16.2分式的化简求值的专题训练(附答案及解析）

分式的化简求值 专题训练
一、选择题（共20小题）
1、，则的值是（　　）
A、无意义 B、
C、 D、
2、下列说法正确的是（　　）
A、当x=±1时，分式的值为零 B、若4x2+kx+9是一个完全平方式，则k的值一定为12
C、若8a4bm+2n÷6a2mb6的结果为常数，则m=n=2 D、若△ABC的三边abc满足a4﹣b4﹣c2（a2﹣b2）=0，则△ABC是等腰直角三角形
3、若x=2n+1+2n，y=2n﹣1+2n﹣2，其中n为整数，则x与y的数量关系为（　　）
A、x=4y B、y=4x
C、x=12y D、y=12x
4、（2011 苏州）已知，则的值是（　　）
A、 B、﹣
C、2 D、﹣2
5、（2008 苏州）若x2﹣x﹣2=0，则的值等于（　　）
A、 B、
C、 D、或
6、（2006 临沂）若的值为，则的值为（　　）
A、1 B、﹣1
C、﹣ D、
7、（2002 聊城）若x2﹣9=0，则的值为（　　）
A、1 B、﹣5
C、1或﹣5 D、0
8、（2001 咸宁）时，代数式的值是（　　）
A、 B、
C、 D、
9、当x=﹣2时，分式的值为（　　）
A、1 B、﹣1
C、2 D、﹣2
10、若的值是（　　）
A、﹣2 B、2
C、3 D、﹣3
11、若a+b+c=0，则a（）+b（）+c（）的值为（　　）
A、0 B、﹣1
C、3 D、﹣3
12、已知x：2=y：3=z：0.5，则的值是（　　）
A、 B、7
C、3 D、
13、已知x2﹣5x﹣2008=0，则代数式的值是（　　）
A、2009 B、2010
C、2011 D、2012
14、若==，则的值是（　　）
A、 B、
C、5 D、6
15、当a=4，b=6，c=﹣5时，的值为（　　）
A、1 B、﹣
C、2 D、﹣1
16、如果，，那么等于（　　）
A、1 B、2
C、3 D、4
17、实数a、b满足ab=1，若，则P、Q的关系为（　　）
A、P＞Q B、P＜Q
C、P=Q D、P=（a+b）Q
18、已知x=+1，y=一1，那么（1+）（1﹣）的值为（　　）
A、 B、
C、 D、
19、已知有：x2﹣5x﹣2009=0，那么分式的值为（　　）
A、2008 B、2007
C、2010 D、﹣2
20、若实数a、b、c、d满足，则的值是（　　）
A、1或0 B、﹣1或0
C、1或﹣2 D、1或﹣1
二、填空题（共3小题）
21、若a为整数，且分式﹣的值是正整数，则a的值等于　_________　或　_________　．
22、已知：，那么=　_________　．
23、已知：a+b+c=0，则的值是　_________　．
三、解答题（共7小题）
24、（2009 宜宾）（1）计算：（5﹣1）0+（）﹣1+×3﹣|﹣2|﹣tan60°；
（2）先化简，再求值：（x+2），其中x=﹣；
（3）已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD．求证：∠C=∠A．
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25、（2007 南通）（1）计算：；
（2）已知x=2007，y=2008，求的值．
26、问题探索：
（1）已知一个正分数（m＞n＞0），如果分子、分母同时增加1，分数的值是增大还是减小？请证明你的结论．
（2）若正分数（m＞n＞0）中分子和分母同时增加2，3…k（整数k＞0），情况如何？
（3）请你用上面的结论解释下面的问题：
建筑学规定：民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由．
27、（2011 遵义）先化简，再求值：，其中x=2，y=﹣1．
28、（2011 株洲）当x=﹣2时，求的值．
29、（2011 重庆）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣x﹣1=0．
30、（2011 肇庆）先化简，再求值：，其中a=﹣3．
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、，则的值是（　　）
A、无意义 B、
C、 D、
考点：非负数的性质：算术平方根；分式的化简求值。
