18.1勾股定理的专题训练（附答案解析）
文档属性
| 名称 | 18.1勾股定理的专题训练（附答案解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 326.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2013-05-22 14:18:42 | ||
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文档简介
勾股定理 专题训练
一、解答题（共10小题）
1、在△ABC中，AB=40，AC=60，以A为圆心，AB的长为半径作圆交BC边于D，若BD和DC的长均为正整数，求BC的长．
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2、周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明共有几个？
3、已知Rt△ABC的两条直角边的长a、b均为整数，且a为质数，若斜边c也是整数，求证：2（a+b+1）是完全平方数．
4、已知下面著名的“勾股定理”：在一个直角三角形中，两条直角边的平方之和等于斜边的平方．
试问：是否存在同时满足下列两个条件的直角三角形？
（1）三条边长均是正整数；
（2）一条直角边为素数（也称质数）p．若存在，请求出另一条直角边长；若不存在，请说明理由．
5、设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．若a，b，c均为整数，且c=ab﹣（a+b），求满足条件的直角三角形的个数．
6、已知直角三角形的边长是正整数，并且周长的数值等于这个三角形面积的数值，求斜边的长．
7、在一个半径为20cm的圆形铁板上，欲截取一面积最大的正方形铁板作机器零件，求正方形的边长（精确到0.1）．
8、一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等．试确定这个直角三角形三边的长．
9、500多年前，数学各学派的学者都认为世界上的数只有整数和分数，直到有一天，大数学家毕达哥拉斯的一个名叫希帕索斯的学生，在研究1和2的比例中项时（若1：x=x：2，那么x叫1和2的比例中项），他怎么也想不出这个比例中项值．后来，他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x，于是由毕达哥拉斯定理x2=12+12=2，他想x代表对角线的长，而x2=2，那么x必定是确定的数，这时他又为自己提出了几个问题：
（1）x是整数吗？为什么不是？
（2）x可能是分数吗？是，能找出来吗？不是，能说出理由吗？亲爱的同学，你能帮他解答这些问题吗？
10、操作画图题
如图，正方形网格中的每个正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点，按要求画三角形：使三角形的三边长分别为3、2、（画一个即可）．
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二、填空题（共9小题）
11、两条直角边长分别是整数a，b（其中b＜2011），斜边长是b+1的直角三角形的个数为 _________ ．
12、已知直角三角形有一边是11，另两边的长度均为自然数，那么这个三角形的周长是 _________ ．
13、在边长为1cm的正△ABC中，P0为BC边上一点，作P0P1⊥CA于点 P1，作P1P2⊥AB于点P2，作P2P3⊥BC于点P3．如果点P3恰与点P0重合，则△P1P2P3的面积是 _________ cm2．
14、已知直角三角形两边x，y的长满足|x2﹣4|+=0，则第三边长为 _________ ．
15、如图，正方形BCDE和ABFG的边长分别为2a，a，连接CE和CG，则图中阴影部分的面积是 _________ ；CE和CG的大小关系 _________ ．
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16、（2008 荆门）如图，半圆的直径AB= _________ ．
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17、如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处，则点A表示的数是 _________ ．
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18、如图，以数轴的单位长线段为边作两个正方形，以数轴的原点为圆心，矩形对角线为半径画弧，交数轴负半轴于点A，则在数轴上A表示的数是 _________ ．
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19、如图，数轴上点A表示的数据为 _________ ．
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三、选择题（共11小题）
20、张大爷离家出门散步，他先向正东走了30m，接着又向正南走了40m，此时他离家的距离为（ ）
A、30m B、40m
C、50m D、70m
21、如图，已知矩形A′BOC的边长A′B=2，OB=1，数轴上点A表示的数为x，则x2﹣13的立方根是（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
A、﹣13 B、﹣﹣13
C、2 D、﹣2
22、如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处，则点A表示的数是（ ）
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A、 B、1.4
C、 D、
23、如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（ ）
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A、 B、﹣1+
C、﹣1 D、1
24、如图，正方形OABC的边长为1，以A为圆心，AC为半径画弧，与数轴的一个交点是D，则D点表示的数为（ ）
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A、 B、
C、 D、
25、（2004 广州）如图，在△ABC中，三边a，b，c的大小关系是（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
A、a＜b＜c B、c＜a＜b
C、c＜b＜a D、b＜a＜c
26、（2010 贵港）如图所示，A（﹣，0）、B（0，1）分别为x轴、y轴上的点，△ABC为等边三角形，点P（3，a）在第一象限内，且满足2S△ABP=S△ABC，则a的值为（ ）
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A、 B、
C、 D、2
27、已知等边△ABC，点A在坐标原点，B点的坐标为（6，0），则点C的坐标为（ ）
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A、（3，3） B、（3，2）
C、（2，3） D、（3，3）
28、如图，点A在双曲线y=上，且OA=4cm，过A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于B，则△ABC的周长为（ ）
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A、cm B、5cm
C、cm D、cm
29、如图，带阴影的矩形面积是（ ）平方厘米．
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A、9 B、24
C、45 D、51
30、如图，阴影部分是一个矩形，它的面积是（ ）
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A、5cm2 B、3cm2
C、4cm2 D、6cm2
答案与评分标准
一、解答题（共10小题）
1、在△ABC中，AB=40，AC=60，以A为圆心，AB的长为半径作圆交BC边于D，若BD和DC的长均为正整数，求BC的长．
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考点：数的整除性问题；等边三角形的性质；勾股定理。
