数学广角——鸡兔同笼
【教材分析】
“鸡兔同笼”问题是我国民间广为流传的数学趣题，它在培养学生逻辑推理能力的同时使学生体会代数方法的一般性。解决这类问题时，教材展示了学生逐步解决问题的过程。“假设法”有利于培养学生的逻辑推理能力，列方程则有助于学生体会代数方法的一般性。因此在解决“鸡兔同笼”问题时，学生选用哪种方法均可，不强求用某一种方法。
【教学目标】
了解“鸡兔同笼”问题，感受古代数学问题的趣味性。
尝试用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题，使学生体会假设和列方程的一般性。
在解决问题的过程中，培养学生的思维能力，并向学生渗透转化、函数等数学思想和方法。
【教学重、难点】
用假设法和列方程的方法解决“鸡兔同笼”问题。
【教学指导】
1．要注重解题策略的多样化教学中，教师通过组织学生采取讨论，自主探索等方式，多手段、多层面、多角度地探索问题，引导学生运用列表法、画图法、假设法、代数法等方法分析和解决问题，从而使学生获得分析问题和解决问题的基本方法，体验解决问题策略的多样性，发展创新意识。在注重解决问题策略多样化的同时，教师还应注重解决问题策略的自主优化（如列表法中的从两边开始，从中间开始，依据数据跳跃猜测等），并注重不同策略间的相互联系和影响，注重解决问题策略的局限性和一般性。
2．要注重逻辑思维能力的培养让学生在参与观察、猜想、证明、归纳等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，用数学语言清晰地表达自己的想法是培养学生思维能力的重要途径。从课初随意、无序的猜想到表格中的有序、有目的的猜想；从一般验证到表格中数据变化规律的发现；从列表法（8只兔0只鸡或8只鸡0只兔这两种情况中）很快自然联想到假设法（通过假设——计算——推理——解答的过程，掌握假设法的独特的特点）、代数法。学生的思维经历了从无序到有序、从特殊到一般、从借鉴到创新、从肤浅到深刻等方面的巨大变化，学生的思维能力也随之得到了极大的提升。
【课时安排】
建议共分2课时：
第1课时鸡兔同笼（1）·············································1课时
第2课时鸡兔同笼（2）·············································1课时
第1课时 鸡兔同笼
教学课题 鸡兔同笼问题（1）
教学目标 1．了解“鸡兔同笼”问题，感受古代数学问题的趣味性。 2．尝试用不同的方法解决“鸡兔同笼”问题，使学生体会假设和列方程的一般性。 3．在解决问题的过程中，培养学生的思维能力，并向学生渗透转化、函数等数学思想和方法。
教学重点与难点 用多种方法解决“鸡兔同笼”问题。
教学准备及手段 多媒体课件、列表法的表格卡片 课型 新授课
教 学 流 程 初备 修改部分
一、情境导入 1．师：同学们，今天老师将和大家一起来学习一道我国古代非常有名的数学趣题，“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”（PPT投影展示原题。）这四句话是什么意思呢？抽生回答。（笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有35个头；从下面数，有94条脚。鸡和兔各有几只？）（PPT展示今意。） 2．这类题我们把它叫做什么问题好呢？