13解答题（中档题）2021年春上海市各区七年级（下）期末数学知识点分类汇编（含解析）

13解答题（中档题）
一十一．线段垂直平分线的性质（共1小题）
34．（2021春 奉贤区期末）如图，已知AD平分∠BAC，BE∥AD，F是BE的中点，试说明AF⊥BE的理由．
一十二．等腰三角形的性质（共4小题）
35．（2021春 静安区校级期末）已知△ABC中，BC＞AB＞AC，∠ACB＝40°，如果D、E是直线AB上的两点，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数．
36．（2021春 金山区期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠ABC、∠ACB的平分线交于点E，直线AE交BC于点D，说明AD⊥BC的理由．
37．（2021春 松江区期末）如图，已知直线AB∥CD，∠ACD的平分线CE交AB于点F，∠AFE的平分线交CA延长线于点G．
（1）说明AC＝AF的理由；
（2）若∠FCD＝32°，求∠G的大小．
38．（2021春 奉贤区期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，AD＝AB，连接BD并延长，交AC的延长线于点E，求∠ADE的度数．
一十三．等腰三角形的判定（共1小题）
39．（2021春 浦东新区期末）已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别在CA，BA的延长线上，且BE＝CD，连BD，CE．
（1）求证：∠D＝∠E；
（2）若∠BAC＝108°，∠D＝36o，则图中共有　 　个等腰三角形．
一十四．作图—复杂作图（共7小题）
40．（2021春 奉贤区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，根据下列要求作图并回答问题．
①过点C画直线l∥AB；
②过点A分别画直线BC和直线l的垂线段，垂足分别为点D、E，AE交BC千点F；
③线段 　 　的长度是点A到BC的距离．
（不要求写画法，只需写出结论即可）
41．（2021春 静安区校级期末）已知BC＝4，根据下列条件，画图及填空：
（1）画△ABC，使∠B＝30°，∠C＝60°．
（2）在（1）的条件下，画△ABC的中线BD．
（3）在（1）、（2）的条件下，从∠A引出一条射线，将△ABC切割成两个等腰三角形，射线与边BC相交于点E，请画出射线AE，在图中标出∠CAE的大小，并写出CD＝　 　．
42．（2021春 静安区校级期末）作图题：在等边△ABC所在平面上找这样一点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，请用尺规画出所有具有这样性质的点P．
43．（2021春 静安区校级期末）如图，已知△ABC，分别画出AB，AC边上的高，以及它们所在直线的交点D．
44．（2021春 奉贤区期末）如图，在直线EF上有一点A，直线外有一点B，点C在直线EF上，△ABC是以AB、AC为腰的等腰三角形．
（1）在图中画出△ABC；
（2）已知∠BAF＝40°，求∠BCA．
45．（2021春 静安区期末）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣2，3），B（0，1），C（2，2）．
（1）在所给的平面直角坐标系中画出△ABC；
（2）求出△ABC的面积；如果点P的坐标为（4，0），请直接判断△PAC和△ABC的面积是否相等．
46．（2021春 杨浦区期末）如图，△ABC，作边AC的垂直平分线交边AC于点D，交边BC于点E（点E不与点B、C重合），联结AE．
（1）依题意用直尺、圆规补全图形（保留作图痕迹，不用写作图过程和结论）；
（2）如果AE＝BE，试说明△ABC是直角三角形的理由．
一十五．作图-轴对称变换（共3小题）
47．（2021春 黄浦区期末）在直角坐标平面内，已知点A的坐标（﹣1，4），点B的位置如图所示，点C是第一象限内一点，且点C到x轴的距离是2，到y轴的距离是4．
（1）写出图中点B的坐标 　 　；
（2）在图中描出点C，并写出图中点C的坐标：　 　；
（3）画出△ABO关于y轴的对称图形△A′B′O；
（4）连接A′B、BB′、B′C、A′C．那么四边形A′BB′C的面积等于 　 　．
48．（2021春 静安区校级期末）如图，在平面直角坐标系内，已知点A的位置；点B的坐标为（3，3），点C的坐标为（5，1）．
（1）写出A的坐标 　 　，并画出△ABC；
