必修第二册6.4平面向量的应用(word版含答案）

人教A版（2019）必修第二册 6.4 平面向量的应用
一、单选题
1．在中，，，且点为的中点，，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
2．在中，，则一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
3．在中，角，，的对边分别为，，．若，，，则角（　　）
A． B． C．或 D．或
4．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积为( )
A． B．
C． D．
5．在中，斜边长为2，O是平面外一点，点P满足，则等于（ ）
A．2 B．1 C． D．4
6．如图，在ABC中，∠BAC=，点D在线段BC上，AD⊥AC，，则sinC=（ ）
A． B． C． D．
7．刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形(如图所示)，当变得很大时，这个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到的近似值为（ ）
A． B．
C． D．
8．在中，若，则的形状一定是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
9．在中，、、分别为的内角、、的对边，，则角的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境．从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等．已知圆O是某窗的平面图，O为圆心，点A在圆O的圆周上，点P是圆O内部一点，若，且，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．9 D．16
11．如图，正六边形的边长为2，动点从顶点出发，沿正六边形的边逆时针运动到顶点，若的最大值和最小值分别是，，则（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
12．在中，角、、所对的边分别为、、若，则的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．不确定
二、填空题
13．在中，已知，，，则_________.
14．在中，若，，，则_________.
15．如图所示，无弹性细绳，的一端分别固定在，处，同样的细绳下端系着一个秤盘，且使得，则，，三根细绳受力最大的是________．
16．正方形的边长为，是正方形的中心，过中心的直线与边交于点，与边交于点，为平面内一点，且满足，则的最小值为__________.
三、解答题
17．的内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求；
（2）若，，求的面积.
18．在中，，，，点，在边上且，.
（1）若，求的长；
（2）若，求的值.
19．已知中，内角，，的对边分别为，，.
（1）若且，求角的大小；
（2）若为锐角三角形，且，，求面积的取值范围.
20．在中，已知角，，所对的边分别是，，，，，.
（1）求角的值；
（2）求的面积.
21．如图，一船在海上由西向东航行，在处测得某岛的方位角为北偏东角，前进后在处测得该岛的方位角为北偏东角，已知该岛周围范围内有暗礁，现该船继续东行．
（1）若，问该船有无触礁危险？如果没有，请说明理由；如果有，那么该船自处向东航行多少距离后会有触礁危险？
（2）当与满足什么条件时，该船没有触礁危险？
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
利用余弦定理可求的长.
【详解】
∵点为的中点，且，∴，
在中，，，∴，
在中，，，，
由余弦定理得：，
∴，
故选：A．
2．C
由向量数量积的定义式可得，即可判断.
【详解】
∵，∴，
又∵为三角形内角，∴是钝角，即是钝角三角形.
故选：C.
3．D
由正弦定理即可求解．
【详解】
在中，由正弦定理可得，
所以，
因为，所以，
因为，所以或，
故选：D.
4．C
根据已知条件结合正弦定理边化角可得，结合和余弦定理可得cosA和，根据三角形面积公式可得面积.
【详解】
∵，
结合正弦定理可得，
可得，∵，
结合余弦定理，可得，
∴A为锐角，且，从而求得，
∴的面积为．
故选：C.
5．B
利用向量的减法可得，从而可得为斜边的中线，即可求解．
【详解】
解：，
，，
为斜边的中线，．
故选：B．
6．B
在中利用正弦定理得结合平方关系求解即可
【详解】
在中，，解得又 所以
故选：B.
7．A
首先判断等腰三角形的个数，根据割圆术的思想，等腰三角形的面积和近似为圆的面积，列出面积公式，求的近似值.
【详解】
圆的周角为，，所以当等腰三角形的顶角为时，共割了60个等腰三角形，设圆的半径为，则由题意可知，解得：，
所以的近似值是.
故选：A
8．B
先利用数量积运算化简得到，再利用余弦定理化简得解.
【详解】
因为，所以，
所以，所以，
所以，所以三角形是直角三角形.
故选：B
9．A
由正弦定理将角化边，即可得到，再由余弦定理，即可得到，再利用辅助角公式及基本不等式即可得到，即可得解；
【详解】
解：因为
由正弦定理可得，即，
又由余弦定理可知，
则，
则，即：，
，又，当且仅当时取等号，
∴，，，
故选：A.
解三角形的基本策：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.
10．A
利用向量的线性运算，结合数量积，可求得，确定其取值范围，再根据平方后的式子，即可求得答案.
【详解】
因为，所以，
所以，即，则．
因为点P是圆O内部一点，所以，所以，
则，
当且仅当时，等号成立，故的最小值是3,
故选：A.
