠A=x，则∠B=5x，∠C=6x．因为x+5x+6x=180°解得x=15°，从而得到三个角分别为15°、75°、90°．即△ABC为直角三角形，所以此项正确；
④、已知面积和高则可以得到底边为6，又因为是等腰三角形，则底边上的高也是底边上的中线，则可以得到底边的一半为3．此时再利用勾股定理求得腰长为=5．所以此项正确．
所以正确的有四个．
故选D．
点评：此题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的判定及勾股定理等知识点．
14、下列说法：①已知直角三角形的面积为4，两直角边的比为1：2，则斜边长为；②直角三角形的最大边长为，最短边长为1，则另一边长为；③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC为直角三角形；④等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5，其中正确结论的序号是（ ）
A、只有①②③ B、只有①②④
C、只有③④ D、只有②③④
考点：勾股定理；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理。
分析：①已知直角三角形的面积为4，两直角边的比为1：2，设两直角边的长度分别为x，2x，由此即可求出两直角边分别为2、4，然后根据勾股定理可以求出斜边，然后即可判断；
②直角三角形的最大边长为，最短边长为1，根据勾股定理可以求出另一边的长度，就可以判断是否正确；
③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，根据三角形的内角和即可求出各个内角的度数，由此即可判断；
④由于等腰三角形面积为12，底边上的高为4，根据三角形的面积公式可以求出底边，再根据勾股定理即可求出腰长，然后即可判断是否正确．
解答：解：①已知直角三角形的面积为4，两直角边的比为1：2，设两直角边的长度分别为x，2x，∴x2=4，∴两直角边分别为2、4，∴斜边为2，所以选项错误；
②∵直角三角形的最大边长为，最短边长为1，∴根据勾股定理得第三边为，故选项正确；
③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，∴∠A=15°，∠B=75°，∠C=90°，故选项正确；
④∵等腰三角形面积为12，底边上的高为4，∴底边=2×12÷4=6，∴腰长=5，然后即可判断是否故选项正确．
故选D．
点评：此题考查了直角三角形的性质、勾股定理的计算应用、三角形的内角和定理等知识，难度不大，但要求学生对于这些知识比较熟练才能很好的解决问题．
15、下列结沦中，错误的有（ ）
①Rt△ABC中，已知两边分别为3和4，则第三边的长为5；
②三角形的三边分别为a、b、c，若a2+b2=c2，则∠A=90°；
③若△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：5：6，则这个三角形是一个直角三角形；
④若（x﹣y）2+M=（x+y）2成立，则M=4xy．
A、0个 B、1个
C、2个 D、3个
考点：勾股定理；完全平方公式；勾股定理的逆定理。
专题：分类讨论。
分析：根据勾股定理以及逆定理即可解答．
解答：解：①分两种情况讨论：当3和4为直角边时，斜边为5；当4为斜边时，另一直角边是，所以错误；
②三角形的三边分别为a、b、c，若a2+b2=c2，应∠C=90°，所以错误；
③最大角∠C=×6=90°，这个三角形是一个直角三角形，正确；
④若（x﹣y）2+M=（x+y）2成立，则M=（x+y）2﹣（x﹣y）2=4xy，正确．
故选C．
点评：本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
16、如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）
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A、CD、EF、GH B、AB、EF、GH
C、AB、CD、GH D、AB、CD、EF
考点：勾股定理；勾股定理的逆定理。
专题：网格型。
分析：设出正方形的边长，利用勾股定理，解出AB、CD、EF、GH各自的长度，再由勾股定理的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形．
解答：解：设小正方形的边长为1，
则AB2=22+22=8，CD2=22+42=20，
EF2=12+22=5，GH2=22+32=13．
因为AB2+EF2=GH2，
所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、EF、GH．故选B．
点评：考查了勾股定理逆定理的应用．
17、下列叙述中，正确的是（ ）
A、直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方 B、△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a2+b2=c2，则∠A=90°
C、如果△ABC是直角三角形，且∠C=90°，那么c2=b2﹣a2 D、如果∠A+∠B=∠C，则△ABC是直角三角形
考点：勾股定理；勾股定理的逆定理。
分析：根据勾股定理及三角形的性质对各个选项进行分析，从而确定答案．
解答：解：A不正确，应该为：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；
B不正确，应该为∠C=90°；
C不正确，应该为如c2=b2+a2；
D正确；
故选D．
点评：本题考查勾股定理以及勾股定理的逆定理的运用．
18、如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，试判断三角形ABC的形状（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
A、钝角三角形 B、直角三角形
C、锐角三角形 D、以上都有可能
考点：勾股定理；勾股定理的逆定理。
专题：网格型。
分析：根据勾股定理即可求得△ABC的三边的长，再由勾股定理的逆定理即可作出判断．
解答：解：在直角△ABF、直角△BCD、直角△ACE中，
根据勾股定理即可得到：AB==20；
BC=AC==
则AB2=BC2+AC2∴△ABC是等腰直角三角形．
故选B．
点评：根据直角三角形中，利用勾股定理即可求，正确找到所在直角三角形是解决本题的关键．
19、如图，四边形的四条边AB，BC，CD和DA的长分别是2，，5，4，其中∠B=90°，那么四边形的面积为（ ）
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A、 B、
C、 D、
考点：勾股定理；勾股定理的逆定理。
分析：首先连接AC，在直角△ABC中，利用勾股定理即可求得AC的长，在△ACD中，利用勾股定理的逆定理即可证得△ACD是直角三角形，根据四边形ABCD的面积=S△ACD+S△ABC即可求解．
解答：解：连接AC．
在直角△AB中，AC===3．
∵32+42=52，
∴AC2+AD2=CD2，
∴△ACD是直角三角形，∠DAC=90°．
∴S△ACD=AC AD=×3×4=6，S△ABC=AB BC=×2×=，
∴四边形ABCD的面积=S△ACD+S△ABC=+6．
故选D．
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点评：本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，把求不规则的四边形的面积转化为两个直角三角形的面积的和，关键是证明△ACD是直角三角形．
二、填空题（共5小题）
20、已知三角形的三边依次为n2﹣1，2n，n2+1，当n取2至10这9个自然数时，得到9个不同的三角形，其中具有最小内角的三角形的三边长依次为 80，18，82 ．
考点：三角形边角关系；勾股定理的逆定理。
分析：首先由三角形的三边依次为n2﹣1，2n，n2+1，根据勾股定理的逆定理可得：此三角形是直角三角形，然后分别求得n取2至10这9个自然数时，9个不同的三角形的最小角的正弦值，根据正弦函数的增减性问题，可得当n=9时是具有最小内角的三角形，继而求得其三边长．
解答：解：∵三角形的三边依次为n2﹣1，2n，n2+1，
又∵（n2﹣1）2=n4﹣2n2+1，（2n）2=4n2，（n2+1）2=n4+2n2+1，
∴（n2﹣1）2+（2n）2=（n2+1）2，
∴此三角形是直角三角形，
当n=2，则n2﹣1=3，2n=4，n2+1=5，
则最小角的正弦为：；
当n=3，则n2﹣1=8，2n=6，n2+1=10，
则最小角的正弦为：=；
当n=4，则n2﹣1=15，2n=8，n2+1=17，
则最小角的正弦为：；
当n=5，则n2﹣1=24，2n=10，n2+1=25，
则最小角的正弦为：=；
当n=6，则n2﹣1=35，2n=12，n2+1=37，
则最小角的正弦为：；
当n=7，则n2﹣1=48，2n=14，n2+1=50，
最小角的正弦为：=；
则当n=8，则n2﹣1=63，2n=16，n2+1=65，
则最小角的正弦为：；
当n=9，则n2﹣1=80，2n=18，n2+1=82，