（2）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（3）联结AA1、BB1，四边形ABB1A1的面积为 　 　．
49．（2021春 奉贤区期末）已知△ABC的顶点坐标是A（﹣2，5）、B（﹣2，﹣4）、C（3，2）．
（1）分别写出与点A、B、C关于y轴对称的点A'、B'、C'的坐标；
A'　 　；
B'　 　；
C'　 　；
（2）在坐标平面内画出△A'B'C'；
（3）△A'B'C'的面积的值等于 　 　．
一十六．坐标与图形变化-平移（共2小题）
50．（2021春 静安区期末）平面直角坐标系中，点A（x，y），如果x的两个平方根分别是2y﹣3与1﹣y．
（1）求点A（x，y）的坐标；
（2）点A（x，y）沿x轴的方向向右平移多少个单位后落在第一和第三象限的平分线上？
51．（2021春 松江区期末）如图，在直角坐标平面xOy中，已知点A（﹣3，﹣4）、B（5，﹣4），将点B向上平移6个单位，再向左平移2个单位，得到点C．
（1）求点A、B之间的距离；
（2）写出点C的坐标；
（3）求四边形OABC的面积．
一十七．作图-平移变换（共1小题）
52．（2021春 浦东新区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（4，1），点B的坐标为（1，﹣2）．
（1）在平面直角坐标系xOy中描出点A，B；
（2）点C是由点A先向左平移三个单位，再向下平移一个单位得到的，在平面直角坐标系xOy中描出点C，并写出点C的坐标 　 　．
（3）求出以点A，B，C为顶点的三角形的面积．
一十八．旋转的性质（共1小题）
53．（2021春 闵行区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D．
（1）试说明点D为BC的中点；
（2）如果∠BAC＝60°，将线段AD绕着点D顺时针旋转60°后，点A落在点E处，联结CE、AE，试说明CE∥AB；
（3）如果∠BAC的度数为n，将线段AD绕着点D顺时针旋转（旋转角小于180°），点A落在点F处，联结线段FC，FC∥AB，求直线DF与直线BC的夹角的度数（用含n的代数式表示）．
一十九．坐标与图形变化-旋转（共1小题）
54．（2021 柳州一模）如图，在Rt△OAB中，∠BAO＝90°，且点A的坐标是（2，0）．
（1）写出点B的坐标是　 　；
（2）将点B向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点C，则点C的坐标为　 　．
（3）点C与点D关于原点O对称，则点D的坐标为　 　；
（4）将点A绕点O按逆时针方向旋转90°，得到点E，则△ODE的面积是　 　．（把答案填在相应的横线上，不用书写解答过程）
二十．作图-旋转变换（共2小题）
55．在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标是（4，4），请解答下列问题．（画图不要求写作法）
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．
（2）将△ABC绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后的A2B2C2．
（3）求△A1A2A的面积．
56．（2021春 嘉定区期末）如图，直角坐标平面内有△OAB，其中点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（6，﹣2），将△OAB绕点O逆时针旋转90°得到△OA'B'，点A、B分别转到A'．B'．
（1）在图中画出△OA'B'，
（2）连接AB'，求△OAB的面积．
二十一．几何变换综合题（共2小题）
57．（2021春 静安区校级期末）已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、F．
（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），求证：AE+CF＝EF．
（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2种情况下，求证：AE+CF＝EF．
（3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图3种情况下上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