11．D
连接，根据正六边形的特征可得，从而可得，再根据当在上运动时，与均逐渐增大，当从移动到时，与均逐渐减小，即可求得，，从而得出答案.
【详解】
解：连接，在正六边形中，，
∴，
∵正六边形的边长为2，∴，
因为当在上运动时，与均逐渐增大，当从移动到时，与均逐渐减小，
所以当在上运动时，取得最大值，为，
当移动到点时，取得最小值，为0．
∴，，∴．
故选：D.
12．C
根据给定条件切化弦，再利用正弦定理、余弦定理角化边即可计算判断作答.
【详解】
在中，原等式化为：，由正弦定理得，，
即，由余弦定理得：，整理得，
则有，于是有或，是等腰三角形或直角三角形，
所以的形状是等腰三角形或直角三角形.
故选：C
13．3
设角，，所对的边分别为，，，利用余弦定理得到关于的方程，解方程即可求得的值，从而得到的长度．
【详解】
解：设角，，所对的边分别为，，，
结合余弦定理，可得，
即，解得或（舍去），
所以．
故答案为：．
14．
由内角和求得，然后由正弦定理求得．
【详解】
，
由正弦定理得，所以.
故答案为：．
15．
设，，三根细绳对所施力分别为，，，可知，在平行四边形中比较向量模的大小即可求解.
【详解】
受力最大的是，
理由如下：
设，，三根细绳对所施力分别为，，，
则，
设与的合力为，则，
如图：在平行四边形中，因为，，
所以，，
即，，
所以绳受力最大.
故答案为：.
16．
建立坐标系，根据求出点的坐标，设出的坐标分别为，，将，转化为关于的函数，即可得其最小值.
【详解】
以为坐标原点，以过且平行于的直线为轴，以过且垂直于的直线为轴，建立坐标系，则，，
所以，
所以，即点坐标为，
设，则，，
所以，，
所以，
当且时，有最小值为，
故答案为：
关键点点睛：本题的关键点是以为坐标原点，以过且平行于的直线为轴建立坐标系，则，，利用求出点的坐标，设出的坐标分别为，，，利用二次函数的性质可求最小值.
17．（1）；（2）.
(1)由正弦定理边角互化得,进而得;
(2)由余弦定理得,进而根据面积公式计算即可.
【详解】
解：（1）∵.
∴由正弦定理可得：，
∴解得：
（2）∵，，，
∴，∴，
∵ ,,
∴ ，
∴
18．（1）；（2）.
（1）先设，，根据题意，求出，，再由向量模的计算公式，即可得出结果；
（2）先由题意，得到，，再由向量数量积的运算法则，以及题中条件，得到，即可求出结果.
【详解】
（1）设，，
则，，因此，
所以，
，
（2）因为，所以，
同理可得，，
所以
，
∴，即，
同除以可得，.
本题主要考查用向量的方法求线段长，考查由向量数量积求参数，熟记平面向量基本定理，以及向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.
19．（1）；（2）.
（1）先根据正弦定理化简得，再代入条件化简得，（2）根据正弦定理以及三角形面积公式得面积为，再根据锐角三角形确定B角范围，最后根据正弦函数性质求取值范围.
【详解】
（1）由于，由正弦定可得，
即，
，，
故，，
又，
所以，
即
由于，所以，由于是三角形的内角，
故.
（2）由，所以，，
所以面积为
由于为锐角三角形，所以，即，
解得，所以，，
所以.
即面积的取值范围是.
本题考查正弦定理、三角形面积公式、二倍角公式以及辅助角公式，考查基本分析求解能力，属中档题.
20．（1）；（2）面积为或.
（1）利用正弦定理进行转化，可得的值，再根据角的范围即可求得结果；
（2）由余弦定理得的值，再根据三角形面积公式即可求得结果.
【详解】
（1）因为，，所以，
又因为，所以，解得.
在中，因为，所以为锐角，所以；
（2）因为，
所以，解得或，
当时，，
当时，，
所以的面积为或.
21．（1）该船有触礁的危险，该船自处向东航行后会有触礁危险；（2）.
（1）作，垂足为，计算出，设，利用勾股定理计算出，由此可得出结论；
（2）设，利用解三角形的相关知识求得，由已知可得，化简可得结果.
【详解】
（1）作，垂足为．
由已知，，，，
，，，
所以该船有触礁的危险，设该船自处向东航行至处后有触礁危险，则．
在中，，，，，．
所以，该船自处向东航行后会有触礁危险；
（2）设，在中，由正弦定理得，，
即，则，
而，
所以，当时，即，也即时，该船没有触礁危险．
答案第1页，共2页
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