必修第二册7.1复数的概念同步练习(word版含答案）

人教A版（2019）必修第二册 7.1 复数的概念 同步练习
一、单选题
1．如图，复平面内的平行四边形的顶点和对应的复数分别为和，则点对应的复数为（ ）
A． B． C． D．
2．已知，为虚数单位，且，则的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．设复数（是虚数单位），则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
5．设复数：，其中为虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
6．在复平面内，若复数所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知复数，则的最大值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
8．已知，，若 (为虚数单位)，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C． D．
9．下列命题正确的是
A．复数不是纯虚数
B．若，则复数为纯虚数
C．若是纯虚数，则实数
D．若复数，则当且仅当时，为虚数
10．设有下面四个命题
：若复数满足，则；
：若复数满足，则；
：若复数满足，则；
：若复数，则.
其中的真命题为
A． B．
C． D．
11．设为实数，若复数，则
A． B．
C． D．
12．复数z满足，则z在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
13．若z是复数，|z+2-2i|＝2，则|z+1-i|+|z|的最大值是（　　）
A． B． C． D．
14．设复数z满足，且在复平面内z对应的点位于第一象限，则z=（ ）
A． B． C． D．
15．已知下列三个命题：①若复数z1，z2的模相等，则z1，z2是共轭复数；②z1，z2都是复数，若z1+z2是虚数，则z1不是z2的共轭复数；③复数z是实数的充要条件是z.则其中正确命题的个数为
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
16．若复数z满足，则__________．
17．已知复数，为虚数单位，则的最小值为_________.
18．已知复数满足，则在复平面内复数对应的点所在区域的面积为___________.
三、解答题
19．在①，②z的实部与虚部互为相反数，③z为纯虚数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．问题：已知复数．
（1）若_______，求实数m的值；
（2）若m为整数，且，求z在复平面内对应点的坐标．
20．实数分别取什么值时，复数对应的点在：
（1）第三象限；
（2）直线上.
21．已知O为坐标原点，向量 分别对应复数，，且，，若是实数.
(1)求实数a的值；
(2)求以 为邻边的平行四边形的面积.
22．在①在复平面上对应的点在直线上，②，③为纯虚数这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．
已知复数．
（1）若______，求的值．
（2）若，且，求的最大值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
由复数对应的坐标，结合向量的线性关系求，即可写出对应的复数.
【详解】
如图，由，而，
∴，故对应的复数为.
故选：D.
2．D
利用复数相等的知识列方程组，由此求得，进而求得.
【详解】
由于，
所以.
故选：D
3．D
根据共轭复数的概念及复数模的公式，即可求解.
【详解】
由复数，可得，所以，
所以.
故选：D.
4．D
根据复数为纯虚数，列方程求出的值，进而可得复数的虚部.
【详解】
由已知，解得，故，其虚部为，
故选：D.
本题考查复数的概念，注意纯虚数为实部为0，虚部不为0，是基础题.
5．A
根据虚数单位的周期和复数的除法运算即可得到答案.
【详解】
因为
所以.
故选：A.
6．D
复数所对应的点在第二象限应满足实部，虚部为，解不等式在即可得到答案.
【详解】
∵在复平面内，若复数所对应的点在第二象限，
∴解得
∴实数m的取值范围是
故选：D.
本题考查复数的概念及分类，属于基础题.
7．B
设，利用复数模的运算可得，再由即可求解.
【详解】
设，
，，
，
当时，有最大值.
故选：B
8．B
依题意复数的虚部为零，实部大于2，即可得到不等式，解得即可；
【详解】
解：因为，， ，所以，即，解得或
故选：B
9．B
分别对四个选项进行判断，得到正确的选项.
【详解】
选项A中，当时，复数是纯虚数，故错误；选项B中，时，复数，为纯虚数，故正确；选项C中，是纯虚数，则，即，得，故错误；选项D中，没有给出为实数，当，时，也可以是虚数，故错误.
所以选B项.
本题考查复数的定义和纯虚数的概念，判断命题的正确，属于简单题.
10．B
【详解】
令，则由得，所以，故正确；
当时，因为，而知，故不正确；
当时，满足，但，故不正确；
对于，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故正确，故选B.
点睛:分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.
11．A
根据复数相等的概念得到相应的参数值.
【详解】
由得，解得.
故答案为A.
复数与相等的充要条件是且．复数相等的充要条件是化复为实的主要依据，多用来求解参数的值或取值范围．步骤是：分别分离出两个复数的实部和虚部，利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程（组）求解．
12．A
设复数，由，利用其几何意义求解.
