必修第二册8.1基本立体图形同步练习(word版含答案）

人教A版（2019）必修第二册 8.1 基本立体图形 同步练习
一、单选题
1．埃拉托斯特尼是古希腊亚历山大时期著名的地理学家，他最出名的工作是计算了地球（大圆）的周长：如图，在赛伊尼，夏至那天中午的太阳几乎正在天顶方向（这是从日光直射进该处一井内而得到证明的）.同时在亚历山大城（该处与赛伊尼几乎在同一子午线上），其天顶方向与太阳光线的夹角测得为7.2°.因太阳距离地球很远，故可把太阳光线看成是平行的．已知骆驼一天走100个视距段，从亚历山大城到赛伊尼须走50天．一般认为一个视距段等于157米，则埃拉托斯特尼所测得地球的周长约为（ ）
A．37680千米 B．39250千米 C．41200千米 D．42192千米
2．如图所示的组合体，其结构特征是（ ）
A．左边是三棱台，右边是圆柱 B．左边是三棱柱，右边是圆柱
C．左边是三棱台，右边是长方体 D．左边是三棱柱，右边是长方体
3．已知某几何体的一条棱的长为，该棱在正视图中的投影长为，在侧视图与俯视图中的投影长为与，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
4．如图，在正四棱柱中，底面边长，高，为棱的中点．设、、，则、、之间的关系正确的是（ ）．
A． B． C． D．
5．若一个圆锥的母线长为4，且其侧面积为其轴截面面积的4倍，则该圆锥的高为（ ）
A．π B． C． D．
6．在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面．平面以任意角度截正方体，所截得的截面图形不可能为（ ）
A．等腰梯形 B．非矩形的平行四边形
C．正五边形 D．正六边形
7．如图，在三棱台A'B'C'-ABC中，截去三棱锥A'-ABC，则剩余部分是(　　)
A．三棱锥 B．四棱锥
C．三棱柱 D．三棱台
8．在一个长方体内钻一个圆柱形的孔，则钻孔后得到的几何体的表面积与原几何体相比
A．变大了 B．变小了 C．相等 D．不确定
9．下面四个几何体中，是棱台的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知直三棱柱的侧棱长为，，.过、的中点、作平面与平面垂直，则所得截面周长为（ ）
A． B． C． D．
11．采用斜二测画法作一个五边形的直观图，则其直观图的面积是原来五边形面积的
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
12．某圆锥母线长为2，底面半径为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（　　）
A．2 B． C． D．1
二、填空题
13．棱长为1的正方体中，若E、F、G分别是AB、AD、的中点，则该正方体的过E、F、G的截面面积为__________.
14．已知正四面体的棱长为，点分别为上靠近的三等分点，平面截正四面体的外接球所得截面的面积为___________.
15．如图，一圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点处.若该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于___________.
16．某圆柱的侧面展开图是面积为16的正方形，则该圆柱一个底面的面积为___________.
17．“敕勒川，阴山下．天似穹庐，笼盖四野．”的特征，诗中的“穹庐”即“毡帐”，屋顶近似圆锥，为了烘托节日气氛，计划在屋顶安装灯光带．某个屋顶的圆锥底面直径长8米，母线长6米，其中一条灯光带从该圆锥一条母线的下端点开始，沿侧面经过与该母线在同一轴截面的另一母线的中点，环绕一圈回到起点，则这条灯光带的最短长度是______米．
三、解答题
18．已知一个圆柱的轴截面是边长为的正方形，求这个圆柱的侧面积.
19．若长方体的相邻三个面的面积分别为，求长方体的体对角线的长.
20．如图所示，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台的上、下底面的面积之比为，截去的小圆锥的母线长是3cm，求圆台的母线长.
21．已知正四棱台上 下底面的边长和侧棱长分别是3，x，5，设棱台的斜高为y，求出y与x的函数关系式，并求该函数的定义域与值域.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
首先读懂题意，根据比例关系，即可求解地球周长.
【详解】
由亚历山大城到赛伊尼走，则地球大圆周长的视距段为，
则，得个视距段，
则地球的周长为米千米.
故选：B
2．D
由已知图形，结合棱柱定义，即可得出结论.
【详解】
根据三棱柱和长方体的结构特征，可知此组合体左边是三棱柱，右边是长方体.