专题：计算题。
分析：首先假设出BD，CD的长度，再利用勾股定理得出a+b与b的乘积为2000，再利用三角形三边关系得出20＜a+b＜100，进一步得出a+b的值．
解答：解：设BD=a，CD=b，（a，b为正整数）
作AE⊥BD，垂足为E，则AB=AD=40，BE=DE=．
∵，，
∴，
∴（a+b）b=2000=24×53，
∵20＜a+b＜100，
∴只有或
故BC的长为50或80．
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点评：此题主要考查了数的整除性知识，以及勾股定理的应用和三角形三边关系，题目综合性较强．
2、周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明共有几个？
考点：非一次不定方程（组）；勾股定理。
专题：证明题；探究型。
分析：设存在如上的直角三角形，设两直角边分别为a，b，斜边为c，根据题意可得出关于a、b、c的方程，由勾股定理可判断出c的取值范围，进而求出c的值，把c的值代入不定方程即可求出b、c的值，找出符合条件的未知数的对应值即可．
解答：解：设存在如上的直角三角形，设两直角边分别为a，b，斜边为c，
∵a+b+c=6（1）；
a2+b2=c2（2）
∴（a+b）2=（6﹣c）2（3）
∵ab=9﹣3c为整数，
∴c为整数或以3为分母的分数；
∵直角三角形斜边最长则有c＞2，根据三角形三边边长规律有c＜3；
∴2＜c＜3；
∴c应为以3为分母的分数，a=或；
当c=时，根据（1）（2）式有：b=6或，a=﹣或，不合题意．
当c=时，根据（1）（2）式有：b=，a=或a=，b=，
∴这样的直角三角形存在，恰有一个，两条直角边为与，斜边为．
点评：本题考查的是非一次不定方程及勾股定理，根据题意判断出c的值是解答此题的关键．
3、已知Rt△ABC的两条直角边的长a、b均为整数，且a为质数，若斜边c也是整数，求证：2（a+b+1）是完全平方数．
考点：完全平方数；勾股定理。
专题：证明题。
分析：由勾股定理易得a2+b2=c2，则a2=c2﹣b2=（c+b）（c﹣b），因为a为质数，所以c+b=a2，c﹣b=1，两式相减可得a2=2b+1，代入2（a+b+1）即可得证．
解答：解：∵a，b是Rt△ABC的两条直角边，c是斜边，
∴a2+b2=c2，
即a2=c2﹣b2=（c+b）（c﹣b），
∵a为质数，
∴c+b=a2，c﹣b=1，
∴a2=2b+1，
∴2（a+b+1）=a2+2a+1=（a+1）2，
∴2（a+b+1）是完全平方数．
点评：此题考查完全平方数，根据勾股定理和a为质数展开答题，是关键．
4、已知下面著名的“勾股定理”：在一个直角三角形中，两条直角边的平方之和等于斜边的平方．
试问：是否存在同时满足下列两个条件的直角三角形？
（1）三条边长均是正整数；
（2）一条直角边为素数（也称质数）p．若存在，请求出另一条直角边长；若不存在，请说明理由．
考点：质数与合数；勾股定理。
专题：计算题。
分析：首先假设存在，设另一条直角边长为x，斜边长为y，则x、y为正整数，然后根据题意可得：p2+x2=y2，即可得：（y+x）（y﹣x）=p2，又由p为素数，讨论分析即可求得．
解答：解：假设存在，令另一条直角边长为x，斜边长为y，则x、y为正整数．
由勾股定理得p2+x2=y2．
化为（y+x）（y﹣x）=p2．
因为p为素数（也称质数），且y+x＞y﹣x，
所以只有
从而．
若p=2，则x、y不是整数，这样的三角形不存在；
若p为奇素数，x、y都是整数，这样的三角形存在．
综上所述，可知：p为偶素数2时，满足条件的三角形不存在；p为奇素数时，满足条件的三角形存在，且另一条直角边长为．
点评：此题考查了素数的意义和勾股定理等知识．难度较大，要注意分类讨论思想的应用．
5、设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．若a，b，c均为整数，且c=ab﹣（a+b），求满足条件的直角三角形的个数．
考点：非一次不定方程（组）；勾股定理。
专题：探究型。
分析：先根据此三角形是直角三角形，利用勾股定理把原式化为（a﹣6）（b﹣6）=18，再根据a，b均为正整数，不妨设a＜b，可得出关于a、b的二元一次方程，求出a、b、c的对应值即可．
解答：解：由勾股定理得，c2=a2+b2．
又∵c=ab﹣（a+b），得．
即．
整理得，ab﹣6（a+b）+18=0，即（a﹣6）（b﹣6）=18，
∵a，b均为正整数，不妨设a＜b，
可得或或，
可解出或或，
∴满足条件的直角三角形有3个．
故答案为：3．
点评：本题考查的是非一次不定方程及勾股定理，解答此题的关键是先利用勾股定理把原式化为两个因式积的形式，再根据a，b均为正整数进行解答．
6、已知直角三角形的边长是正整数，并且周长的数值等于这个三角形面积的数值，求斜边的长．
考点：一元二次方程的整数根与有理根；勾股定理。
专题：计算题；分类讨论。
分析：首先根据题目设出未知数a，b，在根据勾股定理a2+b2=c2列出等式，再把其进行化简，用含a的代数式表示b，因为边长都是整数，所以分情况讨论时，取整数情况即可．
解答：解：设直角边为a，b 由题意得：
=a+b+
移项，平方并化简得到：
+2ab﹣ab（a+b）=0
∵ab≠0
∴a+b﹣=2
b===4+
∵b是正整数
∴①a=5，b=12，c=13
②a=6，b=8，c=10
③a=8，b=6，c=10
④a=12，b=5，c=13
∴符合题意的直角三角形的斜边长10或13．
点评：此题主要考查了勾股定理与求方程的整数解的综合运用，用到了数学中的分类讨论思想，注注意讨论是要考虑全面．
7、在一个半径为20cm的圆形铁板上，欲截取一面积最大的正方形铁板作机器零件，求正方形的边长（精确到0.1）．
考点：平方根；勾股定理。
分析：正方形的四个顶点都正好在圆板的外沿上时，所截正方形面积最大，此时正方形的对角线为圆的直径，根据勾股定理求解即可．
解答：解：正方形的四个顶点都正好在圆板的外沿上时，所截正方形面积最大，
此时正方形的对角线应是圆的直径．设正方形的边长为xcm，
由题意，得x2+x2=402，解得x=±20（负值舍去）．
∴x=20≈20×1.414=28.28≈28.3cm．
∴正方形的边长28.3cm．
点评：本题考查了平方根和勾股定理的运用，属于常见的题型，需要熟练掌握．
8、一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等．试确定这个直角三角形三边的长．
考点：三角形边角关系；勾股定理。
专题：计算题。
分析：设符合条件的直角三角形的三边长为a、b、c，其中c为斜边，则a2+b2=c2，a+b+c=，于是将存在性问题的讨论转化为求方程组的解．
解答：解：假设符合条件的直角三角形存在，它的三边长为a、b、c，其中c为斜边，则
a2+b2=c2，a+b+c=，
∵a、b、c均为正整数，
∴a≠b；不妨设a＞b，则有a+b+=，
两边平方，并整理得，
﹣a2b﹣ab2+2ab=0，
消去ab，得
﹣a﹣b+2=0，即（a﹣4）（b﹣4）=8，
又∵8=1×8=2×4，
∴①a﹣4=8，b﹣4=1，解得：a=12，b=5，则c=13；
②a﹣4=4，b﹣4=2，解得：a=8，b=6，则c=10；
综上所述，符合条件的直角三角形的边长分别是5、12、13；6、8、10．
点评：本题主要考查了一元二次方程的整数根及有理根、勾股定理的逆定理的应用．在解题过程中，当勾股定理不能直接运用时，常需要通过等线段的代换、作辅助垂线等途径，为勾股定理的运用创造必要的条件，有时又需要由线段的数量关系去判断线段的位置关系，这就需要熟悉一些常用的勾股数组．
9、500多年前，数学各学派的学者都认为世界上的数只有整数和分数，直到有一天，大数学家毕达哥拉斯的一个名叫希帕索斯的学生，在研究1和2的比例中项时（若1：x=x：2，那么x叫1和2的比例中项），他怎么也想不出这个比例中项值．后来，他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x，于是由毕达哥拉斯定理x2=12+12=2，他想x代表对角线的长，而x2=2，那么x必定是确定的数，这时他又为自己提出了几个问题：
（1）x是整数吗？为什么不是？
（2）x可能是分数吗？是，能找出来吗？不是，能说出理由吗？亲爱的同学，你能帮他解答这些问题吗？
考点：无理数；勾股定理。
专题：常规题型。
分析：（1）根据比例中项的定义，可知x2=2，结合无理数的概念，就能得出x是不是整数的结论．
（2）根据分数的定义，任何分数的平方还是分数，即能得出结论．