【详解】
解：设复数，
因为，
所以，
即复数z表所对应的点在以（5，5）为圆心，以2为半径的圆上，
所以z在复平面内对应的点所在的象限为第一象限.
故选：A
13．D
设z＝x+yi（x，y∈R），由题意可知动点的轨迹可看作以为圆心，2为半径的圆，|z+1-i|+|z|可看作点P到和的距离之和，然后即可得到P，A，O三点共线时|z+1-i|+|z|取得最大值时,从而可求出答案.
【详解】
设z＝x+yi(x，y∈R)，
由|z+2-2i|＝2知，动点的轨迹可看作以为圆心，2为半径的圆，
|z+1-i|+|z|可看作点P到和的距离之和，
而|CO|＝，|CA|＝，
易知当P，A，O三点共线时，|z+1-i|+|z|取得最大值时，
且最大值为|PA|+|PO|＝(|CA|+2)+(|CO|+2)＝，
故选：D．
14．B
把四个选项一一代入验证即可.
【详解】
把四个选项一一代入验证：
对于A：z=，则有，.故A错误；
对于B：z=，则有，.故B正确；
对于C：z=，则有，.故C错误；
对于D：z=，则有，.故D错误；
故选：B
15．C
运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.
【详解】
对于①中复数和的模相等,例如,,则和是共轭复数是错误的;对于②和都是复数,若是虚数,则其实部互为相反数,则不是的共轭复数,所以②是正确的;
对于③复数是实数,令,则所以,反之当时,亦有复数是实数,故复数是实数的充要条件是是正确的.综上正确命题的个数是个.
故选
本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.
16．1
设，根据题意，结合求模公式、复数相等的条件等知识，列出方程组，即可得答案.
【详解】
设，
所以，
所以，解得，
所以．
故答案为：1
17．4
利用复数的几何意义，转化求解即可.
【详解】
解:复数z满足，为虚数单位， 复数z表示：复平面上的点到(0，0)的距离为1的圆.
的几何意义是圆上的点与的距离，
所以其最小值为： .
故答案为：4.
本题考查复数的几何意义，复数的模的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题.
18．
设，由题意可得，根据复数模的几何意义得出区域形状为圆环，再计算面积即可．
【详解】
设，，
因为，所以
所以，
所以复平面内复数对应的点所在区域的是以为圆心，半径为的圆外和以为圆心，半径为的圆内部分，即圆环面，
故所求区域面积．
故答案为：．
19．（1）答案见解析；（2）.
（1）若选择①，由，可知是一个大于零的实数，从而得进而可求出实数m的值；若选择②，由题意可得，解方程可得实数m的值；若选择③，由题意可得从而可求出实数m的值；
（2）由可得，再由m为整数，可得为平方数，为奇数，从而可求得实数m的值，进而可得答案
【详解】
解：（1）若选择① 因为，所以
解得．
若选择② 因为z的实部与虚部互为相反数，所以，
解得或．
若选择③ 因为z为纯虚数，所以
解得．
（2）因为，所以，
所以．
因为m为整数，所以为平方数，为奇数．
因为或，
所以验证可得，即．
因为，所以，其在复平面内对应点的坐标为．
20．（1）；（2）.
（1）由题意可得即可求解；
（2）找出复数对应的点的坐标，代入直线的方程即可求解.
【详解】
因为是实数，所以，也是实数.
（1）由题意可得 即，
解得：
即当时，点在第三象限.
（2）对应点，
由题意可得，
整理可得：，
解得：，
即当时，点Z在直线上.
21．(1)
(2)
（1）由已知结合为实数求得的值，（2）求得、对应的点的坐标，再由的值计算夹角的正余弦，则可求面积．
(1)
由，得
，则的虚部为0，
．
解得：或．
又，．
(2)
由（1）可知，．
，，．
．所以，
所以，
所以以 为邻边的平行四边形的面积
22．（1）答案见解析；（2）.
利用复数的几何意义，运用数形结合的思想，列方程求解即可
【详解】
解：（1）选择①，在复平面上对应的点在直线上，
则，解得．
选择②，，则，解得．
选择③，为纯虚数，则，解得．
（2）因为，且，
所以，得，
所以．
因为，
所以在复平面对应的点在以坐标原点为圆心，1为半径的单位圆上，
所以表示在复平面上的点与单位圆上的点的距离，
故最大值为．
关键点睛：解题的关键在于利用复数的几何意义求出后，进而求出，然后，根据表示在复平面上的点与单位圆上的点的距离，进而利用数形结合求解，属于中档题
答案第1页，共2页
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