专题：计算题。
分析：根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
解答：解：根据非负数的性质可得：
即
∴x=3，y=
代入化简得：原式=，
故选D．
点评：本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
2、下列说法正确的是（　　）
A、当x=±1时，分式的值为零 B、若4x2+kx+9是一个完全平方式，则k的值一定为12
C、若8a4bm+2n÷6a2mb6的结果为常数，则m=n=2 D、若△ABC的三边abc满足a4﹣b4﹣c2（a2﹣b2）=0，则△ABC是等腰直角三角形
考点：整式的除法；因式分解-运用公式法；分式的值为零的条件；分式的化简求值；等腰三角形的判定。
专题：综合题。
分析：若分式要有意义，则分母不能为0，一个完全平方公式必须满足a2+b2±2ab=（a±b）2的形式，若8a4bm+2n÷6a2mb6的结果为常数，则两式中a、b的指数对应相等，判断一个三角形的形状，关键看三角形三边的关系．
解答：解：A、当x=﹣1时分母为0，没意义，故A错误；
B、当k的值等于﹣12时，4x2+kx+9也是一个完全平方式，故B错误；
C、结果为常数，即a、b的指数为0，所以4=2m，即m=2，m+2n=6，得n=2，故C正确；
D、由a4﹣b4﹣c2（a2﹣b2）=0，可变为a4﹣b4=c2（a2﹣b2）化简得c2=a2+b2，
故只能说明是直角三角形，不能说明是等腰三角形，故D错误；
故选C．
点评：本题主要考查了分式的性质：分母不能为0及完全平方公式和常数的定义．
3、若x=2n+1+2n，y=2n﹣1+2n﹣2，其中n为整数，则x与y的数量关系为（　　）
A、x=4y B、y=4x
C、x=12y D、y=12x
考点：因式分解的应用；分式的化简求值。
专题：转化思想；因式分解。
分析：观察x=2n+1+2n、y=2n﹣1+2n﹣2，发现均是用底数为2的幂组成．因而可计算的值，即，通过分子、分母均提取公因式2n﹣2，并约分，最终求得的值．
解答：解：∵====4
∴x=4y
故选A
点评：本题考查因式分解的应用、分式的化简求值．解决本题的关键是将比较x与y的数量关系，转化为求比值，即求．
4、（2011 苏州）已知，则的值是（　　）
A、 B、﹣
C、2 D、﹣2
考点：分式的化简求值。
专题：计算题。
分析：观察已知和所求的关系，容易发现把已知通分后，再求倒数即可．
解答：解：∵，
∴，
∴=﹣2．
故选D．
点评：解答此题的关键是通分，认真观察式子的特点尤为重要．
5、（2008 苏州）若x2﹣x﹣2=0，则的值等于（　　）
A、 B、
C、 D、或
考点：分式的化简求值。
分析：由已知可知x2﹣x=2，整体代入式子即可求得原式的值．
解答：解：∵x2﹣x﹣2=0，
∴x2﹣x=2，
∴==．
故选A．
点评：本题的关键是把x2﹣x做为一个整体计算，代入求值．
6、（2006 临沂）若的值为，则的值为（　　）
A、1 B、﹣1
C、﹣ D、
考点：分式的化简求值。
专题：整体思想。
分析：将2y2+3y和4y2+6y分别看做一个整体来解答．
解答：解：因为若=．所以2y2+3y+7=8，故2y2+3y=1，则4y2+6y=2，
∴==1．
故选A
点评：解答此题的关键是将2y2+3y和4y2+6y分别看做一个整体，以简化计算．
7、（2002 聊城）若x2﹣9=0，则的值为（　　）
A、1 B、﹣5
C、1或﹣5 D、0
考点：分式的化简求值。
分析：由x2﹣9=0，解得x，但要考虑分母不为0的条件，然后对代数式化简求值．
解答：解：∵x2﹣9=0，
∴x=±3，
∵当x=3时分母为0无意义，则舍去，
只取x=﹣3，
∴原式==x﹣2=﹣5．
故选B．
点评：做此题时注意分式的分母不能为0，即舍去x=3．
8、（2001 咸宁）时，代数式的值是（　　）
A、 B、
C、 D、
考点：分式的化简求值。
专题：计算题。
分析：先把括号内同分得到原式=﹣ ，然后约分得原式=﹣，最后把x=代入，利用二次根式的分母有理化计算即可．
解答：解：原式= （﹣）
=﹣
=﹣，
当x=，原式=﹣=﹣=．
故选B．
点评：本题考查了分式的化简求值：先把各分式的分子或分母因式分解，再把分式进行同分或约分，得到最分式，然后把满足条件的字母的值代入得到对应的分式的值．也考查了二次根式的分母有理化．
