第3课时 二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的象
二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的象和性质:
(1)开口方向:当a>0时,开口向上;当a<0时,开口向下.
(2)对称轴:直线x=h.
(3)顶点坐标:(h,0).
(4)函数y=a(x-h)2的象与y=ax2的象的关系:函数y=a(x-h)2的象是由y=ax2的象向左或向右平移|h|个单位得到的.
口诀:左加右减.
注意:二次函数y=a(x-h)2的象仍然是一条抛物线,但对称轴不再是y轴,而是直线x=h.画象时应在直线x=h的两侧对称地描点.
1.抛物线y=(x+1)2的顶点坐标是 ( )
A.(0,-1) B.(-1,1)
C.(-1,0) D.(1,0)
2.把抛物线y=x2向右平移1个单位,所得抛物线的函数表达式为 ( )
A.y=x2+1 B.y=(x+1)2
C.y=x2-1 D.y=(x-1)2
3.在平面直角坐标系中,二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的象可能是 ( )
4.抛物线y=(x-4)2的开口方向是 ,对称轴是直线 ,顶点坐标是 ,它可以看做是由抛物线y=x2向 平移 个单位得到的.
5.将抛物线y=-x2向左平移2个单位后,得到的抛物线的函数表达式是 .
6.[2019·平谷区期末] 函数y=x2经过一次变换得到y=(x+3)2,请写出这次变换过程: .
7.[2019·怀柔区期末] 写出抛物线y=2(x-1)2上一对对称点的坐标,这对对称点的坐标可以
是 和 .
8.若点(2,8)在二次函数y=(x-k)2的象上,则k= .
9.抛物线y=2(x-2)2与x轴的交点A的坐标为 ,与y轴的交点B的坐标为 .
10.若二次函数y=2(x+m)2的象关于直线x=-5对称,则m= .
11.在同一平面直角坐标系中,分别画出二次函数y=-(x+1)2,y=-x2和y=-(x-1)2的象,并写出这些二次函数象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
12.已知抛物线y=(x-2)2
(1)求抛物线与y轴的交点A的坐标及点A关于抛物线对称轴的对称点B的坐标;
(2)求点A,B与坐标原点O围成的三角形的面积.
13.二次函数y=a(x-h)2的象经过点(1,1)和(3,1),则h= .
14.抛物线y=3x2沿x轴向下翻折,再向右平移2个单位,得到的抛物线的函数表达式为 .
15.若二次函数y=3x2的象经过左右平移后,得到的象关于直线x=-3对称,则该象向 平移了 个单位.
16.二次函数y=a(x-h)2的象如所示,若A(-2,y1),B(-4,y2)是该函数象上的两点,则y1 y2(填“<”“>”或“=”).
17.已知抛物线y=x2-2x+1与x轴交于点A,且与y轴交于点B,过点B作BC⊥AB交抛物线于点C.
(1)求A,B两点的坐标;
(2)求直线BC的函数表达式及点C的坐标.
18.已知抛物线y=x2-2x+1的顶点为A,抛物线y=-x2+1的顶点为B.
(1)求出点A,B的坐标;
(2)判断△OAB的形状;
(3)在抛物线y=x2-2x+1的对称轴上有一点P,使得S△ABP=2S△AOB,求点P的坐标.
19.如,在平面直角坐标系中,点C的坐标为(0,2),动点A以每秒1个单位的速度从点O出发沿x轴的正方向运动,M是线段AC的中点,将线段AM以点A为中心沿顺时针方向旋转90°得到线段AB.连接CB,设△ABC的面积为S,运动时间为t秒,则下列象中,能大致表示S与t的函数关系的象是 ( )
答案
1.C
2.D 解: 平移规律:左加右减,故抛物线y=x2向右平移1个单位变为抛物线y=(x-1)2.
3.D 4.向上 x=4 (4,0) 右 4
5.y=-(x+2)2 6.向左平移3个单位
7.(答案不唯一)(2,2) (0,2) 解: 抛物线是轴对称形,对称轴两侧有对称点,此时y值相同,如当y=2时,则2(x-1)2=2,解得x1=2,x2=0,即对称点的坐标是(2,2),(0,2).
8.-2或6 9.(2,0) (0,8)
10.5 解: 对称轴为直线x=-5,则-5+m=0,解得m=5.
11.解:象略.二次函数y=-(x+1)2的象开口向下,对称轴是直线x=-1,顶点坐标是(-1,0);
二次函数y=-x2的象开口向下,对称轴是y轴,顶点坐标是(0,0);
二次函数y=-(x-1)2的象开口向下,对称轴是直线x=1,顶点坐标是(1,0).
12.解:(1)将x=0代入函数表达式,得y=4,
所以A(0,4).
对称轴为直线x=2,所以B(4,4).
(2)由题意,得AO=4,AB=4,AB⊥AO,所以S=×4×4=8.
即点A,B与坐标原点O围成的三角形的面积是8.
13.2 解: 点(1,1),(3,1)关于对称轴直线x=h对称,故运用轴对称的性质得h=2.
[点评] 此题巧妙地利用了抛物线的对称性.
14.y=-3(x-2)2 解: 变换后的象开口向下,开口大小不变,对称轴为直线x=2.
15.左 3 16.=
17.解:(1)∵抛物线y=x2-2x+1与x轴交于点A,∴令x2-2x+1=0,得x1=x2=1,
即点A的坐标为(1,0).
∵抛物线y=x2-2x+1与y轴交于点B,
∴令x=0,得y=1,即点B的坐标为(0,1).
(2)∵OA=OB=1,∴∠OBA=45°.
设直线BC与x轴的交点为D.
∵BC⊥AB,∠BOD=90°,
∴∠OBD=∠BDO=45°,
∴OD=OB=1,
∴点D的坐标为(-1,0).
设直线BC的函数表达式为y=kx+b(k≠0),
将B(0,1),D(-1,0)代入,得
解得∴直线BC的函数表达式为y=x+1.
由题意,得解得
∴点C的坐标为(3,4).
18.解:(1)∵y=x2-2x+1=(x-1)2,
∴点A的坐标为(1,0).
∵y=-x2+1,
∴点B的坐标为(0,1).
(2)由(1)知OA=OB=1.
又∵∠AOB=90°,
∴△OAB是等腰直角三角形.
(3)∵S△AOB=OA·OB=×1×1=,
∴S△ABP=2S△AOB=1.
∵抛物线y=x2-2x+1的对称轴是直线x=1,∴设点P的坐标为(1,p),
∴S△ABP=OA·AP=×1·|p|=1,
∴|p|=2,则p=±2,
∴点P的坐标为(1,2)或(1,-2).
19.C 解: ∵点C的坐标为(0,2),∴OC=2.
∵OA=t,∴AC==.
∵M是线段AC的中点,将线段AM以点A为中心沿顺时针方向旋转90°得到线段AB,
∴AM=AB=,
∴S=AC·AB=t2+1.
∵t≥0,∴函数的大致象是C选项.