北京课改版数学九年级上册同步课时练习：19.4 第2课时　二次函数中的面积问题（含答案）

第2课时　二次函数中的面积问题
1.如假设篱笆(虚线部分)的长度是16 m,墙足够长(中实线部分),则所围成矩形ABCD的最大面积是(　　)
A.60 m2　　 B.63 m2　　 C.64 m2　　 D.66 m2
2.若抛物线y=-x2-x+6与x轴交于A,B两点,则AB=　　　　,此抛物线与y轴交于点C,则点C的坐标为　　　　,△ABC的面积为　　　　.
3.抛物线与x轴自左至右交于A(-4,0),B(2,0)两点,与y轴交于点C,且S△ABC=24,则此抛物线的函数表达式为　　　　　　　　　　.
4.已知抛物线y=-(x+1)(x+5)与x轴交于A,B(点B在点A左侧)两点,在抛物线上有一点C,使△ABC的面积为8.求点C的坐标.
5.在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的象经过A(0,4),B(2,0),C(-2,0)三点.
(1)求二次函数的表达式.
(2)在x轴上有一点D(-4,0),将二次函数的象沿射线DA方向平移,使象再次经过点B.
①求平移后象顶点E的坐标;
②直接写出此二次函数的象在A,B两点之间(含A,B两点)的曲线部分在平移过程中所扫过的面积.(可借助的平面直角坐标系画分析)
6.如已知二次函数y=ax2+bx-3a的象经过点A(-1,0),C(0,3),与x轴交于另一点B,抛物线的顶点为D.
(1)求此二次函数的表达式;
(2)连接CD,CB,BD,求证:△BCD是直角三角形;
(3)在对称轴右侧抛物线上找一点P,使得点P,D,C构成以PC为底边的等腰三角形,求出点P的坐标及此时四边形PBCD的面积.
答案
1.C　解： 设BC=x m,矩形ABCD的面积为y m2,则AB=(16-x)m.
根据题意,得y=x=-x2+16x=-(x-8)2+64,
当x=8时,y最大值=64,
则所围成矩形ABCD的最大面积是64 m2.
故选C.
2.5　(0,6)　15　解： △ABC的面积为AB·OC=×5×6=15.
3.y=-x2-2x+8或y=x2+2x-8
解： ∵A,B(2,0),∴AB=6.
∵S△ABC=AB·OC=×6·OC=24,
∴OC=8,∴点C的坐标为(0,8)或(0,-8).
当点C的坐标为(0,8)时,求得抛物线的函数表达式为y=-x2-2x+8;
当点C的坐标为(0,-8)时,求得抛物线的函数表达式为y=x2+2x-8.
4.解:由题意,得A(-1,0),B(-5,0),所以AB=4.
因为S△ABC=8,所以点C的纵坐标为4或-4.
将y=4代入y=-(x+1)(x+5),得x1=x2=-3,所以C1(-3,4);
将y=-4代入y=-(x+1)(x+5),得x1=2-3,x2=-2-3.
所以C2(2-3,-4),C3(-2-3,-4),
所以点C的坐标为(-3,4)或(2-3,-4)或(-2-3,-4).
5.解:(1)∵二次函数y=ax2+bx+c的象经过点A(0,4),B(2,0),C(-2,0),
∴二次函数的象的顶点为A(0,4),
∴设二次函数的表达式为y=ax2+4(a≠0).
将B(2,0)代入,得4a+4=0,
解得a=-1.
∴二次函数的表达式为y=-x2+4.
(2)①设直线DA的表达式为y=kx+n(k≠0).
将A(0,4),D(-4,0)代入,得
解得
∴直线DA的表达式为y=x+4.
由题意可知,平移后的抛物线的顶点E在直线DA上,
∴设顶点E(m,m+4).
∴平移后的抛物线的函数表达式为y=-(x-m)2+m+4.
又∵平移后的抛物线过点B(2,0),
∴将其代入,得-(2-m)2+m+4=0.
解得m1=5,m2=0(不合题意,舍去).
∴顶点E(5,9).
②30.
6.解:(1)∵二次函数y=ax2+bx-3a的象经过点A(-1,0),C(0,3),
∴解得
∴此二次函数的表达式为y=-x2+2x+3.
(2)证明:由y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4得,点D的坐标为(1,4).
∵y=-x2+2x+3与x轴交于另一点B,
∴令y=0,-x2+2x+3=0,
解得x1=-1,x2=3,∴B(3,0).
易得CD=,BC=3,BD=2,
∴CD2+BC2=BD2,
∴△BCD是直角三角形.
(3)如,连接PD,CP,BP.∵点P,D,C构成以PC为底边的等腰三角形.
∴点D在PC的垂直平分线上,
∴点C与点P关于对称轴直线x=1对称,则点P的坐标为(2,3),
∴S四边形PBCD=S△DCP+S△CBP=×2×(4-3)+×2×3=4.