12解答题（中档题）（含解析）-2021年春上海市各区七年级（下）期末数学知识点分类汇编

12解答题（中档题）
一．平方根（共1小题）
1．（2021春 浦东新区期末）一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a+2．
（1）求a和x的值；
（2）求3x+2a的平方根．
二．实数的运算（共6小题）
2．（2021春 浦东新区期末）计算：
．
3．（2021春 嘉定区期末）用幂的运算性质计算：（结果表示为含幂的形式）．
4．（2021春 奉贤区期末）计算：．
5．（2021春 奉贤区期末）利用幂的运算性质计算：﹣×÷（结果用幂的形式表示）．
6．（2021春 杨浦区期末）用幂的运算性质计算：（结果表示为含幂的形式）．
7．（2021春 黄浦区期末）利用幂的运算性质计算：．
三．分数指数幂（共1小题）
8．（2021春 静安区期末）用幂的性质计算：（5﹣17） （5+17）．
四．二次根式的乘除法（共1小题）
9．（2021春 黄浦区期末）计算：．
五．二次根式的混合运算（共1小题）
10．（2021春 奉贤区期末）计算：（3﹣2）×+（﹣）2．
六．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
11．（2021春 杨浦区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，﹣3），点A关于x轴的对称点记作点B，将点B向右平移2个单位得点C．
（1）分别写出点B、C的坐标：B（ 　 　）、C（ 　 　）；
（2）点D在x轴的正半轴上，点E在直线y＝1上，如果△CDE是以CD为腰的等腰直角三角形，那么点E的坐标是 　 　．
七．平行线的判定（共1小题）
12．（2021春 奉贤区期末）如图，已知AE平分∠BAC交BC于点E，AF平分∠CAD交BC的延长线于点F，∠B＝64°，∠EAF＝58°，试判断AD与BC是否平行．
解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），
∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝　 　（ 　 　）．
又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD
＝2（∠1+∠2）
＝　 　°（等式性质）．
又∵∠B＝64°（已知），
∴∠BAD+∠B＝　 　°．
∴　 　∥　 　（ 　 　）．
八．平行线的判定与性质（共1小题）
13．（2021春 静安区期末）如图，已知在△ABC中，FG∥EB，∠2＝∠3，说明∠EDB+∠DBC＝180°的理由．
解：∵FG∥EB（ 　 　），
∴　 　＝　 　（ 　 　）．
∵∠2＝∠3（已知），
∴　 　＝　 　（ 　 　）．
∴DE∥BC（ 　 　），
∴∠EDB+∠DBC＝180°（ 　 　）．
九．三角形内角和定理（共2小题）
14．（2021春 金山区期末）如图，在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，CD平分∠ACB交AB边于点D，求∠CDB的度数．
15．（2021春 邗江区期末）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°、40°、20°的三角形是“灵动三角形”；三个内角分别为80°、75°、25°的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°）．
（1）∠ABO的度数为　 　°，△AOB　 　．（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；
（2）若∠BAC＝70°，则△AOC　 　（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；
（3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．
一十．全等三角形的判定与性质（共18小题）
16．（2021春 奉贤区期末）如图，已知AD＝BC，AE＝BE，说明AC＝BD的理由．
17．（2021春 浦东新区期末）如图，在△ABC中，E是AD上的一点，EB＝EC，∠ABE＝∠ACE，请说明AD⊥BC．
解：因为EB＝EC（已知），
所以∠EBC＝∠ECB（　 　）．
又因为∠ABE＝∠ACE（已知），
所以∠ABE+∠EBC＝∠ACE+∠ECB（　 　）．
即∠ABC＝∠ACB．
所以AB＝AC（　 　）．
在△ABE和△ACE中，
所以△ABE≌△ACE（　 　）．
得∠BAD＝∠CAD（　 　）．
所以AD⊥BC（　 　）．
18．（2021春 浦东新区期末）如图，在三角形ABC中，已知点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且FD＝DE，BF＝CD，∠FDE＝∠B，那么∠B与∠C相等吗？为什么？
