北京课改版数学九年级上册同步课时练习：21.4 第2课时 圆周角定理及推论 (word版含答案)

21.4　第2课时　圆周角定理及推论3,4
圆周角定理的推论3:半圆(或直径)所对的圆周角是直角.
推论4:90°的圆周角所对的弦是直径.
1.如,AB为☉O的直径,点C在☉O上,∠A=30°,则∠B的度数为 (　　)
A.15° B. 30°
C. 45° D. 60°
2.[2020·石景山区期末] 如,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,若∠CDB=32°,则∠CBA的度数为 (　　)
A.68° B.58°
C.64° D.32°
3.如,小明同学设计了一个测量圆的直径的工具,标有刻度的尺子OA,OB在点O处钉在一起,并使它们保持垂直.在测量圆的直径时,把点O靠在圆周上,读得刻度OE=8个单位,OF=6个单位,则圆的直径为 (　　)
A.1个单位 B.10个单位
C.12个单位 D.15个单位
4.如所示,AB是☉O的直径,弦CD与AB相交于点E,若∠ACD=60°,则∠DAB的度数为　　　　.
5.如所示,AB是☉O的直径,点C,D都在☉O上,连接CA,CB,DC,DB.已知∠D=30°,BC=3,则AB的长是　　　　.
6.如,AB是☉O的直径,C,D为☉O上的点,=,如果∠CAB=40°,那么∠CAD的度数为　　　　.
7.下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作过程.
已知:直线a和直线外一点P(如).
求作:直线a的垂线,使它经过点P.
作法:如,
(1)在直线a上取一点A,连接PA;
(2)分别以点A和点P为圆心,大于AP的长为半径作弧,两弧相交于B,C两点,连接BC交PA于点D;
(3)以点D为圆心,DP长为半径作圆,交直线a于点E,作直线PE.
直线PE就是所求作的垂线.
请回答:该尺规作的依据是
.
8.如所示,在☉O中,AB是直径,弦AC=12 cm,弦BC=16 cm,∠ACB的平分线交☉O于点D,求AD的长.
9.[2020·房山区期末改编] 如,△ABC内接于☉O,∠BAC=60°,BC=6,求☉O的半径.
10.如,AB是半圆O的直径,弦AD,BC相交于点P,如果CD=3,AB=4,那么tan∠BPD的值为 (　　)
A.　　　 B.　　　 C.　　　 D.
11.阅读以下作过程:
第一步:在数轴上,点O表示数0,点A表示数1,点B表示数5,以AB为直径作半圆(如);
第二步:以点B为圆心,1为半径作弧交半圆于点C(如);
第三步:以点A为圆心,AC为半径作弧交数轴的正半轴于点M.
请你在下面的数轴中完成第三步的画(保留作痕迹,不写画法),并写出点M表示的数为　　　　.
12.如,AB是半圆的直径,①中,点C在半圆外;②中,点C在半圆内,请仅用无刻度的直尺按要求画.
(1)在①中,画出△ABC三条高的交点;
(2)在②中,画出△ABC中AB边上的高.
13.如,已知△ABC是☉O的内接三角形,AB=AC,P是的中点,连接PA,PB,PC,∠BPC=60°.
(1)判断PC是否过圆心O;
(2)求证:AC=AP.
14.如,AB为☉O的直径,M为☉O外一点,连接MA与☉O交于点C,连接MB并延长交☉O于点D,经过点M的直线l与MA所在直线关于直线MD对称.过点B作BE⊥l于点E,连接AD,DE.
(1)依题意补全形;
(2)在不添加新的线段的条件下,写出中与∠BED相等的角,并加以证明.
答案
1.D　2.B　3.B　4.30°　5.6
6.25°　解： 如,连接BC,BD.∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.
∵∠CAB=40°,
∴∠ABC=50°.
∵=,
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=25°,
∴∠CAD=∠CBD=25°.
7.与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上;直径所对的圆周角是直角
8.解:∵直径所对的圆周角是直角,
∴∠ACB=∠ADB=90°.
∵AC=12 cm,BC=16 cm,
∴AB=20 cm.
∵∠ACD=∠ABD,∠BCD=∠BAD,
∠ACD=∠BCD,
∴∠ABD=∠BAD=45°,∴AD=BD.
在Rt△ABD中,由勾股定理,
可求得AD=10 cm.
9.解:如,连接BO并延长交☉O于点F,连接CF,
则BF是☉O的直径,∴∠BCF=90°,
∵∠F=∠BAC,∠BAC=60°,∴∠F=60°,
∴BF===4,
∴☉O的半径为2.
10.A　解： 如,连接BD.
∵∠C=∠A,∠CDP=∠ABP,
∴△CPD∽△APB,∴==.
设PD=3k,PB=4k(k>0).
∵AB为半圆O的直径,∴∠ADB=90°.
在Rt△PDB中,由勾股定理,得BD=k.
∴tan∠BPD==.
11.解:完成第三步的画如所示,点M表示的数为+1.
12.解： (1)①中,点C在半圆外,要画三角形的高,就是要过点B作AC的垂线,过点A作BC的垂线.作高就是要构造90°角,显然由圆的直径就应联想到“直径所对的圆周角为90°”.设AC与半圆的交点为E,连接BE,就得到AC边上的高BE;同理设BC与半圆的交点为D,连接AD,就得到BC边上的高AD,则BE与AD的交点P就是△ABC三条高的交点;
(2)作出△ABC的三条高的交点P,再作射线PC与AB交于点D,则CD就是所求作的AB边上的高.
解:(1)如①,点P就是所求作的点.
(2)如②,CD就是AB边上的高.
13.解:(1)PC过圆心O.
∵∠BPC=60°,
∴∠BAC=60°.
∵AB=AC,∴△ABC为等边三角形,
∴∠ACB=∠ABC=60°,
∴∠APC=∠ABC=60°.
∵P是的中点,
∴∠ACP=∠ACB=30°,
∴∠PAC=90°,
∴PC是☉O的直径,即PC过圆心O.
(2)证明:在Rt△APC中,
∵tan∠ACP==tan30°=,
∴AC=AP.
14.解:(1)根据题意补全形如.
(2)∠BAD=∠BED.
证明:如,连接BC,CD.
∵直线l与直线MA关于直线MD对称,
∴∠1=∠2.
∵AB为☉O的直径,
∴∠ACB=90°,即BC⊥MA.
又∵BE⊥l,MC=MB·cos∠1,ME=MB·cos∠2,
∴MC=ME.
又∵C,E两点分别在直线MA与直线l上,
∴C,E两点关于直线MD对称,
∴∠3=∠BED.
又∵∠3=∠BAD,
∴∠BAD=∠BED.