16.2.1分式的乘除法的专题训练(附答案及解析）

分式的乘除法 专题训练
一、选择题（共20小题）
1、下列计算正确的是（　　）
A、2a2+3a3=5a5 B、
C、（﹣2a3）3=﹣6a9 D、
2、（2011 眉山）化简的结果是（　　）
A、﹣m﹣1 B、﹣m+1
C、﹣mn+m D、﹣mn﹣n
3、（2010 威海）化简的结果是（　　）
A、﹣a﹣1 B、﹣a+1
C、﹣ab+1 D、﹣ab+b
4、（2010 苏州）化简的结果是（　　）
A、 B、a
C、a﹣1 D、
5、（2009 昆明）下列运算正确的是（　　）
A、=±4 B、2a+3b=5ab
C、（x﹣3）2=x2﹣9 D、（﹣）2=
6、（2008 昆明）下列运算中，正确的是（　　）
A、2+=2 B、（x+2y）2=x2+4y2
C、x8÷x4=x2 D、
7、（2007 安徽）化简（﹣）÷的结果是（　　）
A、﹣x﹣1 B、﹣x+1
C、﹣ D、
8、（2000 武汉）计算所得正确结果（　　）
A、 B、1
C、 D、﹣1
9、计算的结果是（　　）
A、﹣3x B、3x
C、﹣12x D、12x
10、计算﹣的结果为（　　）
A、﹣ B、﹣
C、﹣ D、﹣n
11、计算的结果是（　　）
A、﹣y B、
C、 D、
12、化简，其结果是（　　）
A、 B、
C、 D、
13、下列各式中，计算正确的是（　　）
A、m÷n m=m B、
C、 D、
14、下列分式运算，结果正确的是（　　）
A、 B、
C、 D、
15、若分式÷的值等于5，则a的值是（　　）
A、5 B、﹣5
C、 D、﹣
16、计算的值等于（　　）
A、﹣9a B、9a
C、﹣36a D、36a
17、下列各式计算正确的是（　　）
A、x÷y =x B、x y÷x y=1
C、÷ =1 D、x2÷÷x=1
18、下列计算中，错误的是（　　）
A、 B、
C、 D、
19、化简x÷等于（　　）
A、1 B、xy
C、 D、
20、计算得（　　）
A、x5 B、x5y
C、y5 D、xy5
二、填空题（共6小题）
21、已知M=，那么M，N的大小关系是　_________　．（填“＞”或“＜”）
22、（a2m+3am+2）÷（am+1）=　_________　．
23、多项式4x2+4x+1分解因式的结果是　_________　；计算的结果是　_________　
24、，（　　）=　_________　；
=　_________　；
25、①分式与的最简公分母是　_________　；
②分式的值为零的条件是　_________　；
③计算（xy﹣x2） =　_________　．
26、（2011 聊城）化简：÷=　_________　．
三、解答题（共2小题）
27、给定下面一列分式：，（其中x≠0）
（1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？
（2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式．
28、（1）已知恒等式x3﹣x2﹣x+1=（x﹣1）（x2+kx﹣1），求k的值；
（2）若x是整数，求证：是整数．
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、下列计算正确的是（　　）
A、2a2+3a3=5a5 B、
C、（﹣2a3）3=﹣6a9 D、
考点：整式的加减；幂的乘方与积的乘方；分式的乘除法。
专题：计算题。
分析：此题考查整式的加减，幂的乘方与积的乘方及分式的除法运算．
解答：解：A、2a2+3a3≠5a2，A错；
B、=a4，B错；
C、（﹣2a3）3=﹣8a9，C错；
D、=，D正确，
故选D．
点评：本题主要考查整式的加减，幂的乘方与积的乘方及分式的除法等简单的计算问题．
2、（2011 眉山）化简的结果是（　　）
A、﹣m﹣1 B、﹣m+1
C、﹣mn+m D、﹣mn﹣n
考点：分式的乘除法。
专题：探究型。