则最小角的正弦为：=；
∵最小，即其对应的角最小，
∴当n2﹣1=80，2n=18，n2+1=82，
有最小内角，其三角形的三边长依次为80，18，82．
故答案为：80，18，82．
点评：此题考查了三角形的边角关系，勾股定理的逆定理以及正弦函数的应用．此题难度较大，解题的关键是根据勾股定理的逆定理求得此三角形是直角三角形，然后根据正弦函数的性质求解，注意分类讨论思想的应用．
21、如图，已知八边形ABCDEFGH中4个正方形的面积分别为25，144，48，121个平方单位，PR=13（单位），则该八边形的面积= 428+66 平方单位． ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
考点：面积及等积变换；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理。
专题：计算题。
分析：由PR=13、PS=12、RS=5得出PS⊥SR，PQ⊥QR，求出四边形PQRS的面积，作QI⊥PS交于I，BJ⊥AP交AP的延长线于J，利用全等证出
QI=BJ，推出S△APB+S△EFR=S四边形PQRS，再把各部分的面积相加即可得到答案．
解答：解：∵4个正方形的面积分别为25，144，48，121，
∴边长分别为：5、12、4、11，
∵PR=13、PS=12、RS=5，
∴PS⊥SR，PQ⊥QR，
∴S四边形PQRS=（PS SR+PQ QR）=30+22，
显然S△HSG+S△CDQ=S四边形PQRS，
如图作QI⊥PS交于I，BJ⊥AP交AP的延长线于J，
∵BP=PQ，∠BJP=∠QIP=90°，
∵∠APB+∠QPS=360°﹣90°﹣90°=180°，
∴∠QPS=∠BPJ，
∴Rt△PQI≌Rt△PBJ，
∴QI=BJ，
∴S△APB=S△PSQ， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
同理S△EFR=S△QSR，
则S△APB+S△EFR=S四边形PQRS，
故八边形的面积=3（30+22）+144+48+121+25，
=428+66．
故答案为：428+66．
点评：本题主要考查了面积与等积变换，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理得逆定理等知识点，正确求出各部分的面积是解此题的关键．题目较好但有一定难度．
22、在△ABC中，AB=5，AC=12，CB=13，D、E为边BC上的点，满足BD=1，CE=8．则∠DAE的度数为 45° ．
考点：正弦定理与余弦定理；勾股定理；勾股定理的逆定理。
专题：数形结合。
分析：首先由已知可得△ABC是直角三角形，则可求得∠B与∠C的余弦值，在△ABD与△AEC中利用余弦定理即可求得AD与AE的值，再在△ADE中用余弦定理求得∠DAE的余弦值，即可求得∠DAE的度数．
解答：解：∵AB=5，AC=12，CB=13，
∴AB2+AC2=CB2，
∴∠BAC=90°，
∴cos∠B=，cos∠C=，
∵BD=1，CE=8，
∴DE=4，
∴AD2=AB2+BD2﹣2 AB BD cos∠A=25+1﹣2×5×1×=26﹣=，
AE2=AC2+CE2﹣2 AC CE cos∠C=144+64﹣2×12×8×=208﹣=，
∴AD=，AE=，
∴cos∠DAE==，
∴∠DAE=45°．
故答案为：45°．
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点评：此题考查了余弦定理的知识以及勾股定理的逆定理．此题难度适中，解题时注意数形结合思想的应用．
23、已知|m﹣|++（p﹣）2=0则以m、n、p为三边长的三角形是 等腰直角 三角形．
考点：非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；勾股定理的逆定理。
专题：常规题型。
分析：根据非负数的性质列式求出m、n、p的值，再根据勾股定理逆定理进行解答即可．
解答：解：根据题意得，m﹣=0，n﹣2=0，p﹣=0，
解得m=，n=2，p=，
∴m=p，
又∵2+2=22=4，
即m2+p2=n2，
∴以m、n、p为三边长的三角形是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角．
点评：本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数，平方数非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
24、已知x，y，z均为正数，且|x﹣4|+（y﹣3）2+=0，若以x，y，z的长为边长画三角形，此三角形的形状为 直角三角形 ．
考点：非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；勾股定理的逆定理。
专题：常规题型。
分析：根据非负数的性质列式求出x、y、z的值，再根据勾股定理逆定理进行判断即可得到此三角形是直角三角形．
解答：解：根据题意得，x﹣4=0，y﹣3=0，y+z﹣8=0，
解得x=4，y=3，z=5，
∵x2+y2=42+32=25=z2，
∴此三角形是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
点评：本题考查了绝对值非负数，平方数非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键，还考查了勾股定理逆定理的运用．
三、解答题（共6小题）
25、一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，这样的直角三角形是否存在？若存在，确定它三边的长，若不存在，说明理由．
考点：一元二次方程的整数根与有理根；勾股定理的逆定理。
专题：应用题；分类讨论。
分析：假设存在符合条件的直角三角形，它的三边长为a、b、c，其中c为斜边，则，于是将存在性问题的讨论转化为求方程组的解．
解答：解：假设符合条件的直角三角形存在，它的三边长为a、b、c，其中c为斜边，则
，
∵a、b、c均为正整数，
∴a≠b；不妨设a＞b，则有a+b+=，
两边平方，并整理得
﹣a2b﹣ab2+2ab=0，
消去ab，得
﹣a﹣b+2=0，即（a﹣4）（b﹣4）=8，
又∵8=1×8=2×4，
∴①，解得，则c=13；
②，解得，则c=10；
综上所述，符合条件的直角三角形存在，其边长分别是5、12、13；6、8、10．共有2个这样的直角三角形．
点评：本题主要考查了一元二次方程的整数根及有理根、勾股定理的逆定理的应用．在解题过程中，当勾股定理不能直接运用时，常需要通过等线段的代换、作辅助垂线等途径，为勾股定理的运用创造必要的条件，有时又需要由线段的数量关系去判断线段的位置关系，这就需要熟悉一些常用的勾股数组．
26、当a、b、c为何值时，代数式有最小值？并求出这个最小值和此时以a、b、c值为边的三角形的面积．
考点：完全平方公式；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；勾股定理的逆定理。
分析：首先把进行配方得：+b2﹣10b+25﹣25+c2﹣8c+16﹣16+6，进一步整理得：+（b﹣5）2+（c﹣4）2﹣35，分析可知，≥0，（b﹣5）2≥0，（c﹣4）2≥0，即可推出最小值为﹣35，a=3，b=5，c=4，此时三角形为直角三角形直角边长度为4和3，所以面积为12．
解答：解：∵
=+b2﹣10b+25﹣25+c2﹣8c+16﹣16+6
=+（b﹣5）2+（c﹣4）2﹣35，
∴≥0，（b﹣5）2≥0，（c﹣4）2≥0，
∴代数式有最小值时，a=3，b=5，c=4，
∴这个最小值为﹣35，
∴以a、b、c值为边的三角形为直角三角形，直角边为a和c，
∴以a、b、c值为边的三角形的面积为12．
点评：本题主要考查完全平方公式，非负数的性质，勾股定理的逆定理，关键在于利用完全平方公式对原代数式进行配方．分析a、b、c的值．
27、已知a，b，c为正数，满足如下两个条件：
a+b+c=32 ①
②
是否存在以为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角．
考点：因式分解的应用；勾股定理的逆定理。
专题：数形结合。
分析：解法一：根据已知，将两式相乘，运用平方差公式、完全平方式、提取公因式将乘积分解为．再根据每个因式都可能等于零，及勾股定理，判断三角形为直角三角形．最大角度也就是90°
解法二：将①式变形代入，求出a、b、c的值，再利用勾股定理，判断三角形的为直角三角形．最大角度也就是90°
解答：解法1：将①②两式相乘，得，
即，
即，
即，
即，
即，
即，
即，
即，
所以b﹣c+a=0或c+a﹣b=0或c﹣a+b=0，
即b+a=c或c+a=b或c+b=a．
因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°．
解法2：结合①式，由②式可得，
变形，得③
又由①式得（a+b+c）2=1024，即a2+b2+c2=1024﹣2（ab+bc+ca），
代入③式，得，
即abc=16（ab+bc+ca）﹣4096．（a﹣16）（b﹣16）（c﹣16）=abc﹣16（ab+bc+ca）+256（a+b+c）﹣163=﹣4096+256×32﹣163=0，