解答：解：（1）不是，∵1＜2＜4，而x2=2
∴1＜x2＜4，若x＞0，1＜x＜2，
∴在1和2之间不存在另外的整数．
（2）不是，因为任何分数的平方不可能是整数．
点评：本题主要考查无理数和勾股定理的知识点，掌握无理数的概念是解答的关键，此题是基础题，不是很难．
10、操作画图题
如图，正方形网格中的每个正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点，按要求画三角形：使三角形的三边长分别为3、2、（画一个即可）．
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考点：实数的运算；勾股定理。
专题：作图题；网格型。
分析：因为正方形网格中的每个正方形边长都是1，根据勾股定理可得，边长为2的正方形的对角线长2，长为2，宽为1的长方形的对角线长，然后选取一条线段，使它们能首尾相接，可得所求三角形．
解答：解：根据勾股定理可得，边长为2的正方形的对角线长2，长为2，宽为1的长方形的对角线长，
从三条线段中分别任取一条线段，使它们能首尾相接，即为所求图形．
如图：
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点评：解决本题关键是根据勾股定理在格点图形中找出表示3，2，的线段分别有哪些．
二、填空题（共9小题）
11、两条直角边长分别是整数a，b（其中b＜2011），斜边长是b+1的直角三角形的个数为 31 ．
考点：完全平方数；勾股定理。
专题：计算题。
分析：先根据勾股定理得到a2=（b+1）2﹣b2=2b+1，而b是整数，b＜2011，得到a2是1到4023之间的奇数，而且是完全平方数，32到632都这其中，所以a可以为3，5，…，63，由此得到满足条件的直角三角形的个数为31．
解答：解：∵两条直角边长分别是整数a，b（其中b＜2011），斜边长是b+1，
∴a2=（b+1）2﹣b2=2b+1．
∴a2为奇数，
∵b是整数，b＜2011，
∴a2是1到4023之间的奇数，而且是完全平方数，这样的数共有31个，即32，52，…，632．
∴a可以为3，5，…，63，
∴满足条件的直角三角形的个数为31．
故答案为：31．
点评：本题考查了完全平方数的概念．也考查了勾股定理以及会计算1～100的平方数．
12、已知直角三角形有一边是11，另两边的长度均为自然数，那么这个三角形的周长是 132 ．
考点：三角形边角关系；勾股定理。
分析：设另一直角边为x，斜边为y，利用勾股定理可得y2﹣x2=121，进一步可得（y+x）（y﹣x）=121=121×1，再由x，y为自然数，即可求出x和y的值，于是三角形的周长求出．
解答：解：设另一直角边为x，斜边为y．
根据勾股定理得：
y2=x2+121，
y2﹣x2=121，
（y+x）（y﹣x）=121=121×1，
∵x，y为自然数，
∴x+y=121，y﹣x=1，
∴x=60，y=61，
∴周长为：11+61+60=132．
故答案为132．
点评：本题主要考查三角形边角关系的知识点，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的知识点，此题难度一般．
13、在边长为1cm的正△ABC中，P0为BC边上一点，作P0P1⊥CA于点 P1，作P1P2⊥AB于点P2，作P2P3⊥BC于点P3．如果点P3恰与点P0重合，则△P1P2P3的面积是 cm2．
考点：面积及等积变换；三角形的面积；三角形内角和定理；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理。
专题：计算题。
分析：过A作AD⊥BC于D，根据等边三角形的性质和勾股定理求出BD、AD，计算三角形的面积，求出∠CP3P1=30°，推出CP3=2CP1，设CP1=a，AP2=b，BP3=c，推出CP3=2a，AP1=2b，BP2=2c，得到方程组，求出a=b=c，即可求出a、b、c，根据三角形的面积公式求出即可．
解答：解：
过A作AD⊥BC于D，
∵等边三角形ABC，
∴BD=DC=，
由勾股定理得：AD=，
∴△ABC的面积是×BC×AD=×1×=，
∵等边三角形ABC，
∴∠C=60°，
∵P3P1⊥AC，
∴∠CP3P1=30°，
∴CP3=2CP1，
设CP1=a，AP2=b，BP3=c，
∴CP3=2a，
同理AP1=2b，BP2=2c，
∴，
解得：a=b=c，
即3a=1，
∴a=b=c=，
2a=2b=2c=，
由勾股定理得：P3P1=P1P2=P2P3=，
∴△P1P2P3的面积是S△ABC﹣﹣﹣=﹣3×××=，
故答案为：．
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点评：本题主要考查对三角形的面积，三角形的内角和定理，勾股定理，面积与等积变形，等边三角形的面积，含30度角的直角三角形等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
14、已知直角三角形两边x，y的长满足|x2﹣4|+=0，则第三边长为 或 ．
考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值；勾股定理。
专题：计算题；分类讨论。
分析：任何数的绝对值，以及算术平方根一定是非负数，已知中两个非负数的和是0，则两个一定同时是0；
另外已知直角三角形两边x、y的长，具体是两条直角边或是一条直角边一条斜边，应分类讨论．
解答：解：∵|x2﹣4|≥0，，
∴x2﹣4=0，y2﹣9=0，
∴x=2或﹣2（舍去），y=3或﹣3（舍去），
①当两直角边是2和3时，三角形是直角三角形，则斜边的长为：=；
②当2为直角边，3为斜边时，则第三边是直角边为=．
故答案为：或．
点评：本题考查了有理数加法法则，非负数的性质，另外考查勾股定理的应用，熟练掌握上述性质是解答本题的关键．
15、如图，正方形BCDE和ABFG的边长分别为2a，a，连接CE和CG，则图中阴影部分的面积是 ；CE和CG的大小关系 CE＜CG ．
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考点：面积及等积变换；三角形的面积；勾股定理。
专题：计算题。
分析：（1）首先分别求出正方形ABFG、△AGC、△BEC的面积，利用S=S正方形ABFG+S△BCE﹣S△AGC，即可求出阴影部分的面积；
（2）利用勾股定理求出CE、CG的长比较即可．
解答：解：（1）设图中阴影部分的面积是S，
则：S=S正方形ABFG+S△BCE﹣S△AGC，
∵S正方形ABFG=a×a=a2，
S△BCE= 2a 2a=2a2，
S△AGC=（a+2a） a=a2，
∴S=a2+2a2﹣a2=a2．
（2）在Rt△AGC和Rt△BEC中，由勾股定理得：
CE==a，
CG==a，
∴CE＜CG．
故答案为：a2，CE＜CG．
点评：本题主要考查了三角形的面积公式，面积和等积变换，勾股定理等知识点，找出S=S正方形ABFG+S△BCE﹣S△AGC是解此题的关键．
16、（2008 荆门）如图，半圆的直径AB= ．
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考点：实数与数轴；勾股定理。
专题：数形结合。
分析：由图可知OE与OD、AC的长，再由勾股定理可得圆的半径OC的大小，进而可得半圆的直径AB的值．
解答：解：连接OC，
由图可知：OD=CD=1，
由勾股定理可知，OC===，
故半圆的直径为2，
故答案为．
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点评：此题很简单，解答此题关键是熟知勾股定理，理解题意．
17、如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处，则点A表示的数是 ．
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考点：实数与数轴；勾股定理。
分析：根据勾股定理求出边长为1的正方形的对角线的长，再根据旋转的性质求出A点的数．
解答：解：对角线的长：，根据旋转前后线段的长分别相等，∴A点表示的数=对角线的长=．
点评：本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．
18、如图，以数轴的单位长线段为边作两个正方形，以数轴的原点为圆心，矩形对角线为半径画弧，交数轴负半轴于点A，则在数轴上A表示的数是 ﹣ ．
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考点：实数与数轴；勾股定理。