分析：根据分式乘法及除法的运算法则进行计算，即分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
解答：解：原式=（﹣）×=﹣m+1．
故选B．
点评：本题考查的是分式的乘除法，分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．
3、（2010 威海）化简的结果是（　　）
A、﹣a﹣1 B、﹣a+1
C、﹣ab+1 D、﹣ab+b
考点：分式的乘除法。
分析：本题考查的是分式的除法运算，做除法运算时要转化为乘法的运算，注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分．
解答：解：=（﹣）×=﹣a+1．
故选B．
点评：分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．
4、（2010 苏州）化简的结果是（　　）
A、 B、a
C、a﹣1 D、
考点：分式的乘除法。
分析：本题考查的是分式的除法运算，做除法运算时要转化为乘法的运算，注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分．
解答：解：=×=a．
故选B．
点评：分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分．
5、（2009 昆明）下列运算正确的是（　　）
A、=±4 B、2a+3b=5ab
C、（x﹣3）2=x2﹣9 D、（﹣）2=
考点：分式的乘除法；算术平方根；合并同类项；完全平方公式。
分析：本题根据算术平方根、合并同类项、完全平方式、分式的乘除法等知识点进行判断．
解答：解：A、=4，因此A的结论是错误的；
B、2a+3b没有同类项，不能合并；
C、（x﹣3）2=x2﹣6x+9；
D、（﹣）2=，正确；
故选D．
点评：本题考查了分式的乘除法、算术平方根、合并同类项、完全平方公式等知识．
6、（2008 昆明）下列运算中，正确的是（　　）
A、2+=2 B、（x+2y）2=x2+4y2
C、x8÷x4=x2 D、
考点：分式的乘除法；实数的运算；同底数幂的除法；完全平方公式。
分析：本题根据分式的乘除法、实数的运算、同底数幂的除法、完全平方式等知识点进行判断．
解答：解：A、由于2和不是同类二次根式，因此不能合并，
B、根据公式将式子展开即可判断，原式错误，
C、同底数幂相除，底数不变指数相减，故x8÷x4=x4，
D、先将除法转化为乘法，然后将各分式的分子、分母分解因式，进而可通过约分、化简得出结果正确．
故选D．
点评：本题主要考查了同底数幂的运算，完全平方公式，以及分式的除法运算的方法．
7、（2007 安徽）化简（﹣）÷的结果是（　　）
A、﹣x﹣1 B、﹣x+1
C、﹣ D、
考点：分式的乘除法。
分析：在完成此类化简题时，应先将分子、分母中能够分解因式的部分进行分解因式．有些需要先提取公因式，而有些则需要运用公式法进行分解因式．通过分解因式，把分子分母中能够分解因式的部分，分解成乘积的形式，然后找到其中的公因式约去．
解答：解：（﹣）÷，
=（﹣）×，
=﹣（x+1），
=﹣x﹣1．
故选A．
点评：分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，如果有乘方，还应根据分式乘方法则先乘方，即把分子、分母分别乘方，然后再进行乘除运算．同样要注意的地方有：一是要确定好结果的符号；二是运算顺序不能颠倒．
8、（2000 武汉）计算所得正确结果（　　）
A、 B、1
C、 D、﹣1
考点：分式的乘除法。
分析：本题考查的是分式的除法运算，做除法运算时，先把除法转化成乘法，要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分．
解答：解：原式===，故选A．
点评：在完成此类化简题时，应先将分子、分母中能够分解因式的部分进行分解因式．有些需要先提取公因式，而有些则需要运用公式法进行分解因式．通过分解因式，把分子分母中能够分解因式的部分，分解成乘积的形式，然后找到其中的公因式约去．
