华东师大版数学八年级下册 第19章 矩形、菱形与正方形19.3正方形 教案（表格式）

第19章 矩形、菱形与正方形
19.3 正方形
教学目标 1.在生动有趣的情境中，通过用四根木条钉成的平行四边形的演示活动，找出正方形与矩形、菱形的联系与区别，掌握正方形的定义. 2.鼓励学生运用已学过的知识归纳总结出正方形的性质和判别方法. 3.培养学生分析问题的能力，引导学生多角度、发散性地思考问题. 教学重难点 重点：正方形的定义、性质及判别方法. 难点：正方形、菱形、矩形的区别与联系. 教学过程 新课导入 1.平行四边形、矩形、菱形具有什么样的关系？ 2.平行四边形、矩形、菱形分别具有哪些性质？ 【活动】教师抽取学生回答问题后，通过数形结合加以展示. 合作探究 1.探究正方形的定义 教师演示生活中一些有特殊四边形的实物和图片，提出问题：你从中发现了哪些特殊四边形？根据学生的回答指出有些我们已经研究过了，有些有待研究，引出本节课课题-----正方形. 【教师活动】教师演示用四根木条钉成的平行四边形.提问：通过怎样的改变可以得到矩形、菱形、正方形？ 【学生活动】学生动手演示.教师根据学生的回答，引导学生画出图表： 正方形的定义：有一个角是直角，有一组邻边相等的平行四边形是正方形. 【注意】 （1）正方形既是平行四边形的特殊形式，也是矩形、菱形的特殊形式； （2）平行四边形、矩形、菱形及正方形的包含关系如图所示. 2.探究正方形的性质 提问：根据上面的数学实验的过程，你能说出正方形的性质吗？ 【点拨突破】教师指导学生从边、角、对角线等方面来叙述正方形的性质： 正方形的四条边都相等；四个角都是直角；对角线相等，并且互相垂直平分，一条对角线平分一组对角. 【试一试】将正方形沿对角线对折后再对折你有何发现？ 正方形既是中心对称图形又是轴对称图形，它的对称中心是对角线的交点，有四条对称轴；对角线分正方形成四个大小、形状完全一样的等腰直角三角形. 3.概述正方形的性质 （1）正方形的四条边都相等；四个角都是直角；对角线相等，并且互相垂直平分，一条对角线平分一组对角. （2）正方形既是中心对称图形又是轴对称图形，它的对称中心是对角线的交点，有四条对称轴；对角线分正方形成四个大小、形状完全一样的等腰直角三角形. 4.探究正方形的判别方法 【提问】根据上面的数学实验的过程，你能说出正方形的判别方法吗？ 【活动安排】教师指导，学生分组讨论交流. 正方形的判别方法： （1）有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形； （2）有一组邻边相等的矩形是正方形； （3）有一个角是直角的菱形是正方形. 例题讲解 例1 如图，在正方形ABCD中，求∠ABD，∠DAC，∠DOC的度数. 解：∵ 正方形是一个角为直角的菱形，每一条对角线平分一组对角，且对角线互相垂直平分， ∴ ∠ABD＝∠DAC＝90°× ＝45°，∠DOC＝90°. 例2 如图，在正方形ABCD中,E为CD上一点，F为BC延长线上一点,且CE＝CF，则BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由. （教师引导，学生分析） 根据正方形的性质可得BC＝DC，∠BCE＝∠DCF＝90°，然后利用“边角边”证明△BCE和△DCF全等，得出BE＝DF.延长BE交DF于点M，进而求出∠CBE+∠F＝90°，从而证得BE⊥DF. 解：BE＝DF,且BE⊥DF.理由如下： ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ BC＝DC,∠BCE ＝90°.（正方形的四条边相等,四个角都是 直角） ∴ ∠DCF＝180°-∠BCE＝180°-90°＝90°. ∴ ∠BCE＝∠DCF. 又∵ CE＝CF,∴ △BCE≌△DCF. ∴ BE＝DF. 延长BE交DF于点M（图略）, ∵ △BCE≌△DCF ,∴ ∠CBE ＝∠CDF. ∵ ∠DCF ＝90°,∴ ∠CDF +∠F ＝90°. ∴ ∠CBE+∠F＝90°.∴ ∠BMF＝90°. ∴ BE⊥DF. 【点评】此题考查了正方形的性质以及全等三角形的应用，难度不大，注意掌握辅助线的作法和等量代换思想的应用. 例3 如图，在正方形ABCD中，△BCE是等边三角形，求证：∠ EAD＝∠ EDA＝15° . （教师引导，学生分析） 根据等边三角形的性质，可得BE＝CE＝BC,∠EBC＝∠ECB＝60°，根据正方形的性质可得AB＝BC＝CD,∠ABC＝∠DCB＝90°，进而求得∠ABE和 ∠DCE的度数，证得△ABE，△DCE是等腰三角形，从而可以求出∠BAE和∠CDE的度数，从而可证得∠ EAD＝∠ EDA＝15°. 