北京课改版数学九年级上册同步课时练习：19.4 第4课时　利用二次函数求最值问题(word版含答案)

第4课时　利用二次函数求最值问题
1.一个函数的象如所示,有下列几个结论:
①当x=0时,函数值最大;②当0A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
2.[2020·房山区一模] 已知关于n的二次函数s=an2+bn(n为自然数),当n=9时,s<0;当n=10时,s>0.则n取下列哪个值时,s的值最小(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
3.[2020·朝阳区期末] 如,抛物线y=x2-1与x轴交于A,B两点,D是以点C(0,4)为圆心,1为半径的圆上的动点,E是线段AD的中点,连接OE,BD,则线段OE的最小值是 (　　)
A.2 B. C. D.3
4.[2019·大兴区一模] 已知二次函数y=x2-2x+3,当自变量x满足-1≤x≤2时,函数y的最大值是　　　　.
5.在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=x2-2hx+h的象的顶点为D.
(1)当h=-1时,求点D的坐标;
(2)当-1≤x≤1时,求函数的最小值m(用含h的代数式表示m).
6.已知:如,ABCD是一块边长为2米的正方形铁板,在边AB上选取一点M,分别以AM和MB为边截取两块相邻的正方形板料.当AM的长为何值时,截取的两块相邻的正方形板料的总面积最小
7.某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次,据调研显示,每个档次的月产量及相应的单件利润如下表所示(其中x为正整数,且1≤x≤10):
质量档次 1 2 … x … 10
月产量(件) 95 90 … 100-5x … 50
单件利润(万元) 6 8 … 2x+4 … 24
为了便于调控,此工厂每月只生产一个档次的产品.当生产质量档次为x的产品时,当月的利润为y万元.
(1)求y关于x的函数表达式;
(2)工厂为获得最大月利润,应选择生产哪个档次的产品 并求出最大月利润.
8.如,在△ABC中,∠B=90°,AB=12 cm,BC=24 cm,动点P从点A开始沿边AB向点B以2 cm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向点C以4 cm/s的速度移动,如果P,Q两点分别从A,B两点同时出发,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t s.
(1)AP=　　　　,BP=　　　　,BQ=　　　　;(用含t的式子表示)
(2)t为何值时△PBQ的面积为32 cm2
(3)t为何值时△PBQ的面积最大 最大面积是多少
9.如,抛物线y=-x2+c与x轴分别交于点A,B,直线y=-x+过点B,与y轴交于点E,并与抛物线y=-x2+c相交于点C.
(1)求此抛物线的函数表达式;
(2)直接写出点C的坐标;
(3)若点M在线段AB上以每秒1个单位的速度从点A向点B运动(不与点A,B重合),同时,点N在射线BC上以每秒2个单位的速度从点B出发开始运动.设点M的运动时间为t秒,当点M到达终点时,两点同时停止运动.请写出△MNB的面积S与t之间的函数表达式,并求出当点M运动多长时间时,△MNB的面积最大,最大面积是多少.
答案
1.C　2.C　
3.A　解： ∵抛物线y=x2-1与x轴交于A,B两点,∴A,B两点坐标分别为(-3,0),(3,0).∵D是以点C(0,4)为圆心,1为半径的圆上的动点,根据勾股定理,得BC=5.
∵E是线段AD的中点,O是AB中点,∴OE是△ABD的中位线,∴OE=BD.
当点B,D,C共线时,BD最小,OE也就最小.
此时BD=BC-CD=5-1=4,∴OE=2,∴线段OE的最小值为2.
4.6　解： 由y=x2-2x+3=(x-1)2+2,可得对称轴是直线x=1,有最小值y=2,当x=-1时,y=6,当x=2时,y=3,∴此时函数y的最大值是6.
5.解:(1)∵抛物线y=x2-2hx+h=(x-h)2+h-h2,∴顶点D的坐标为(h,h-h2),
∴当h=-1时,点D的坐标是(-1,-2).
(2)由(1)知y=(x-h)2+h-h2.
当x=-1时,y=3h+1,
当x=1时,y=-h+1.
则①当h<-1时,函数的最小值m=3h+1;
②当-1≤h≤1时,函数的最小值m=h-h2;
③当h>1时,函数的最小值m=-h+1.
6.解:设AM的长为x米,以AM和MB为边的两个正方形面积之和为y平方米,则MB的长为(2-x)米.
根据题意,得y与x之间的函数表达式为
y=x2+(2-x)2=2(x-1)2+2.
所以当x=1时,y有最小值.
所以当AM的长为1米时,截取的两块相邻的正方形板料的总面积最小.
7.解:(1)y==-10x2+180x+400(x为整数,且1≤x≤10).
(2)y=-10x2+180x+400=-10+1210.
∵1≤x≤10且x为整数,
∴当x=9时,函数取得最大值1210.
答:工厂为获得最大月利润,应选择生产第9个档次的产品,最大月利润为1210万元.
8.解:(1)2t cm　(12-2t)cm　4t cm
(2)△PBQ的面积=BP·BQ=(12-2t)·4t=-4t2+24t=32,
解得t1=2,t2=4,
即当t的值为2或4时△PBQ的面积是32 cm2.
(3)△PBQ的面积=-4t2+24t=-4(t-3)2+36.
所以当t为3时△PBQ的面积最大,最大面积是36 cm2.
9.解:(1)由y=-x+,当y=0时,解得x=2,
∴点B的坐标为(2,0).
∵抛物线y=-x2+c经过点B(2,0),∴0=-×22+c,∴c=3,
∴此抛物线的函数表达式是y=-x2+3.
(2)点C的坐标是.
(3)如,过点N作ND⊥x轴于点D.
由y=-x+,得E,∴OE=.
又∵OB=2,∴BE=.
由y=-x2+3,得A(-2,0),∴AB=4.
由题意,得AM=t,BM=4-t,BN=2t.
由ND∥EO,得△BND∽△BEO,得=,∴DN=,
∴S=BM·DN=(4-t)·=-t2+t,即S=-(t-2)2+,
自变量t的取值范围是0∴当t=2时,S取得最大值,最大值为,
即当点M运动2秒时,△MNB的面积最大,最大面积是.