19．（2021春 杨浦区期末）如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上，说明CE∥AB的理由．
解：因为△ABC是等边三角形（已知），
所以∠A＝∠ABC＝60°，AB＝BC（等边三角形的意义）．
因为△BDE是等边三角形（已知），
所以∠DBE＝60°，BD＝BE（等边三角形的意义）．
所以∠ABC﹣∠DBC＝∠DBE﹣∠DBC（等式性质），
得∠ABD＝　 　．
在△ABD与△CBE中，，
所以△ABD≌△CBE（ 　 　）．
所以∠A＝　 　（ 　 　）．
又因为∠A＝∠ABC，
所以∠ABC＝　 　（等量代换）．
所以CE∥AB（ 　 　）．
20．（2021春 杨浦区期末）如图，已知△ADE≌△CBF，顶点A、D、E分别与顶点C、B、F对应，据此可以判断图中有哪几组直线互相平行？请说明理由．
21．（2021春 浦东新区期末）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，过点C作直线CE，使CE∥AB，交AD的延长线于点E．试说明AD＝ED的理由．
解：因为CE∥AB（已知），
所以∠BAD＝　 　（ 　 　）．
因为点D是边BC的中点，
所以 　 　，
在△ABD和△ECD中，
，
所以△ABD≌△ECD（ 　 　），
所以AD＝ED（ 　 　）．
22．（2021春 黄浦区期末）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠A的平分线AD交BC于点D，过点B作BE⊥AD于E．
（1）说明△ACD≌△BCF的理由；
（2）BE与AD的长度关系是 　 　，请说明理由．
23．（2021春 黄浦区期末）如图在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠1＝∠2．
（1）说明△ADE≌△BFE的理由；
（2）联结EG，那么EG与DF的位置关系是 　 　，请说明理由．
24．（2021春 嘉定区期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，且AD＝AE．试说明BD＝CE的理由．
25．（2021春 嘉定区期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AE＝BE，AD与BE相交于点F．
（1）请说明△AEF≌△BEC的理由．
（2）如果AF＝2BD，试说明AD平分∠BAC的理由．
26．（2021春 静安区校级期末）如图，△ABC中，两条高BD和CE相交于H，已知AB＝CH．试判断△BCD的形状并说明理由．
27．（2021春 浦东新区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．则线段AB，BE，CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
28．（2021春 金山区期末）如图，已知△ACM是等边三角形，点E在边CM上，以CE为边作等边△CEF，联结AE并延长交CF的延长线于点N，联结MF并延长交AC的延长线于点B，联结BN．
（1）说明△ACE≌△MCF的理由；
（2）说明△CNB为等边三角形的理由．
29．（2021 永嘉县校级模拟）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝45°，过点B作BE⊥AC，垂足为E，在线段BE上截取ED＝EC，AD的延长线交BC于点P，联结DC．
（1）请说明AD＝BC的理由；
（2）请说明BP＝PC的理由．
30．（2021春 松江区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，点E、F分别在直线BC、CD上，且∠EAF＝∠BAD．
（1）当点E、F分别在边BC、CD上时（如图1），请说明EF＝BE+FD的理由；
（2）当点E、F分别在边BC、CD延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF、BE、FD之间的数量关系，并说明理由．
31．（2021春 浦东新区期末）已知：点B，C，D在同一直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，BE交AC于点F，AD交CE于点H，
（1）求证：△BCE≌△ACD；
（2）求证：CF＝CH；
（3）判断△CFH的形状并说明理由．
32．如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．E为BD上一点，且BE＝AD，∠DEF＝∠ADC，EF交BC的延长线于点F．
（1）AD和BC相等吗？为什么？
（2）BF和BD相等吗？为什么？
