北京课改版数学九年级上册同步课时练习：19.4 第3课时　建立二次函数模型解决实际问题(word版含答案)

第3课时　建立二次函数模型解决实际问题
1.某商店销售一种进价为50元/件的商品,当售价为60元/件时,一天可卖出200件;经调查发现,如果商品的售价每上涨1元/件,一天就会少卖出10件.设商品的售价上涨了x元/件(x是正整数),销售该商品一天的利润为y元,那么y关于x的函数表达式为　　　　　　　　.(不需写出x的取值范围)
2.一座抛物线形拱桥示意,当拱顶离水面4 m时,水面宽8 m.若水面上升3 m,则水面宽度减少多少
下面给出了解决这个问题的两种方法.
方法一:如以上升前的水面所在直线与抛物线形拱桥左侧的交点为原点,以上升前的水面所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系xOy,此时这条抛物线所表示的二次函数的表达式为　　　　　　;当y=3时,求出此时自变量x的取值,即可解决这个问题.
方法二:如以抛物线形拱桥的顶点为原点,以抛物线的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系xOy,此时这条抛物线所表示的二次函数的表达式为　　　　　　;当y=　　　　时,求出此时自变量x的取值,即可解决这个问题.
3.[2019·东城区期末] 如,某广场有一个小型喷泉,水流从垂直于地面的水管OA喷出,OA长为1.5米.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上,某方向上抛物线路径的形状如所示,落点B到点O的距离为3米.建立平面直角坐标系,水流喷出的高度y(米)与水平距离x(米)之间近似满足函数关系y=ax2+x+c(a≠0).
(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)求水流喷出的最大高度.
4.某中学课外活动小组准备围建一个矩形苗圃,其中一边靠墙,另外三边用长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米(如所示),设这个苗圃垂直于墙的一边的长为x米.
(1)若平行于墙的一边的长为y米,直接写出y与x之间的函数表达式及自变量x的取值范围;
(2)当垂直于墙的一边的长为多少米时,这个苗圃的面积最大 并求出最大面积;
(3)当这个苗圃的面积不小于88平方米时,试结合函数象,直接写出x的取值范围.
5.[2019·石家庄模拟] 如,在一次高尔夫球的联赛中,高欣在距球洞10 m处击球,其飞行路线满足抛物线y=-x2+x,其中y(m)是球的飞行高度,x(m)是球飞行的水平距离,结果球落地离球洞的水平距离还有2 m.
(1)求b的值;
(2)若高欣再一次从此处击球,要想让球的飞行的最大高度不变且球刚好进洞,则球飞行路线应满足怎样的抛物线 求出该抛物线的函数表达式;
(3)若离球洞4 m处有一横放的1.2 m高的球网,球的飞行路线满足抛物线y=-x2+x,要使球越过球网(球的高度不低于1.2 m,即可越过球网),又不越过球洞(最好进洞),求c的取值范围.
6.[2020·河北模拟] 某公司计划投资A,B两种产品,若只投资A产品,所获利润WA(万元)与投资金额x(万元)之间的关系如所示;若只投资B产品,所获利润WB(万元)与投资金额x(万元)之间的函数表达式为WB=-x2+nx+300(n>0).
(1)求WA与x之间的函数表达式;
(2)若投资A产品所获利润的最大值比投资B产品所获利润的最大值少140万元,求n的值;
(3)该公司筹集50万元资金,同时投资A,B两种产品,设投资B产品的资金为m万元,所获得的总利润为Q万元,当m≥30时,Q随m的增大而减少,求n的取值范围.
答案
1.y=(10+x)(200-10x)
2.y=-x2+2x　y=-x2　-1
3.解:(1)由题意可得抛物线经过点(0,1.5)和(3,0),代入y=ax2+x+c(a≠0),得a=-0.5,c=1.5,
∴y与x之间的函数表达式为y=-x2+x+.
(2)y=-x2+x+=-(x-1)2+2,
∴当x=1时,y取得最大值,此时y=2.
故水流喷出的最大高度为2米.
4.解:(1)y=30-2x(6≤x<15).
(2)设矩形苗圃的面积为S,
则S=xy=x(30-2x)=-2x2+30x,
∴S=-2(x-7.5)2+112.5.
由(1),知6≤x<15,
∴当x=7.5时,S最大值=112.5,
即当垂直于墙的一边的长为7.5米时,这个苗圃的面积最大,最大面积为112.5平方米.
(3)6≤x≤11.
5.解:(1)由题意得点(8,0)在抛物线y=-x2+x上,∴0=-×82+×8,
∴b=8.
(2)由(1),可得球最高点的纵坐标为3.2.
球刚好进洞,则抛物线需过x轴上的(0,0),(10,0),
球飞行的高度不变,则最高点的纵坐标为3.2,
∴抛物线的顶点坐标为(5,3.2).
设抛物线的函数表达式为y=a(x-5)2+3.2.
∵抛物线经过点(0,0),
∴25a+3.2=0,a=-0.128,
∴y=-0.128(x-5)2+3.2.
(3)把x=6,y=1.2代入y=-x2+x中,得c=7;
把x=10,y=0代入y=-x2+x中,得c=10,
∴要使球越过球网,又不越过球洞(最好进洞),c的取值范围是7≤c≤10.
6.解:(1)由象可知(20,240)是抛物线的顶点坐标,设WA=a(x-20)2+240,
将点(10,230)代入上式并解得a=-,
故WA与x之间的函数表达式为WA=-(x-20)2+240=-x2+4x+200.
(2)由(1)知投资A产品所获利润的最大值为240万元.
∵WB=-x2+nx+300=-x-2+300+n2,
∴投资B产品所获利润的最大值为300+n2万元,
∴240+140=300+n2,
解得n1=8,n2=-8(舍去),故n=8.
(3)投资B产品的资金为m万元,则投资A产品的资金为(50-m)万元.
由题意得Q=WA+WB=-m2+(n+6)m+450.
∵当m≥30时,Q随m的增大而减少,
∴-≤30,解得n≤12.
故n的取值范围为0