必修第二册6.3平面向量基本定理及坐标表示(word版含答案）

人教A版（2019）必修第二册 6.3 平面向量基本定理及坐标表示
一、单选题
1．已知是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知向量满足，，则
A．4 B．3 C．2 D．0
3．如图所示，矩形的对角线相交于点，点在线段上且，若（，），则（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量＝（1，2），＝（m，1），且向量满足，则向量在方向上的投影为（ ）
A． B． C．2或 D．2或
5．若向量且则=（ ）
A．3 B．5 C． D．
6．已知两点，则与向量同向的单位向量是（ ）
A． B．
C． D．
7．在菱形中，，，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，则下列结论中正确的个数为（ ）
①与同向共线的单位向量是
②与的夹角余弦值为
③向量在向量上的投影向量为
④
A．个 B．个 C．个 D．个
9．在边长为1的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E是BC的中点，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知点是所在平面内一点，若，则与的面积之比为（ ）
A． B． C．2 D．
11．已知向量，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
12．在中，，，，点P是内一点（含边界），若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
13．如图所示，向量，的坐标分别是（ ）
A．-3，2 B．-3.4 C．2，-2 D．2，2
14．若，点C在∠AOB外，且，设实数m，n满足，则等于（　　）
A．﹣2 B．2 C． D．
15．已知向量，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，则的值为 B．若，则的值为2
C．的最小值为1 D．若与的夹角为钝角，则的取值范围是
二、填空题
16．已知平面向量，满足，，且，则________.
17．若点A(－2，0)，B(3，4)，C(2，a)共线，则a＝________.
18．已知向量，向量，则向量在方向上的投影向量为______．
三、解答题
19．在平面直角坐标系中，已知向量，.
(1)求；
(2)若，，，求实数的值.
20．平面内给定三个向量.
（1）求；
（2）求满足的实数m和n；
（3）若，求实数k.
21．解方程.
22．如图，已知的面积为14，D、分别为边AB、BC上的点，且， AE与CD交于P．设存在和使， ，，．
（1）求及；
（2）用，表示；
（3）求的面积．
试卷第1页，共3页
试卷第2页，共2页
参考答案：
1．C
根据题意可得：两个向量满足平面的一组基底，需这两个向量不共线，由此逐一判断可得选项．
【详解】
对于A：零向量与任意向量均共线，所以此两个向量不可以作为基底；
对于B：因为，所以，所以此两个向量不可以作为基底；
对于C：设，即，则，所以无解，所以此两个向量不共线，可以作为一组基底；
对于D：设，所以，所以此两个向量不可以作为基底；
故选：C．
2．B
【详解】
分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.
详解：因为
所以选B.
点睛：向量加减乘：
3．A
以为基底表示出，求得，，从而确定正确答案.
【详解】
因为四边形为矩形，，所以，所以，因为（，），所以，，所以．
故选：A
4．D
把已知向量，代入所求数量积，利用投影的概念，求解即可．
【详解】
解：向量，＝（m，1），，
可得：m2+m＝0，解得m＝0，m＝﹣1，
当m＝0时，＝（0，1），
向量在方向上的投影为＝2，
当m＝﹣1时，＝（﹣1，1），
向量在方向上的投影为，
故选：D．
5．C
先结合平面向量垂直的坐标运算求出，再结合平面向量减法的坐标运算求出，进而带入模公式即可求解.
【详解】
因为所以，所以，
则，故，
故选：C
6．A
求出，再求与同向的单位向量即可．
【详解】
因为两点, 所以，
所以＝＝，
所以与向量同向的单位向量为，
故选：A.
7．D
作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设, 得到是的中点，根据已知求出再根据即得解.
【详解】
作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设，因为
因为，所以,即是的中点，
所以
所以，由题知.
故
故选：D
8．C
根据单位向量、向量夹角的余弦值、投影以及向量垂直的定义逐个验证即可.
【详解】
解：，故①正确；
，故②错误；
向量在向量上的投影向量为，故③正确；
，故④正确；
故选:C.
9．D
建系，根据菱形确定点的坐标，计算数量积即可.
【详解】
建立如图平面直角坐标系，
则
∴E点坐标为，
.