9、当x=﹣2时，分式的值为（　　）
A、1 B、﹣1
C、2 D、﹣2
考点：分式的化简求值。
分析：已知了x的值，直接代值计算即可得到所求的答案．
解答：解：把x=﹣2代入分式，得=﹣1．
故选B．
点评：本题主要考查的是分式的化简求值，此题较简单，直接代值计算即可．
10、若的值是（　　）
A、﹣2 B、2
C、3 D、﹣3
考点：分式的化简求值。
分析：由，得=，即ab=b2﹣a2；再把所求代数式通分，整体代入计算．
解答：解：∵，
∴=，
即ab=b2﹣a2，
∴=．
故选A．
点评：本题除考查了分式的混合运算，还用到了整体代入的数学思想．
11、若a+b+c=0，则a（）+b（）+c（）的值为（　　）
A、0 B、﹣1
C、3 D、﹣3
考点：分式的化简求值。
专题：计算题。
分析：由于原式化简为+++++=++，因为a+b+c=0，所以a=﹣b﹣c，b=﹣a﹣c，c=﹣a﹣b，整体代入即可求出代数式的值．
解答：解：原式=+++++
=++
∵a+b+c=0
∴a=﹣b﹣c
∴b=﹣a﹣c
∴c=﹣a﹣b
∴原式=﹣3．
故选D．
点评：解此题的关键是把所求的代数式展开整理成条件中有关的形式把a=﹣b﹣c，b=﹣a﹣c，c=﹣a﹣b整体代入即可．
12、已知x：2=y：3=z：0.5，则的值是（　　）
A、 B、7
C、3 D、
考点：分式的化简求值。
分析：可以设x：2=y：3=z：0.5=a，进而可以得出x、y、z的值，代入所要求的代数式中即可得出答案．
解答：解：设x：2=y：3=z：0.5=a，
则可以得出：x=2a，y=3a，z=0.5a，
代入中得，
原式==7．
故选择B．
点评：本题考查了分式的化简求值问题，解决此类问题要求不拘泥于形式，能够根据不同的条件来得出不同的求解方法．在平时要多加练习，熟能生巧，解题会很方便．
13、已知x2﹣5x﹣2008=0，则代数式的值是（　　）
A、2009 B、2010
C、2011 D、2012
考点：分式的化简求值。
专题：计算题。
分析：首先对代数式进行化简，然后把x2﹣5x=2008整体代入．
解答：解：原式=（x﹣2）2﹣=x2﹣4x+4﹣x=x2﹣5x+4．
又x2﹣5x﹣2008=0，
则x2﹣5x=2008．
则原式=2012．
故选D．
点评：此题注意化简的方法：根据同分母分式加减运算法则，进行拆分，代值的时候，注意整体代入．
14、若==，则的值是（　　）
A、 B、
C、5 D、6
考点：分式的化简求值。
分析：根据=，得出x=3y，x=﹣y；根据=，得出x=3y，x=15y；故有x=3y，代入所求分式化简即可．
解答：解：由=，得2x2﹣5xy﹣3y2=0，
解得x=3y，x=﹣y；
由=，得x2﹣18xy+45y2=0，
解得x=3y，x=15y；
故有x=3y，
∴==．
故选A．
点评：本题考查了分式的化简求值．根据已知等式求出使所有等式成立的条件，是解题的关键．
15、当a=4，b=6，c=﹣5时，的值为（　　）
A、1 B、﹣
C、2 D、﹣1
考点：分式的化简求值。
分析：先化简，再求值．=﹣，将已知的数值代入进行计算．
解答：解：=﹣，
当a=4，b=6，c=﹣5，
原式=﹣+=﹣1，
故选D．
点评：考查了分式的化简能力．分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．
16、如果，，那么等于（　　）
A、1 B、2
C、3 D、4
考点：分式的化简求值。
分析：所求分式涉及字母a、c，故要消除b，根据两个已知等式中b的倒数关系消除b，再把所得等式变形即可．
解答：解：由已知得=1﹣a，b=1﹣，
两式相乘，得（1﹣a）（1﹣）=1，
展开，得1﹣﹣a+=1
去分母，得ac+2=2a
两边同除以a，得c+=2．
故选B．
点评：本题考查了分式等式的变形，消元法的数学思想，需要灵活运用这种变形方法．
17、实数a、b满足ab=1，若，则P、Q的关系为（　　）
A、P＞Q B、P＜Q
C、P=Q D、P=（a+b）Q
考点：分式的化简求值。
专题：计算题。
分析：首先对P与Q进行化简，即可作出比较．
解答：解：P=+===
Q==
故P=Q．
故选C．
点评：本题主要考查了分式的化简，正确对P，Q进行化简是解题的关键．