所以a=16或b=16或c=16．
结合①式可得b+a=c或c+a=b或c+b=a．
因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°．
点评：本题考查因式分解的应用．解决本题的关键是运用因式分解、等式变形求出a、b、c三角形三边的关系．
28、在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都为1．
（一）请建立xOy平面直角坐标系，使点A、B的坐标分别为（﹣2，0）和（﹣1，﹣5）；
（二）根据你建立的平面直角坐标系，解答下列问题：
（1）画出△ABC关于坐标原点对称的△A1B1C1；
（2）△ABC是否为直角三角形？（只作回答不用证明）；
（3）点C关于x轴的对称点为点C2，反比例函数的图象的一支恰好经过点C2，求此反比例函数解析式．
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考点：反比例函数综合题；勾股定理；勾股定理的逆定理；作图-轴对称变换。
专题：数形结合。
分析：（一）由A点坐标可知，y轴距离A点2个单位，A点在x轴的负半轴上，从而易建立坐标系；
（二）（1）分别过原点找出A、B、C的对称点，再连接即可；
（2）根据勾股定理易求AB、BC、AC的长，再利用勾股定理的逆定理可证A、B、C是直角三角形；
（3）先求出点C关于x轴的对称点C2的坐标，再利用待定系数法即可求函数的解析式．
解答：解：（一）由于A点坐标是（﹣2，0），B点坐标是（﹣1，﹣5），
那么可知y轴距离A点2个单位，A点在x轴的负半轴上，
如图所示；
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（二）（1）分别画出A、B、C三点关于原点的对称点，再连接即可，如图所示；
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（2）△ABC是直角三角形；
（3）点C关于x轴对称的点C2坐标是（﹣4，2），由于函数y=（m≠0）经过C2，所以点C2在函数上，那么
2=，
解得m=﹣8，
故函数解析式是y=．
点评：本题考查了反比例函数、勾股定理以及逆定理、轴对称变换．解题的关键是建立合适的坐标系，并能找出题目要求的点的对称点．
29、（1）如图①所示，P是等边△ABC内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转60°得△BCQ，连接PQ．若PA2+PB2=PC2，证明∠PQC=90°；
（2）如图②所示，P是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转90°得△BCQ，连接PQ．当PA、PB、PC满足什么条件时，∠PQC=90°？请说明． ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
考点：全等三角形的判定；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理。
专题：证明题；探究型。
分析：（1）由旋转的性质可得到的条件是：①BP=BQ、PA=QC，②∠ABP=∠CBQ；
由②可证得∠PBQ=∠CBP+∠CBQ=∠CBP+∠ABP=∠ABC=60°，联立BP=BQ，即可得到△BPQ是等边三角形的结论，则BP=PQ；将等量线段代换后，即可得出PQ2+QC2=PC2，由此可证得∠PQC=90°；
（2）由（1）的解题思路知：△PBQ是等腰Rt△，则PQ2=2PB2，其余过程同（1），只不过所得结论稍有不同．
解答：解：（1）证明：由旋转的性质知：BP=BQ、PA=QC，∠ABP=∠CBQ；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，即∠CBP+∠ABP=60°；
∵∠ABP=∠CBQ，
∴∠CBP+∠CBQ=60°，即∠PBQ=60°；
又∵BP=BQ，∴△BPQ是等边三角形；
∴BP=PQ；
∵PA2+PB2=PC2，即PQ2+QC2=PC2；
∴△PQC是直角三角形，且∠PQC=90°；
（2）PA2+2PB2=PC2；理由如下：
同（1）可得：△PBQ是等腰直角三角形，则PQ=PB，即PQ2=2PB2；
由旋转的性质知：PA=QC；
在△PQC中，若∠PQC=90°，则PQ2+QC2=PC2，即PA2+2PB2=PC2；
故当PA2+2PB2=PC2时，∠PQC=90°．
点评：此题考查了等边三角形、等腰直角三角形的性质，旋转的性质，直角三角形的判定及勾股定理的应用等知识，能够正确的判断出△BPQ的形状，从而得到BP、PQ的数量关系，是解答此题的关键．
30、如图，在△ABC中，AB=41cm，BC=18cm，BC边上的中线AD=40cm．△ABC是等腰三角形吗？为什么？
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考点：等腰三角形的判定；线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理。
分析：由已知可得BD的长，再根据勾股定理的逆定理可判定AD垂直BC，从而根据可利用勾股定理求得AC的长，此时发现AB=AC，即该三角形是等腰三角形．
解答：解：△ABC是等于三角形，
理由是：∵BC=18cm，BC边上的中线为AD，
∴BD=CD=9cm
∵AB=41cm，BC=18cm，AD=40cm
∴AB2=1681，
BD2+AD2=1681，
∴AB2=BD2+AD2，
∴AD⊥BC
∵BD=CD，
∴AC=AB
∴△ABC是等腰三角形．
点评：此题主要考查学生对勾股定理的逆定理及等腰三角形的判定线段的垂直平分线性质的理解及运用．
一、选择题（共19小题）
1、若△ABC三边长a，b，c满足+|b﹣a﹣1|+（c﹣5）2=0，则△ABC是（ ）
A、等腰三角形 B、等边三角形
C、直角三角形 D、等腰直角三角形
2、在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有（ ）
A、4个 B、5个
C、6个 D、8个
3、在平面直角坐标系中有两点A（﹣2，2），B（3，2），C是坐标轴上的一点，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点共有（ ）
A、1个 B、2个
C、4个 D、6个
4、长度为9、12、15、36、39的五根木棍，从中取三根依次搭成三角形，最多可搭成直角三角形的个数是（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
5、有下列说法：①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；②三边长为，，的三角形为直角三角形；③等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为10；④一边上的中线等于这边长的一半的三角形是等腰直角三角形．其中正确的个数是（ ）
A、4个 B、3个
C、2个 D、1个
6、The coordinates of the three points A．B．C on the plane are （﹣5，﹣5），（﹣2，﹣1）and（﹣1，﹣2）respectively，the triangle ABC is（ ）
（英汉小词典：right直角的；isosceles等腰的；equilateral等边的；obtuse钝角的）
A、a right trisngle B、an isosceles triangle
C、an equilateral triangle D、an obtuse triangle
7、如图所示方格纸中的三角形是（ ）
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A、等腰三角形 B、等边三角形
C、直角三角形 D、等腰直角三角形
8、下列说法中错误的是（ ）
A、正三角形既是轴对称图形也是中心对称轴图形 B、三边长分别为m2﹣n2、2mn和m2+n2（m＞n＞0）的三角形是直角三角形
C、等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合 D、正五边形不可以进行平面镶嵌
9、有下列说法：①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；②三边长为，，3的三角形为直角三角形；③等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为10；④一边上的中线等于这边长的一半的三角形是等腰直角三角形．其中正确的个数是（ ）
A、4个 B、3个
C、2个 D、1个
10、下列说法正确的有（ ）
①如果∠A+∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形；②如果∠A：∠B：∠C=1：2：3，则三角形是直角三角形；③如果三角形的三边长分别为4、4、6，那么这个三角形不是直角三角形；④有一个角是直角的三角形是直角三角形．