故选:D.
本题考查几何体的识别，掌握定义是解题的关键，属于基础题.
3．C
根据三视图的定义，构造一个长方体，利用长方体的边长关系，求得m的表达式，利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】
如图：构造长方体
设，在长方体中，DE为正视图中投影，BE为侧视图中投影，AC为俯视图的投影，
则，，
设，
则，，
所以，即，
由于，
所以，解得，
当且仅当时等号成立，
故选：C.
解题的关键是构造长方体，利用三视图的定义，得到对应的投影，再根据边长的关系求解，考查利用基本不等式求最值问题，综合性较强，属中档题.
4．B
求出、、的大小即可求解.
【详解】
由题意可得，
连接，则为等边三角形，所以，
连接，则，
，
取的中点，
连接，则，,
所以，
所以，即，
所以.
故选：B
5．A
设圆锥的底面圆半径为r，高为h，由题意可得4πr＝4rh，从而可得h＝π
【详解】
设圆锥的底面圆半径为r，高为h；
由圆锥的母线长为4，
所以圆锥的侧面积为πr 4＝4πr；
又圆锥的轴截面面积为 2r h＝rh，
所以4πr＝4rh，
解得h＝π；
所以该圆锥的高为π．
故选：A．
6．C
在正方体中依次分析，经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形．但此时不可能是正五边形，其他情况都可构造例子.
【详解】
画出截面图形如图：
可以画出等腰梯形，故A正确；
在正方体中，作截面（如图所示）交，，，分别于点，，，，根据平面平行的性质定理可得四边形中，，且，故四边形是平行四边形，此四边形不一定是矩形，故B正确；
经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形．但此时不可能是正五边形，故C错误；
正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，且可以画出正六边形，故D正确．
故选：C
7．B
结合图形以及四棱锥的结构特征即可判断.
【详解】
剩余部分是四棱锥A'-BCC'B'.
故选：B.
8．D
钻孔后几何体表面积为长方体表面积减去圆柱体两个底面圆的面积加上圆柱的侧面积，所以通过讨论圆柱侧面积与底面积的大小得出几何体表面积的变化情况．
【详解】
所得几何体的表面积为长方体的表面积减去圆柱的两个底面积，再加上圆柱的侧面积，由于圆柱的两底面积和侧面积不确定，故选D.
本题考查几何体的割补，需想到割补前后几何体的变化和形状．
9．C
根据棱柱、棱锥、棱台的结构特征，观察可得答案.
【详解】
A项中的几何体是棱柱．
B项中的几何体是棱锥；
D项中的几何体的棱AA′，BB′，CC′，DD′没有交于一点，则D项中的几何体不是棱台；
C项中的几何体是由一个棱锥被一个平行于底面的平面截去一个棱锥剩余的部分，符合棱台的定义，是棱台．
故选：C
10．C
确定平面与各棱的交点位置，计算出截面各边边长，由此可得出所得截面周长.
【详解】
如下图所示，取的中点，连接，取的，连接，取的中点，连接、，
，为的中点，则，
平面，平面，，
，平面，
、分别为、的中点，则且，平面，
平面，所以，平面平面，
所以，平面即为平面，设平面交于点，
在直棱柱中，且，
所以，四边形为平行四边形，且，
、分别为、的中点，且，
所以，四边形为平行四边形，且，
且，且，所以，四边形为平行四边形，
，平面，平面，平面，
设平面平面，平面，所以，，，
，所以，四边形为平行四边形，可得，
所以，为的中点，
延长交于点，，所以，，，
又，所以，，，为的中点，
因为平面平面，平面平面，平面平面，，
，，，，为的中点，
，，则，
为的中点，，则，同理，
因为直棱柱的棱长为，为的中点，，
由勾股定理可得，同理可得，
且，平面，平面，
平面，，
、分别为、的中点，则，，
由勾股定理可得，同理.
因此，截面的周长为.
故选：C.
思路点睛：本题考查直棱柱截面多边形周长的计算，在画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置．
11．D
根据斜二测画法中原图形面积与直观图面积的关系式即可得出答案.
【详解】
解：斜二测画法中原图形面积与直观图面积的关系式
所以
故选：D
12．A
如图截面为，P为MN的中点，设，，进而可得面积最大值.
