北京课改版数学八年级上册同步课时练习：12.7.1　直角三角形的性质(word版含答案)

12.7.1　直角三角形的性质
1.直角三角形的性质定理:直角三角形的两个锐角互余.
2.直角三角形ABC也可表示为Rt△ABC.
3.(补充)直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半.
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=46°,则∠A的度数为(　　)
A.44° B.34° C.54° D.64°
2.如∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,则中与∠B互余的角有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,CD是斜边AB上的高,则以下关系中不正确的是(　　)
A.CD=AC B.BD=CD
C.BD=AB D.BC=AB
4.如在锐角三角形ABC中,AD,CE分别是边BC,AB上的高,垂足分别是D,E,AD,CE分别相交于点O,若∠B=60°,则∠AOE的度数是(　　)
A.60° B.50° C.70° D.80°
5.在△ABC中,若∠A+∠B=∠C,则此三角形为　　　　三角形.
6.如在△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,若AD=6,则CD=　　　　.
7.[2020·丰台期末] 如在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥AC,交BC于点D.若AD=3,则BC=　　　　.
8.如C为AE上一点,AD与BC相交于点F,若∠ACB=∠AED=90°,∠D=45°,∠B=30°,
AB=8 cm,则△ACF的面积是　　　　cm2.
9.如在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,CE⊥AB于点E.
求证:∠BCE=∠BAD.
10.如将长方形ABCD沿DE折叠,使点C恰好落在BA边上,得到点C',若∠C'EB=40°,求∠EDC'的度数.
11.在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于30°.
已知:如△ABC中,∠C=90°,AC=AB.求证:∠B=30°.
12.如在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=15°,DE⊥AB,AE=BE.若AD=12 cm,则BC的长为　　　　cm.
13.[2020·朝阳期末] 如,∠ABC=60°,AB=3,动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动,设点P的运动时间为t秒,当△ABP是钝角三角形时,t满足的条件是　　　　　　　　　　.
14.某市在“旧城改造”中,计划在市内一块如所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米的售价为a元,求购买这种草皮至少需要多少元.
15.如,两根旗杆AC,BD间的距离为12 m,某人从点A沿AB走向点B,一定时间后他到达点M,此时他仰望旗杆的顶点C和D,两次视线的夹角为90°,且CM=MD,已知旗杆AC的高为3 m,该人的速度为1 m/s,求这个人走了多长时间.
16.如,等边三角形ABC中,AE=CD,AD,BE相交于点P,BQ⊥AD于点Q.
求证:BP=2PQ.
答案
1.A　2.B
3.B　 因为∠C=90°,∠B=60°,所以∠A=30°.在Rt△ABC中,BC=AB.在Rt△ADC中,CD=AC.在Rt△BDC中,易求出∠BCD=30°,所以BD=BC,所以BD=×AB=AB.故A,C,D选项正确.
4.A　 ∵AD⊥BC,∴∠BAD+∠B=90°.∵CE⊥AB,∴∠BAD+∠AOE=90°.
∴∠AOE=∠B.∵∠B=60°,∴∠AOE=60°.
5.直角
6.3　 ∵∠C=90°,∠ABC=60°,∴∠A=30°.
∵BD平分∠ABC,
∴∠CBD=∠ABD=30°,∴∠A=∠ABD.
∴BD=AD=6.∴CD=BD=×6=3.故答案为3.
7.9
8.8　 ∵∠ACB=∠AED=90°,∠B=30°,AB=8 cm,
∴AC=AB=×8=4(cm),CF∥ED.
∴∠AFC=∠D=45°.∴AC=CF=4 cm.
∴△ACF的面积是AC·CF=×4×4=8(cm2).
9.证明:∵AB=AC,AD是BC边上的中线,
∴AD⊥BC.∴∠ADB=90°.
∵CE⊥AB,∴∠BEC=90°.
∴∠BCE+∠B=∠BAD+∠B=90°.
∴∠BCE=∠BAD.
10.解:由题意得△DEC≌△DEC',
∴∠CED=∠C'ED.
∵∠C'EB=40°,
∴∠CED=∠C'ED=×(180°-40°)=70°.
∴∠EDC'=90°-70°=20°.
11.证明:如,延长线段AC到点D,使DC=AC=AB,连接BD,
∴AD=AB.
在△ABC和△DBC中,
∴△ABC≌△DBC.
∴AB=DB.
∴AB=DB=AD.
∴△ABD为等边三角形.
又∵BC⊥AD,
∴∠ABC=30°.
12.6　 ∵DE⊥AB,AE=BE,DE为公共边,
∴△ADE≌△BDE,
∴∠DBE=∠DAE=15°.
∴∠BDC=30°,BD=AD=12 cm.
∵∠ACB=90°,
∴BC=BD=6 cm.
13.06　 ①如,当∠APB=90°时,
∵∠ABC=60°,AB=3,
∴BP=,∴t=,
∴当0②如,当∠BAP'=90°时,
∵∠ABC=60°,AB=3,
∴BP'=6,∴t=6,
∴当t>6时,△ABP'是钝角三角形.
故答案为06.
14. 要求购买草皮的价钱,必须先求△ABC的面积.因为△ABC是钝角三角形,故边AC和AB上的高在△ABC的外部.
解:过点B作BD⊥CA,交CA的延长线于点D.
因为∠BAC=150°,
所以∠BAD=30°.
在Rt△ADB中,∠ADB=90°,∠BAD=30°,
所以BD=AB=×20=10(m),
所以S△ABC=BD·AC=×10×30=150(m2).
故购买这种草皮至少需要150a元.
15.解:∵CA⊥AB,DB⊥AB,∴∠A=∠B=90°.
∴∠DMB+∠D=90°.
∵∠CMD=90°.
∴∠CMA+∠DMB=90°,
∴∠CMA=∠D.
在△ACM和△BMD中,
∴△ACM≌△BMD(AAS).
∴BM=AC=3 m.
∵AB=12 m,
∴AM=AB-BM=9(m),
∴这个人走了=9(s).
答:这个人走了9 s.
16.证明:∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC=AC,∠ABC=∠BAC=∠C=60°.
又∵AE=CD,
∴△ADC≌△BEA(SAS).
∴∠ABE=∠CAD.
∴∠BPQ=∠ABP+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°.
∵BQ⊥AD,∴∠BQP=90°.
∴∠PBQ=30°.∴BP=2PQ.