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
11、有四个三角形，分别满足下列条件：（1）一个角等于另外两个内角之和；（2）三个内角之比为3：4：5；（3）三边之比为5：12：13；（4）三边长分别为5，24，25．其中直角三角形有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
12、△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法中，错误的是（ ）
A、如果∠C﹣∠B=∠A，那么∠C=90° B、如果∠C=90°，那么c2﹣b2=a2
C、如果（a+b）（a﹣b）=c2，那么∠C=90° D、如果∠A=30°∠B=60°，那么AB=2BC
13、下列说法中，正确的个数有（ ）
①已知直角三角形的面积为2，两直角边的比为1：2，则斜边长为；
②直角三角形的最大边长为，最短边长为1，则另一边长为；
③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC为直角三角形；
④等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5．
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
14、下列说法：①已知直角三角形的面积为4，两直角边的比为1：2，则斜边长为；②直角三角形的最大边长为，最短边长为1，则另一边长为；③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC为直角三角形；④等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5，其中正确结论的序号是（ ）
A、只有①②③ B、只有①②④
C、只有③④ D、只有②③④
15、下列结沦中，错误的有（ ）
①Rt△ABC中，已知两边分别为3和4，则第三边的长为5；
②三角形的三边分别为a、b、c，若a2+b2=c2，则∠A=90°；
③若△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：5：6，则这个三角形是一个直角三角形；
④若（x﹣y）2+M=（x+y）2成立，则M=4xy．
A、0个 B、1个
C、2个 D、3个
16、如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）
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A、CD、EF、GH B、AB、EF、GH
C、AB、CD、GH D、AB、CD、EF
17、下列叙述中，正确的是（ ）
A、直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方 B、△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a2+b2=c2，则∠A=90°
C、如果△ABC是直角三角形，且∠C=90°，那么c2=b2﹣a2 D、如果∠A+∠B=∠C，则△ABC是直角三角形
18、如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，试判断三角形ABC的形状（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
A、钝角三角形 B、直角三角形
C、锐角三角形 D、以上都有可能
19、如图，四边形的四条边AB，BC，CD和DA的长分别是2，，5，4，其中∠B=90°，那么四边形的面积为（ ）
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A、 B、
C、 D、
二、填空题（共5小题）
20、已知三角形的三边依次为n2﹣1，2n，n2+1，当n取2至10这9个自然数时，得到9个不同的三角形，其中具有最小内角的三角形的三边长依次为 _________ ．
21、如图，已知八边形ABCDEFGH中4个正方形的面积分别为25，144，48，121个平方单位，PR=13（单位），则该八边形的面积= _________ 平方单位． ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
22、在△ABC中，AB=5，AC=12，CB=13，D、E为边BC上的点，满足BD=1，CE=8．则∠DAE的度数为 _________ ．
23、已知|m﹣|++（p﹣）2=0则以m、n、p为三边长的三角形是 _________ 三角形．
24、已知x，y，z均为正数，且|x﹣4|+（y﹣3）2+=0，若以x，y，z的长为边长画三角形，此三角形的形状为 _________ ．
三、解答题（共6小题）
25、一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，这样的直角三角形是否存在？若存在，确定它三边的长，若不存在，说明理由．
26、当a、b、c为何值时，代数式有最小值？并求出这个最小值和此时以a、b、c值为边的三角形的面积．
27、已知a，b，c为正数，满足如下两个条件：
a+b+c=32 ①
②
是否存在以为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角．
28、在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都为1．
（一）请建立xOy平面直角坐标系，使点A、B的坐标分别为（﹣2，0）和（﹣1，﹣5）；
（二）根据你建立的平面直角坐标系，解答下列问题：
（1）画出△ABC关于坐标原点对称的△A1B1C1；
（2）△ABC是否为直角三角形？（只作回答不用证明）；
（3）点C关于x轴的对称点为点C2，反比例函数的图象的一支恰好经过点C2，求此反比例函数解析式．
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29、（1）如图①所示，P是等边△ABC内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转60°得△BCQ，连接PQ．若PA2+PB2=PC2，证明∠PQC=90°；
（2）如图②所示，P是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转90°得△BCQ，连接PQ．当PA、PB、PC满足什么条件时，∠PQC=90°？请说明． ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
30、如图，在△ABC中，AB=41cm，BC=18cm，BC边上的中线AD=40cm．△ABC是等腰三角形吗？为什么？
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答案与评分标准
一、选择题（共19小题）
1、若△ABC三边长a，b，c满足+|b﹣a﹣1|+（c﹣5）2=0，则△ABC是（ ）
A、等腰三角形 B、等边三角形
C、直角三角形 D、等腰直角三角形
考点：非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；勾股定理的逆定理。
分析：根据非负数的性质可求得三边的长，再根据勾股定理的逆定理可推出这个三角形是直角三角形．
解答：解：∵△ABC三边长a，b，c满足+|b﹣a﹣1|+（c﹣5）2=0，且≥0，|b﹣a﹣1|≥0，（c﹣5）2≥0
∴a+b﹣25=0，b﹣a﹣1=0，c﹣5=0，
∴a=12，b=13，c=5，
∵122+52=132，
∴△ABC是直角三角形．
故选C．
点评：此题主要考查学生对非负数的性质及勾股定理逆定理的综合运用．
2、在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有（ ）
A、4个 B、5个
C、6个 D、8个
考点：坐标与图形性质；勾股定理的逆定理。
分析：当∠A=90°时，满足条件的C点2个；当∠B=90°时，满足条件的C点2个；当∠C=90°时，满足条件的C点2个．所以共有6个．
解答：解：∵点A，B的纵坐标相等，
∴AB∥x轴，点C到距离AB为5，并且在平行于AB的两条直线上．
∴满足条件的C点有：（1，6），（6，6），（11，6），（1，﹣4），（6，﹣4），（11，﹣4）
故选C．
点评：用到的知识点为：到一条直线距离为某个定值的直线有两条．△ABC是直角三角形，它的任意一个顶点都有可能为直角顶点．
3、在平面直角坐标系中有两点A（﹣2，2），B（3，2），C是坐标轴上的一点，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点共有（ ）
A、1个 B、2个
C、4个 D、6个
考点：坐标与图形性质；勾股定理的逆定理。
分析：因为A，B的纵坐标相等，所以AB∥x轴．因为C是坐标轴上的一点，所以过点A向x轴引垂线，过点B向x轴引垂线，分别可得一点，以AB为直径做圆可与坐标轴交于6点．所以满足条件的点共有6个．
解答：解：∵A，B的纵坐标相等，
∴AB∥x轴，AB=3﹣（﹣2）=5．
