必修第二册8.3简单几何体的表面积与体积(word版含答案）

人教A版（2019）必修第二册 8.3 简单几何体的表面积与体积
一、单选题
1．四棱锥的顶点都在球O的球面上，是边长为的正方形，若四棱锥体积的最大值为54，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．用到球心的距离为1的平面去截球，以所得截面为底面，球心为顶点的圆锥体积为，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则（ ）
A．圆锥的母线长为18
B．圆锥的表面积为27π
C．圆锥的侧面展开图扇形圆心角为60°
D．圆锥的体积为
4．正三棱锥底面边长为，高为，则此正三棱锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，且平面，，，，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球的球面上，若球的体积为，则到平面的距离为（ ）
A． B． C．1 D．
7．古代将圆台称为“圆亭”，《九章算术》中“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长丈，上底周长丈，高丈，则它的体积为（ ）
A．立方丈 B．立方丈 C．立方丈 D．立方丈
8．四个半径为2的球刚好装进一个正四面体容器内，此时正四面体各面与球相切，则这个正四面体外接球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
9．某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒．现有一张边长为的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（ ）
A． B． C． D．
10．《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
11．已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且的长分别为，又，侧面与底面成角，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为
A． B． C． D．
12．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体（如图所示），下底面是边长为2的正方形，上棱，EF//平面ABCD，EF与平面ABCD的距离为2，该刍甍的体积为（ ）
A．6 B． C． D．12
二、填空题
13．如图，是边长为2的等边三角形，M为的中点．将沿折起到的位置，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的表面积为__________．
14．已知圆锥的侧面积（单位：） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是_______．
15．已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________.
16．已知正方体的所有顶点在一个球面上，若这个球的表面积为，则这个正方体的体积为___________.
17．已知圆柱的底面半径为1，若圆柱的侧面展开图的面积为，则圆柱的高为________．
三、解答题
18．如图，已知圆锥的顶点为P，O是底面圆心，AB是底面圆的直径，，．
（1）求圆锥的表面积；
（2）经过圆锥的高PO的中点作平行于圆锥底面的截面，求截得的圆台的体积．
19．早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球体积时，就创造性地提出了一个原理“幂势既同，则积不容异”，意思是两个同高的几何体，若在任意给定的等高处的截面积相等，则体积相等，在推导半径为R的球的体积公式时，可以先构造如下如图所示的圆柱体，圆柱体的底面半径和高都为R，其底面和半球体的底面同在平面内，然后挖去一个圆锥后运用祖暅原理来推导，请你把如图补充完整并写出球的体积公式的证明.
20．已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该四棱台的表面积.
21．如图，已知四棱锥的底面是正方形，且边长为4cm，侧棱长都相等，E为BC的中点，高为PO，且，求该四棱锥的侧面积和表面积．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
根据四棱锥体积的最大值为54，可求得P到平面的最大距离，根据四棱锥的几何性质，即可求得球O的半径r，代入表面积公式，即可得答案.
【详解】
设球心到平面的距离为h，球O的半径为r，
根据题意，当P到平面距离最大，即为r+h时，四棱锥的体积最大，
所以，解得，
又都在球面上，设平面所在圆心为，由题意得，
所以，解得，
所以表面积.
故选：C
本题关键点在于根据体积最大值，求得P到平面的最大距离，再根据外切关系，利用勾股定理，求得半径r，考查空间想象，分析计算的能力，属中档题.
2．C
根据球与圆锥的结构特征，结合体积与表面积的计算公式进行求解即可.
【详解】
设球的半径为，圆锥的底面半径为，因为球心到截面的距离为1，
所以有：，
则题中圆锥体积，解得，故球的表面积为.
故选：C
3．D
由题意可知，再利用圆锥的表面积公式，侧面积公式及体积公式，即可判断.