9、计算的结果是（　　）
A、﹣3x B、3x
C、﹣12x D、12x
考点：分式的乘除法。
分析：在进行分式乘方运算时，先确定运算结果的符号，负数的偶数次方为正，而奇数次方为负，同时要注意运算顺序，先乘方，后乘除．
解答：解：原式=×=12x；
故选D．
点评：分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，如果有乘方，还应根据分式乘方法则先乘方，即把分子、分母分别乘方，然后再进行乘除运算．同样要注意的地方有：一是要确定好结果的符号；二是运算顺序不能颠倒．
10、计算﹣的结果为（　　）
A、﹣ B、﹣
C、﹣ D、﹣n
考点：分式的乘除法。
分析：在进行分式乘方运算时，先确定运算结果的符号，同时要注意运算顺序，先乘方，后乘除．
解答：解：
=
=﹣；
故选A．
点评：分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，如果有乘方，还应根据分式乘方法则先乘方，即把分子、分母分别乘方，然后再进行乘除运算．同样要注意的地方有：一是要确定好结果的符号；二是运算顺序不能颠倒．
11、计算的结果是（　　）
A、﹣y B、
C、 D、
考点：分式的乘除法。
分析：分式的运算首先要分清运算顺序，在这个题目中，首先进行乘方运算，然后统一成乘法运算，最后进行约分运算．
解答：解：原式=．
故选B．
点评：在计算过程中需要注意的是运算顺序．分式的乘除运算实际就是分式的约分．
12、化简，其结果是（　　）
A、 B、
C、 D、
考点：分式的乘除法。
分析：在完成此类化简题时，应先将分子、分母中能够分解因式的部分进行分解因式．有些需要先提取公因式，而有些则需要运用公式法进行分解因式．通过分解因式，把分子分母中能够分解因式的部分，分解成乘积的形式，然后找到其中的公因式约去．
解答：解：
=×，
=．
因此选择C．
点评：分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，如果有乘方，还应根据分式乘方法则先乘方，即把分子、分母分别乘方，然后再进行乘除运算．
13、下列各式中，计算正确的是（　　）
A、m÷n m=m B、
C、 D、
考点：分式的乘除法。
分析：本题考查的是分式的乘除法运算．可先将分式的乘除运算统一为乘法运算，然后将各分式的分子、分母分解因式，进而可通过约分、化简得出结果．
解答：解：A、原式=；
B、原式=；
C、原式=；
D、原式=；所以只有C选项是正确的．
故选C．
点评：分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，如果有乘方，还应根据分式乘方法则先乘方，即把分子、分母分别乘方，然后再进行乘除运算．同样要注意的地方有：一是要确定好结果的符号；二是运算顺序不能颠倒．
14、下列分式运算，结果正确的是（　　）
A、 B、
C、 D、
考点：分式的乘除法。
分析：分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，如果有乘方，还应根据分式乘方法则先乘方，即把分子、分母分别乘方，然后再进行乘除运算．同样要注意的地方有：一是要确定好结果的符号；二是运算顺序不能颠倒．
解答：解：A、；
B、原式=；
C、原式=；
D、原式=；
故选A．
点评：在进行分式乘方运算时，先确定运算结果的符号，负数的偶数次方为正，而奇数次方为负，同时要注意运算顺序，先乘方，后乘除．
15、若分式÷的值等于5，则a的值是（　　）
A、5 B、﹣5
C、 D、﹣
考点：分式的乘除法。
专题：计算题。
分析：首先根据分式的除法法则计算÷，然后根据题意列出方程，从而求出a的值．
解答：解：∵÷= =，
∴=5，
∴a=．
故选C．
点评：本题主要考查了分式的除法法则．将分式的除法转化为乘法以后，注意将分子、分母分解因式，然后约分化简．