∵C是坐标轴上的一点，过点A向x轴引垂线，可得一点，过点B向x轴引垂线，可得一点，以AB为直径作圆可与坐标轴交于4点．
∴根据直径所对的圆周角是90°，满足条件的点共有4个，为C，D，E，H．加上A、B共6个．
故选D．
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点评：用到的知识点为：若△ABC是直角三角形，则它的任意一个顶点都有可能为直角顶点．
4、长度为9、12、15、36、39的五根木棍，从中取三根依次搭成三角形，最多可搭成直角三角形的个数是（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
考点：三角形三边关系；勾股定理的逆定理。
分析：首先根据三角形的三边关系找到所有的三角形，再根据勾股定理的逆定理进行分析排除．
解答：解：根据三角形的三边关系，知能够搭成的三角形有
9、12、15；9、36、39；12、36、39；15、36、39；
根据勾股定理的逆定理，知能够搭成直角三角形的有
9、12、15和15、36、39．
故选B．
点评：此题综合考查了三角形的三边关系和勾股定理的逆定理．
5、有下列说法：①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；②三边长为，，的三角形为直角三角形；③等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为10；④一边上的中线等于这边长的一半的三角形是等腰直角三角形．其中正确的个数是（ ）
A、4个 B、3个
C、2个 D、1个
考点：等腰三角形的性质；等边三角形的判定；勾股定理的逆定理；等腰直角三角形。
分析：①直接根据等边三角形的判定得出；
②根据勾股定理的逆定理作出判断；
③根据腰为2或4，分类求解，注意根据三角形的三边关系进行判断；
④根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，等腰直角三角形的判定进行判断．
解答：解：①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，正确，符合题意；
②∵（）2+（）2=7≠（）2∴三边长为，，的三角形不是直角三角形，错误，不符合题意；
③当等腰三角形的腰为2时，三边为2，2，4，2+2=4，三边关系不成立；
当等腰三角形的腰为4时，三边为2，4，4，三边关系成立，周长为2+4+4=10，正确，符合题意；
④一边上的中线等于这边长的一半的三角形是直角三角形，不一定是等腰直角三角形错误，不符合题意．
故选C．
点评：本题综合考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定，等腰直角三角形的判定和勾股定理的逆定理，但难度不大．
6、The coordinates of the three points A．B．C on the plane are （﹣5，﹣5），（﹣2，﹣1）and（﹣1，﹣2）respectively，the triangle ABC is（ ）
（英汉小词典：right直角的；isosceles等腰的；equilateral等边的；obtuse钝角的）
A、a right trisngle B、an isosceles triangle
C、an equilateral triangle D、an obtuse triangle
考点：等腰三角形的判定；坐标与图形性质；勾股定理的逆定理。
专题：计算题。
分析：过B作Y轴的平行线，过A作X轴的平行线，两线交于H，构造直角三角形，根据勾股定理求出AB的长，同理求出AC、BC的长，比较即可得出答案．
解答：解：如图过B作Y轴的平行线，过A作X轴的平行线，两线交于H，由勾股定理得：AB2=[（﹣2）﹣（﹣5）]2+[（﹣1）﹣（﹣5）]2，
即：AB2=25
同理：AC2=[（﹣1）﹣（﹣5）]2+[（﹣2）﹣（﹣5）]2，即：AC2=25，
BC2=[（﹣1）﹣（﹣2）]2+[（﹣1）﹣（﹣2）]2，BC2=2，
∴AB=AC．
故选B．
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点评：本题主要考查了等腰三角形的判定，勾股定理的逆定理等知识点，解此题的关键是能根据点的坐标求出AB、BC、AC的长度．
7、如图所示方格纸中的三角形是（ ）
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A、等腰三角形 B、等边三角形
C、直角三角形 D、等腰直角三角形
考点：等腰三角形的判定；勾股定理；勾股定理的逆定理。
分析：是等腰三角形，AB，AC分别位于两个全等的直角三角形里．
解答：解：从图上可知：△ADB≌△AEC，
∴AB=AC．
∴△ABC是等腰三角形．
故选A．
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点评：本题考查了等腰三角形的概念和全等三角形的判定定理，根据此知识点可得解．
8、下列说法中错误的是（ ）
A、正三角形既是轴对称图形也是中心对称轴图形 B、三边长分别为m2﹣n2、2mn和m2+n2（m＞n＞0）的三角形是直角三角形
C、等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合 D、正五边形不可以进行平面镶嵌
考点：等边三角形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理；平面镶嵌（密铺）。
分析：A选项考查等边三角形的性质，正三角形不是中心对称轴图形；
B选项考查了勾股定理的逆定理；
C选项考查了等腰三角形的性质，三线合一；
D选项考查了平面镶嵌（密铺）．
解答：解：A、正三角形是轴对称图形但不是中心对称轴图形，A错误；
B、三边长分别为m2﹣n2、2mn和m2+n2（m＞n＞0）的三角形是直角三角形，B正确；
C、等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合，符合三线合一，C正确；
D、因为镶嵌的话，各个板块的交点角度和为360度，
假设x个正五边形构成一个交点，180（5﹣2）x÷5=108x度=360度，x不是整数解，所以不能镶嵌，
故正五边形不可以进行平面镶嵌，D正确．
故选A．
点评：本题主要考查了对三角形的基本性质的掌握．
9、有下列说法：①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；②三边长为，，3的三角形为直角三角形；③等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为10；④一边上的中线等于这边长的一半的三角形是等腰直角三角形．其中正确的个数是（ ）
A、4个 B、3个
C、2个 D、1个
考点：等边三角形的判定；等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理。
分析：根据等腰三角形以及等边三角形的性质分别进行分析，从而确定正确的个数即可．
解答：解：①符合等边三角形的推论；故此选项正确；
②因为（）2=（）2+32所以该三角形为直角三角形；故此选项正确；
③因为当其两腰均为2时，两边之和等于第三边不符合三角形三边关系，故其周长只能为10；故此选项错误；
④符合全等三角形的判定中的HL；故此选项正确；
⑤加上前提是在直角三角形中此说法就对了；故此选项错误；
所以正确的有3个．
故选B．
点评：此题主要考查了学生对等腰三角形的性质，三角形三边关系及等边三角形的判定等知识点的综合运用能力．
10、下列说法正确的有（ ）
①如果∠A+∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形；②如果∠A：∠B：∠C=1：2：3，则三角形是直角三角形；③如果三角形的三边长分别为4、4、6，那么这个三角形不是直角三角形；④有一个角是直角的三角形是直角三角形．
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点：直角三角形的性质；三角形内角和定理；勾股定理的逆定理。
分析：根据题意，一一查看选项，根据勾股定理的逆定理或有一个角为直角的三角形为直角三角形判断选项是否正确．
解答：解：①∵∠A+∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，得∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，故①正确；
②设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，则∠A+∠B=∠C，由①知，该三角形是直角三角形，故②正确；
③42=16，62=36，显然42+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，该三角形不是直角三角形，故③正确；
④符合直角三角形的判定方法，故④正确；
所以4个结论都正确，故选D．
点评：本题考查直角三角形的判定方法，此题中涉及到直角三角形的三种判定方法：
①有一个角是直角的三角形是直角三角形；
②有两个锐角互余的三角形是直角三角形；
③勾股定理的逆定理；
属基础题．