分析：根据勾股定理计算OA的长度，再由点A的位置，确定点A的符号，从而得出点A的坐标即可．
解答：解：如图：连接MB，
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在数轴上A表示的数是﹣．
点评：本题考查了勾股定理和数轴的应用．
19、如图，数轴上点A表示的数据为 ﹣ ．
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考点：实数与数轴；勾股定理。
分析：根据数轴得出矩形的长和宽，利用勾股定理求出其对角线．
解答：解：OB==，
故数轴上点A表示的数据为﹣．
点评：本题主要考查了数轴与勾股定理的应用．
三、选择题（共11小题）
20、张大爷离家出门散步，他先向正东走了30m，接着又向正南走了40m，此时他离家的距离为（ ）
A、30m B、40m
C、50m D、70m
考点：正数和负数；勾股定理。
专题：计算题。
分析：根据勾股定理直接求得斜边，即为他离家的距离．
解答：解：=50m，
故选C．
点评：本题考查了正数和负数的意义以及勾股定理的运用，题目比较简单．
21、如图，已知矩形A′BOC的边长A′B=2，OB=1，数轴上点A表示的数为x，则x2﹣13的立方根是（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
A、﹣13 B、﹣﹣13
C、2 D、﹣2
考点：立方根；实数与数轴；勾股定理。
分析：先将原式x2﹣13变形为x2﹣4﹣9，整体求出x2﹣4的值，然后根据立方根的定义来解答．
解答：解：根据勾股定理x2﹣22=12，即x2﹣22=1，
∴x2﹣13=x2﹣4﹣9=1﹣9=﹣8，
则x2﹣13的立方根是=﹣2．
故选D．
点评：本题综合性较强，不仅要结合图形，还需要熟悉勾股定理和立方根的定义．
22、如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处，则点A表示的数是（ ）
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A、 B、1.4
C、 D、
考点：实数与数轴；勾股定理。
分析：先根据勾股定理求出正方形的对角线长，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标．
解答：解：数轴上正方形的对角线长为：=，由图中可知0和A之间的距离为．
∴点A表示的数是．
故选D．
点评：本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A的符号后，点A所表示的数是距离原点的距离．
23、如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（ ）
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A、 B、﹣1+
C、﹣1 D、1
考点：实数与数轴；勾股定理。
分析：先根据勾股定理求出正方形的对角线长，再根据两点间的距离公式为：两点间的距离=较大的数﹣较小的数，便可求出1和A之间的距离，进而可求出点A表示的数．
解答：解：数轴上正方形的对角线长为：=，由图中可知1和A之间的距离为．
∴点A表示的数是1﹣．
故选D．
点评：本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，本题需注意：知道数轴上两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离．
24、如图，正方形OABC的边长为1，以A为圆心，AC为半径画弧，与数轴的一个交点是D，则D点表示的数为（ ）
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A、 B、
C、 D、
考点：实数与数轴；勾股定理。
分析：从图上可看出AC和AD的长度相等，且在负半轴上，从而可表示出数．
解答：解：AC==，由于在原点的左边，所以点D表示的数为1﹣．
故选A．
点评：本题考查实数与数轴的知识点，以及勾股定理的应用．
25、（2004 广州）如图，在△ABC中，三边a，b，c的大小关系是（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
A、a＜b＜c B、c＜a＜b
C、c＜b＜a D、b＜a＜c
考点：实数大小比较；勾股定理。
专题：网格型。
分析：先分析出a、b、c三边所在的直角三角形，再根据勾股定理求出三边的长，进行比较即可．
解答：解：根据勾股定理，得a==；b==；c==．
∵5＜10＜13，∴b＜a＜c．
故选D．
点评：本题考查了勾股定理及比较无理数的大小，属中学阶段的基础题目．
26、（2010 贵港）如图所示，A（﹣，0）、B（0，1）分别为x轴、y轴上的点，△ABC为等边三角形，点P（3，a）在第一象限内，且满足2S△ABP=S△ABC，则a的值为（ ）
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A、 B、
C、 D、2
考点：坐标与图形性质；等边三角形的性质；勾股定理。
分析：过P点作PD⊥x轴，垂足为D，根据A（﹣，0）、B（0，1）求OA、OB，利用勾股定理求AB，可得△ABC的面积，利用
S△ABP=S△AOB+S梯形BODP﹣S△ADP，列方程求a．
解答：解：过P点作PD⊥x轴，垂足为D，
由A（﹣，0）、B（0，1），得OA=，OB=1，
由勾股定理，得AB==2
∴S△ABC=×2×=，
又S△ABP=S△AOB+S梯形BODP﹣S△ADP
=××1+×（1+a）×3﹣×（+3）×a，
=，
由2S△ABP=S△ABC，得=，
∴a=．
故选C．
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点评：本题考查了点的坐标与线段长的关系，不规则三角形面积的表示方法．
27、已知等边△ABC，点A在坐标原点，B点的坐标为（6，0），则点C的坐标为（ ）
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A、（3，3） B、（3，2）
C、（2，3） D、（3，3）
考点：坐标与图形性质；等边三角形的性质；勾股定理。
分析：过C点作x轴的垂线，求出C点到两坐标轴的距离．再根据点所在象限写出坐标．
解答：解：过C点作x轴的垂线，D点为垂足．
则AD=3，CD==，
∴D（3，）．
故选D．
点评：等边三角形的性质要熟练掌握．求点的坐标转化为求此点到两坐标轴的距离，注意点所在的象限．
28、如图，点A在双曲线y=上，且OA=4cm，过A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于B，则△ABC的周长为（ ）
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A、cm B、5cm
C、cm D、cm
考点：反比例函数系数k的几何意义；线段垂直平分线的性质；勾股定理。
分析：根据线段垂直平分线的性质可知AB=OB，由此推出△ABC的周长=OC+AC，设OC=a，AC=b，根据勾股定理和函数解析式即可得到关于a、b的方程组，解之即可求出△ABC的周长．
解答：解：∵OA的垂直平分线交OC于B， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
∴AB=OB，
∴△ABC的周长=OC+AC，
设OC=a，AC=b，
则：，
解得a+b=2，
即△ABC的周长=OC+AC=2．
故选A．
点评：本题考查反比例函数图象性质和线段中垂线性质，以及勾股定理的综合应用，关键是一个转换思想，即把求△ABC的周长转换成求OC+AC即可解决问题．
29、如图，带阴影的矩形面积是（ ）平方厘米．
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A、9 B、24
C、45 D、51
考点：几何体的表面积；勾股定理。
分析：根据勾股定理先求出直角边的长度，再根据长方形的面积公式求出带阴影的矩形面积．
解答：解：∵=15厘米，
∴带阴影的矩形面积=15×3=45平方厘米．
故选C．
点评：本题考查了勾股定理和长方形的面积公式．
30、如图，阴影部分是一个矩形，它的面积是（ ）
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A、5cm2 B、3cm2
C、4cm2 D、6cm2
