北京课改版数学九年级上册同步课时练习：20.5　第3课时　方位角与解直角三角形(word版含答案)

第3课时　方位角与解直角三角形
　　　　　 　　　　　　　　　　　　
1.如,小明从点A处出发沿北偏东40°方向行走至点B处,又从点B处沿南偏东70°方向行走至点C处,则∠ABC等于 (　　)
A.130° B.120° C.110° D.100°
2.[2019·顺义区一模] 如,A处在B处的北偏东45°方向上,A处在C处的北偏西15°方向上,则∠BAC等于 (　　)
A.30° B.45° C.50° D.60°
3.如,一艘海轮位于灯塔P的南偏东37°方向,距离灯塔40海里的A处,它沿正北方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的正东方向上的B处.这时,B处与灯塔P的距离BP的长可以表示为 (　　)
A.40海里 B.40tan37°海里
C.40cos37°海里 D.40sin37°海里
4.[2020·海淀区月考] 如,一艘货轮以16 km/h的速度在海面上沿正东方向航行,当行驶至点A处时,发现它的东南方向有一灯塔B,货轮继续向东航行30 min后到达点C处,发现灯塔B在它的南偏东15°方向,求此时货轮与灯塔B的距离.(结果精确到1 km.参考数据:sin15°≈0.26,cos15°≈0.97,tan15°≈0.27)
5.如,A,B两座城市相距100千米,现计划在两城市间修筑一条高速公路(即线段AB).经测量,森林保护区中心点P既在A城市的北偏东30°的方向上,又在B城市的南偏东45°的方向上.已知森林保护区是以点P为圆心,35千米为半径的圆形区域.计划修筑的这条高速公路会不会穿过森林保护区 请通过计算说明.
6.[2020·顺义区期末] 如,一艘海轮位于灯塔P的南偏东30°方向,距离灯塔100海里的点A处,它计划沿正北方向航行,去往位于灯塔P的北偏东45°方向上的点B处.
(1)求点B处距离灯塔P有多远;(结果精确到0.1海里)
(2)假设有一圆形暗礁区域,它的圆心位于射线PB上,距离灯塔150海里的点O处.圆形暗礁区域的半径为60海里,进入这个区域,就有触礁的危险.请判断海轮到达点B处是否有触礁的危险 如果海轮从点B处继续向正北方向航行,是否有触礁的危险 并说明理由.
(参考数据:≈1.414,≈1.732)
7.[2019·怀柔区一模] 是怀柔地的一部分,分别以正东、正北方向为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系.规定:一个单位长度表示1 km,北京生存岛实践基地A处的坐标是(2,0),A处与雁栖湖国际会展中心B处相距4 km,且A在B的南偏西45°方向上,则雁栖湖国际会展中心B处的坐标是　　　　　.
8.如,海面上甲、乙两船分别从A,B两处同时出发,由西向东行驶,甲船的速度为24海里/时,乙船的速度为15海里/时,出发时,测得乙船在甲船的北偏东50°方向处,且AB=10海里,经过20分钟后,甲、乙两船分别到达C,D两处.
(参考数据:sin50°≈0.766,cos50°≈0.643,tan50°≈1.192)
(1)求两条航线AC,BD间的距离(结果精确到0.01海里);
(2)若两船保持原来的速度和航向,还需要多少时间才能使两船的距离最短(结果精确到0.01小时)
9.某市准备在相距2千米的A,B两工厂间修一条笔直的公路,但在B地北偏东60°方向,A地北偏西45°方向的C处有一个半径为0.6千米的住宅小区(如),修筑公路时,这个小区的居民是否需要搬迁
10.如,小明想知道湖中两个小亭A,B之间的距离,他在与小亭A,B位于同一水平面且东西走向的湖边小道l上某一观测点M处,测得小亭A在点M的北偏东60°方向上,小亭B在点M的北偏东30°方向上.当小明由点M沿小道l向东走60米时,到达点N处,此时测得小亭A恰好位于点N的正北方向,继续向东走30米时到达点Q处,此时小亭B恰好位于点Q的正北方向.