11、有四个三角形，分别满足下列条件：（1）一个角等于另外两个内角之和；（2）三个内角之比为3：4：5；（3）三边之比为5：12：13；（4）三边长分别为5，24，25．其中直角三角形有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点：直角三角形的性质；勾股定理的逆定理。
专题：计算题。
分析：（1）（2）根据三角形的内角和等于180°，求出三角形中最大的角的度数，然后即可判断；
（3）（4）根据勾股定理逆定理列式进行计算即可得解．
解答：解：（1）∵一个角等于另外两个内角之和，
∴这个角=×180°=90°，是直角三角形；
（2）三个内角之比为3：4：5，
∴最大的角=×180°=×180°＜90°，是锐角三角形；
（3）设三边分别为5k，12k，13k，
则（5k）2+（12k）2=25k2+144k2=169k2=（13k）2，是直角三角形；
（4）∵52+242=25+576=601≠252，
∴三边长分别为5，24，25的三角形不是直角三角形．
综上所述，是直角三角形的有（1）（3）共2个．
故选B．
点评：本题考查了直角三角形的性质以及勾股定理逆定理的应用，灵活求解，只要与90°进行比较即可，技巧性较强．
12、△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法中，错误的是（ ）
A、如果∠C﹣∠B=∠A，那么∠C=90° B、如果∠C=90°，那么c2﹣b2=a2
C、如果（a+b）（a﹣b）=c2，那么∠C=90° D、如果∠A=30°∠B=60°，那么AB=2BC
考点：含30度角的直角三角形；三角形内角和定理；勾股定理的逆定理。
分析：根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理及含30度角的直角三角形对各个选项进行分析，从而不难求解．
解答：解：A、∵∠C﹣∠B=∠A，∠C+∠B+∠A=180°
∴2∠C=180°
∴∠C=90°
故此选项正确；
B、∵∠C=90°
∴c是斜边
∴满足c2﹣b2=a2故此选项正确；
C、∵（a+b）（a﹣b）=c2∴a2﹣b2=c2∴a是斜边
故此选项错误；
D、∵∠A=30°∠B=60°
∴∠C=90°，AB为斜边，BC为30°角所对的边
∴AB=2BC
故此选项正确；
故选C．
点评：此题主要考查：（1）含30度角的直角三角形：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
13、下列说法中，正确的个数有（ ）
①已知直角三角形的面积为2，两直角边的比为1：2，则斜边长为；
②直角三角形的最大边长为，最短边长为1，则另一边长为；
③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC为直角三角形；
④等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5．
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点：勾股定理；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理。
分析：根据勾股定理以及三角形的内角和定理即可解答．
解答：解：①、设较短的一个直角边为M，则另一个直角边为2M，所以M×2M=2，解得M=，2M=2．根据勾股定理解得斜边为．所以此项正确；
②、根据勾股定理解得，另一边==，所以此项正确；
③、设∠A=x，则∠B=5x，∠C=6x．因为x+5x+6x=180°解得x=15°，从而得到三个角分别为15°、75°、90°．即△ABC为直角三角形，所以此项正确；
④、已知面积和高则可以得到底边为6，又因为是等腰三角形，则底边上的高也是底边上的中线，则可以得到底边的一半为3．此时再利用勾股定理求得腰长为=5．所以此项正确．
所以正确的有四个．
故选D．
点评：此题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的判定及勾股定理等知识点．
14、下列说法：①已知直角三角形的面积为4，两直角边的比为1：2，则斜边长为；②直角三角形的最大边长为，最短边长为1，则另一边长为；③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC为直角三角形；④等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5，其中正确结论的序号是（ ）
A、只有①②③ B、只有①②④
C、只有③④ D、只有②③④
考点：勾股定理；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；勾股定理的逆定理。
分析：①已知直角三角形的面积为4，两直角边的比为1：2，设两直角边的长度分别为x，2x，由此即可求出两直角边分别为2、4，然后根据勾股定理可以求出斜边，然后即可判断；
②直角三角形的最大边长为，最短边长为1，根据勾股定理可以求出另一边的长度，就可以判断是否正确；
③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，根据三角形的内角和即可求出各个内角的度数，由此即可判断；
④由于等腰三角形面积为12，底边上的高为4，根据三角形的面积公式可以求出底边，再根据勾股定理即可求出腰长，然后即可判断是否正确．
解答：解：①已知直角三角形的面积为4，两直角边的比为1：2，设两直角边的长度分别为x，2x，∴x2=4，∴两直角边分别为2、4，∴斜边为2，所以选项错误；
②∵直角三角形的最大边长为，最短边长为1，∴根据勾股定理得第三边为，故选项正确；
③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，∴∠A=15°，∠B=75°，∠C=90°，故选项正确；
④∵等腰三角形面积为12，底边上的高为4，∴底边=2×12÷4=6，∴腰长=5，然后即可判断是否故选项正确．
故选D．
点评：此题考查了直角三角形的性质、勾股定理的计算应用、三角形的内角和定理等知识，难度不大，但要求学生对于这些知识比较熟练才能很好的解决问题．
15、下列结沦中，错误的有（ ）
①Rt△ABC中，已知两边分别为3和4，则第三边的长为5；
②三角形的三边分别为a、b、c，若a2+b2=c2，则∠A=90°；
③若△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：5：6，则这个三角形是一个直角三角形；
④若（x﹣y）2+M=（x+y）2成立，则M=4xy．
A、0个 B、1个
C、2个 D、3个
考点：勾股定理；完全平方公式；勾股定理的逆定理。
专题：分类讨论。
分析：根据勾股定理以及逆定理即可解答．
解答：解：①分两种情况讨论：当3和4为直角边时，斜边为5；当4为斜边时，另一直角边是，所以错误；
②三角形的三边分别为a、b、c，若a2+b2=c2，应∠C=90°，所以错误；
③最大角∠C=×6=90°，这个三角形是一个直角三角形，正确；
④若（x﹣y）2+M=（x+y）2成立，则M=（x+y）2﹣（x﹣y）2=4xy，正确．
故选C．
点评：本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
16、如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）
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A、CD、EF、GH B、AB、EF、GH
C、AB、CD、GH D、AB、CD、EF
考点：勾股定理；勾股定理的逆定理。
专题：网格型。
分析：设出正方形的边长，利用勾股定理，解出AB、CD、EF、GH各自的长度，再由勾股定理的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形．
解答：解：设小正方形的边长为1，
则AB2=22+22=8，CD2=22+42=20，
EF2=12+22=5，GH2=22+32=13．
因为AB2+EF2=GH2，
所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、EF、GH．故选B．
点评：考查了勾股定理逆定理的应用．
17、下列叙述中，正确的是（ ）
A、直角三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方 B、△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a2+b2=c2，则∠A=90°
C、如果△ABC是直角三角形，且∠C=90°，那么c2=b2﹣a2 D、如果∠A+∠B=∠C，则△ABC是直角三角形
考点：勾股定理；勾股定理的逆定理。
分析：根据勾股定理及三角形的性质对各个选项进行分析，从而确定答案．
解答：解：A不正确，应该为：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；
B不正确，应该为∠C=90°；
C不正确，应该为如c2=b2+a2；
D正确；
故选D．
点评：本题考查勾股定理以及勾股定理的逆定理的运用．