58．（2021春 浦东新区校级期末）如图1，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD＝CE，连接AD、DE，并延长AD交BE于点P；
（1）求证：AD＝BE；
（2）试说明AD⊥BE；
（3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由．
参考答案与试题解析
一十一．线段垂直平分线的性质（共1小题）
34．（2021春 奉贤区期末）如图，已知AD平分∠BAC，BE∥AD，F是BE的中点，试说明AF⊥BE的理由．
【解答】证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵BE∥AD，
∴∠EBA＝∠BAD，∠E＝∠CAD，
∴∠EBA＝∠E，
∴AE＝AB，
又∵F是BE的中点，
∴AF⊥BE．
一十二．等腰三角形的性质（共4小题）
35．（2021春 静安区校级期末）已知△ABC中，BC＞AB＞AC，∠ACB＝40°，如果D、E是直线AB上的两点，且AD＝AC，BE＝BC，求∠DCE的度数．
【解答】解：（1）当点D、E在点A的同侧，且都在BA的延长线上时，如图2，
∵BE＝BC，∴∠BEC＝（180°﹣∠ABC）÷2，
∵AD＝AC，∴∠ADC＝（180°﹣∠DAC）÷2＝∠BAC÷2，
∵∠DCE＝∠BEC﹣∠ADC，
∴∠DCE＝（180°﹣∠ABC）÷2﹣∠BAC÷2＝（180°﹣∠ABC﹣∠BAC）÷2
＝∠ACB÷2＝40°÷2＝20°．
（2）当点D、E在点A的同侧，且点D在D’的位置，E在E′的为时，如图3，
与（1）类似地也可以求得∠D'CE'＝∠ACB÷2＝20°．
（3）当点D、E在点A的两侧，且E点在E’的位置时，如图4，
∵BE′＝BC，∴∠BE'C＝（180°﹣∠CBE'）÷2＝∠ABC÷2，
∵AD＝AC，∴∠ADC＝（180°﹣∠DAC）÷2＝∠BAC÷2，
又∵∠DCE'＝180°﹣（∠BE'C+∠ADC），
∴∠DCE'＝180°﹣（∠ABC+∠BAC）÷2＝180°﹣（180°﹣∠ACB）÷2
＝90°+∠ACB÷2＝90°+40°÷2＝110°．
（4）当点D、E在点A的两侧，且点D在D′的位置时，如图5，
∵AD′＝AC，
∴∠AD′C＝（180°﹣∠D′AC）÷2＝（180°﹣∠BAC）÷2，
∵BE＝BC，
∴∠BEC＝（180°﹣∠ABC）÷2，
∴∠D′CE＝（180°﹣∠ACB）÷2＝（180°﹣40°）÷2＝70°，
故∠DCE的度数为20°或110°或70°．
36．（2021春 金山区期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠ABC、∠ACB的平分线交于点E，直线AE交BC于点D，说明AD⊥BC的理由．
【解答】证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠EBC＝，，
∴∠EBC＝∠ECB，
∴EB＝EC，
∵AB＝AC，
∴AE垂直平分BC，
∴AD⊥BC．
37．（2021春 松江区期末）如图，已知直线AB∥CD，∠ACD的平分线CE交AB于点F，∠AFE的平分线交CA延长线于点G．
（1）说明AC＝AF的理由；
（2）若∠FCD＝32°，求∠G的大小．
【解答】（1）证明：∵∠ACD的平分线CE交AB于点F，
∴∠ACF＝∠DCF，
∵AB∥CD，
∴∠AFC＝∠DCF，
∴∠ACF＝∠AFC，
∴AC＝AF；
（2）解：∵∠FCD＝32°，AB∥CD，
∴∠ACD＝∠GAF＝64°，∠AFC＝32°，
∵∠AFE的平分线交CA延长线于点G．
∴∠AFG＝∠GFE＝AFE＝，
∴∠G＝180°﹣∠GAF﹣∠AFG＝180°﹣64°﹣74°＝42°．
38．（2021春 奉贤区期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，AD＝AB，连接BD并延长，交AC的延长线于点E，求∠ADE的度数．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝40°，
∵AD＝AB，
∴∠BDA＝×（180°﹣40°）＝70°，
∴∠ADE＝180°﹣∠BDA＝180°﹣70°＝110°．
一十三．等腰三角形的判定（共1小题）
39．（2021春 浦东新区期末）已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别在CA，BA的延长线上，且BE＝CD，连BD，CE．
（1）求证：∠D＝∠E；