证明：∵ △BCE是等边三角形， ∴ BE＝CE＝BC,∠EBC＝∠ECB＝60°. ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AB＝BC＝CD,∠ABC＝∠DCB＝90°， ∴ AB＝BE＝CE＝CD,∠ABE＝∠DCE＝30°， ∴ △ABE，△DCE是等腰三角形， ∴ ∠BAE＝∠BEA＝∠CDE＝∠CED＝（180°-30°）＝75°， ∴ ∠EAD＝∠EDA＝90°-75°＝15°. 【点评】此题考查了正方形和等边三角形的性质，根据已知角的度数逐步推出，难度不大. 【变式】四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作等边三角形ADE，求∠BEC的大小. （教师引导，学生分析） 因为等边三角形ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等.本题分两种情况：等边三角形ADE在正方形的外部或在正方形的内部.目的是让学生掌握分类讨论思想的应用. 例4 如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分 ∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形. （教师引导，学生分析） 根据BF∥CE，CF∥BE可判定四边形BECF是平行四边形，再根据矩形的性质和角平分线的性质可得到∠EBC和∠ECB的度数，进而判断出四边形BECF的一个角是直角且一组邻边相等，从而证明四边形BECF是正方形. 证明：∵ BF∥CE，CF∥BE， ∴ 四边形BECF是平行四边形. 又∵ 在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB， ∴ ∠EBC＝∠ECB＝45°， ∴ BE＝CE，∠BEC＝90°， ∴ 四边形BECF是正方形. 课堂练习 1.下列命题正确的是（ ） A.四个角都相等的四边形是正方形 B.四条边都相等的四边形是正方形 C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形 2.一个正方形的对角线长为2 cm，则它的面积是（　　） A.2 cm2 B.4 cm2 C.6 cm2 D.8 cm2 3.如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE＝AB，则 ∠EBC的度数是 . 4.如图，正方形ABCD的边长为1 cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长. 5.如图，在正方形ABCD中，E，F是BD上的两点，且BE＝DF.求证：四边形AECF是菱形. 参考答案 1.D 2.A 3.22.5° 4.解：∵ 四边形ABCD为正方形， ∴ ∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1 cm. ∵ EF⊥AC，∴ ∠EFA＝∠EFC＝90°. 又∵ ∠ECF＝45°， ∴ △EFC是等腰直角三角形，∴ EF＝FC. ∵ ∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE， ∴ △ABE≌△AFE， ∴ AB＝AF＝1 cm，BE＝FE,∴ FC＝BE. 在Rt△ABC中， 由勾股定理，得 ∴ FC＝AC－AF＝( －1) cm， ∴ BE＝( －1) cm. 5. 证明:∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ OD＝OB，OA＝OC，BD⊥AC. ∵ BE＝DF，∴ DE＝BF，∴ OE＝OF， ∴ 四边形AECF是平行四边形. 又BD⊥AC，∴ 四边形AECF为菱形. 课堂小结 1.正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 2.正方形的性质： （1）四个角都是直角； （2）四条边都相等； （3）对角线相等且互相垂直平分. 3.正方形的判定： （1）有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形； （2）有一组邻边相等的矩形是正方形； （3）有一个角是直角的菱形是正方形. 布置作业 教材P121练习第1，2题. 板书设计 19.3 正方形