33．（2021春 奉贤区期末）如图，在△ABC中，已知D是BC边的中点，过点D的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，交AC的延长线于点E，联结EG．
（1）说明BG与CF相等的理由．
（2）说明∠BGD与∠DGE相等的理由．
参考答案与试题解析
一．平方根（共1小题）
1．（2021春 浦东新区期末）一个正数x的两个不同的平方根分别是2a﹣1和﹣a+2．
（1）求a和x的值；
（2）求3x+2a的平方根．
【解答】解：（1）∵一个正数的两个平方根互为相反数，
∴2a﹣1+（﹣a+2）＝0，
解得a＝﹣1，
∴x＝（2a﹣1）2＝（﹣3）2＝9．
（2）∵3x+2a＝3×9﹣2＝25，
∴25的平方根为±5．
二．实数的运算（共6小题）
2．（2021春 浦东新区期末）计算：
．
【解答】解：原式＝3﹣4+3﹣﹣1＝1﹣．
3．（2021春 嘉定区期末）用幂的运算性质计算：（结果表示为含幂的形式）．
【解答】解：原式＝4×8÷32
＝2×2÷2
＝2
＝2．
4．（2021春 奉贤区期末）计算：．
【解答】解：原式＝2+﹣+1
＝2﹣3﹣6+1
＝﹣6．
5．（2021春 奉贤区期末）利用幂的运算性质计算：﹣×÷（结果用幂的形式表示）．
【解答】解：原式＝﹣×（﹣）÷
＝×÷
＝
＝．
6．（2021春 杨浦区期末）用幂的运算性质计算：（结果表示为含幂的形式）．
【解答】解：原式＝3×9÷81
＝3×3÷3
＝3
＝3．
7．（2021春 黄浦区期末）利用幂的运算性质计算：．
【解答】解：原式＝2×2×2×
＝2×2
＝2×2
＝2．
三．分数指数幂（共1小题）
8．（2021春 静安区期末）用幂的性质计算：（5﹣17） （5+17）．
【解答】解：原式＝[（5﹣）（5+）]
＝（25﹣17）
＝8
＝
＝2
四．二次根式的乘除法（共1小题）
9．（2021春 黄浦区期末）计算：．
【解答】解：原式＝××2×
＝1．
五．二次根式的混合运算（共1小题）
10．（2021春 奉贤区期末）计算：（3﹣2）×+（﹣）2．
【解答】解：原式＝3﹣6+（2+3﹣2）
＝3﹣6+5﹣2
＝﹣1．
六．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
11．（2021春 杨浦区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，﹣3），点A关于x轴的对称点记作点B，将点B向右平移2个单位得点C．
（1）分别写出点B、C的坐标：B（ 　﹣2，3　）、C（ 　0，3　）；
（2）点D在x轴的正半轴上，点E在直线y＝1上，如果△CDE是以CD为腰的等腰直角三角形，那么点E的坐标是 　（﹣1，1）　．
【解答】解：（1）∵将点A（﹣2，﹣3）关于x轴的对称点B的坐标为（﹣2，3），
将点B向右平移2个单位得点C，
∴C（0，3），
故答案为﹣2，3；0，3；
（2）作EF⊥x轴于F，
由题意可知，△COD≌△DFE，
∴DF＝OC＝3，EF＝OD＝1，
∴E点的坐标为（4，1），
故答案为（4，1）．
七．平行线的判定（共1小题）
12．（2021春 奉贤区期末）如图，已知AE平分∠BAC交BC于点E，AF平分∠CAD交BC的延长线于点F，∠B＝64°，∠EAF＝58°，试判断AD与BC是否平行．
解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），
∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝　2∠2　（ 　角平分线的定义　）．
又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD
＝2（∠1+∠2）
＝　116　°（等式性质）．
又∵∠B＝64°（已知），
∴∠BAD+∠B＝　180　°．
∴　AD　∥　BC　（ 　同旁内角互补，两直线平行　）．
【解答】解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），
∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝2∠2（角平分线的定义）．
又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，
∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD
＝2（∠1+∠2）
＝116°（等式性质）．
又∵∠B＝64°（已知），
∴∠BAD+∠B＝180°．
∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：2∠2；角平分线的定义；116；180；AD；BC；同旁内角互补，两直线平行．
八．平行线的判定与性质（共1小题）
13．（2021春 静安区期末）如图，已知在△ABC中，FG∥EB，∠2＝∠3，说明∠EDB+∠DBC＝180°的理由．
解：∵FG∥EB（ 　已知　），