16、计算的值等于（　　）
A、﹣9a B、9a
C、﹣36a D、36a
考点：分式的乘除法。
分析：计算时首先要把乘除运算转化成乘法运算，在计算的过程中要注意符号的变化．
解答：解：原式==36a，
故选D．
点评：运算过程中首先要确定符号，然后把乘除的混合运算转化成乘法运算，进行约分运算．
17、下列各式计算正确的是（　　）
A、x÷y =x B、x y÷x y=1
C、÷ =1 D、x2÷÷x=1
考点：分式的乘除法。
分析：本题可根据分式的乘除法法则进行计算，进而可判断出正确的选项．
解答：解：A、原式=；
B、原式=；
C、原式=；
D、原式=；
故选C．
点评：分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，如果有乘方，还应根据分式乘方法则先乘方，即把分子、分母分别乘方，然后再进行乘除运算．同样要注意的地方有：一是要确定好结果的符号；二是运算顺序不能颠倒．
18、下列计算中，错误的是（　　）
A、 B、
C、 D、
考点：分式的乘除法。
分析：本题在进行分式乘方运算时，先确定运算结果的符号，负数的偶数次方为正，而奇数次方为负，同时要注意运算顺序，先乘方，后乘除．
解答：解：A、，正确，
B、，正确，
C、，原式错误，
D、，正确，
故选C．
点评：分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，如果有乘方，还应根据分式乘方法则先乘方，即把分子、分母分别乘方，然后再进行乘除运算．同样要注意的地方有：一是要确定好结果的符号；二是运算顺序不能颠倒．
19、化简x÷等于（　　）
A、1 B、xy
C、 D、
考点：分式的乘除法。
分析：分式的乘除运算，首先要统一成乘法运算，然后进行约分．在计算中要注意运算顺序，乘除运算从左到右依次计算．
解答：解：原式=x ==．
故选C．
点评：分式的乘除混合运算转化成乘法运算是解决的关键．本题易出现的错误是直接将后两项合并化简，因此要特别注意运算的顺序不能乱．
20、计算得（　　）
A、x5 B、x5y
C、y5 D、xy5
考点：分式的乘除法。
分析：分式的运算首先要分清运算顺序，在这个题目中，首先进行乘方运算，然后统一成乘法运算，最后进行约分运算．
解答：解：原式=，
故选A．
点评：在计算过程中需要注意的是运算顺序．并且这类计算最终转化为约分运算．
二、填空题（共6小题）
21、已知M=，那么M，N的大小关系是　M＞N　．（填“＞”或“＜”）
考点：有理数大小比较；分式的乘除法。
专题：整体思想；换元法。
分析：先令21998=n，再运用作商法得出M÷N＞1，从而得出M，N的大小关系．
解答：解：令21998=n，则21999=2 21998=2n，22000=4n，
∴M÷N=÷=．
∴M＞N．
故答案为：M＞N．
点评：本题考查了分数的大小比较，难度较大．本题采取换元作商法大大降低了计算量，且不容易出错．
22、（a2m+3am+2）÷（am+1）=　am+2　．
考点：整式的除法；因式分解-十字相乘法等；分式的乘除法。
专题：计算题；整体思想；因式分解。
分析：题目是多项式除以多项式，可先将被除式中的多项式a2m+3am+2分解因式，再根据分式的除法法则进行计算．
解答：解：∵a2m+3am+2，
=（am）2+3（am）+2，
=（am+2）（am+1），
∴（a2m+3am+2）÷（am+1），
=，
=am+2．
故答案为：am+2．
点评：本题主要考查了运用十字相乘法分解因式a2m+3am+2及根据分式的基本性质进行分式的约分．多项式除以多项式的内容在初中教材大纲中不学习，本题属于竞赛题型，有一定难度．本题的关键是想到将被除式a2m+3am+2分解因式，难点是将am看作一个字母，则它是关于这个字母的二次三项式，因此可以运用十字相乘法分解因式．
23、多项式4x2+4x+1分解因式的结果是　（2x+1）2　；计算的结果是　　
考点：因式分解-运用公式法；分式的乘除法。
分析：①用完全平方公式分解即可；