（“鸡兔同笼”问题。）板书。其实，鸡兔同笼问题记载于《孙子算经》一书中，早在1500多年前就有古人在研究它，我们现代人还在研究它，而且还有很多外国人也在研究它。鸡兔同笼问题到底有什么魅力，使得那么多的人乐此不疲地去解决这个问题呢？相信同学们学习了这节课，你们就会揭开这个秘密。你们有没有信心把这节课的内容学好呢？ 二、新课讲授 （一）出示情景，获取信息 1.出示“鸡兔同笼”画面。为了研究方便，我们把题目里的数字改小一点。“笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有8个头；从下面数，有26条腿。鸡和兔各有几只？” 2.我们一起来看看被关在同一个笼子里的鸡和兔。鸡和兔是两种不同的动物，但我们从数学的角度思考，它们有什么相同点和不同点呢？学生理解：相同点——鸡和兔都只有1个头；不同点——鸡只有2条腿，而兔有4条腿。 （二）列表法 1．我们先来猜猜，笼子中可能会有几只鸡几只兔呢？在猜测时要抓住哪个条件？（鸡和兔一共是8只。） 2．那是不是抓住了这个条件就一定能猜对呢？怎样才能确定猜的对不对呢？（把鸡的腿和兔的腿加起来看等不等于26条腿。） 3．现在就请同学们，把你们猜测的数据填在答题卡上。师巡视，可能会出现如下四种情况：① 随意猜，直到猜对为止；② 从鸡的只数开始尝试，直到符合26条腿为止；③ 从兔的只数开始尝试，直到符合26条腿为止；④ 对半分开始尝试，不断调整，直到符合26条腿为止。 4．我们把这种方法叫做列表法。（板书：列表法） （三）直观画图法 1．师：刚才我们同学介绍了用列表法来解决这个问题，还有别的方法吗？谁愿意来给大家讲一讲？ 2．生1：还可以用画图——先画好8个圆圈代表鸡和兔的8个头，再给每只动物先安上2条腿（也就是都看成鸡），这样一共用16条腿，还剩下10条腿。因为每只兔少算了2条腿，所以一次增加2条腿，这样一只鸡就变成了一只兔，要把10条腿安完，就要把5只鸡变成兔。 所以在这个笼子里鸡有3只，兔有5只。（指名该生上台演示。）问：你们听懂他的方法吗？请同学们在练习本上画一画。 3．生2：我也是用画图法——先画好8个圆圈代表鸡和兔的8个头，但我是先给每只动物安上4条腿（也就是都看成兔。），这样一共有32条腿，多了6条腿。因为每只鸡多画了2条腿，所以一次减少2条腿，这样一只兔就变成了一只鸡，要去掉多的6条腿，就要从3只兔的身上各去掉2条腿，这样3只兔变成了鸡。所以在这个笼子里鸡有3只，兔有5只。（指名该生上台演示。） 师：画图的方法非常便于观察、非常容易理解。 4．你们觉得用猜想列表法或直观画图法解决鸡兔同笼问题怎么样？（ 生：我认为有局限性，当头和腿的数目较大时，用这两种方法会很麻烦。） 5．是呀！假如鸡和兔不是同关在一个笼子里，而是同关在一个养殖场里，鸡和兔共有1000只，它们共有2700条腿。问这个养殖场里的鸡和兔分别有多少只？如果用列表的方法或画图的方法来解决就太麻烦了。看来我们还有必要继续研究新的解题方法。 （四）思考交流你还能用什么办法来解决这个问题呢？ 学生讨论后交流。 A、假设法现在请同学们一起来看看XXX同学表格中左起的第一列，8和0是什么意思？（就是有8只鸡和0只兔，也就是假设笼子里全是鸡） ①假设笼子里的8只全是鸡，那么笼子里就只能有多少条腿？ ②与实际的腿数不符，腿的条数少算了多少条？ ③假设全是鸡，是把4条腿的兔当成2条腿的鸡，这样每只兔就少了多少条腿？ ④少算的10条腿是把多少只兔当成了鸡来算？ ⑤鸡的只数怎么算？ B、列方程解在解决鸡兔同笼问题时，除了假设法外，还有别的方法吗？（方程的方法） 要用列方程的方法就必须找到等量关系式。 通过得到的信息能写出哪些等量关系式呢？（兔的只数+鸡的只数=8；兔的腿数+鸡的腿数=26）（课件出示） 这里我们需要求兔的只数和鸡的只数，共有两个未知数。那我们可以设其中一个未知数为x，再用含有字母的式子表示出另一个未知数。让我们来试试吧。 小结：请同学们回忆一下，在解决鸡兔同笼问题时，可以用哪些方法？（列表法、画图法、假设法或列方程。） （五）现在我们就用刚才学到的这些方法来解决《孙子算经》中的原题，你会用列表法和画图的方法解决吗？ 三、课堂练习 完成教材第105页“做一做”。运用列表法和画图法解决这两道题，然后交流订正。 四、课堂小结 通过这节课的学习，你有什么收获？ 小结：鸡兔同笼问题可以用猜测列表法、假设法等多种方法解决，但数字较大时可以用列方程的方法。
教学 后记第2课时 鸡兔同笼
教学课题 鸡兔同笼问题（2）
教学目标 1．理解运用假设法和方程的方法去解决“鸡兔同笼”问题。 2．在解决问题的过程中，培养学生的思维能力，并向学生渗透转化、函数等数学思想和方法。
教学重点与难点 运用假设法和方程的方法去解决“鸡兔同笼”问题。
教学准备及手段 多媒体课件 课型 新授课
教 学 流 程 初备 修改部分
一、复习导入 1．复习 我们上节课学习了“鸡兔同笼”问题，大家回忆一下这种问题用什么方法来解决呢？ 学生回顾交流。 解决方法：列表法、画图法、假设法和列方程。 2．导入 假如鸡和兔不是同关在一个笼子里，而是同关在一个养殖场里，鸡和兔共有1000只，它们共有2700条腿。问这个养殖场里的鸡和兔分别有多少只？如果用列表的方法或画图的方法来解决就太麻烦了。看来我们还有必要继续研究新的解题方法。 板书： 鸡兔同笼（2） 二、新课讲授 一、假设法： 1．出示例1情景和表格。 表格中左起的第一列，8和0是什么意思？（就是有8只鸡和0只兔，也就是假设笼子里全是鸡） ①假设笼子里的8只全是鸡，那么笼子里就只能有多少条腿？ ②与实际的腿数不符，腿的条数少算了多少条？ ③假设全是鸡，是把4条腿的兔当成2条腿的鸡，这样每只兔就少了多少条腿？ ④少算的10条腿是把多少只兔当成了鸡来算？ ⑤鸡的只数怎么算？ 2．假设全是鸡一共就有16条腿。实际有26条腿，这样笼子里就少了10条腿，为什么会少了10条腿呢？（把兔当了鸡在算，一只兔当成一只鸡算少两条腿，那把几只兔当成了鸡算就会少算10条腿呢？即10里面有几个2就把几兔当成了鸡算，5个2，用五只兔当成了鸡算，这个五就表示应该有5只兔。） 3．上面的过程能用算式表示出来吗？请同学们试试看。 （学生试着列算式，请一个学生到黑板上去板演。） 4．假设全是鸡：（板书） 8×2=16（条）（如果把兔全当成鸡一共就有8×2=16条腿。） 26-16=10（条）（把兔看成鸡来算，4条腿的兔当成2条腿的鸡算，每只兔就少了两条腿，10条腿是少算了兔的腿。） 4-2=2（条）（假设全是鸡，是把4条腿的兔有当成两条腿的鸡。所以4-2表示是一只兔当成一只鸡就要少算2条腿。） 10÷2=5（只）兔（那把多少只兔当成鸡算就会少10条腿呢？就看10里面有几个2就是把几只兔当成了鸡来算，所以10÷2=5就是兔的只数。） 8-5=3（只）鸡（用鸡兔的总只数减去兔的只数就是鸡的只数，8-5=3只鸡。） 5．算出来后，我们还要检验算的对不对，谁愿意口头检验。 