考点：几何体的表面积；勾股定理。
分析：根据勾股定理先求出斜边的长度，再根据长方形的面积公式求出带阴影的矩形面积．
解答：解：∵=5厘米，
∴带阴影的矩形面积=5×1=5平方厘米．
故选A．
点评：本题考查了勾股定理和长方形的面积公式．
一、解答题（共10小题）
1、在△ABC中，AB=40，AC=60，以A为圆心，AB的长为半径作圆交BC边于D，若BD和DC的长均为正整数，求BC的长．
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2、周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明共有几个？
3、已知Rt△ABC的两条直角边的长a、b均为整数，且a为质数，若斜边c也是整数，求证：2（a+b+1）是完全平方数．
4、已知下面著名的“勾股定理”：在一个直角三角形中，两条直角边的平方之和等于斜边的平方．
试问：是否存在同时满足下列两个条件的直角三角形？
（1）三条边长均是正整数；
（2）一条直角边为素数（也称质数）p．若存在，请求出另一条直角边长；若不存在，请说明理由．
5、设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．若a，b，c均为整数，且c=ab﹣（a+b），求满足条件的直角三角形的个数．
6、已知直角三角形的边长是正整数，并且周长的数值等于这个三角形面积的数值，求斜边的长．
7、在一个半径为20cm的圆形铁板上，欲截取一面积最大的正方形铁板作机器零件，求正方形的边长（精确到0.1）．
8、一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等．试确定这个直角三角形三边的长．
9、500多年前，数学各学派的学者都认为世界上的数只有整数和分数，直到有一天，大数学家毕达哥拉斯的一个名叫希帕索斯的学生，在研究1和2的比例中项时（若1：x=x：2，那么x叫1和2的比例中项），他怎么也想不出这个比例中项值．后来，他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x，于是由毕达哥拉斯定理x2=12+12=2，他想x代表对角线的长，而x2=2，那么x必定是确定的数，这时他又为自己提出了几个问题：
（1）x是整数吗？为什么不是？
（2）x可能是分数吗？是，能找出来吗？不是，能说出理由吗？亲爱的同学，你能帮他解答这些问题吗？
10、操作画图题
如图，正方形网格中的每个正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点，按要求画三角形：使三角形的三边长分别为3、2、（画一个即可）．
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二、填空题（共9小题）
11、两条直角边长分别是整数a，b（其中b＜2011），斜边长是b+1的直角三角形的个数为 _________ ．
12、已知直角三角形有一边是11，另两边的长度均为自然数，那么这个三角形的周长是 _________ ．
13、在边长为1cm的正△ABC中，P0为BC边上一点，作P0P1⊥CA于点 P1，作P1P2⊥AB于点P2，作P2P3⊥BC于点P3．如果点P3恰与点P0重合，则△P1P2P3的面积是 _________ cm2．
14、已知直角三角形两边x，y的长满足|x2﹣4|+=0，则第三边长为 _________ ．
15、如图，正方形BCDE和ABFG的边长分别为2a，a，连接CE和CG，则图中阴影部分的面积是 _________ ；CE和CG的大小关系 _________ ．
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16、（2008 荆门）如图，半圆的直径AB= _________ ．
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17、如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处，则点A表示的数是 _________ ．
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18、如图，以数轴的单位长线段为边作两个正方形，以数轴的原点为圆心，矩形对角线为半径画弧，交数轴负半轴于点A，则在数轴上A表示的数是 _________ ．
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19、如图，数轴上点A表示的数据为 _________ ．
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三、选择题（共11小题）
20、张大爷离家出门散步，他先向正东走了30m，接着又向正南走了40m，此时他离家的距离为（ ）
A、30m B、40m
C、50m D、70m
21、如图，已知矩形A′BOC的边长A′B=2，OB=1，数轴上点A表示的数为x，则x2﹣13的立方根是（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
A、﹣13 B、﹣﹣13
C、2 D、﹣2
22、如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处，则点A表示的数是（ ）
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A、 B、1.4
C、 D、
23、如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（ ）
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A、 B、﹣1+
C、﹣1 D、1
24、如图，正方形OABC的边长为1，以A为圆心，AC为半径画弧，与数轴的一个交点是D，则D点表示的数为（ ）
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A、 B、
C、 D、
25、（2004 广州）如图，在△ABC中，三边a，b，c的大小关系是（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
A、a＜b＜c B、c＜a＜b
C、c＜b＜a D、b＜a＜c
26、（2010 贵港）如图所示，A（﹣，0）、B（0，1）分别为x轴、y轴上的点，△ABC为等边三角形，点P（3，a）在第一象限内，且满足2S△ABP=S△ABC，则a的值为（ ）
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A、 B、
C、 D、2
27、已知等边△ABC，点A在坐标原点，B点的坐标为（6，0），则点C的坐标为（ ）
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A、（3，3） B、（3，2）
C、（2，3） D、（3，3）
28、如图，点A在双曲线y=上，且OA=4cm，过A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于B，则△ABC的周长为（ ）
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A、cm B、5cm
C、cm D、cm
29、如图，带阴影的矩形面积是（ ）平方厘米．
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A、9 B、24
C、45 D、51
30、如图，阴影部分是一个矩形，它的面积是（ ）
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A、5cm2 B、3cm2
C、4cm2 D、6cm2
答案与评分标准
一、解答题（共10小题）
1、在△ABC中，AB=40，AC=60，以A为圆心，AB的长为半径作圆交BC边于D，若BD和DC的长均为正整数，求BC的长．
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考点：数的整除性问题；等边三角形的性质；勾股定理。
专题：计算题。
分析：首先假设出BD，CD的长度，再利用勾股定理得出a+b与b的乘积为2000，再利用三角形三边关系得出20＜a+b＜100，进一步得出a+b的值．
解答：解：设BD=a，CD=b，（a，b为正整数）