【详解】
设圆锥的母线长为，以为圆心，为半径的圆的面积为，
又圆锥的侧面积，
因为圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了3周，
所以，解得，
所以圆锥的母线长为9，故选项A错误；
圆锥的表面积，故选项B错误；
因为圆锥的底面周长为，
设圆锥的侧面展开图扇形圆心角为，
则，解得，
所以圆锥的侧面展开图扇形圆心角为120°，故选项C错误；
圆锥的高，
所以圆锥的体积为，故选项D正确．
故选：D．
4．A
根据条件，可计算正三棱锥的斜高，利用侧面积公式计算即可求出.
【详解】
因为底面正三角形中高为，其重心到顶点距离为，且棱锥高，所以利用直角三角形勾股定理可得侧棱长为，斜高为，所以侧面积为.选A.
本题主要考查了正三棱锥的性质，侧面积公式，属于中档题.
5．A
根据平面BCD，得到，，再由，，，得到，则三棱锥截取于一个长方体，然后由长方体的外接球即为三棱锥的外接球求解.
【详解】
因为平面BCD，
所以，，
∴，
在中，，
∴，
∴.
如图所示：
三棱锥的外接球即为长方体AGFH-BCED的外接球，
设球O的半径为R，则，
解得，
所以球O的表面积为，
故选：A.
6．C
由题意画出图形，由是面积为的等边三角形，可得，再由球的体积为，求出球的半径，而，再利用勾股定理可求出结果
【详解】
由题意可知图形如图：是面积为的等边三角形，
可得，
∴，
可得：，
球的体积，解得，
所以到平面的距离为：.
故选：C.
此题考查球截面性质，考查空间想象能力和计算能力，属于基础题
7．B
先利用上下底面圆的周长分别求得圆的半径，再利用圆台体积公式计算即可.
【详解】
由题意得，下底半径（丈），上底半径（丈），高（丈），
所以它的体积为
所以(立方丈).
故选：B.
本题考查了圆台的体积公式，属于基础题.
8．A
画出直观图，梳理条件，再画出截面图，从中找到等量关系，求出外接球半径，从而求出外接球的表面积.
【详解】
如图1所示，正四面体ABCD中，AH⊥底面BCD，E、F、G、K为四个球的球心，M为CD中点，连接BM，AM，易知B、H、M三点共线，直线AH交平面EFG于点，连接，交GF于点N，则N为GF的中点，因为内切球半径为2，故EF=4，画出截面ABM如图2所示，正四棱锥EFGK外接球球心设为O，则正四面体ABCD的外接球球心与正四面体EFGK外接球球心重合，设正四面体ABCD的外接球半径为R，正四面体EFGK外接球半径为r，在图2中，EK=4，，，，所以
由，即，解得：
所以
过点E作EP⊥BM于点P，则EP=2
则△BEP∽△
∴，
解得：
∴
∴正四面体ABCD的外接球表面积
故选：A
与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.
9．B
利用正六边形的性质求出正六棱柱的底边周长，再根据棱柱的体积：即可求解.
【详解】
如图：由正六边形的每个内角为，
按虚线处折成高为的正六棱柱，即，
所以
可得正六棱柱底边边长，
所以正六棱柱体积：.
故选：B
10．B
先分析出三棱锥的外接球就是一个长方体的外接球，直接求出长方体的外接球的半径为R，求出球的表面积.
【详解】
将三棱锥放在一个长方体中，如图示：
则三棱锥的外接球就是一个长方体的外接球，因为，，为直角三角形，所以.
设长方体的外接球的半径为R，则，故.
所以外接球的表面积为.
故选：B.
多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：
(1)公式法；(2) 多面体几何性质法；(3)补形法；(4)寻求轴截面圆半径法；(5)确定球心位置法．
11．A
将三棱锥体积用公式表示出来，结合均值不等式和，可得体积最大时，进而得到，带入体积公式求得，根据公式求出外接球的表面积.