生：3×2+5×4=26（只），5+3=8（只）。 师：看来做对了，最后写上答语。 6．假设全是兔。 7．我们再回到表格中，看看右起第一列中的0和8是什么意思？（笼子里全是兔。）那是不是全都是兔呢？（不是）也就是假设笼子里全是兔。那把兔当了鸡在算。那就是把里面的鸡也当成兔来计算了，那把一只2条腿的鸡当成一只4条腿的兔来算会有什么结果呢？（就会多算两条腿。）（课件出示：把一只鸡当成一只兔算，就多了两条腿。） 8．先用假设全是鸡的办法解决了这个问题，现在假设全是兔又应该怎么分析和解决这个问题呢？同学们能自己解决吗？如果有困难可以同桌或小组讨论。 （学生讨论写算式，然后指名板演。） 8×4=32（条）（如果把鸡全看成兔一共就有8×4=32条腿。） 32-26=6（条）（把鸡当成兔来算，两条腿的鸡当成4条腿兔算，每只鸡就多了两条腿，6条腿是多算了鸡的腿。） 4-2=2（条）（假设全是兔，是把2条腿的鸡当成有4条腿的兔。所以4-2表示是一只鸡当成一只兔多算了2条腿。） 6÷2=3（只）鸡（那要把多少只鸡当成兔来算就会多算6条腿呢？就看6里面有几个2就是把几只鸡当成了兔算，所以6÷2=3就是现在鸡的只数。） 8-3=5（只）兔 小结：刚才我们假设都是鸡或都是兔，所以把这种方法叫做假设法。这是解答鸡兔同笼问题的一种基本方法。（板书：假设法） 二、列方程解 1．在解决鸡兔同笼问题时，除了假设法外，还有别的方法吗？（方程的方法） 要用列方程的方法就必须找到等量关系式。 通过得到的信息能写出哪些等量关系式呢？ （兔的只数+鸡的只数=8；兔的腿数+鸡的腿数=26）（课件出示） 2．这里我们需要求兔的只数和鸡的只数，共有两个未知数。那我们可以设其中一个未知数为x，再用含有字母的式子表示出另一个未知数。让我们来试试吧。 ①如果我们设鸡的只数为x只，根据兔和鸡共有8只。那兔的只数就可以表示成：（8-x）只，因为一只鸡有2条腿，所以x只鸡就共有2x条腿。一只兔有4条腿，（8-x）只兔就有4（8-x）条腿。根据鸡和兔共有26条腿，可列出等式2x+4（8-x）=26。 解：设鸡有x只，兔有（8-x）只。 2x+4（8-x）=26 ② 如果我们设兔的只数为x只，根据兔和鸡共有8只。那鸡的只数就可以表示成：（8-x）只，因为一只兔有4条腿，所以x只兔就共有4x条腿。一只鸡有2条腿，（8-x）只鸡就有2（8-x）条腿。根据鸡和兔共有26条腿，可列了等式4x+2（8-x）=26。 解：设有兔x只，鸡有（8-x）只。 4x+2（8-x）＝26 4x-2x＝26-16 2x＝10 x＝5 所以鸡有8－5＝3只 师：列方程的重点是找出等量关系，设其中一种动物的只数为x，然后根据脚数的等量关系式列出方程；哪种方程好解一点，（设兔的只数为x好解点。）所以我们可以设脚数多的兔为x，在解的时候容易一点。 小结：请同学们回忆一下，我们在解决鸡兔同笼问题时，一般利用什么方法更简单？（假设法或列方程） 三、课堂练习 1．课件出示教材第105页“做一做”第1、2题。 运用假设法和列方程解决这两道题，然后说一说解题思路，并交流订正。 2．完成教材第106页练习二十四第1~4题。 利用假设法和列方程解决这两道题，然后说一说解题思路，并交流订正。 四、课堂小结 本节课你有什么收获？ 小结：在用假设法求鸡兔同笼问题时，假设全是“鸡”，则先求出“兔”的只数，反之，假设全是兔，则先求出“鸡”的只数。列方程解决中最主要是找准数量关系式。
教学 后记