18、如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，试判断三角形ABC的形状（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
A、钝角三角形 B、直角三角形
C、锐角三角形 D、以上都有可能
考点：勾股定理；勾股定理的逆定理。
专题：网格型。
分析：根据勾股定理即可求得△ABC的三边的长，再由勾股定理的逆定理即可作出判断．
解答：解：在直角△ABF、直角△BCD、直角△ACE中，
根据勾股定理即可得到：AB==20；
BC=AC==
则AB2=BC2+AC2∴△ABC是等腰直角三角形．
故选B．
点评：根据直角三角形中，利用勾股定理即可求，正确找到所在直角三角形是解决本题的关键．
19、如图，四边形的四条边AB，BC，CD和DA的长分别是2，，5，4，其中∠B=90°，那么四边形的面积为（ ）
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A、 B、
C、 D、
考点：勾股定理；勾股定理的逆定理。
分析：首先连接AC，在直角△ABC中，利用勾股定理即可求得AC的长，在△ACD中，利用勾股定理的逆定理即可证得△ACD是直角三角形，根据四边形ABCD的面积=S△ACD+S△ABC即可求解．
解答：解：连接AC．
在直角△AB中，AC===3．
∵32+42=52，
∴AC2+AD2=CD2，
∴△ACD是直角三角形，∠DAC=90°．
∴S△ACD=AC AD=×3×4=6，S△ABC=AB BC=×2×=，
∴四边形ABCD的面积=S△ACD+S△ABC=+6．
故选D．
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点评：本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，把求不规则的四边形的面积转化为两个直角三角形的面积的和，关键是证明△ACD是直角三角形．
二、填空题（共5小题）
20、已知三角形的三边依次为n2﹣1，2n，n2+1，当n取2至10这9个自然数时，得到9个不同的三角形，其中具有最小内角的三角形的三边长依次为 80，18，82 ．
考点：三角形边角关系；勾股定理的逆定理。
分析：首先由三角形的三边依次为n2﹣1，2n，n2+1，根据勾股定理的逆定理可得：此三角形是直角三角形，然后分别求得n取2至10这9个自然数时，9个不同的三角形的最小角的正弦值，根据正弦函数的增减性问题，可得当n=9时是具有最小内角的三角形，继而求得其三边长．
解答：解：∵三角形的三边依次为n2﹣1，2n，n2+1，
又∵（n2﹣1）2=n4﹣2n2+1，（2n）2=4n2，（n2+1）2=n4+2n2+1，
∴（n2﹣1）2+（2n）2=（n2+1）2，
∴此三角形是直角三角形，
当n=2，则n2﹣1=3，2n=4，n2+1=5，
则最小角的正弦为：；
当n=3，则n2﹣1=8，2n=6，n2+1=10，
则最小角的正弦为：=；
当n=4，则n2﹣1=15，2n=8，n2+1=17，
则最小角的正弦为：；
当n=5，则n2﹣1=24，2n=10，n2+1=25，
则最小角的正弦为：=；
当n=6，则n2﹣1=35，2n=12，n2+1=37，
则最小角的正弦为：；
当n=7，则n2﹣1=48，2n=14，n2+1=50，
最小角的正弦为：=；
则当n=8，则n2﹣1=63，2n=16，n2+1=65，
则最小角的正弦为：；
当n=9，则n2﹣1=80，2n=18，n2+1=82，
则最小角的正弦为：=；
∵最小，即其对应的角最小，
∴当n2﹣1=80，2n=18，n2+1=82，
有最小内角，其三角形的三边长依次为80，18，82．
故答案为：80，18，82．
点评：此题考查了三角形的边角关系，勾股定理的逆定理以及正弦函数的应用．此题难度较大，解题的关键是根据勾股定理的逆定理求得此三角形是直角三角形，然后根据正弦函数的性质求解，注意分类讨论思想的应用．
21、如图，已知八边形ABCDEFGH中4个正方形的面积分别为25，144，48，121个平方单位，PR=13（单位），则该八边形的面积= 428+66 平方单位． ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
考点：面积及等积变换；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理。
专题：计算题。
分析：由PR=13、PS=12、RS=5得出PS⊥SR，PQ⊥QR，求出四边形PQRS的面积，作QI⊥PS交于I，BJ⊥AP交AP的延长线于J，利用全等证出
QI=BJ，推出S△APB+S△EFR=S四边形PQRS，再把各部分的面积相加即可得到答案．
解答：解：∵4个正方形的面积分别为25，144，48，121，
∴边长分别为：5、12、4、11，
∵PR=13、PS=12、RS=5，
∴PS⊥SR，PQ⊥QR，
∴S四边形PQRS=（PS SR+PQ QR）=30+22，
显然S△HSG+S△CDQ=S四边形PQRS，
如图作QI⊥PS交于I，BJ⊥AP交AP的延长线于J，
∵BP=PQ，∠BJP=∠QIP=90°，
∵∠APB+∠QPS=360°﹣90°﹣90°=180°，
∴∠QPS=∠BPJ，
∴Rt△PQI≌Rt△PBJ，
∴QI=BJ，
∴S△APB=S△PSQ， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
同理S△EFR=S△QSR，
则S△APB+S△EFR=S四边形PQRS，
故八边形的面积=3（30+22）+144+48+121+25，
=428+66．
故答案为：428+66．
点评：本题主要考查了面积与等积变换，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理得逆定理等知识点，正确求出各部分的面积是解此题的关键．题目较好但有一定难度．
22、在△ABC中，AB=5，AC=12，CB=13，D、E为边BC上的点，满足BD=1，CE=8．则∠DAE的度数为 45° ．
考点：正弦定理与余弦定理；勾股定理；勾股定理的逆定理。
专题：数形结合。
分析：首先由已知可得△ABC是直角三角形，则可求得∠B与∠C的余弦值，在△ABD与△AEC中利用余弦定理即可求得AD与AE的值，再在△ADE中用余弦定理求得∠DAE的余弦值，即可求得∠DAE的度数．
解答：解：∵AB=5，AC=12，CB=13，
∴AB2+AC2=CB2，
∴∠BAC=90°，
∴cos∠B=，cos∠C=，
∵BD=1，CE=8，
∴DE=4，
∴AD2=AB2+BD2﹣2 AB BD cos∠A=25+1﹣2×5×1×=26﹣=，
AE2=AC2+CE2﹣2 AC CE cos∠C=144+64﹣2×12×8×=208﹣=，
∴AD=，AE=，
∴cos∠DAE==，
∴∠DAE=45°．
故答案为：45°．
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点评：此题考查了余弦定理的知识以及勾股定理的逆定理．此题难度适中，解题时注意数形结合思想的应用．
23、已知|m﹣|++（p﹣）2=0则以m、n、p为三边长的三角形是 等腰直角 三角形．
考点：非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；勾股定理的逆定理。
专题：常规题型。
分析：根据非负数的性质列式求出m、n、p的值，再根据勾股定理逆定理进行解答即可．
解答：解：根据题意得，m﹣=0，n﹣2=0，p﹣=0，
解得m=，n=2，p=，
∴m=p，
又∵2+2=22=4，
即m2+p2=n2，
∴以m、n、p为三边长的三角形是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角．
点评：本题考查了绝对值非负数，算术平方根非负数，平方数非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键．
24、已知x，y，z均为正数，且|x﹣4|+（y﹣3）2+=0，若以x，y，z的长为边长画三角形，此三角形的形状为 直角三角形 ．
考点：非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；勾股定理的逆定理。
专题：常规题型。
分析：根据非负数的性质列式求出x、y、z的值，再根据勾股定理逆定理进行判断即可得到此三角形是直角三角形．
解答：解：根据题意得，x﹣4=0，y﹣3=0，y+z﹣8=0，
解得x=4，y=3，z=5，
∵x2+y2=42+32=25=z2，
∴此三角形是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
点评：本题考查了绝对值非负数，平方数非负数，算术平方根非负数的性质，根据几个非负数的和等于0，则每一个算式都等于0列式是解题的关键，还考查了勾股定理逆定理的运用．
三、解答题（共6小题）
25、一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，这样的直角三角形是否存在？若存在，确定它三边的长，若不存在，说明理由．