∴　∠1　＝　∠2　（ 　两直线平行，同位角相等　）．
∵∠2＝∠3（已知），
∴　∠1　＝　∠3　（ 　等量代换　）．
∴DE∥BC（ 　内错角相等，两直线平行　），
∴∠EDB+∠DBC＝180°（ 　两直线平行，同旁内角互补　）．
【解答】解：∵FG∥EB（已知），
∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等）．
∵∠2＝∠3（已知），
∴∠1＝∠3（等量代换）．
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）．
∴∠EDB+∠DBC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
故答案为：已知；∠1；∠2；两直线平行，同位角相等；∠1；∠3；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
九．三角形内角和定理（共2小题）
14．（2021春 金山区期末）如图，在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，CD平分∠ACB交AB边于点D，求∠CDB的度数．
【解答】解：∵∠A＝20°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝100°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD＝∠ACB＝50°，
∴∠BDC＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝70°．
15．（2021春 邗江区期末）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．例如，三个内角分别为120°、40°、20°的三角形是“灵动三角形”；三个内角分别为80°、75°、25°的三角形也是“灵动三角形”等等．如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°）．
（1）∠ABO的度数为　30　°，△AOB　是　．（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；
（2）若∠BAC＝70°，则△AOC　是　（填“是”或“不是”）“灵动三角形”；
（3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．
【解答】解：（1）∵AB⊥OM，
∴∠BAO＝90°，
∵∠AOB＝60°，
∴∠ABO＝90°﹣60°＝30°，
∵90°＝3×30°，
∴△AOB是“灵动三角形”．
故答案为：30，是．
（2）∵∠OAB＝90°，∠BAC＝70°，
∴∠OAC＝20°，
∵∠AOC＝60°＝3×20°，
∴△AOC是“灵动三角形”．
故答案为：是．
（3）①∠ACB＝3∠ABC时，∠CAB＝60°，∠OAC＝30°；
②当∠ABC＝3∠CAB时，∠CAB＝10°，∠OAC＝80°．
③当∠ACB＝3∠CAB时，∠CAB＝37.5°，可得∠OAC＝52.5°．
综上所述，满足条件的值为30°或52.5°或80°．
一十．全等三角形的判定与性质（共18小题）
16．（2021春 奉贤区期末）如图，已知AD＝BC，AE＝BE，说明AC＝BD的理由．
【解答】证明：∵AD＝BC，AE＝BE，
∴AD﹣AE＝BC﹣BE，
即DE＝CE，
在△ACE与△BDE中，
，
∴△ACE≌△BDE（SAS），
∴AC＝BD．
17．（2021春 浦东新区期末）如图，在△ABC中，E是AD上的一点，EB＝EC，∠ABE＝∠ACE，请说明AD⊥BC．
解：因为EB＝EC（已知），
所以∠EBC＝∠ECB（　等边对等角　）．
又因为∠ABE＝∠ACE（已知），
所以∠ABE+∠EBC＝∠ACE+∠ECB（　等式性质　）．
即∠ABC＝∠ACB．
所以AB＝AC（　等角对等边　）．
在△ABE和△ACE中，
所以△ABE≌△ACE（　SSS　）．
得∠BAD＝∠CAD（　全等三角形对应角相等　）．
所以AD⊥BC（　等腰三角形的三线合一　）．
【解答】解：因为EB＝EC（已知），
所以∠EBC＝∠ECB（等边对等角）．
又因为∠ABE＝∠ACE（已知），
所以∠ABE+∠EBC＝∠ACE+∠ECB（等式性质）．
即∠ABC＝∠ACB．
所以AB＝AC（等角对等边）．
在△ABE和△ACE中，
所以△ABE≌△ACE（SSS），
得∠BAD＝∠CAD（全等三角形对应角相等），
所以AD⊥BC（等腰三角形的三线合一）．
故答案为：①等边对等角；②等式性质；③等角对等边；④公共边；⑤边、边、边（sss）；⑥全等三角形对应角相等；⑦等腰三角形的三线合一．
18．（2021春 浦东新区期末）如图，在三角形ABC中，已知点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且FD＝DE，BF＝CD，∠FDE＝∠B，那么∠B与∠C相等吗？为什么？