18、已知x=+1，y=一1，那么（1+）（1﹣）的值为（　　）
A、 B、
C、 D、
考点：分式的化简求值。
分析：本题的关键是化简，然后把给定的值代入求值．
解答：解：（1+）（1﹣）=1﹣+﹣，
当x=+1，y=﹣1，原式=1﹣+﹣=．
故选B．
点评：本题考查了分式的化简求值，注意是先化简，再求值．
19、已知有：x2﹣5x﹣2009=0，那么分式的值为（　　）
A、2008 B、2007
C、2010 D、﹣2
考点：分式的化简求值。
分析：此题直接化简分式，然后进行约分，最后求值．
解答：解：原式===﹣2．
故选D．
点评：分式的运算要注意分子、分母能因式分解的先因式分解，再约分为最简形式．
20、若实数a、b、c、d满足，则的值是（　　）
A、1或0 B、﹣1或0
C、1或﹣2 D、1或﹣1
考点：分式的化简求值。
专题：计算题；分类讨论。
分析：先设=k，从而得出k=±1，再分两种情况讨论即可．
解答：解：设=k，
则b2=ac，c2=bd，d2=ac=b2，a2=bd=c2，
由=k得，a=bk，
由=k得，d=ak=bk2，
由=k得，c=dk=bk3，
再由=k得，
=k，
即：k4=1，
k=±1．
当k=1时，原式=1；
当k=﹣1时，原式=﹣1；
故选D．
点评：本题考查了分式的化简求值，解题的关键是设已知分式为定值，再求解就容易了．
二、填空题（共3小题）
21、若a为整数，且分式﹣的值是正整数，则a的值等于　﹣1　或　1　．
考点：数的整除性问题；分式的化简求值。
专题：创新题型。
分析：首先将分式的分子与分母进行因式分解，特别是a3﹣6a2+12a﹣8的分解，应分组分解为，（a3﹣8）﹣（6a212a），这是解决问题的关键，在进行计算即可．
解答：解：﹣，
=，
=﹣，
=﹣，
=，
∵a为整数，且分式﹣的值是正整数，
∴＞0，
∴a＜2，＜3，
∴只有a=1或﹣1，才符合要求．
故填：﹣1，1．
点评：此题主要考查了分式的加减运算和公式法因式分解，以及数的整除性与不等式的性质等知识．
22、已知：，那么=　1　．
考点：立方公式；分式的化简求值。
专题：计算题。
分析：在a的基础上乘以（﹣1），就可得到立方差公式，进而可求出，对所求的分式通分，且加1减1，凑成完全立方公式，使其出现，然后把的值代入计算即可．
解答：解：∵（﹣1） a=2﹣1=1；
∴=﹣1；
∴==﹣1
=（）3﹣1=（1+）3﹣1
=（）3﹣1=2﹣1=1．
故答案是1．
点评：本题考查了立方差公式、完全立方公式、分式的化简求值．解题的关键是灵活掌握立方差公式、完全立方公式．
23、已知：a+b+c=0，则的值是　0　．
考点：立方公式；分式的化简求值。
专题：计算题。
分析：根据a+b+c=0，则a+b=﹣c，b+c=﹣a，a+c=﹣b，然后对进行化简，然后由a3+b3+c3﹣3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc）判断出a3+b3+c3=3abc，据此可以得到答案．
解答：解：若a+b+c=0，则a+b=﹣c，b+c=﹣a，a+c=﹣b
∵a3+b3+c3﹣3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc）
∴当a+b+c=0时，a3+b3+c3﹣3abc=0
∴a3+b3+c3=3abc
∴原式=﹣3+3=0，
故答案为0．
点评：本题主要考查立方根的知识点，解答本题的关键是把化到最简，此题难度不大．
三、解答题（共7小题）
24、（2009 宜宾）（1）计算：（5﹣1）0+（）﹣1+×3﹣|﹣2|﹣tan60°；
（2）先化简，再求值：（x+2），其中x=﹣；
（3）已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CB，AD=CD．求证：∠C=∠A．
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考点：实数的运算；分式的化简求值；全等三角形的判定。
专题：计算题；证明题。
分析：（1）根据实数的运算法则计算即可；
（2）先化简再求值；
（3）由SSS证得△ABD≌△CBD，再根据全等三角形的性质得出结论．
解答：解：
（1）原式=1+2+﹣2﹣=1；
（2）原式=×（x+2）=1﹣x，