（2）若∠BAC＝108°，∠D＝36o，则图中共有　5　个等腰三角形．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△EBC和△DCB中，
，
∴△EBC≌△DCB（SAS），
∴∠E＝∠D．
（2）图中共有5个等腰三角形．
∵∠BAC＝108°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝36°，
∵∠D＝∠E＝36°，
∴∠D＝∠BCD，∠E＝∠CBE，
∴∠DAB＝∠EAC＝72°，
∴∠DBA＝∠DAB＝72°，∠EAC＝∠ECA＝72°，
∴DB＝DA，EA＝EC，
∴△ABD，△AEC，△BCD，△BCE，△ABC是等腰三角形．
故答案为：5．
一十四．作图—复杂作图（共7小题）
40．（2021春 奉贤区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，根据下列要求作图并回答问题．
①过点C画直线l∥AB；
②过点A分别画直线BC和直线l的垂线段，垂足分别为点D、E，AE交BC千点F；
③线段 　AD　的长度是点A到BC的距离．
（不要求写画法，只需写出结论即可）
【解答】解：①如图，直线l为所作；
②如图，AD、AE为所作；
③线段AD的长度为点A到BC的距离．
故答案为AD．
41．（2021春 静安区校级期末）已知BC＝4，根据下列条件，画图及填空：
（1）画△ABC，使∠B＝30°，∠C＝60°．
（2）在（1）的条件下，画△ABC的中线BD．
（3）在（1）、（2）的条件下，从∠A引出一条射线，将△ABC切割成两个等腰三角形，射线与边BC相交于点E，请画出射线AE，在图中标出∠CAE的大小，并写出CD＝　1　．
【解答】解：（1）如图1中，△ABC即为所求；
（2）如图2中，线段BD即为所求；
（3）如图3所示，射线AE即为所求．
∵∠ABC＝30°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝90°，
∴AC＝BC＝2，
∴CD＝AD＝1，
故答案为：1．
42．（2021春 静安区校级期末）作图题：在等边△ABC所在平面上找这样一点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，请用尺规画出所有具有这样性质的点P．
【解答】解：①以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P1，P9两点；以B为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P4，这样在BC的垂直平分线上有三点，
②同样在AC，AB的垂直平分线上也分别有三点；
③还有一点就是AB，BC，AC三条边的垂直平分线的交点；
∴共3+3+3+1＝10个．
43．（2021春 静安区校级期末）如图，已知△ABC，分别画出AB，AC边上的高，以及它们所在直线的交点D．
【解答】解：如图，线段CE，BF，点H即为所求．
44．（2021春 奉贤区期末）如图，在直线EF上有一点A，直线外有一点B，点C在直线EF上，△ABC是以AB、AC为腰的等腰三角形．
（1）在图中画出△ABC；
（2）已知∠BAF＝40°，求∠BCA．
【解答】解：（1）如图，△ABC，△ABC′即可所求．
（2）在△ABC中，∵∠CAB＝40°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝（180°﹣40°）＝70°．
在△ABC′中，∠BAC′＝180°﹣40°＝140°，AB＝AC′，
∴∠AC′B＝∠ABC′＝（180°﹣140°）＝20°．
综上所述，∠ACB＝70°或20°．
45．（2021春 静安区期末）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣2，3），B（0，1），C（2，2）．
（1）在所给的平面直角坐标系中画出△ABC；
（2）求出△ABC的面积；如果点P的坐标为（4，0），请直接判断△PAC和△ABC的面积是否相等．
【解答】解：（1）如图，△ABC即为所求．
（2）连接PB．
S△ABC＝2×4﹣×2×2﹣×1×4﹣×1×2＝3．
∵PB∥AC，
∴S△PAC＝S△ABC．
46．（2021春 杨浦区期末）如图，△ABC，作边AC的垂直平分线交边AC于点D，交边BC于点E（点E不与点B、C重合），联结AE．
（1）依题意用直尺、圆规补全图形（保留作图痕迹，不用写作图过程和结论）；