【解答】解：∠B与∠C相等，
理由：∵∠FDC＝∠FDE+∠EDC，
又∵∠FDC＝∠B+∠BFD，
∴∠FDE+∠EDC＝∠B+∠BFD，
又∵∠FDE＝∠B，
∴∠BFD＝∠EDC，
在△BFD和△CDE中
，
∴△BFD≌△CDE（SAS），
∴∠B＝∠C．
19．（2021春 杨浦区期末）如图，已知△ABC与△BDE都是等边三角形，点D在边AC上，说明CE∥AB的理由．
解：因为△ABC是等边三角形（已知），
所以∠A＝∠ABC＝60°，AB＝BC（等边三角形的意义）．
因为△BDE是等边三角形（已知），
所以∠DBE＝60°，BD＝BE（等边三角形的意义）．
所以∠ABC﹣∠DBC＝∠DBE﹣∠DBC（等式性质），
得∠ABD＝　∠CBE　．
在△ABD与△CBE中，，
所以△ABD≌△CBE（ 　SAS　）．
所以∠A＝　∠BCE　（ 　全等三角形的对应角相等　）．
又因为∠A＝∠ABC，
所以∠ABC＝　∠BCE　（等量代换）．
所以CE∥AB（ 　内错角相等，两直线平行　）．
【解答】解：因为△ABC是等边三角形（已知），
所以∠A＝∠ABC＝60°，AB＝BC（等边三角形的意义）．
因为△BDE是等边三角形（已知），
所以∠DBE＝60°，BD＝BE（等边三角形的意义）．
所以∠ABC﹣∠DBC＝∠DBE﹣∠DBC（等式性质），
得∠ABD＝∠CBE．
在△ABD与△CBE中，，
所以△ABD≌△CBE（SAS）．
所以∠A＝∠BCE（全等三角形的对应角相等）．
又因为∠A＝∠ABC，
所以∠ABC＝∠BCE（等量代换）．
所以CE∥AB（内错角相等，两直线平行）．
故答案为∠CBE，SAS，∠BCE，全等三角形的对应角相等；∠BCE，内错角相等，两直线平行．
20．（2021春 杨浦区期末）如图，已知△ADE≌△CBF，顶点A、D、E分别与顶点C、B、F对应，据此可以判断图中有哪几组直线互相平行？请说明理由．
【解答】解：可以判断AD∥BC，AB∥CD，DE∥BF三组直线平行，
理由如下：∵△ADE≌△CBF，
∴∠DAE＝∠BCF，∠AED＝∠CFB，AE＝CF，DE＝BF，
∴AD∥BC，∠CED＝∠AFB，AE+EF＝CF+EF，
∴ED∥BF，AF＝CE，
在△CDE和△ABF中，
，
∴△CDE≌△ABF（SAS），
∴∠DCE＝∠BAF，
∴AB∥CD，
∴AD∥BC，AB∥CD，DE∥BF．
21．（2021春 浦东新区期末）如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，过点C作直线CE，使CE∥AB，交AD的延长线于点E．试说明AD＝ED的理由．
解：因为CE∥AB（已知），
所以∠BAD＝　∠E　（ 　两直线平行，内错角相等　）．
因为点D是边BC的中点，
所以 　BD＝CD　，
在△ABD和△ECD中，
，
所以△ABD≌△ECD（ 　AAS　），
所以AD＝ED（ 　全等三角形的对应边相等　）．
【解答】解：因为CE∥AB（已知），
所以∠BAD＝∠E（两直线平行，内错角相等）．
因为点D是边BC的中点，
所以BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
所以△ABD≌△ECD（AAS），
所以AD＝ED（全等三角形的对应边相等）．
故答案为∠E，两直线平行，内错角相等；∠BAD＝∠E，对顶角相等，BD＝CD；AAS；全等三角形的对应边相等．
22．（2021春 黄浦区期末）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠A的平分线AD交BC于点D，过点B作BE⊥AD于E．
（1）说明△ACD≌△BCF的理由；
（2）BE与AD的长度关系是 　BE＝　，请说明理由．
【解答】解：（1）∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠AEB＝∠ACB，
∵∠ADC＝∠BDE，
∴∠CAD＝∠CBF，
在△ACD和△BCF中，
，
∴△ACD≌△BCF（ASA）．
（2）由（1）△ACD≌△BCF得：BF＝AD，
∵AD平分∠BAF，
∴∠BAE＝∠FAE，
在△BAE和△FAE中，
，
∴△BAE≌△FAE（ASA），
∴BE＝EF，
∴BE＝．
故答案为：BE＝．
23．（2021春 黄浦区期末）如图在四边形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE并延长交CB的延长线于点F，点G在边BC上，且∠1＝∠2．
（1）说明△ADE≌△BFE的理由；
（2）联结EG，那么EG与DF的位置关系是 　EG⊥DF　，请说明理由．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，
∴∠1＝∠F，
∵E是AB的中点，
∴AE＝BE，
在△ADE和△BFE中，