根据以上数据,请你帮助小明写出求湖中两个小亭A,B之间距离的思路.
答案
1.C　2.D　3.D
4.解:过点B作BD⊥AC交AC的延长线于点D.如所示.
由题意,易得AC=16×0.5=8,∠BAC=45°,
∠CBD=15°.
在Rt△ABD中,
∵∠BAC=45°,
∴AD=BD.
设BC为x km,则BD=x·cos15°,CD=x·sin15°,
∴x·cos15°=8+x·sin15°,解得x ≈11.
答:此时货轮与灯塔B的距离约为11 km.
5.解:不会.通过计算说明如下:如,过点P作PD⊥AB于点D.
在Rt△PBD中,∠BDP=90°,∠B=45°,
∴BD=PD.
在Rt△PAD中,∠ADP=90°,∠A=30°,
∴AD===PD.
由题意,得AD+BD=AB=100,
∴PD+PD=100,
∴PD==50(-1)≈36.6(千米)>35千米.
故计划修筑的这条高速公路不会穿过森林保护区.
6.解:(1)如,过点P作PD⊥AB于点D.
依题意可知,PA=100,∠APD=60°,∠BPD=45°,
∴∠A=30°,∴PD=50,
则在△PBD中,BD=PD=50,∴PB=50≈70.7(海里).
答:点B处距离灯塔P约70.7海里.
(2)如,依题意,知OP=150,则OB=150-50≈79.3>60,
∴海轮到达点B处没有触礁的危险.
海轮从点B处继续向正北方向航行,有触礁的危险.理由:如,过点O作OE⊥AB,交AB的延长线于点E.
∵∠OBE=∠PBD=90°-∠BPD=45°,
∴OE=OB·sin∠OBE=(150-50)×=75-50≈56.1(海里)<60(海里),
∴海轮从点B处继续向正北方向航行,有触礁的危险.
7.(2+2,2)　解： 如所示,过点B作BC⊥x轴于点C.在Rt△BCA中,∠B=45°,AB=4,∴AC=BC=2,∴B(2+2,2).
8.解:(1)如,过点A作AE⊥DB,交DB的延长线于点E.在Rt△AEB中,
∵∠AEB=90°,∠EAB=50°,AB=10,
∴AE=AB·cos50°≈10×0.643=6.43(海里).
答:两条航线AC,BD间的距离约为6.43海里.
(2)当甲、乙两船的位置连线与东西方向水平线垂直时,两船之间的距离最短,设两船之间距离最短时甲,乙两船的位置分别为C'与D',如所示,
过点C作CF⊥BD于点F.
∵BE=AB·sin50°≈7.66,AC=24×=8,BD=15×=5,
∴DF=BD+BE-EF=BD+BE-AC≈4.66.
设还需要t小时才能使两船的距离最短,
则有24t-15t≈4.66,解得t≈0.52.
答:还需要约0.52小时才能使两船的距离最短.
9.解： 要想知道是否有居民需要搬迁,就要求点C到AB的距离.
解:过点C作CD⊥AB于点D.
由题意可知,∠BAC=45°,∠ABC=30°.
在Rt△ACD中,易得∠DAC=∠ACD=45°,
∴AD=CD.
在Rt△BCD中,∵tan∠CBD=,
∴BD=CD·=CD.
∵AB=BD+AD=2,
∴CD+CD=2,
∴CD==-1≈0.73(千米)>0.6千米,
则修筑公路时,这个小区的居民不需要搬迁.
10.解:如.思路如下:
(1)如.可知MN=60,NQ=30,∠AMQ=30°,∠BMQ=60°,AN⊥l,BQ⊥l;
(2)在Rt△AMN中,由MN=60,∠AMQ=30°,根据三角函数可得AN=20;
(3)过点A作AK⊥BQ于点K,可得四边形AKQN是矩形,进而得出AK=NQ=30,KQ=AN=20 ;
(4)在Rt△BMQ中,由MQ=MN+NQ=90,∠BMQ=60°,根据三角函数可得BQ=90,进而可求出BK=70;
(5)在Rt△AKB中,根据勾股定理可以求出AB的长度.