考点：一元二次方程的整数根与有理根；勾股定理的逆定理。
专题：应用题；分类讨论。
分析：假设存在符合条件的直角三角形，它的三边长为a、b、c，其中c为斜边，则，于是将存在性问题的讨论转化为求方程组的解．
解答：解：假设符合条件的直角三角形存在，它的三边长为a、b、c，其中c为斜边，则
，
∵a、b、c均为正整数，
∴a≠b；不妨设a＞b，则有a+b+=，
两边平方，并整理得
﹣a2b﹣ab2+2ab=0，
消去ab，得
﹣a﹣b+2=0，即（a﹣4）（b﹣4）=8，
又∵8=1×8=2×4，
∴①，解得，则c=13；
②，解得，则c=10；
综上所述，符合条件的直角三角形存在，其边长分别是5、12、13；6、8、10．共有2个这样的直角三角形．
点评：本题主要考查了一元二次方程的整数根及有理根、勾股定理的逆定理的应用．在解题过程中，当勾股定理不能直接运用时，常需要通过等线段的代换、作辅助垂线等途径，为勾股定理的运用创造必要的条件，有时又需要由线段的数量关系去判断线段的位置关系，这就需要熟悉一些常用的勾股数组．
26、当a、b、c为何值时，代数式有最小值？并求出这个最小值和此时以a、b、c值为边的三角形的面积．
考点：完全平方公式；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；勾股定理的逆定理。
分析：首先把进行配方得：+b2﹣10b+25﹣25+c2﹣8c+16﹣16+6，进一步整理得：+（b﹣5）2+（c﹣4）2﹣35，分析可知，≥0，（b﹣5）2≥0，（c﹣4）2≥0，即可推出最小值为﹣35，a=3，b=5，c=4，此时三角形为直角三角形直角边长度为4和3，所以面积为12．
解答：解：∵
=+b2﹣10b+25﹣25+c2﹣8c+16﹣16+6
=+（b﹣5）2+（c﹣4）2﹣35，
∴≥0，（b﹣5）2≥0，（c﹣4）2≥0，
∴代数式有最小值时，a=3，b=5，c=4，
∴这个最小值为﹣35，
∴以a、b、c值为边的三角形为直角三角形，直角边为a和c，
∴以a、b、c值为边的三角形的面积为12．
点评：本题主要考查完全平方公式，非负数的性质，勾股定理的逆定理，关键在于利用完全平方公式对原代数式进行配方．分析a、b、c的值．
27、已知a，b，c为正数，满足如下两个条件：
a+b+c=32 ①
②
是否存在以为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角．
考点：因式分解的应用；勾股定理的逆定理。
专题：数形结合。
分析：解法一：根据已知，将两式相乘，运用平方差公式、完全平方式、提取公因式将乘积分解为．再根据每个因式都可能等于零，及勾股定理，判断三角形为直角三角形．最大角度也就是90°
解法二：将①式变形代入，求出a、b、c的值，再利用勾股定理，判断三角形的为直角三角形．最大角度也就是90°
解答：解法1：将①②两式相乘，得，
即，
即，
即，
即，
即，
即，
即，
即，
所以b﹣c+a=0或c+a﹣b=0或c﹣a+b=0，
即b+a=c或c+a=b或c+b=a．
因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°．
解法2：结合①式，由②式可得，
变形，得③
又由①式得（a+b+c）2=1024，即a2+b2+c2=1024﹣2（ab+bc+ca），
代入③式，得，
即abc=16（ab+bc+ca）﹣4096．（a﹣16）（b﹣16）（c﹣16）=abc﹣16（ab+bc+ca）+256（a+b+c）﹣163=﹣4096+256×32﹣163=0，
所以a=16或b=16或c=16．
结合①式可得b+a=c或c+a=b或c+b=a．
因此，以为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°．
点评：本题考查因式分解的应用．解决本题的关键是运用因式分解、等式变形求出a、b、c三角形三边的关系．
28、在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都为1．
（一）请建立xOy平面直角坐标系，使点A、B的坐标分别为（﹣2，0）和（﹣1，﹣5）；
（二）根据你建立的平面直角坐标系，解答下列问题：
（1）画出△ABC关于坐标原点对称的△A1B1C1；
（2）△ABC是否为直角三角形？（只作回答不用证明）；
（3）点C关于x轴的对称点为点C2，反比例函数的图象的一支恰好经过点C2，求此反比例函数解析式．
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考点：反比例函数综合题；勾股定理；勾股定理的逆定理；作图-轴对称变换。
专题：数形结合。
分析：（一）由A点坐标可知，y轴距离A点2个单位，A点在x轴的负半轴上，从而易建立坐标系；
（二）（1）分别过原点找出A、B、C的对称点，再连接即可；
（2）根据勾股定理易求AB、BC、AC的长，再利用勾股定理的逆定理可证A、B、C是直角三角形；
（3）先求出点C关于x轴的对称点C2的坐标，再利用待定系数法即可求函数的解析式．
解答：解：（一）由于A点坐标是（﹣2，0），B点坐标是（﹣1，﹣5），
那么可知y轴距离A点2个单位，A点在x轴的负半轴上，
如图所示；
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（二）（1）分别画出A、B、C三点关于原点的对称点，再连接即可，如图所示；
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（2）△ABC是直角三角形；
（3）点C关于x轴对称的点C2坐标是（﹣4，2），由于函数y=（m≠0）经过C2，所以点C2在函数上，那么
2=，
解得m=﹣8，
故函数解析式是y=．
点评：本题考查了反比例函数、勾股定理以及逆定理、轴对称变换．解题的关键是建立合适的坐标系，并能找出题目要求的点的对称点．
29、（1）如图①所示，P是等边△ABC内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转60°得△BCQ，连接PQ．若PA2+PB2=PC2，证明∠PQC=90°；
（2）如图②所示，P是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转90°得△BCQ，连接PQ．当PA、PB、PC满足什么条件时，∠PQC=90°？请说明． ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
考点：全等三角形的判定；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理。
专题：证明题；探究型。
分析：（1）由旋转的性质可得到的条件是：①BP=BQ、PA=QC，②∠ABP=∠CBQ；
由②可证得∠PBQ=∠CBP+∠CBQ=∠CBP+∠ABP=∠ABC=60°，联立BP=BQ，即可得到△BPQ是等边三角形的结论，则BP=PQ；将等量线段代换后，即可得出PQ2+QC2=PC2，由此可证得∠PQC=90°；
（2）由（1）的解题思路知：△PBQ是等腰Rt△，则PQ2=2PB2，其余过程同（1），只不过所得结论稍有不同．
解答：解：（1）证明：由旋转的性质知：BP=BQ、PA=QC，∠ABP=∠CBQ；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，即∠CBP+∠ABP=60°；
∵∠ABP=∠CBQ，
∴∠CBP+∠CBQ=60°，即∠PBQ=60°；
又∵BP=BQ，∴△BPQ是等边三角形；
∴BP=PQ；
∵PA2+PB2=PC2，即PQ2+QC2=PC2；
∴△PQC是直角三角形，且∠PQC=90°；
（2）PA2+2PB2=PC2；理由如下：
同（1）可得：△PBQ是等腰直角三角形，则PQ=PB，即PQ2=2PB2；
由旋转的性质知：PA=QC；
在△PQC中，若∠PQC=90°，则PQ2+QC2=PC2，即PA2+2PB2=PC2；
故当PA2+2PB2=PC2时，∠PQC=90°．
点评：此题考查了等边三角形、等腰直角三角形的性质，旋转的性质，直角三角形的判定及勾股定理的应用等知识，能够正确的判断出△BPQ的形状，从而得到BP、PQ的数量关系，是解答此题的关键．
30、如图，在△ABC中，AB=41cm，BC=18cm，BC边上的中线AD=40cm．△ABC是等腰三角形吗？为什么？
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考点：等腰三角形的判定；线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理。
分析：由已知可得BD的长，再根据勾股定理的逆定理可判定AD垂直BC，从而根据可利用勾股定理求得AC的长，此时发现AB=AC，即该三角形是等腰三角形．
解答：解：△ABC是等于三角形，
理由是：∵BC=18cm，BC边上的中线为AD，
∴BD=CD=9cm
∵AB=41cm，BC=18cm，AD=40cm
∴AB2=1681，
BD2+AD2=1681，
∴AB2=BD2+AD2，
∴AD⊥BC
∵BD=CD，
∴AC=AB
∴△ABC是等腰三角形．
点评：此题主要考查学生对勾股定理的逆定理及等腰三角形的判定线段的垂直平分线性质的理解及运用．