，
∴△ADE≌△BFE（AAS），
（2）如图，EG⊥DF，
∵∠1＝∠F，∠1＝∠2，
∴∠2＝∠F，
∴DG＝FG，
由（1）知：△ADE≌△BFE，
∴DE＝EF，
∴EG⊥DF．
24．（2021春 嘉定区期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，且AD＝AE．试说明BD＝CE的理由．
【解答】证明：法1：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C（等边对等角），
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED（等边对等角），
又∠ADE＝∠B+∠BAD，∠AED＝∠C+∠CAE，
∴∠BAD＝∠CAE（等量代换），
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴BD＝CE（全等三角形的对应边相等）；
法2：过点A作AH⊥BC，垂足为点H，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH（等腰三角形底边上的高与底边上的中线重合），
同理可证，DH＝EH，
∴BH﹣DH＝CH﹣EH，
∴BD＝CE．
25．（2021春 嘉定区期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AE＝BE，AD与BE相交于点F．
（1）请说明△AEF≌△BEC的理由．
（2）如果AF＝2BD，试说明AD平分∠BAC的理由．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC+∠C＝90°，
∴∠DAC＝90°﹣∠C，
∴∠DAC＝∠EBC，
在△AEF和△BEC中，
，
∴△AEF≌△BEC（AAS）；
（2）由（1）知，AF＝BC，
∵AF＝2BD，
∴BC＝2BD，
∴D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，
∴AD平分∠BAC．
26．（2021春 静安区校级期末）如图，△ABC中，两条高BD和CE相交于H，已知AB＝CH．试判断△BCD的形状并说明理由．
【解答】解：△BCD是等腰直角三角形，理由如下：
∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，∠A+∠HCD＝90°，
∴∠ABD＝∠HCD，
∴在△ABD和△HCD中，
，
∴△ABD≌△HCD（AAS），
∴BD＝CD，
∴△BCD是等腰直角三角形．
27．（2021春 浦东新区校级期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．则线段AB，BE，CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．
【解答】解：AB+BE＝CD，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠ABD＝∠EDC，
在△ABD和△EDC中，
，
∴△ABD≌△EDC（AAS），
∴AB＝DE，BD＝CD，
∵DE+BE＝BD，
∴AB+BE＝CD．
28．（2021春 金山区期末）如图，已知△ACM是等边三角形，点E在边CM上，以CE为边作等边△CEF，联结AE并延长交CF的延长线于点N，联结MF并延长交AC的延长线于点B，联结BN．
（1）说明△ACE≌△MCF的理由；
（2）说明△CNB为等边三角形的理由．
【解答】证明：（1）△ACM和△CEF是等边三角形，
∴CA＝CM，CE＝CF，
∠ACM＝∠ECF＝60°，
在△ACE和△MCF中，
，
∴△ACE≌△MCF（SAS），
（2）∵△ACE≌△MCF（SAS），
∴∠CAE＝∠CMF，
∵∠ACN＝∠ACM+∠ECF＝120°，∠MCB＝180°﹣∠ACM＝120°，
∴∠ACN＝∠MCB，
在△ACN与△MCB中，
，
∴△ACN≌△MCB（ASA），
∴CN＝CB，
∵∠BCN＝180°﹣∠ACM﹣∠ECF＝60°，
∴△CNB是等边三角形．
29．（2021 永嘉县校级模拟）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝45°，过点B作BE⊥AC，垂足为E，在线段BE上截取ED＝EC，AD的延长线交BC于点P，联结DC．
（1）请说明AD＝BC的理由；
（2）请说明BP＝PC的理由．
【解答】解：（1）∵BE⊥AC，∠BAC＝45°，
∴∠ABE＝90°﹣45°＝45°，
∴BE＝AE，
在△BCE和△ADE中，
，
∴△BCE≌△ADE（SAS），
∴AD＝BC．
（2）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BE⊥AC，BE＝AE，EC＝ED，
∴∠DCE＝∠CDE＝∠EBA＝∠BAE＝45°，