【详解】
解：，当且仅当时取等号，
因为侧面与底面成角，
则，
，
，
所以，
故外接球的表面积为.
故选：A.
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
12．B
在几何体中，作FN//AE，FM//ED，将多面体被分割为三棱柱与四棱锥两部分求解.
【详解】
如图，作FN//AE，FM//ED，则多面体被分割为棱柱与棱锥部分，
因为EF与平面ABCD的距离为2，
所以四棱锥F-NBCM的高为2，
所以V四棱锥F-NBCM=SNBCM
V棱柱ADE-NMF=S直截面
所以该刍甍的体积为V=V四棱锥F-NBCM +V棱柱ADE-NMF=.
故选：B
本题考查空间几何体的体积，考查空间想象能力和运算求解能力，属于基础题.
13．
三棱锥体积最大，需平面平面，将作为长方体的一角，求出长方体的对角线可得外接球的半径，再利用球的面积公式即可求解.
【详解】
当三棱锥体积最大时，平面平面．
如图，为长方体的一角，
故其外接球的半径，
外接球的表面积为．

故答案为：
本题考查了外接球问题、球的表面积公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
14．
利用题目所给圆锥侧面展开图的条件列方程组，由此求得底面半径.
【详解】
设圆锥底面半径为，母线长为，则
，解得.
故答案为：
本小题主要考查圆锥侧面展开图有关计算，属于基础题.
15．
利用体积公式求出圆锥的高，进一步求出母线长，最终利用侧面积公式求出答案.
【详解】
∵
∴
∴
∴.
故答案为：.
16．
根据球的面积求出球的半径，根据正方体的对角线是球的直径可求出正方体的棱长，再根据正方体的体积公式可求得结果.
【详解】
设球的半径为，因为球的表面积为，所以，所以球的半径，
因为正方体的所有顶点在一个球面上，所以正方体的对角线长为，
设正方体的棱长为，则，所以.
所以正方体的体积为.
故答案为：
17．4
根据圆柱侧面积公式直径求解.
【详解】
设圆柱的高为，有，得．
故答案为：4.
18．（1）；（2）．
（1）由题意可知，该圆锥的底面半径，母线，从而可求出锥的表面积，
（2）先求出大圆锥的高，从而可求出小圆锥的高，进而可得圆台的体积等于大圆锥的体积减去小圆锥的体积
【详解】
解：（1）由题意可知，该圆锥的底面半径，母线．
∴该圆锥的表面积．
（2）在中，，
∵是PO的中点，∴．
∴小圆锥的高，小圆锥的底面半径，
∴截得的圆台的体积．
19．答案见解析
半球截面面积可以看成是在半径为的圆面上挖去一个半径为的同心圆所得的圆环的面积，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，利用祖暅原理可求解.
【详解】
如图（1），设平行于大圆且与大圆的距离为的平面截半球所得圆面的半径为，，于是截面面积，则可以看成是在半径为的圆面上挖去一个半径为的同心圆所得的圆环的面积，
所以，取一个底面半径和高均为的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体与半球放在同一水平面上，如图（2），
用同一水平面去截这两个几何体，截面分别为圆面和圆环面，可知圆环大圆半径为，小圆半径为，圆环面积，所以，
则根据祖暅原理可得这两个几何体的体积相等，即，
所以可得球的体积为.
20．
首先求出四棱台上、下底面面积与侧面面积，然后求出表面积即可.
【详解】
如图，
在四棱台中，
过作，垂足为，
在中，，，
故，
所以，
故四棱台的侧面积，
所以四棱台的表面积.
本题考查了四棱台的表面积，属于基础题.
21．，
根据直角三角形边角关系得出，结合三角形面积公式得到侧面面积和表面积.
【详解】
如图，，在中，．
，E为BC的中点，
侧棱长都相等，
，
棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积之和，因此，我们可以利用平面图形求面积的方法求立体图形的表面积．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页