作AE⊥BD，垂足为E，则AB=AD=40，BE=DE=．
∵，，
∴，
∴（a+b）b=2000=24×53，
∵20＜a+b＜100，
∴只有或
故BC的长为50或80．
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点评：此题主要考查了数的整除性知识，以及勾股定理的应用和三角形三边关系，题目综合性较强．
2、周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明共有几个？
考点：非一次不定方程（组）；勾股定理。
专题：证明题；探究型。
分析：设存在如上的直角三角形，设两直角边分别为a，b，斜边为c，根据题意可得出关于a、b、c的方程，由勾股定理可判断出c的取值范围，进而求出c的值，把c的值代入不定方程即可求出b、c的值，找出符合条件的未知数的对应值即可．
解答：解：设存在如上的直角三角形，设两直角边分别为a，b，斜边为c，
∵a+b+c=6（1）；
a2+b2=c2（2）
∴（a+b）2=（6﹣c）2（3）
∵ab=9﹣3c为整数，
∴c为整数或以3为分母的分数；
∵直角三角形斜边最长则有c＞2，根据三角形三边边长规律有c＜3；
∴2＜c＜3；
∴c应为以3为分母的分数，a=或；
当c=时，根据（1）（2）式有：b=6或，a=﹣或，不合题意．
当c=时，根据（1）（2）式有：b=，a=或a=，b=，
∴这样的直角三角形存在，恰有一个，两条直角边为与，斜边为．
点评：本题考查的是非一次不定方程及勾股定理，根据题意判断出c的值是解答此题的关键．
3、已知Rt△ABC的两条直角边的长a、b均为整数，且a为质数，若斜边c也是整数，求证：2（a+b+1）是完全平方数．
考点：完全平方数；勾股定理。
专题：证明题。
分析：由勾股定理易得a2+b2=c2，则a2=c2﹣b2=（c+b）（c﹣b），因为a为质数，所以c+b=a2，c﹣b=1，两式相减可得a2=2b+1，代入2（a+b+1）即可得证．
解答：解：∵a，b是Rt△ABC的两条直角边，c是斜边，
∴a2+b2=c2，
即a2=c2﹣b2=（c+b）（c﹣b），
∵a为质数，
∴c+b=a2，c﹣b=1，
∴a2=2b+1，
∴2（a+b+1）=a2+2a+1=（a+1）2，
∴2（a+b+1）是完全平方数．
点评：此题考查完全平方数，根据勾股定理和a为质数展开答题，是关键．
4、已知下面著名的“勾股定理”：在一个直角三角形中，两条直角边的平方之和等于斜边的平方．
试问：是否存在同时满足下列两个条件的直角三角形？
（1）三条边长均是正整数；
（2）一条直角边为素数（也称质数）p．若存在，请求出另一条直角边长；若不存在，请说明理由．
考点：质数与合数；勾股定理。
专题：计算题。
分析：首先假设存在，设另一条直角边长为x，斜边长为y，则x、y为正整数，然后根据题意可得：p2+x2=y2，即可得：（y+x）（y﹣x）=p2，又由p为素数，讨论分析即可求得．
解答：解：假设存在，令另一条直角边长为x，斜边长为y，则x、y为正整数．
由勾股定理得p2+x2=y2．
化为（y+x）（y﹣x）=p2．
因为p为素数（也称质数），且y+x＞y﹣x，
所以只有
从而．
若p=2，则x、y不是整数，这样的三角形不存在；
若p为奇素数，x、y都是整数，这样的三角形存在．
综上所述，可知：p为偶素数2时，满足条件的三角形不存在；p为奇素数时，满足条件的三角形存在，且另一条直角边长为．
点评：此题考查了素数的意义和勾股定理等知识．难度较大，要注意分类讨论思想的应用．
5、设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c．若a，b，c均为整数，且c=ab﹣（a+b），求满足条件的直角三角形的个数．
考点：非一次不定方程（组）；勾股定理。
专题：探究型。
分析：先根据此三角形是直角三角形，利用勾股定理把原式化为（a﹣6）（b﹣6）=18，再根据a，b均为正整数，不妨设a＜b，可得出关于a、b的二元一次方程，求出a、b、c的对应值即可．
解答：解：由勾股定理得，c2=a2+b2．
又∵c=ab﹣（a+b），得．
即．
整理得，ab﹣6（a+b）+18=0，即（a﹣6）（b﹣6）=18，
∵a，b均为正整数，不妨设a＜b，
可得或或，
可解出或或，
∴满足条件的直角三角形有3个．
故答案为：3．
点评：本题考查的是非一次不定方程及勾股定理，解答此题的关键是先利用勾股定理把原式化为两个因式积的形式，再根据a，b均为正整数进行解答．
6、已知直角三角形的边长是正整数，并且周长的数值等于这个三角形面积的数值，求斜边的长．
考点：一元二次方程的整数根与有理根；勾股定理。
专题：计算题；分类讨论。
分析：首先根据题目设出未知数a，b，在根据勾股定理a2+b2=c2列出等式，再把其进行化简，用含a的代数式表示b，因为边长都是整数，所以分情况讨论时，取整数情况即可．
解答：解：设直角边为a，b 由题意得：
=a+b+
移项，平方并化简得到：
+2ab﹣ab（a+b）=0
∵ab≠0
∴a+b﹣=2
b===4+
∵b是正整数
∴①a=5，b=12，c=13
②a=6，b=8，c=10
③a=8，b=6，c=10
④a=12，b=5，c=13
∴符合题意的直角三角形的斜边长10或13．
点评：此题主要考查了勾股定理与求方程的整数解的综合运用，用到了数学中的分类讨论思想，注注意讨论是要考虑全面．
7、在一个半径为20cm的圆形铁板上，欲截取一面积最大的正方形铁板作机器零件，求正方形的边长（精确到0.1）．
考点：平方根；勾股定理。
分析：正方形的四个顶点都正好在圆板的外沿上时，所截正方形面积最大，此时正方形的对角线为圆的直径，根据勾股定理求解即可．
解答：解：正方形的四个顶点都正好在圆板的外沿上时，所截正方形面积最大，
此时正方形的对角线应是圆的直径．设正方形的边长为xcm，
由题意，得x2+x2=402，解得x=±20（负值舍去）．
∴x=20≈20×1.414=28.28≈28.3cm．
∴正方形的边长28.3cm．
点评：本题考查了平方根和勾股定理的运用，属于常见的题型，需要熟练掌握．
8、一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等．试确定这个直角三角形三边的长．
考点：三角形边角关系；勾股定理。
专题：计算题。
分析：设符合条件的直角三角形的三边长为a、b、c，其中c为斜边，则a2+b2=c2，a+b+c=，于是将存在性问题的讨论转化为求方程组的解．
解答：解：假设符合条件的直角三角形存在，它的三边长为a、b、c，其中c为斜边，则
a2+b2=c2，a+b+c=，
∵a、b、c均为正整数，
∴a≠b；不妨设a＞b，则有a+b+=，
两边平方，并整理得，
﹣a2b﹣ab2+2ab=0，
消去ab，得
﹣a﹣b+2=0，即（a﹣4）（b﹣4）=8，
又∵8=1×8=2×4，
∴①a﹣4=8，b﹣4=1，解得：a=12，b=5，则c=13；
②a﹣4=4，b﹣4=2，解得：a=8，b=6，则c=10；
综上所述，符合条件的直角三角形的边长分别是5、12、13；6、8、10．
点评：本题主要考查了一元二次方程的整数根及有理根、勾股定理的逆定理的应用．在解题过程中，当勾股定理不能直接运用时，常需要通过等线段的代换、作辅助垂线等途径，为勾股定理的运用创造必要的条件，有时又需要由线段的数量关系去判断线段的位置关系，这就需要熟悉一些常用的勾股数组．
9、500多年前，数学各学派的学者都认为世界上的数只有整数和分数，直到有一天，大数学家毕达哥拉斯的一个名叫希帕索斯的学生，在研究1和2的比例中项时（若1：x=x：2，那么x叫1和2的比例中项），他怎么也想不出这个比例中项值．后来，他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x，于是由毕达哥拉斯定理x2=12+12=2，他想x代表对角线的长，而x2=2，那么x必定是确定的数，这时他又为自己提出了几个问题：
（1）x是整数吗？为什么不是？
（2）x可能是分数吗？是，能找出来吗？不是，能说出理由吗？亲爱的同学，你能帮他解答这些问题吗？
考点：无理数；勾股定理。
专题：常规题型。
分析：（1）根据比例中项的定义，可知x2=2，结合无理数的概念，就能得出x是不是整数的结论．
（2）根据分数的定义，任何分数的平方还是分数，即能得出结论．
解答：解：（1）不是，∵1＜2＜4，而x2=2
∴1＜x2＜4，若x＞0，1＜x＜2，
∴在1和2之间不存在另外的整数．
（2）不是，因为任何分数的平方不可能是整数．
点评：本题主要考查无理数和勾股定理的知识点，掌握无理数的概念是解答的关键，此题是基础题，不是很难．
