北京课改版数学九年级上册同步课时练习：18.5第2课时 相似三角形的判定(word版含答案）

18.5　第2课时　相似三角形的判定(二)
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角分别相等,那么这两个三角形相似(简记为“两角分别相等,两三角形相似”).
1.如,因为　　　　　　　　　　　　,所以△ABC∽△AED.
2.已知:如,∠1=∠2,∠B=∠D.
求证:△ABC∽△ADE.
3.如,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,BE⊥AC于点E.求证:△ACD∽△BCE.
4.[2019·东城区期末] 如,在△ABC中,点D在AB边上,∠ABC=∠ACD,
(1)求证:△ABC∽△ACD;
(2)若AD=2,AB=5,求AC的长.
5.[2020·燕山区期末] 如,在Rt△ABC中,∠B=90°,点D在边AC上,且DE⊥AC交BC于点E.
(1)求证:△CDE∽△CBA;
(2)若AB=3,AC=5,E是BC中点,求DE的长.
6.[2020·海淀区期末] 如,∠ABC=90°,AB=2,BE=3,BC=8,射线CD⊥BC于点C,E是线段BC上一点,F是射线CD上一点,且满足∠AEF=90°.求CF的长.
7.[2020·密云区期末] 已知:如,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,且DE∥BC,BE平分∠ABC.
(1)求证:BD=DE;
(2)若AB=10,AD=4,求BC的长.
8.[2019·东城区期末] 如,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠ACB,点E,F分别在AB,BC上,且∠EFB=∠D.
(1)求证:△EFB∽△CDA;
(2)若AB=20,AD=5,BF=4,求EB的长.
9.如,AD是Rt△ABC的斜边BC上的高,E是AC的中点,直线ED与AB的延长线相交于点F,△FDB与△FAD是否相似 请说明理由.
10.[2019·顺义区期末改编] 已知:如,在 ABCD中,E是边CD上的一点,连接AE,F为AE上的一点,且∠BFE=∠C.求证:AF·AD=BF·ED.
11.已知:如,△ABC是等边三角形,CE是其外角平分线,点D在AC上,连接BD并延长与CE相交于点E.
(1)求证:△ABD∽△CED;
(2)若AB=6,AD=2CD,求BE的长.
答案
1.∠A=∠A,∠B=∠AED=50°
2.证明:∵∠1=∠2,
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE,
即∠BAC=∠DAE.
又∵∠B=∠D,∴△ABC∽△ADE.
3.证明:∵AB=AC,D是BC的中点,
∴AD⊥BC,
∴∠ADC=90°.
∵BE⊥AC,∴∠BEC=90°,
∴∠ADC=∠BEC.
又∵∠ACD=∠BCE,
∴△ACD∽△BCE.
4.解:(1)证明:∵∠ABC=∠ACD,∠A=∠A,
∴△ABC∽△ACD.
(2)∵△ABC∽△ACD,∴=.
∵AD=2,AB=5,∴=,∴AC=.
5.解:(1)证明:∵DE⊥AC,∠B=90°,
∴∠CDE=∠B=90°.
又∵∠C=∠C,
∴△CDE∽△CBA.
(2)∵在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,
AC=5,
∴由勾股定理易得BC=4.
∵E是BC中点,
∴CE=2.
∵△CDE∽△CBA,
∴=,
即DE=,
∴DE==.
6.解:如.
∵∠ABC=∠AEF=90°,
∴∠2+∠BAE=∠2+∠1=90°,
∴∠BAE=∠1.
∵CD⊥BC,
∴∠ECF=90°,
∴∠ABE=∠ECF,
∴△ABE∽△ECF,
则=.
∵BC=8,BE=3,
∴EC=5.
又∵AB=2,
∴=,
∴CF=.
7.解:(1)证明:∵DE∥BC,
∴∠DEB=∠EBC.
∵BE平分∠ABC,
∴∠DBE=∠EBC,
∴∠DEB=∠DBE,
∴BD=DE.
(2)∵AB=10,AD=4,
∴BD=DE=6.
∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴=,即=,
∴BC=15.
8.解:(1)证明:∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB.
∵∠B=∠ACB,∴∠B=∠DAC.
又∵∠EFB=∠D,∴△EFB∽△CDA.
(2)∵△EFB∽△CDA,
∴=.
∵∠B=∠ACB,∴AB=AC.
∵AB=20,AD=5,BF=4,
∴=,∴EB=16.
9.解:相似.
理由:∵AD⊥BC,∴△ADC是直角三角形.
又∵E是AC的中点,
∴DE=EC,∴∠C=∠EDC.
又∵∠EDC=∠FDB,∴∠C=∠FDB.
∵∠FBD=∠BAC+∠C=90°+∠C,
∠FDA=∠BDA+∠FDB=90°+∠FDB,
∴∠FBD=∠FDA.
又∵∠F=∠F,∴△FDB∽△FAD.
10.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD,AD∥BC,
∴∠BAE=∠AED,∠C+∠D=180°.
∵∠AFB+∠BFE=180°,∠BFE=∠C,
∴∠AFB=∠D.
又∵∠BAF=∠AED,∴△AFB∽△EDA,
则=,
∴AF·AD=BF·ED.
11.解:(1)证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=∠ACB=60°,∴∠ACF=120°.
∵CE是外角平分线,∴∠ACE=60°,
∴∠BAC=∠ACE.
又∵∠ADB=∠CDE,
∴△ABD∽△CED.
(2)如,过点B作BM⊥AC于点M.
∵AC=AB=BC=6,
∴AM=CM=3,
∴BM=3.
∵AD=2CD,∴CD=2,AD=4,∴MD=1.
在Rt△BDM中,BD==2.
∵△ABD∽△CED,
∴=,即=2,
∴ED=,∴BE=BD+ED=3.