当x=﹣时，原式=；
（3）连接BD，
∵在△ABD与△CBD中，有AB=CB，AD=CD，BD为公共边，
∴△ABD≌△CBD，
∴∠C=∠A．
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点评：传统的小杂烩计算题，涉及知识：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；绝对值的化简．根据三角形全等证明与应用．要求学生有较强的知识综合运用能力．
25、（2007 南通）（1）计算：；
（2）已知x=2007，y=2008，求的值．
考点：实数的运算；分式的化简求值。
分析：（1）根据乘方、0指数幂、负整数指数幂的运算法则进行计算；（2）先把分式化简，再把给定的值代入求值．
解答：解：（1）原式=4﹣1+2=5；
（2）原式=
=（4分）
=
=x+1．（6分）
∴当x=2007，y=2008时，原式=2007+1=2008．（7分）
点评：（1）题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、乘方等考点的运算．（2）注意运算顺序：先除后加，关键是分解因式、约分、通分等知识点的运用．
26、问题探索：
（1）已知一个正分数（m＞n＞0），如果分子、分母同时增加1，分数的值是增大还是减小？请证明你的结论．
（2）若正分数（m＞n＞0）中分子和分母同时增加2，3…k（整数k＞0），情况如何？
（3）请你用上面的结论解释下面的问题：
建筑学规定：民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由．
考点：分式的基本性质；分式的化简求值。
专题：阅读型。
分析：（1）使用作差法，对两个分式求差，有﹣=，由差的符号来判断两个分式的大小．
（2）由（1）的结论，将1换为k，易得答案，
（3）由（2）的结论，可得一个真分数，分子分母增大相同的数，则这个分数整体增大；结合实际情况判断，可得结论．
解答：解：（1）＜（m＞n＞0）
证明：∵﹣=，
又∵m＞n＞0，
∴＜0，
∴＜．
（2）根据（1）的方法，将1换为k，有＜（m＞n＞0，k＞0）．
（3）设原来的地板面积和窗户面积分别为x、y，增加面积为a，
由（2）的结论，可得一个真分数，分子分母增大相同的数，则这个分数整体增大；
则可得：＞，
所以住宅的采光条件变好了．
点评：本题考查分式的性质与运算，涉及分式比较大小的方法（做差法），并要求学生对得到的结论灵活运用．
27、（2011 遵义）先化简，再求值：，其中x=2，y=﹣1．
考点：分式的化简求值。
分析：首先对分式进行化简，把分式化为最简分式，然后把x、y的值代入即可．
解答：解：，
=，
=，
当x=2，y=﹣1时，原式==．
点评：本题主要考查分式的化简、分式的四则混合运算、分式的性质，解题关键在于把分式化为最简分式．
28、（2011 株洲）当x=﹣2时，求的值．
考点：分式的化简求值。
专题：计算题。
分析：将两个分式直接通分，分子写成完全平方式，再与分母约分，代值计算．
解答：解：原式===x+1，（3分）
当x=﹣2时，
原式=x+1=﹣2+1=﹣1．（4分）
点评：本题考查了分式的化简求值．关键是利用分式的加减法则，将分式化简，代值计算．
29、（2011 重庆）先化简，再求值：，其中x满足x2﹣x﹣1=0．
考点：分式的化简求值。
专题：计算题。
分析：先通分，计算括号里的，再把除法转化成乘法进行约分计算．最后根据化简的结果，可由x2﹣x﹣1=0，求出x+1=x2，再把x2=x+1的值代入计算即可．
解答：解：原式=×，，，，=×=，
∵x2﹣x﹣1=0，
∴x2=x+1，
将x2=x+1代入化简后的式子得：==1．
点评：本题考查了分式的化简求值．解题的关键是注意对分式的分子、分母因式分解，除法转化成下乘法．
30、（2011 肇庆）先化简，再求值：，其中a=﹣3．
考点：分式的化简求值。
专题：计算题。
分析：先把原式去括号，再化简，化为最简后，再把a的值代入求值．
解答：解： （1﹣）
=
=
=a+2，
当a=﹣3时，原式=﹣3+2=﹣1．
点评：本题考查了分式的化简求值，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．