10、操作画图题
如图，正方形网格中的每个正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点，按要求画三角形：使三角形的三边长分别为3、2、（画一个即可）．
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考点：实数的运算；勾股定理。
专题：作图题；网格型。
分析：因为正方形网格中的每个正方形边长都是1，根据勾股定理可得，边长为2的正方形的对角线长2，长为2，宽为1的长方形的对角线长，然后选取一条线段，使它们能首尾相接，可得所求三角形．
解答：解：根据勾股定理可得，边长为2的正方形的对角线长2，长为2，宽为1的长方形的对角线长，
从三条线段中分别任取一条线段，使它们能首尾相接，即为所求图形．
如图：
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点评：解决本题关键是根据勾股定理在格点图形中找出表示3，2，的线段分别有哪些．
二、填空题（共9小题）
11、两条直角边长分别是整数a，b（其中b＜2011），斜边长是b+1的直角三角形的个数为 31 ．
考点：完全平方数；勾股定理。
专题：计算题。
分析：先根据勾股定理得到a2=（b+1）2﹣b2=2b+1，而b是整数，b＜2011，得到a2是1到4023之间的奇数，而且是完全平方数，32到632都这其中，所以a可以为3，5，…，63，由此得到满足条件的直角三角形的个数为31．
解答：解：∵两条直角边长分别是整数a，b（其中b＜2011），斜边长是b+1，
∴a2=（b+1）2﹣b2=2b+1．
∴a2为奇数，
∵b是整数，b＜2011，
∴a2是1到4023之间的奇数，而且是完全平方数，这样的数共有31个，即32，52，…，632．
∴a可以为3，5，…，63，
∴满足条件的直角三角形的个数为31．
故答案为：31．
点评：本题考查了完全平方数的概念．也考查了勾股定理以及会计算1～100的平方数．
12、已知直角三角形有一边是11，另两边的长度均为自然数，那么这个三角形的周长是 132 ．
考点：三角形边角关系；勾股定理。
分析：设另一直角边为x，斜边为y，利用勾股定理可得y2﹣x2=121，进一步可得（y+x）（y﹣x）=121=121×1，再由x，y为自然数，即可求出x和y的值，于是三角形的周长求出．
解答：解：设另一直角边为x，斜边为y．
根据勾股定理得：
y2=x2+121，
y2﹣x2=121，
（y+x）（y﹣x）=121=121×1，
∵x，y为自然数，
∴x+y=121，y﹣x=1，
∴x=60，y=61，
∴周长为：11+61+60=132．
故答案为132．
点评：本题主要考查三角形边角关系的知识点，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的知识点，此题难度一般．
13、在边长为1cm的正△ABC中，P0为BC边上一点，作P0P1⊥CA于点 P1，作P1P2⊥AB于点P2，作P2P3⊥BC于点P3．如果点P3恰与点P0重合，则△P1P2P3的面积是 cm2．
考点：面积及等积变换；三角形的面积；三角形内角和定理；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理。
专题：计算题。
分析：过A作AD⊥BC于D，根据等边三角形的性质和勾股定理求出BD、AD，计算三角形的面积，求出∠CP3P1=30°，推出CP3=2CP1，设CP1=a，AP2=b，BP3=c，推出CP3=2a，AP1=2b，BP2=2c，得到方程组，求出a=b=c，即可求出a、b、c，根据三角形的面积公式求出即可．
解答：解：
过A作AD⊥BC于D，
∵等边三角形ABC，
∴BD=DC=，
由勾股定理得：AD=，
∴△ABC的面积是×BC×AD=×1×=，
∵等边三角形ABC，
∴∠C=60°，
∵P3P1⊥AC，
∴∠CP3P1=30°，
∴CP3=2CP1，
设CP1=a，AP2=b，BP3=c，
∴CP3=2a，
同理AP1=2b，BP2=2c，
∴，
解得：a=b=c，
即3a=1，
∴a=b=c=，
2a=2b=2c=，
由勾股定理得：P3P1=P1P2=P2P3=，
∴△P1P2P3的面积是S△ABC﹣﹣﹣=﹣3×××=，
故答案为：．
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点评：本题主要考查对三角形的面积，三角形的内角和定理，勾股定理，面积与等积变形，等边三角形的面积，含30度角的直角三角形等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
14、已知直角三角形两边x，y的长满足|x2﹣4|+=0，则第三边长为 或 ．
考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值；勾股定理。
专题：计算题；分类讨论。
分析：任何数的绝对值，以及算术平方根一定是非负数，已知中两个非负数的和是0，则两个一定同时是0；
另外已知直角三角形两边x、y的长，具体是两条直角边或是一条直角边一条斜边，应分类讨论．
解答：解：∵|x2﹣4|≥0，，
∴x2﹣4=0，y2﹣9=0，
∴x=2或﹣2（舍去），y=3或﹣3（舍去），
①当两直角边是2和3时，三角形是直角三角形，则斜边的长为：=；
②当2为直角边，3为斜边时，则第三边是直角边为=．
故答案为：或．
点评：本题考查了有理数加法法则，非负数的性质，另外考查勾股定理的应用，熟练掌握上述性质是解答本题的关键．
15、如图，正方形BCDE和ABFG的边长分别为2a，a，连接CE和CG，则图中阴影部分的面积是 ；CE和CG的大小关系 CE＜CG ．
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考点：面积及等积变换；三角形的面积；勾股定理。
专题：计算题。
分析：（1）首先分别求出正方形ABFG、△AGC、△BEC的面积，利用S=S正方形ABFG+S△BCE﹣S△AGC，即可求出阴影部分的面积；
（2）利用勾股定理求出CE、CG的长比较即可．
解答：解：（1）设图中阴影部分的面积是S，
则：S=S正方形ABFG+S△BCE﹣S△AGC，
∵S正方形ABFG=a×a=a2，
S△BCE= 2a 2a=2a2，
S△AGC=（a+2a） a=a2，
∴S=a2+2a2﹣a2=a2．
（2）在Rt△AGC和Rt△BEC中，由勾股定理得：
CE==a，
CG==a，
∴CE＜CG．
故答案为：a2，CE＜CG．
点评：本题主要考查了三角形的面积公式，面积和等积变换，勾股定理等知识点，找出S=S正方形ABFG+S△BCE﹣S△AGC是解此题的关键．
16、（2008 荆门）如图，半圆的直径AB= ．
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考点：实数与数轴；勾股定理。
专题：数形结合。
分析：由图可知OE与OD、AC的长，再由勾股定理可得圆的半径OC的大小，进而可得半圆的直径AB的值．
解答：解：连接OC，
由图可知：OD=CD=1，
由勾股定理可知，OC===，
故半圆的直径为2，
故答案为．
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点评：此题很简单，解答此题关键是熟知勾股定理，理解题意．
17、如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处，则点A表示的数是 ．
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考点：实数与数轴；勾股定理。
分析：根据勾股定理求出边长为1的正方形的对角线的长，再根据旋转的性质求出A点的数．
解答：解：对角线的长：，根据旋转前后线段的长分别相等，∴A点表示的数=对角线的长=．
点评：本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．
18、如图，以数轴的单位长线段为边作两个正方形，以数轴的原点为圆心，矩形对角线为半径画弧，交数轴负半轴于点A，则在数轴上A表示的数是 ﹣ ．
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考点：实数与数轴；勾股定理。
分析：根据勾股定理计算OA的长度，再由点A的位置，确定点A的符号，从而得出点A的坐标即可．
解答：解：如图：连接MB，
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在数轴上A表示的数是﹣．
