北京课改版数学八年级上册同步课时练习：12.6.4　等腰三角形的判定 12.6.5　等边三角形的判定(word版含答案)

12.6.4　等腰三角形的判定
12.6.5　等边三角形的判定
1.等腰三角形的判定定理:如果一个三角形有两个角相等,那么两个角所对的边也相等(简记为:等角对等边).
2.等边三角形的判定定理:
(1)三个角都相等的三角形是等边三角形.
(2)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
1.如,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD,CE分别是∠ABC,∠BCD的平分线,则中的等腰三角形有(　　)
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
2.如,把一张长方形的纸沿对角线折叠,则重合部分的形是(　　)
A.直角三角形 B.等腰直角三角形
C.等腰三角形 D.不能确定
3.如,已知△ABC中,CD平分∠ACB交AB于点D,DE∥BC,交AC于点E,若DE=4 cm,AE=5 cm,则AC的长为(　　)
A.5 cm B.4 cm C.9 cm D.1 cm
4.[2020·燕山期末] 在△ABC中,AB=AC,BC=5,∠B=60°,则△ABC的周长是　　　　.
5.如所示,△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点F,过点F作DE∥BC交AB于点D,交AC于点E.若AB=6 cm,AC=5 cm,则△ADE的周长为　　　　.
6.如,等边三角形ABC的周长是9,D是AC边上的中点,点E在BC的延长线上.若DE=DB,则CE的长为　　　　.
7.如,工人师傅要检查人字梁的AB和AC是否相等,但他手边没有量角器,只有一个刻度尺.他是这样操作的:
①分别在BA和CA上截取BE=CG;
②在BC上截取BD=CF;
③量出DE的长为a m,FG的长为b m.
若a=b,则说明AB和AC是相等的.
他的这种做法合理吗 为什么
8.如,在△ABC中,D为BC边上的一点,DA平分∠EDC,且∠E=∠B,DE=DC.求证:AB=AC.
9.如所示,在△ABC中,点E在AB上,点D在BC上,BD=BE,∠BAD=∠BCE,AD与CE相交于点F,试判断△AFC的形状,并说明理由.
10.如,等边三角形ABC中,点P在△ABC内,点Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,
BP=CQ,则对△APQ的形状判断最准确的是(　　)
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
11.如所示,△ABC中,AD⊥BC于点D,则再添加一个条件,就可以确定△ABC是等腰三角形,你添加的条件是　　　　　　.
12.如所示,△ABC中,AB=AC,在AC上取一点P,过点P作EF⊥BC,交BA的延长线于点E,垂足为F.
求证:AE=AP.
13.[2020·怀柔期末] 已知:如,△ABC是等边三角形,D是BC延长线上一点,且CD=CB,连接AD,过点D作DM⊥DB,在DM上截取一点E,使得DE=AD,连接AE.
(1)求证:△ADB≌△AEC;
(2)猜想EC和AD的位置关系,并证明.
14.如,在△ABC中,AB=BC=CA=6 cm,D为AB上的点,且DB=AB,点P在边BC上由点B向点C运动,点P的速度为2 cm/s,同时,点Q在边CA上由点C向点A运动.
(1)如果点P的运动速度与点Q的运动速度相等,那么经过1 s后,△DBP与△PCQ是否全等 请说明理由;
(2)如果点Q的运动速度为3 cm/s,那么点Q运动几秒后,可得到等边三角形PCQ
答案
1.A　 ∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠ACB=72°.又∵BD,CE分别是∠ABC,∠BCD的平分线,∴∠ABD=∠ACE=∠DBC=∠BCE=36°.∴中的等腰三角形有△ABC,△ABD,△BCD,△ECD,△BCE,共5个.
2.C　3.C
4.15
5.11 cm　 因为BF平分∠ABC,所以∠ABF=∠FBC.因为DE∥BC,所以∠FBC=∠DFB,所以∠ABF=∠DFB,所以BD=DF.同理CE=EF.所以△ADE的周长=AD+DE+AE=AB+AC=
6+5=11(cm).　
6.1.5　 ∵等边三角形ABC的周长是9,
∴AB=BC=AC=3.
∵D是AC的中点,
∴BD⊥AC,CD=AD=1.5,∠DBC=30°.
∵DE=DB,∴∠E=∠DBC=30°.
∴∠BDE=120°.∴∠EDC=30°.
∴CE=CD=1.5.
7.解:合理.因为他这样做相当于利用“SSS”证明△BED≌△CGF,
所以可得∠B=∠C,
所以AB=AC.
8.证明:∵DA平分∠EDC,∴∠ADE=∠ADC.
又∵DE=DC,AD=AD,∴△ADE≌△ADC.
∴∠E=∠C.
又∵∠E=∠B,∴∠B=∠C.∴AB=AC.
9.解:△AFC是等腰三角形.理由如下:
在△ABD和△CBE中,
∴△ABD≌△CBE(AAS).
∴BA=BC.
∴∠BAC=∠BCA.
又∵∠BAD=∠BCE,
∴∠BAC-∠BAD=∠BCA-∠BCE.
即∠FAC=∠FCA.
∴FA=FC.
故△AFC为等腰三角形.
10.B
11.BD=DC(答案不唯一)
12.证明:过点A作AD平分∠BAC交BC于点D.
∵AB=AC,∴AD⊥BC.
∵EF⊥BC,∴AD∥EF.
∴∠BAD=∠E,∠CAD=∠APE.
又∵∠BAD=∠CAD,
∴∠E=∠APE.
∴AE=AP.
13.解:(1)证明:∵MD⊥DB,∴∠EDB=90°.
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC=CB,∠ACB=∠CAB=60°.
∵CD=CB,∴CD=AC,
∴∠ADB=∠DAC=30°,
∴∠ADE=60°.
又∵DE=AD,
∴△ADE是等边三角形,
∴∠DAE=60°,AE=AD,
∴∠CAB=∠DAE=60°,
∴∠DAB=∠EAC,
∴△ADB≌△AEC.
(2)猜想:AD⊥EC.
证明:∵△ADB≌△AEC,
∴∠AEC=∠ADB=30°.
∵△AED是等边三角形,
∴EF是△AED的角平分线,
∴EF是△AED的高线,
∴AD⊥EC.
14.解:(1)全等.
理由:由题意可知BP=2 cm,CQ=2 cm.
∵BC=6 cm,∴PC=4 cm.
∵DB=AB,AB=6 cm,
∴DB=4 cm.
∴BP=CQ,PC=DB.
∵AB=BC=CA, ∴∠B=∠C=60°.
在△DBP和△PCQ中,
∴△DBP≌△PCQ.
(2)设点Q运动x s后,可得到等边三角形PCQ,
∴PC=CQ.
由题意可知PC=6-2x,CQ =3x,
∴6-2x=3x,解得x=.
∴点Q运动 s后,可得到等边三角形PCQ.