北京课改版数学八年级上册同步课时练习：12.6.2　第1课时　等边对等角(word版含答案)

12.6.2　第1课时　等边对等角
等腰三角形的性质定理1:等腰三角形的两个底角相等(简记为:等边对等角).
1.如示,在△ABC中,AB=AC,∠B=72°,则∠A的度数为(　　)
A.30° B.45° C.36° D.72°
2.等腰三角形的一个角是70°,则它的底角的大小为(　　)
A.70° B.40° C.70°或40° D.70°或55°
3.如在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=46°,CD⊥AB于点D,则∠DCB的度数为(　　)
A.30° B.26° C.23° D.20°
4.如在△ABC中,AC=BC,点D和E分别在AB和AC上,且AD=AE.连接DE,过点A的直线GH与DE平行,若∠C=40°,则∠GAD的度数为(　　)
A.40° B.45° C.55° D.70°
5.在△ABC中,AB=AC,∠B-∠A=30°,则∠A=　　　　°.
6.如示,△ABC中,AB=AD=DC,∠BAD=32°,则∠BAC=　　　　°.
7.如在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC,且BD=BE,∠A=84°,则∠DEC=　　　　°.
8.如△ABC中,AB=AC,AD=DC,∠B=30°,则∠BAD=　　　　°.
9.已知:如,△ABC中,AB=AC,AE平分∠DAC.求证:AE∥BC.
10.如,在△ABC中,AB=AC,BD平分∠ABC交AC于点D,AE∥BD交CB的延长线于点E.若∠BAC=40°,请你选择中现有的一个角并求出它的度数.(要求:不添加新的线段,所有给出的条件至少使用一次)
11.如,在△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点,且∠BAD=30°,若AD=DE,∠EDC=33°,求∠DAE的度数.
12.如所示,在四边形ABCD中,AB=CB,BF平分∠ABC,AF∥DC.连接AC,CF.求证:CA平分∠DCF.
13.如,在△ABC中,AB=AC,∠A=90°,BD平分∠ABC,CH⊥BD,交BD的延长线于点H.求证:BD=2CH.
“串”题训练　 “三等分角仪”模型中等边对等角性质的应用
模型主要原理:
等边对等角;三角形的外角定理.
例:“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的,借助如所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在点O相连并可绕点O转动,点C固定,OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动,若∠BDE=75°,则∠CDE的度数是(　　)
A.60° B.65° C.75° D.80°
变式1:如,若点B,D,F在AN上,点C,E在AM上,且AB=BC=CD,EC=ED=EF,∠A=20°,则∠FED=　　　　°.
变式2:[2020·海淀期末] 如,已知∠MON,在边ON上顺次取点P1,P3,P5,…,在边OM上顺次取点P2,P4,P6,…,使得OP1=P1P2=P2P3=P3P4=P4P5=…,得到等腰三角形OP1P2,等腰三角形P1P2P3,等腰三角形P2P3P4,等腰三角形P3P4P5,….
(1)若∠MON=30°,则可以得到的最后一个等腰三角形是　　　　;
(2)若按照上述方式操作,得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5,则∠MON的度数α的取值范围是　　　　　　.
答案
1.C　2.D　3.C　4.C　5.40
6.69　 ∵AB=AD=DC,
∴∠ADB=∠B,∠DAC=∠C.
从而∠ADB=2∠C.∴∠B=2∠C.
∴4∠C+32°=180°,
解得∠C=37°.
∴∠BAC=69°.
7.102　 因为AB=AC,∠A=84°,
所以∠ABC=∠C=48°.
又因为BD平分∠ABC,
所以∠DBE=24°.
又因为BD=BE,
所以∠BED=∠BDE=78°,
所以∠DEC=102°.
8.90　 ∵AB=AC,∠B=30°,
∴∠C=∠B=30°.
∴∠BAC=120°.
∵AD=DC,
∴∠DAC=∠C=30°.
∴∠BAD=120°-30°=90°.
9.证明:∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∴∠DAC=∠B+∠C=2∠C.
∵AE平分∠DAC,
∴∠DAC=2∠EAC.
∴∠C=∠EAC.
∴AE∥BC.
10.解:答案不唯一,如∠EAC=75° .
∵在△ABC中,AB=AC,∠BAC=40°,
∴∠ABC=∠ACB=70°.
又∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD=35°.
∵AE∥BD,∴∠EAB=∠ABD=35°.
∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=75°.
11.解:设∠DAE=x°.
∵AD=DE,∴∠DAE=∠AED=x°.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C=°.
∵∠AED=∠EDC+∠C,
∴x=33+.
解得x=72.∴∠DAE=72°.
12.证明:∵BF平分∠ABC,
∴∠ABF=∠CBF.
在△ABF和△CBF中,
∴△ABF≌△CBF(SAS).
∴FA=FC.∴∠FAC=∠FCA.
∵AF∥DC,∴∠FAC=∠DCA.
∴∠FCA=∠DCA.
∴CA平分∠DCF.
13.证明:如,延长CH交BA的延长线于点M.
∵CH⊥BD,
∴∠CHB=∠MHB=90°.
∵∠CAB=90°,
∴∠CAM=∠BAD=90°.
∵∠MCA+∠M=∠DBA+∠M=90°,
∴∠MCA=∠DBA.
在△MCA和△DBA中,
∴△MCA≌△DBA(ASA).
∴CM=BD.
∵BD平分∠ABC,∴∠CBH=∠MBH.
在△CBH和△MBH中,
∴△CBH≌△MBH(ASA).∴CH=MH.
∴CM=2CH.
∴BD=2CH.
“串”题训练
例　D　 ∵OC=CD=DE,
∴∠O=∠ODC,∠DCE=∠DEC,
∴∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC.
∵∠O+∠OED=3∠ODC=∠BDE=75°,
∴∠ODC=25°.
∵∠CDE+∠ODC=180°-∠BDE=105°,
∴∠CDE=105°-∠ODC=80°.故选D.
变式1:20
变式2:(1)△P1P2P3　(2)18°≤α<22.5°
(1)∵OP1=P1P2=P2P3,
∴∠OP2P1=∠O=30°,
∠P2P1P3=∠P2P3P1=60°,
∴∠OP2P3=90°,
∴△P2P3P4不存在,
∴得到的最后一个等腰三角形是△P1P2P3.
故答案为△P1P2P3.
(2)由题意要使得得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5,
需要满足∠P4P3P5=4α<90°且∠MP4P5=5α≥90°,
∴18°≤α<22.5°.
故答案为18°≤α<22.5°.