（2）如果AE＝BE，试说明△ABC是直角三角形的理由．
【解答】解：（1）如图，直线DE即为所求．
（2）由作图可知DE垂直平分线段AC，
∴EA＝EC，
∴∠C＝∠EAC，
∵EA＝EB，
∴∠B＝∠EAB，
∵∠C+∠B+∠BAC＝180°，
∴2∠EAB+2∠EAC＝180°，
∴∠EAB+∠EAC＝90°，
∴∠BAC＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
一十五．作图-轴对称变换（共3小题）
47．（2021春 黄浦区期末）在直角坐标平面内，已知点A的坐标（﹣1，4），点B的位置如图所示，点C是第一象限内一点，且点C到x轴的距离是2，到y轴的距离是4．
（1）写出图中点B的坐标 　（﹣4，﹣2）　；
（2）在图中描出点C，并写出图中点C的坐标：　（4，2）　；
（3）画出△ABO关于y轴的对称图形△A′B′O；
（4）连接A′B、BB′、B′C、A′C．那么四边形A′BB′C的面积等于 　30　．
【解答】解：（1）B点坐标为（﹣4，﹣2）；
故答案为（﹣4，﹣2）；
（2）如图，C点为所作，C点坐标为（4，2）；
故答案为（4，2）；
（3）如图，△A′B′O为所作；
（4）四边形A′BB′C的面积＝S△A′BB′+S△A′B′C＝×（4+4）×（4+2）+×3×4＝30．
故答案为30．
48．（2021春 静安区校级期末）如图，在平面直角坐标系内，已知点A的位置；点B的坐标为（3，3），点C的坐标为（5，1）．
（1）写出A的坐标 　（1，﹣4）　，并画出△ABC；
（2）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（3）联结AA1、BB1，四边形ABB1A1的面积为 　28　．
【解答】解：（1）如图，A（1，﹣4），△ABC即为所求．
故答案为：（1，﹣4）．
（2）如图，△A1B1C1；即为所求．
（3）四边形ABB1A1的面积＝（2+6）×7＝28，
故答案为：28．
49．（2021春 奉贤区期末）已知△ABC的顶点坐标是A（﹣2，5）、B（﹣2，﹣4）、C（3，2）．
（1）分别写出与点A、B、C关于y轴对称的点A'、B'、C'的坐标；
A'　（1，5）　；
B'　（1，﹣4）　；
C'　（﹣3，2）　；
（2）在坐标平面内画出△A'B'C'；
（3）△A'B'C'的面积的值等于 　　．
【解答】解：（1）A′（2，5），B′（2，﹣4），C′（﹣3，2）．
故答案为：（2，5），（2，﹣4），（﹣3，2）．
（2）如图，△A′B′C′即为所求．
（3）S△A′B′C′＝×9×5＝．
故答案为：．
一十六．坐标与图形变化-平移（共2小题）
50．（2021春 静安区期末）平面直角坐标系中，点A（x，y），如果x的两个平方根分别是2y﹣3与1﹣y．
（1）求点A（x，y）的坐标；
（2）点A（x，y）沿x轴的方向向右平移多少个单位后落在第一和第三象限的平分线上？
【解答】解：（1）根据题意得：（2y﹣3）+（1﹣y）＝0，
解得：y＝2，
可得：x＝（2y﹣3）2＝1，
所求的点A的坐标为A（1，2）；
（2）根据题意得：（1，2）→（2，2），
点A（1，2）沿x轴的方向向右平移1个单位后落在第一和第三象限的平分线上．
51．（2021春 松江区期末）如图，在直角坐标平面xOy中，已知点A（﹣3，﹣4）、B（5，﹣4），将点B向上平移6个单位，再向左平移2个单位，得到点C．
（1）求点A、B之间的距离；
（2）写出点C的坐标；
（3）求四边形OABC的面积．
【解答】解：（1）∵A（﹣3，﹣4）、B（5，﹣4），
∴AB＝5﹣（﹣3）＝8．
（2）C（3，2）．
（3）设AB交y轴于T，连接CT．
∴S四边形OABC＝S△OAT+S△OTC+S△BCT＝×3×4+×4×3+×5×6＝27．
一十七．作图-平移变换（共1小题）
52．（2021春 浦东新区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（4，1），点B的坐标为（1，﹣2）．
（1）在平面直角坐标系xOy中描出点A，B；
（2）点C是由点A先向左平移三个单位，再向下平移一个单位得到的，在平面直角坐标系xOy中描出点C，并写出点C的坐标 　3　．
（3）求出以点A，B，C为顶点的三角形的面积．
【解答】解：（1）如图，点A，B即为所求．
（2）如图，C（1，0）．
（3）S△ABC＝×2×3＝3．
故答案为：3．
一十八．旋转的性质（共1小题）
53．（2021春 闵行区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D．