故选：D
10．C
特例验证法解选择题是一个快捷途径.本题可以把设为的三角形.
【详解】
不妨设中，，边长，边长，
以A为原点、AB为x轴、AC为y轴建立平面直角坐标系
则、、,
,设，则
故
可得，故
的面积为，
的面积为
则与的面积之比为
故选：C
11．A
先计算向量的模，再根据向量数量积的定义，将展开，即可求得答案.
【详解】
因为，所以，
又因为，设 与的夹角为 ， ，
所以 ，即 ，
解得 ，故 ，
故选：A.
12．D
以为原点，以所在的直线为轴，建立坐标系，设点为，根据向量的坐标运算可得，当直线与直线相交时最大，问题得以解决
【详解】
以为原点，以所在的直线为轴，建立如图所示的坐标系，
，，，
，，，
设点为，，，
，
，，，，，
，
，①
直线的方程为，②，
联立①②，解得，
此时最大，
，
故选：．
本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的坐标运算，解题的关键是建立直角坐标系将几何运算转化为坐标运算，同时考查了学生的数形结合的能力，属于中档题
13．C
由数轴上向量的坐标的定义即可得出结果,,
【详解】
由数轴上向量的坐标的定义可知,,
所以向量，的坐标分别是2，-2.
故选：C
14．C
由，两边平方得，，由，结合两边同时平方得，，从而可求.
【详解】
∵，
∴①
∵且，两边同时平方得，
∴②
①②联立得：.
故选：C．
关键点点睛：根据已知条件构造关于m、n的齐次方程，进而求得两参数的比值.
15．D
根据向量平行、模、夹角等知识确定说法不正确的选项.
【详解】
A选项，若，则，A选项说法正确.
B选项，若，两边平方并化简得，即，B选项说法正确.
C选项，，当时，有最小值为，C选项说法正确.
D选项，若与的夹角为钝角，则，D选项说法不正确.
故选：D
16．
由可得，再结合已知条件计算可得，进而求出向量，进而求出模长即可.
【详解】
，
即，
又，，
，，
，，
所以，.
故答案为：.
关键点点睛：本题考查已知平面向量垂直求参数，考查平面向量数量积的坐标计算，解题关键是由得到，进而通过坐标运算求出，从而得到向量，最后求出模长，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.
17．
由向量平行的坐标表示计算即可.
【详解】
因为A(－2，0)，B(3，4)，C(2，a),所以
因为A，B，C三点共线，所以，故5a－16＝0，所以a＝.
故答案为：.
18．
先求出向量在方向上的投影,再求出与同向的单位向量，进而求出向量在方向上的投影向量.
【详解】
由题意，向量在方向上的投影为：，，则与同向的单位向量为，所以向量在方向上的投影向量为：.
故答案为：.
19．(1)
(2)
（1）先计算出，再通过坐标运算求模长；
（2）先表示出，再由解出.
(1)
由，得，.
(2)
，，由得，解得.
20．（1）6；（2）；（3）.
（1）利用向量加法的坐标运算得到，再求模长即可；
（2）先写的坐标，再根据使对应横纵坐标相等列方程组，解方程组即得结果；
（3）利用向量垂直则数量积为零，再利用数量积的坐标运算列关系求出参数即可.
【详解】
解：（1）由，得
，；
（2）， ，
，，
故，解得；
（3），，
，，
，，即，
解得.
结论点睛：
若 ，则等价于；等价于.
21．，
原式变形为，设，，由，利用等号成立的条件列方程求解即可.
【详解】
因为，方程两边同除以，得；
设，，由，得：
，
上式中等号成立的条件是两向量同向，
从而有.
解之得：，，代入原方程检验均适合.
22．（1），；（2）；（3）4．
（1）用，作为基底表示出向量，，根据向量相等得到方程组，即可解得；
（2）根据向量加法运算法则，计算可得；
（3）先由，又，再根据可得．
【详解】
（1），，，
，，
，，
，，
，
又，
，解得．
（2）由（1）知，，
．
（3），，
，
又，
．
关键点睛：第（1）问的关键是用基底表示向量，然后解方程组；第（2）问的关键是运用向量的加法；第（3）问的关键是寻找面积之间的关系.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页