【详解】
如图所示，截面为，P为MN的中点，设
,
当时，，此时截面面积最大.
故选：A
易错点睛：先求出面积的函数表达式进而判断最大值，本题容易误认为垂直于底面的截面面积最大.
13．
先根据题意找出截面为正六边形，进而求得正六边形的面积即可.
【详解】
由图可知，截面为一个的正六边形，正六边形的边长为，
所以截面的面积为.
故答案为：
本题主要考查空间几何体截面问题，解题时要准确找出截面形状.
14．14π3##143π
外接球被一个平面截得的图形是球的小圆，为求小圆半径，先求球的半径，再求球心到平面的距离，小圆的半径.
【详解】
过作平面于，交平面于，根据对称性，球心在线段上，设球心为，连接，已知正四面体的棱长为，则，，，设球半径为，则，在中由勾股定理，，解得，点分别为上靠近的三等分点，易得小四面体的高，则，平面截球所得的圆半径，则截得的圆面积为.
故答案为：
15．
沿圆锥的一条母线将圆锥剪开，设小虫爬行的最短路程为，利用余弦定理结合的取值范围求出的大小，再利用侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长可求得圆锥底面圆的半径，即为所求.
【详解】
由题意，沿圆锥的一条母线将圆锥剪开，其侧面如图所示，设小虫爬行的最短路程为，
在中，，，
由余弦定理可得，
，故，
设圆锥底面圆半径为，则，解得.
故答案为：.
16．
根据圆柱侧面积公式，结合侧面展开图的性质，求得圆柱底面圆的周长，求得结果.
【详解】
因为圆柱的侧面展开图是边长为16的正方形，
所以该圆柱的底面圆的周长为其展开图正方形的边长为4，
因此半径为，
故该圆柱一个底面的面积为．
故答案为：.
关键点点睛：该题考查的是有关圆柱的问题，正确解题的关键是要明确圆柱侧面展开图的特征以及相关公式.
17．
将侧面沿母线剪开，点对应点，轴截面对应的另一条母线为，的中点为，连接，，则为灯光带的最短长度，结合图形计算即可求解.
【详解】
将侧面沿母线剪开，点对应点，轴截面对应的另一条母线为，的中点为，连接，，则为灯光带的最短长度，如图所示：
因为，圆锥底面直径长8，则半径为，所以，即，
所以，
因为，
在中，由余弦定理可得：
，
所以，所以，
所以这条灯光带的最短长度是米.

18．
求出圆柱的底面半径和母线长，然后利用圆柱的侧面积公式可得出结果.
【详解】
由题意可知，圆柱的底面半径为，母线长为，.
本题考查圆柱侧面积的计算，关键就是要计算出圆柱的底面半径和母线长，解题时也要充分利用圆柱的轴截面进行分析，考查计算能力，属于基础题.
19．
根据长方体的体对角线与棱长的关系求解.
【详解】
设长方体的相邻三边的长分别为：，
根据题意得：，
解得，
所以长方体的体对角线的长.
本题主要考查长方体的结构特征以及体对角线的求法，属于基础题.
20．9cm
由圆锥平行于底面的截面的性质求解．
【详解】
解：设圆台的母线长为，由圆台的上、下底面的面积之比为，可设圆台的上、下底面半径分别为，.
过旋转作截面，如图所示，
则，所以.
又，所以，解得，
即圆台的母线长为9cm.
本题考查圆锥的性质，掌握圆锥平行于底面的性质是解题关键．圆锥平行于底面的截面与底面的面积比等于截得小圆锥的高与原圆锥高的平方比．
21．，，.
取上底A1B1C1D1的中心O1和下底ABCD的中心O，连结OO1，过O1作O1F⊥A1B1，交A1B1于F，过O作OE⊥AB，交AB于E，过F作FN⊥OE，交OE于N，正四棱台的斜高B1K，正四棱台的高OO1＝FN，由此能求出正四棱台的高和斜高．
【详解】
如图，
取上底A1B1C1D1的中心O1和下底ABCD的中心O，连结OO1，
过O1作O1F⊥A1B1，交A1B1于F，过O作OE⊥AB，交AB于E，
过F作FN⊥OE，交OE于N，
正四棱台的斜高B1K＝EF＝＝，
且，
，
，定义域为，
，
，
即函数值域为.
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