（1）试说明点D为BC的中点；
（2）如果∠BAC＝60°，将线段AD绕着点D顺时针旋转60°后，点A落在点E处，联结CE、AE，试说明CE∥AB；
（3）如果∠BAC的度数为n，将线段AD绕着点D顺时针旋转（旋转角小于180°），点A落在点F处，联结线段FC，FC∥AB，求直线DF与直线BC的夹角的度数（用含n的代数式表示）．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴点D为BC的中点；
（2）∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，
∴∠CAD＝∠BAC，
∴∠CAD＝30°，
∵AD＝DE，∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴∠DAE﹣∠CAD＝30°，
即∠CAE＝30°，
∴∠CAD＝∠CAE，
在△ACD与△ACE中，
，
∴△ACD≌△ACE（SAS），
∴∠ACD＝∠ACE，
∴∠ACE＝60°，
∴∠ACD+∠ACE＝120°，
即∠DCE＝120°，
∴∠B+∠DCE＝180°，
∴CE∥AB；
（3）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠BAC＝n，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣n，
∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣n，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC，
当∠BAC的度数为n，n有三种可能情况：n＜90°，n＞90°，n＝90°，
（Ⅰ）当n＜90°时，延长AB、FD交于点G，
∵FC∥AB，
∴∠CBG＝∠BCF，∠ABC+∠BCF＝180°，
∴∠BCF＝90°+n，
∴∠CBG＝90°+n，
在△BDG与△CDF中，
，
∴△BDG≌△CDF（ASA），
∴DG＝DF，∠G＝∠F，
∵AD＝DF，
∴DG＝AD，
∴∠BAD＝∠G，
∴∠G＝n，
∵∠BAC＝∠G+∠BDG，
∴∠BDG＝90°﹣n﹣n，
∴∠BDG＝90°﹣n，
∵∠CDF＝∠BDG，
∴∠CDF＝90°﹣n，
∴直线DF与直线BC的夹角的度数是90°﹣n；
（Ⅱ）当n＞90°时，
延长FD交AB于点G，
∵FC∥AB，
∴∠CBG＝∠BCF，
在△BDG与△CDF中，
，
∴△BDG≌△CDF（ASA），
∴DG＝DF，∠B＝∠DCF，
∵AD＝DF，
∴DG＝AD，
∴∠DAG＝∠AGD，
∴∠AGD＝n，
∵∠AGD＝∠B+∠BDG，
∴∠BDG＝n﹣90°+n，
∴∠BDG＝n﹣90°，
∵∠CDF＝∠BDG，
∴∠CDF＝90°﹣n，
∴直线DF与直线BC的夹角的度数是n﹣90°；
（Ⅲ）当n＝90°时，
∵n＝90°，
∴∠ACD＝45°，∠DAC＝45°，
∴∠ACD＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∵AD＝DF，
∴CD＝DF，
∴点C与点F重合，
∴∠CDF＝0°，
∴不符合题意，舍去，
∴直线DF与直线BC的夹角的度数是90°﹣n或n﹣90°．
一十九．坐标与图形变化-旋转（共1小题）
54．（2021 柳州一模）如图，在Rt△OAB中，∠BAO＝90°，且点A的坐标是（2，0）．
（1）写出点B的坐标是　（2，4）　；
（2）将点B向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点C，则点C的坐标为　（﹣2，3）　．
（3）点C与点D关于原点O对称，则点D的坐标为　（2，﹣3）　；
（4）将点A绕点O按逆时针方向旋转90°，得到点E，则△ODE的面积是　2　．（把答案填在相应的横线上，不用书写解答过程）
【解答】解：（1）B（2，4）．
（2）C（﹣2，3）．
（3）D（2，﹣3）．
（4）S△ODE＝×2×2＝2．
故答案为：（2，4），（﹣2，3），（2，﹣3），2．
二十．作图-旋转变换（共2小题）
55．在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标是（4，4），请解答下列问题．（画图不要求写作法）
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．