点评：本题考查了勾股定理和数轴的应用．
19、如图，数轴上点A表示的数据为 ﹣ ．
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考点：实数与数轴；勾股定理。
分析：根据数轴得出矩形的长和宽，利用勾股定理求出其对角线．
解答：解：OB==，
故数轴上点A表示的数据为﹣．
点评：本题主要考查了数轴与勾股定理的应用．
三、选择题（共11小题）
20、张大爷离家出门散步，他先向正东走了30m，接着又向正南走了40m，此时他离家的距离为（ ）
A、30m B、40m
C、50m D、70m
考点：正数和负数；勾股定理。
专题：计算题。
分析：根据勾股定理直接求得斜边，即为他离家的距离．
解答：解：=50m，
故选C．
点评：本题考查了正数和负数的意义以及勾股定理的运用，题目比较简单．
21、如图，已知矩形A′BOC的边长A′B=2，OB=1，数轴上点A表示的数为x，则x2﹣13的立方根是（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
A、﹣13 B、﹣﹣13
C、2 D、﹣2
考点：立方根；实数与数轴；勾股定理。
分析：先将原式x2﹣13变形为x2﹣4﹣9，整体求出x2﹣4的值，然后根据立方根的定义来解答．
解答：解：根据勾股定理x2﹣22=12，即x2﹣22=1，
∴x2﹣13=x2﹣4﹣9=1﹣9=﹣8，
则x2﹣13的立方根是=﹣2．
故选D．
点评：本题综合性较强，不仅要结合图形，还需要熟悉勾股定理和立方根的定义．
22、如图，以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点A处，则点A表示的数是（ ）
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A、 B、1.4
C、 D、
考点：实数与数轴；勾股定理。
分析：先根据勾股定理求出正方形的对角线长，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标．
解答：解：数轴上正方形的对角线长为：=，由图中可知0和A之间的距离为．
∴点A表示的数是．
故选D．
点评：本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A的符号后，点A所表示的数是距离原点的距离．
23、如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是（ ）
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A、 B、﹣1+
C、﹣1 D、1
考点：实数与数轴；勾股定理。
分析：先根据勾股定理求出正方形的对角线长，再根据两点间的距离公式为：两点间的距离=较大的数﹣较小的数，便可求出1和A之间的距离，进而可求出点A表示的数．
解答：解：数轴上正方形的对角线长为：=，由图中可知1和A之间的距离为．
∴点A表示的数是1﹣．
故选D．
点评：本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，本题需注意：知道数轴上两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离．
24、如图，正方形OABC的边长为1，以A为圆心，AC为半径画弧，与数轴的一个交点是D，则D点表示的数为（ ）
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A、 B、
C、 D、
考点：实数与数轴；勾股定理。
分析：从图上可看出AC和AD的长度相等，且在负半轴上，从而可表示出数．
解答：解：AC==，由于在原点的左边，所以点D表示的数为1﹣．
故选A．
点评：本题考查实数与数轴的知识点，以及勾股定理的应用．
25、（2004 广州）如图，在△ABC中，三边a，b，c的大小关系是（ ） ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
A、a＜b＜c B、c＜a＜b
C、c＜b＜a D、b＜a＜c
考点：实数大小比较；勾股定理。
专题：网格型。
分析：先分析出a、b、c三边所在的直角三角形，再根据勾股定理求出三边的长，进行比较即可．
解答：解：根据勾股定理，得a==；b==；c==．
∵5＜10＜13，∴b＜a＜c．
故选D．
点评：本题考查了勾股定理及比较无理数的大小，属中学阶段的基础题目．
26、（2010 贵港）如图所示，A（﹣，0）、B（0，1）分别为x轴、y轴上的点，△ABC为等边三角形，点P（3，a）在第一象限内，且满足2S△ABP=S△ABC，则a的值为（ ）
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A、 B、
C、 D、2
考点：坐标与图形性质；等边三角形的性质；勾股定理。
分析：过P点作PD⊥x轴，垂足为D，根据A（﹣，0）、B（0，1）求OA、OB，利用勾股定理求AB，可得△ABC的面积，利用
S△ABP=S△AOB+S梯形BODP﹣S△ADP，列方程求a．
解答：解：过P点作PD⊥x轴，垂足为D，
由A（﹣，0）、B（0，1），得OA=，OB=1，
由勾股定理，得AB==2
∴S△ABC=×2×=，
又S△ABP=S△AOB+S梯形BODP﹣S△ADP
=××1+×（1+a）×3﹣×（+3）×a，
=，
由2S△ABP=S△ABC，得=，
∴a=．
故选C．
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点评：本题考查了点的坐标与线段长的关系，不规则三角形面积的表示方法．
27、已知等边△ABC，点A在坐标原点，B点的坐标为（6，0），则点C的坐标为（ ）
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A、（3，3） B、（3，2）
C、（2，3） D、（3，3）
考点：坐标与图形性质；等边三角形的性质；勾股定理。
分析：过C点作x轴的垂线，求出C点到两坐标轴的距离．再根据点所在象限写出坐标．
解答：解：过C点作x轴的垂线，D点为垂足．
则AD=3，CD==，
∴D（3，）．
故选D．
点评：等边三角形的性质要熟练掌握．求点的坐标转化为求此点到两坐标轴的距离，注意点所在的象限．
28、如图，点A在双曲线y=上，且OA=4cm，过A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于B，则△ABC的周长为（ ）
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A、cm B、5cm
C、cm D、cm
考点：反比例函数系数k的几何意义；线段垂直平分线的性质；勾股定理。
分析：根据线段垂直平分线的性质可知AB=OB，由此推出△ABC的周长=OC+AC，设OC=a，AC=b，根据勾股定理和函数解析式即可得到关于a、b的方程组，解之即可求出△ABC的周长．
解答：解：∵OA的垂直平分线交OC于B， ( http: / / www.21cnjy.com / " \o "欢迎登陆21世纪教育网 )
∴AB=OB，
∴△ABC的周长=OC+AC，
设OC=a，AC=b，
则：，
解得a+b=2，
即△ABC的周长=OC+AC=2．
故选A．
点评：本题考查反比例函数图象性质和线段中垂线性质，以及勾股定理的综合应用，关键是一个转换思想，即把求△ABC的周长转换成求OC+AC即可解决问题．
29、如图，带阴影的矩形面积是（ ）平方厘米．
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A、9 B、24
C、45 D、51
考点：几何体的表面积；勾股定理。
分析：根据勾股定理先求出直角边的长度，再根据长方形的面积公式求出带阴影的矩形面积．
解答：解：∵=15厘米，
∴带阴影的矩形面积=15×3=45平方厘米．
故选C．
点评：本题考查了勾股定理和长方形的面积公式．
30、如图，阴影部分是一个矩形，它的面积是（ ）
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A、5cm2 B、3cm2
C、4cm2 D、6cm2
考点：几何体的表面积；勾股定理。
分析：根据勾股定理先求出斜边的长度，再根据长方形的面积公式求出带阴影的矩形面积．
解答：解：∵=5厘米，
∴带阴影的矩形面积=5×1=5平方厘米．
故选A．
点评：本题考查了勾股定理和长方形的面积公式．