必修第二册6.2平面向量的运算(word版含答案）

人教A版（2019）必修第二册 6.2 平面向量的运算
一、单选题
1．已知向量，(为单位向量)，则向量与向量（ ）
A．不共线 B．方向相反
C．方向相同 D．
2．设均为单位向量，且，则（ ）
A． B． C． D．7
3．已知的外接圆圆心为O，，则（ ）
A．2 B．4 C．5 D．9
4．如图，向量，，，则向量可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
5．若O为所在平面内一点，且满足，则的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰直角三角形
6．，是半径为1的圆的两条直径，，则（ ）
A． B． C． D．
7．化简得（ ）
A． B．
C． D．
8．已知点P是△ABC所在平面内点，有下列四个等式：
甲：； 乙：；
丙：； 丁：．
如果只有一个等式不成立，则该等式为（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．设为单位向量，且＝1，则|+2|＝（ ）
A． B． C．3 D．7
10．如图，点在的内部，，是边，的中点(，，三点不共线)，，，则向量与的夹角大小为（ ）
A．105° B．120° C．135° D．150°
11．化简的结果为（ ）
A． B． C． D．
12．在中，若，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
13．化简（ ）
A． B． C． D．
14．在中，已知，，且满足，，若线段和线段的交点为，则（ ）.
A． B． C． D．
15．向量与的夹角为，，，在上投影为（ ）
A．2 B． C．1 D．
二、填空题
16．两个大小相等的共点力与，若当它们的夹角为时合力大小为，则当它们的夹角为时合力大小为______．
17．若两个非零向量满足，则向量与的夹角为_____．
18．已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.
三、解答题
19．在中，，，，点，在边上且，.
（1）若，求的长；
（2）若，求的值.
20．已知平面内两个不共线的向量，.
（1）求；
（2）求与的夹角.
21．如图，在中，是边上一点，是线段上一点，且，过点作直线与，分别交于点，.
（1）用向量，表示.
（2）试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
22．设两个向量，，满足，.
（1）若，求，的夹角；
（2）若，夹角为60°，向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第2页，共2页
参考答案：
1．B
根据两者之间的数乘关系可判断两者之间的关系.
【详解】
因为，，所以，
故向量与向量共线反向.
故选：B.
2．A
由已知，利用向量数量积的运算律求得，又即可求.
【详解】
由题设，，又均为单位向量，
∴，
∴，则.
故选：A
3．A
根据三角形外心是三角形各边垂直平分线的交点这一特点，结合数量积的几何意义，即可求得结果.
【详解】
在中，，
所以.
如图所示，连接并延长与圆交于点，连接，
因为是圆心，所以，
则有，
所以
同理可得，
所以.
故选：A．
4．C
根据向量的加减运算法则可得，进而可得结果.
【详解】
依题意，即，
故选：C.
本题主要考查了向量的加减运算，属于基础题.
5．A
利用向量运算化简已知条件，由此确定正确选项.
【详解】
依题意，
,
，
所以，所以三角形是等腰三角形.
故选：A
6．B
作出图象，根据，结合数量积的运算，即可求解.
【详解】
如图所示，，是半径为1的圆的两条直径，且，即为的中点，
则
，
故选：B.
7．A
由向量的加减琺法则计算．
【详解】
．
故选：A．
8．B
先根据向量等式推导出甲中P为△ABC的重心，乙中△ABC为直角三角形，丙中P为△ABC的外心，丁中P为△ABC的垂心，故得到当△ABC为等边三角形时，三心重合，此时甲丙丁均成立，乙不成立，得到答案.
【详解】
甲：，则，故P为△ABC的重心；
乙：，则，故，即△ABC为直角三角形；
丙：点P到三角形三个顶点距离相等，故P为△ABC的外心；
丁：，则，同理可得：，即P为△ABC的垂心，
当△ABC为等边三角形时，三心重合，此时甲丙丁均成立，乙不成立，满足要求，当乙成立时，其他三个均不一定成立.
故选：B．
9．B
通过向量的模，求出向量的数量积，然后转化求解即可．
【详解】
为单位向量，且＝1
可得，可得，
.
故选：B．
10．B
由，是边，的中点，得，由可得答案.
【详解】
连接，如下图所示.
因为，是边，的中点，所以，且，所以，所以
，解得.又因为，
所以.则向量与的夹角大小为120°，
故选：B.
本题考查向量的线性运算，数量积.
11．A
由向量的加减运算法则即可求解.
【详解】
解：，
故选：A.
12．A
根据向量的加减法法则可得，结合题意即可得出结果.
【详解】
因为，，
所以，
所以为等边三角形．
故选：A．
13．D
根据平面向量加减法的运算法则和运算律即可得到答案.
【详解】
故选：D.
14．B
待定系数法将向量分解，由平面向量共线定理求出系数，然后代回原式计算
【详解】
设，
由知，∴，∵，，三点共线，∴①，
由知，∴，∵，，三点共线，∴②，
由①②得：.，∴，
而，
∴
故选：B
15．D
根据向量投影的概念计算即可.
【详解】
解：在上投影为.
故选：D
16．
先由已知根据平行四边形法则求出分力的大小，当夹角为120°时，再根据三角形法则求出合力的大小．
【详解】
对于两个大小相等的共点力，，
当它们的夹角为，合力的大小为时，
由平行四边形法则可知，这两个力的大小都是，
当它们的夹角为时，
由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形，
因此合力的大小为．
故答案为：．
17．60°．
首先根据向量模的几何意义，画图表示，得到，再根据数形结合得到向量与的夹角.
【详解】
∵，如图，以，为邻边的平行四边形的对角线相等，
所以此平行四边形是矩形，∴，
如图，，，
，
由题意，，
∴，
即向量与向量的夹角为60°，
故答案为：60°．
本题考查向量加，减法的几何意义，重点考查数形结合分析问题的能力，属于基础题型.
18．
首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值.
【详解】
由题意可得：，
由向量垂直的充分必要条件可得：，
即：，解得：.
故答案为：．
本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19．（1）；（2）.
（1）先设，，根据题意，求出，，再由向量模的计算公式，即可得出结果；
（2）先由题意，得到，，再由向量数量积的运算法则，以及题中条件，得到，即可求出结果.
【详解】
（1）设，，
则，，因此，
所以，
，
（2）因为，所以，
同理可得，，
所以
，
∴，即，
同除以可得，.
本题主要考查用向量的方法求线段长，考查由向量数量积求参数，熟记平面向量基本定理，以及向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.
20．（1）2；（2）.
（1）根据条件可求出，然后根据进行数量积的运算即可求出的值；
（2）可求出的值，进而可求出的值，从而可求出与的夹角．
【详解】
解：（1），
，
；
（2），
，且，
与的夹角为．
对向量数量积定义进行变行是求解向量长度，向量夹角的常用方法，同时要注意夹角的范围．
21．（1）；（2）是定值，定值为.
（1）结合图形利用向量的加法运算求解；
（2）设，，则，然后根据题意将用表示出来，从而可用表示，再由三点共线可得结论
【详解】
解：（1）
.
（2）设，，则，
因为
所以
，
所以，即，
故为定值.
22．（1）；（2）.
（1）由平面向量数量积的运算律计算求得，再由数量积的定义求得夹角；
（2）由去除它们反向的情形即可得．
【详解】
（1），，
即，，所以
（2），且与不共线，
，
，且
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