（2）将△ABC绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后的A2B2C2．
（3）求△A1A2A的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，A2B2C2即为所求；
（3）△A1A2A的面积＝8×3＝12．
56．（2021春 嘉定区期末）如图，直角坐标平面内有△OAB，其中点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（6，﹣2），将△OAB绕点O逆时针旋转90°得到△OA'B'，点A、B分别转到A'．B'．
（1）在图中画出△OA'B'，
（2）连接AB'，求△OAB的面积．
【解答】解：（1）如图，△OA'B'即为所求；
（2）△OAB′的面积＝×3×2＝3．
二十一．几何变换综合题（共2小题）
57．（2021春 静安区校级期末）已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E、F．
（1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），求证：AE+CF＝EF．
（2）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图2种情况下，求证：AE+CF＝EF．
（3）当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图3种情况下上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
【解答】（1）证明：∵AB⊥AD，BC⊥CD，
∴∠A＝∠C
在△ABE与△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS），
∴∠ABE＝∠CBF，BE＝BF，
∵∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，
∴∠ABE＝∠CBF＝30°，
∴AE＝，CF＝，
∵∠MBN＝60°，BE＝BF，
∴△BEF为等边三角形，
∴BE＝BF＝EF，
∴AE＝CF＝，
∴AE+CF＝EF；
（2）证明：如图，将Rt△ABE顺时针旋转120°，得△BCG，
∴BE＝BG，AE＝CG，∠A＝∠BCG，
∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴点A与点C重合，
∵∠A＝∠BCF＝90°，
∴∠BCG+∠BCF＝180°，
∴点G、C、F三点共线，
∵∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠ABE＝∠CBG，
∴∠GBF＝60°，
在△GBF与△EBF中，
，
∴△GBF≌△EBF（SAS），
∴FG＝EF，
∴EF＝AE+CF；
（3）解：不成立，EF＝AE﹣CF，理由如下：
如图，将Rt△ABE顺时针旋转120°，得△BCG，
∴AE＝CG，
由（2）同理得，点C、F、G三点共线，
∵AB＝BC，∠ABC＝120°，
∴点A与点C重合，∠ABE＝∠CBG，
∴BG＝BE，
∵∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝120°，
∴∠CBG+∠CBE＝∠GBE＝120°，
∵∠MBN＝60°，
∴∠GBF＝60°，
在△BFG与△BFE中，
，
∴△BFG≌△BFE（SAS），
∴GF＝EF，
∴EF＝AE﹣CF．
58．（2021春 浦东新区校级期末）如图1，△ABE是等腰三角形，AB＝AE，∠BAE＝45°，过点B作BC⊥AE于点C，在BC上截取CD＝CE，连接AD、DE，并延长AD交BE于点P；
（1）求证：AD＝BE；
（2）试说明AD⊥BE；
（3）如图2，将△CDE绕着点C旋转一定的角度，那么AD与BE的位置关系是否发生变化，说明理由．
【解答】解：（1）∵BC⊥AE，∠BAE＝45°，
∴∠CBA＝∠CAB，
∴BC＝CA，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS），
∴AD＝BE．
（2）∵△BCE≌△ACD，
∴∠EBC＝∠DAC，
∵∠BDP＝∠ADC，
∴∠BPD＝∠DCA＝90°，
∴AD⊥BE．
（3）AD⊥BE不发生变化．
理由：如图（2），
∵△BCE≌△ACD，
∴∠EBC＝∠DAC，
∵∠BFP＝∠AFC，
∴∠BPF＝∠ACF＝90°，
∴AD⊥BE．