北京课改版数学八年级上册同步课时练习：12.6.3　等边三角形的性质(word版含答案)

12.6.3　等边三角形的性质
等边三角形的性质定理:等边三角形的每个角都相等,并且都等于60°.
1.下列说法正确的是(　　)
A.钝角三角形一定不是等腰三角形
B.等腰三角形一定不是钝角三角形
C.等边三角形一定不是钝角三角形
D.直角三角形一定不是等腰三角形
2.有下列说法:①等边三角形的三个内角都是60°;②等边三角形任意一边上的高也是这边上的中线;③等边三角形任意一边上的中线都平分一个内角;④等边三角形也是等腰三角形.其中正确的有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如,一个等边三角形纸片剪去一个角后得到一个四边形,则中∠α+∠β的度数是(　　)
A.180° B.220° C.240° D.300°
4.如,△ABC和△BDE都是等边三角形.如果∠EBC=20°,那么∠ABD的度数为(　　)
A.80° B.90° C.100° D.105°
5.已知AD是等边三角形ABC的高,BE是AC边上的中线,AD与BE交于点F,则∠AFE=
　　　　°.
6.如,D是等边三角形ABC内的一点,如果将△ABD绕点A逆时针旋转后能与△ACE重合,那么旋转了　　　　°.
7.如,在等边三角形ABC中,AD⊥BC于点D,以AD为一边向右作等边三角形ADE,判断AC,DE的位置关系,并给出证明.
8.如所示,已知△ABC是等边三角形,AD为中线,AD=AE,求∠EDC的度数.
9.如,△ABC是等边三角形,D,E两点分别在AB,BC的延长线上,BD=CE,连接AE,CD.求证:∠E=∠D.
10.如,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作等边三角形ABC和等边三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.有以下五个结论:①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60°.其中恒成立的结论有　 .(只填序号)
11.如所示,已知△ABC为等边三角形,点D,E分别在BC,AC边上,且AE=CD,AD与BE相交于点F.
(1)求证:△ABE≌△CAD;
(2)求∠BFD的度数.
12.如所示,△ABC是等边三角形,D是AC的中点,过点D作DM⊥BC,垂足是M,延长BC到点E,使CE=CD.求证:BM=EM.
13.如,E是等边三角形ABC内一点,且EA=EB,△ABC外一点D满足BD=AC,且BE平分∠DBC,求∠BDE的度数.
14.如,等边三角形ABC的边长为10,P是边AB的中点,Q为BC延长线上一点,CQ∶BC=1∶2,过点P作PE⊥AC于点E,连接PQ交AC边于点D,求DE的长.
答案
1.C　 如两边长都为5,夹角为120°的三角形既是钝角三角形,又是等腰三角形,所以选项A和选项B错误;由于等边三角形的三个角都为60°,所以等边三角形不可能为钝角三角形,所以选项C正确;两个锐角都为45°的直角三角形也是等腰三角形,即等腰直角三角形,所以选项D错误.
2.D　
3.C
4.C　 因为△ABC和△BDE都是等边三角形,所以∠EBD=∠ABC=60°.又因为∠EBC
=20°,所以∠DBC=40°,所以∠ABD=∠ABC+∠DBC=60°+40°=100°.故选C.
5.60　 如所示,由题意知∠DAC=30°,∠AEF=90°,∴∠AFE=60°.
6.60　 ∵∠BAD=∠CAE,△ABC为等边三角形,∴∠BAC=∠DAE=60°.即旋转了60°.
7.解:AC,DE的位置关系为AC⊥DE.
证明:∵∠CDE=90°-∠ADE=30°,
∴在△CDF中,∠CFD=180°-∠C-∠CDE=180°-60°-30°=90°.
∴AC⊥DE.
8. 先求出∠DAE=30°,∠AED=∠ADE=75°,结合∠EDC=∠AED-∠C可求.
解:∵△ABC为等边三角形,AD为中线,
∴∠DAE=∠BAC=×60°=30°.
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED=×(180°-∠DAE)=×(180°-30°)=75°.
∵∠AED=∠EDC+∠C,
∴∠EDC=∠AED-∠C=75°-60°=15°.
9.证明:∵△ABC是等边三角形,
∴AC=CB,∠ACB=∠ABC=60°.
∵D,E两点分别在AB,BC的延长线上,
∴∠ACE=∠CBD=120°.
在△ACE和△CBD中,
∴△ACE≌△CBD(SAS).
∴∠E=∠D.
10.①②③⑤　 由题意易得△ADC≌△BEC,
所以AD=BE,∠ADC=∠BEC,①正确.
又因为CD=CE,∠DCP=∠ECQ=60°,
所以△CDP≌△CEQ,
所以CP=CQ,PD=QE,
所以∠CPQ=∠CQP=60°,
所以∠CPQ=∠BCA,
所以PQ∥AE,②正确.
因为AD=BE,所以AD-PD=BE-QE,
即AP=BQ,③正确.
DE=DP,显然是错误的,④错误.
∠AOB=∠DAE+∠AEO=∠DAE+∠ADC=∠DCE=60°,⑤正确.
故答案为①②③⑤.
11.解:(1)证明:∵△ABC为等边三角形,
∴∠BAC=∠C=60°,AB=CA.
在△ABE和△CAD中,
∴△ABE≌△CAD.
(2)∵△ABE≌△CAD,∴∠ABE=∠CAD.
∵∠BFD=∠ABE+∠BAD,
∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°.
12.证明:∵△ABC是等边三角形,D是AC的中点,
∴BD平分∠ABC.
∴∠ABC=2∠DBE.
∵CE=CD,
∴∠CED=∠CDE.
又∵∠ACB=∠CED+∠CDE,
∴∠ACB=2∠CED.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABC=∠ACB,即2∠DBE=2∠CED.
∴∠DBE=∠CED.
∵DM⊥BE,∴∠DMB=∠DME=90°.
又∵DM=DM,∴△BDM≌△EDM.
∴BM=EM.
13.解:连接CE.
∵△ABC是等边三角形,∴AC=BC.
又∵EA=EB,CE是公共边,
∴△BEC≌△AEC(SSS).
∴∠BCE=∠ACE=30°.
∵BD=AC,∴BD=BC.
∵BE平分∠DBC,
∴∠DBE=∠CBE.
又∵BE是公共边,
∴△BED≌△BEC(SAS).
∴∠BDE=∠BCE=30°.
14.解:过点P作PF∥BC交AC于点F.
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠B=∠ACB=∠A=60°.
∵P是边AB的中点,CQ∶BC=1∶2,
∴AP=CQ.
∵PF∥BC,
∴∠APF=∠B=60°,∠AFP=∠ACB=60°.
从而∠A=∠APF=∠AFP=60°.
∴△APF是等边三角形.
∴AP=PF=AF.
∵AP=CQ,∴PF=CQ.
∵PE⊥AC,∴EF=AF.
∵PF∥BC,∴∠Q=∠FPD.
在△PDF和△QDC中,
∴△PDF≌△QDC.
∴DF=DC.从而DF=CF.
∴DE=EF+DF=AF+CF=AC=5.