∴∠ABC﹣∠EBA＝∠ACB﹣∠DCE，即∠DBC＝∠DCB，
∴BD＝CD，
∴PD为线段BC的垂直平分线，
∴BP＝PC．
30．（2021春 松江区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，点E、F分别在直线BC、CD上，且∠EAF＝∠BAD．
（1）当点E、F分别在边BC、CD上时（如图1），请说明EF＝BE+FD的理由；
（2）当点E、F分别在边BC、CD延长线上时（如图2），（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请写出EF、BE、FD之间的数量关系，并说明理由．
【解答】解：（1）EF＝BE+DF，
理由：延长EB至G，使BG＝DF，连接AG，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABG＝180°，
∴∠ADC＝∠ABG，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠BAE+∠DAF＝∠BAE+∠BAG＝∠EAF，
即∠EAG＝∠EAF，
在△EAG和△EAF中，
，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴GE＝EF，
∴EF＝BE+DF；
（2）（1）中结论不成立，EF＝BE﹣FD，
在BE上截取BM＝DF，连接AM，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠ABC＝∠ADF，
在△ABM和△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，
∵∠BAM+∠MAD＝∠DAF+∠MAD，
∴∠BAD＝∠MAF，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠EAF＝∠MAF，
∴∠EAF＝∠EAM，
在△AME和△AFE中，
，
∴△AME≌△AFE（SAS），
∴ME＝EF，
∴ME＝BE﹣BM＝BE﹣DF，
∴EF＝BE﹣FD．
31．（2021春 浦东新区期末）已知：点B，C，D在同一直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，BE交AC于点F，AD交CE于点H，
（1）求证：△BCE≌△ACD；
（2）求证：CF＝CH；
（3）判断△CFH的形状并说明理由．
【解答】解：（1）证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，
∴∠BCE＝ACD．
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS）；
（2）∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBE＝∠CAD．
∵∠ACB+∠ACE+∠DCE＝180°，
∴∠ACE＝60°，
∴∠ACE＝∠ACB．
在△ACH和△BCF中，
，
∴△ACH≌△BCF（ASA），
∴CH＝CF；
（3）△CFH是等边三角形．
理由：连接FH．
∵∠ACE＝60°，CH＝CF，
∴△CFH是等边三角形．
32．如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．E为BD上一点，且BE＝AD，∠DEF＝∠ADC，EF交BC的延长线于点F．
（1）AD和BC相等吗？为什么？
（2）BF和BD相等吗？为什么？
【解答】解：（1）AD＝CB，理由如下：
∵AD∥BC，
∴∠ABD＝∠CDB，
同理可得，∠ADB＝∠CBD，
在△ABD与△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（ASA），
∴AD＝CB；
（2）BF＝BD，理由如下：
∵AD＝CB，BE＝AD，
∴BC＝BE，
∵∠DEF＝∠ADC，
∴∠DEF﹣∠DBF＝∠ADC﹣∠ADB，
即∠EFB＝∠CDB，
在△EFB与△CDB中，
，
∴△EFB≌△CDB（ASA），
∴FB＝DB．
33．（2021春 奉贤区期末）如图，在△ABC中，已知D是BC边的中点，过点D的直线GF交AC于F，交AC的平行线BG于点G，DE⊥GF，交AC的延长线于点E，联结EG．
（1）说明BG与CF相等的理由．
（2）说明∠BGD与∠DGE相等的理由．
【解答】解 （1）∵D为BC中点，
∴BD＝DC（中点的定义），
∵BG∥FC（已知），
∴∠GBD＝∠DCF（两直线平行，内错角相等），
在△BDG和△CDF中，
，
∴△BDG≌△CDF（ASA），
∴BG＝CF（全等三角形对应边相等）；
（2）∵DE为线段GF的中垂线（中垂线定义），
∴EF＝EG（中垂线性质），
∴∠DFE＝∠DGE（等边对等角），）
∵∠DFE＝∠BGD（全等三角形对应角相等），
∴∠BGD＝∠DGE（等量代换）．