北京课改版数学九年级上册同步课时练习：20.1　第3课时　锐角三角函数(word版含答案)

第3课时　锐角三角函数
锐角三角函数:锐角的正弦、余弦、正切都是锐角的函数,统称为锐角三角函数.
注意:(1)锐角的三角函数是两条边的比值.
(2)在直角三角形中,对于锐角A的每一个确定的值,sinA,cosA,tanA都有唯一的值与它对应,故把sinA,cosA,tanA叫做∠A的三角函数.
(3)对于任意的锐角A,00. 　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.[2019·西城区期末] 如所示的网格是正方形网格,点A,O,B都在格点上,则tan∠AOB的值为(　　)
A. B.2 C. D.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,如果sinA=,BC=4,那么AC的长为(　　)
A.6 B.3 C.2 D.2
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=40°,BC=3,则AC的值为(　　)
A.3sin40° B.3sin50°
C.3tan40° D.3tan50°
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,若tanA=,则cosA的值是(　　)
A. B.
C. D.
5.如,在4×4的正方形网格中,小正方形的顶点称为格点,△ABC的顶点都在格点上,则中∠ABC的正弦值是　　　　.
6.[2020·平谷区期末] 我们将等腰三角形腰长与底边长的差的绝对值称为该三角形的“边长正度值”.若等腰三角形腰长为5,“边长正度值”为3,则这个等腰三角形底角的余弦值等于　　　　.
7.如,∠α的顶点是平面直角坐标系的原点,一边在x轴上,另一边经过点P(2,2),求α的三角函数值.
8.如,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是BC边上一点,AC=2,CD=1,记∠CAD=α.
(1)试写出α的三角函数值;
(2)若∠B=α,求BD的长.
9.如,在△ABC中,AD是BC边上的高,tanB=cos∠DAC.
(1)求证:AC=BD;
(2)若sinC=,BC=12,求AD的长.
10.如果方程x2-4x+3=0的两个实数根分别是Rt△ABC的两条边长,△ABC的最小角为∠A,那么tanA=　　　　.
11.如,网格中的每个小正方形的边长都是1,△ABC的每个顶点都在网格的格点上,则sinA=　　　　.
12.如,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是AC边上一点,且AD=BD=5,CD=3.求tan∠CBD和cos∠ABD的值.
13.[2020·平谷区期末] 如,在△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线分别交边AB,BC于点D,E,连接AE.
(1)如果∠B=25°,求∠CAE的度数;
(2)如果CE=2,sin∠CAE=,求tanB的值.
14.[2019·房山区期末] 如,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,连接CD,过点B作CD的垂线,交CD的延长线于点E.已知AC=30,cosA=.
(1)求线段CD的长;
(2)求sin∠DBE的值.
15.一副三角尺如放置,点C在FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,AC=10.试求CD的长.
答案
1.A　2.C　3.D　4.D　
5.　6.或
7.解:过点P作PA⊥x轴于点A,则OA=2,PA=2.在Rt△POA中,由勾股定理可得OP=4.
∴sinα===,cosα===,tanα===.
8.解： 先求Rt△ACD的斜边长,再求α的三角函数值.在(2)中,注意等角的三角函数值相等.
解:(1)在Rt△ACD中,∵AC=2,CD=1,
∴AD==,
∴sinα===,cosα===,tanα==.
(2)∵∠B=α,∴tanB=tanα=.
∵tanB=,∴BC===4.
∵CD=1,∴BD=BC-CD=4-1=3.
9.解:(1)证明:在Rt△ABD中,有tanB=.
在Rt△ADC中,有cos∠DAC=.
∵tanB=cos∠DAC,∴=,∴AC=BD.
(2)在Rt△ACD中,sinC==,
∴可设AD=12x,AC=BD=13x(x>0).
在Rt△ACD中,由勾股定理,得DC=5x.
∵BC=12,∴BD+DC=13x+5x=18x=12,
∴x=,∴AD=12×=8.
10.或　解： 方程x2-4x+3=0的两个实数根分别为1,3.
分两种情况:①3是长直角边长,1是短直角边长,则tanA=;
②1是直角边长,3是斜边长,则另一直角边长为=2,则tanA==.
综上所述,tanA=或tanA=.
11.　解： 如,过点A作AD⊥BC于点D,过点C作CE⊥AB于点E.
由勾股定理,得AB=AC=2,BC=2,AD=3.
由BC·AD=AB·CE,
得CE==,
∴sinA===.故答案为.
12.解:∵在Rt△BCD中,CD=3,BD=5,∴BC=4,
∴tan∠CBD==.
∵在Rt△ACB中,AC=5+3=8,BC=4,
∴由勾股定理,得AB=4.
又∵AD=BD=5,∴∠ABD=∠A,
∴cos∠ABD=cosA===.
13.解:(1)∵DE垂直平分AB,
∴EA=EB,∴∠EAB=∠B=25°.
又∵∠C=90°,
∴∠CAE=90°-∠EAB-∠B=40°.
(2)∵∠C=90°,∴sin∠CAE==.
∵CE=2,∴AE=3,
在Rt△CAE中,由勾股定理,可得AC=.
∵EA=EB=3,
∴BC=EB+CE=3+2=5,
∴tanB==.
14.解:(1)∵∠ACB=90°,AC=30,cosA=,
∴AB=50.
∵D是AB的中点,∴CD=AB=25.
(2)易知CD=DB=25,BC=40,
∴∠DCB=∠DBC,
∴cos∠DCB=cos∠DBC==.
∴=.
又∵BC=40,∴CE=32,∴DE=CE-CD=7,
∴sin∠DBE==.
15.解:过点B作BM⊥FD于点M.
在△ACB中,∠ACB=90°,∠A=60°,
∴∠ABC=30°.
又∵AC=10,∴AB=20.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得BC=10.
∵AB∥CF,∴∠BCM=∠ABC=30°,
∴BM=BC=×10=5.
在Rt△BCM中,由勾股定理,得CM=15.
在△EFD中,∠F=90°,∠E=45°,
∴∠EDF=45°,∴∠DBM=45°=∠EDF,
则MD=BM=5,
∴CD=CM-MD=15-5.