②把除法统一为乘法，再约分、化简即可．
解答：解：①4x2+4x+1=（2x+1）2；
②÷2xb=×=．
点评：整个式子为三项，有两项平方项，一项为平方项的底数的积的±2倍时，应考虑运用完全平方公式进行分解；分式的除法应统一为乘法后再进行计算．
24、，（　　）=　xy2　；
=　﹣　；
考点：分式的基本性质；分式的乘除法。
分析：（1）根据分式的基本性质把的分母化为x2y的形式即可；
（2）找出分子、分母的公因式，把分子、分母同时除以其公因式即可．
解答：解：（1）∵把的分子、分母同时乘以xy得，==，
∴（　　）=xy2．
（2）∵分式中分子、分母的公因式为4abc3，
∴=﹣．
点评：本题考查的是分式的基本性质，即分式的分子、分母同时乘以或除以一个不为0的数，分式的值不变．
25、①分式与的最简公分母是　x（x+3）（x﹣3）　；
②分式的值为零的条件是　a=1且a≠﹣1　；
③计算（xy﹣x2） =　x2y　．
考点：最简公分母；分式的值为零的条件；分式的乘除法。
分析：利用分式的混合运算法则计算即可．
解答：解：①两个分式的分母可分解为x（x﹣3），（x+3）（x﹣3），所以最简公分母是x（x+3）（x﹣3）；
②此分式的值为0的条件是分子a﹣1=0，而分母b+1≠0，即a=1，b≠﹣1；
③（xy﹣x2） =﹣x（x﹣y） =x2y．
点评：①考查了确定最简公分母的方法；②考查了分式为0时的条件；③考查了简单的分式计算．
26、（2011 聊城）化简：÷=　　．
考点：分式的乘除法。
分析：首先分解每个因式的分子与分母，把除法转化成乘法，然后约分即可求解．
解答：解：原式= =．
故答案为：
点评：本题考查了分式的化简，正确对分子、分母分解因式是关键．
三、解答题（共2小题）
27、给定下面一列分式：，（其中x≠0）
（1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？
（2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式．
考点：规律型：数字的变化类；分式的基本性质；分式的乘除法。
专题：规律型。
分析：（1）将任意一个分式除以前面一个分式，可得出规律．
（2）由（1）可知任意一个分式除以前面一个分式恒等于一个代数式，由此可得出第7个分式．
解答：解：（1）第二个分式除以第一个分式得﹣，第三个分式除以第二个分式得﹣，
同理，第四个分式除以第三个分式也是﹣，故规律是任意一个分式除以前面一个分式；
（2）由（1）可知该第7个分式应该是×=．
点评：本题涉及数字的变化及数列的相关知识，根据题干的规律能找到一般表达式，难度中等．
28、（1）已知恒等式x3﹣x2﹣x+1=（x﹣1）（x2+kx﹣1），求k的值；
（2）若x是整数，求证：是整数．
考点：多项式乘多项式；因式分解-运用公式法；分式的乘除法；解一元一次方程。
专题：计算题；方程思想。
分析：（1）先将等式右边展开计算，再根据多项式恒等的性质，两边对应项系数相等，列出关于k的方程，从而求出k的值；
（2）把（1）中k的值代入，可将x3﹣x2﹣x+1因式分解，再进行分式的除法运算，可求出的结果，然后根据条件x是整数，即可得证．
解答：解：（1）由题设知，（x﹣1）（x2+kx﹣1）=x3+（k﹣1）x2﹣（k+1）x+1，
所以x3﹣x2﹣x+1=x3+（k﹣1）x2﹣（k+1）x+1，
从而有k﹣1=﹣1，﹣k﹣1=﹣1，
解得k=0．
故所求k的值为0；
（2）由（1）知k=0，则x3﹣x2﹣x+1=（x﹣1）（x2﹣1）=（x﹣1）2（x+1），
∴==x+1．
又∵x是整数，
∴x+1是整数．
故是整数．
点评：本题主要考查了多项式乘多项式的法则，因式分解及分式的除法．由于多项式除以多项式的内容在初中教材大纲中不学习，故本题第二问有一定难度，属于竞赛题型．解决第一问的关键是根据多项式乘多项式的法则，利用两边对应项系数相等，列出关于k的方程；解决第二问的关键是利用（1）的结论，将多项式x3﹣x2﹣x+1因式分解．