11解答题（基础题）2021年春上海市各区七年级（下）期末数学知识点分类汇编（含解析）
文档属性
| 名称 | 11解答题（基础题）2021年春上海市各区七年级（下）期末数学知识点分类汇编（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 370.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-06-17 23:07:50 | ||
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文档简介
11解答题（基础题）
五．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
32．（2021春 金山区期末）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，0），点B（2n﹣10，m+2），当点A向右平移m（m＞0）个单位，再向上平移n（n＞0）个单位时，可与点B重合．
（1）求点B的坐标；
（2）将点B向右平移3个单位后得到的点记为点C，点C恰好在直线x＝b上，点D在直线x＝b上，当△BCD是等腰三角形时，求点D的坐标．
六．平行线的性质（共3小题）
33．（2021春 浦东新区期末）如图，∠ABE＝80°，BF是∠ABE的平分线，且BF∥CD，求∠C的度数．
34．（2021春 静安区校级期末）已知AB∥CD，且CD平分∠FCB，∠CEB＝90°，∠CBE＝40°，求∠EBA的度数．
35．（2021春 松江区期末）如图，已知在△ABC中，点D在边AC上，DA＝DB，过点D作DE∥AB交边BC于点E，请说明∠BDE＝∠CDE的理由．
七．平行线的判定与性质（共7小题）
36．（2021春 嘉定区期末）如图，已知AD⊥BC，FG⊥BC，垂足分别为点D、G，∠1＝∠2，试说明DE∥AC的理由．
解：因为AD⊥BC，FG⊥BC（已知），
所以∠ADC＝90°，∠FGC＝90°（ ）．
所以∠ADC＝∠FGC（等量代换）．
所以AD∥FG（ ）．
所以∠1＝∠CAD（ ），
因为∠1＝∠2（已知）．
所以∠2＝∠CAD（ ）．
所以DE∥AC（ ）．
37．（2021春 金山区期末）已知：如图，AB∥CD，AD和BC交于点O，E为OC上一点，F为CD上一点，且∠CEF+∠BOD＝180°．求证：∠EFC＝∠A．
38．（2021春 静安区校级期末）如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，请说明AD∥BC的理由．
解：因为AB∥CD（已知），
所以∠4＝∠BAE（ ），
因为∠3＝∠4（已知），
所以∠3＝∠BAE（ ），
因为∠1＝∠2（已知），
所以∠1+∠CAE＝∠2+∠CAE，
即∠BAE＝ ．
所以∠3＝ ．（等量代换）
因此AD∥BC（ ）．
39．（2021春 松江区期末）阅读并填空：如图，AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°．
请说明∠GDB＝∠C的理由．
解：因为AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
所以∠ADC＝∠EFC＝90°（ ）．
所以EF∥AD（ ）．
所以∠1+∠2＝180°（ ）．
又因为∠2+∠3＝180°（已知），
所以∠1＝∠3（同角的补角相等）．
所以 ∥ （内错角相等，两直线平行）．
所以∠GDB＝∠C（ ）．
40．（2021春 杨浦区期末）如图，已知∠ADE＝∠B，∠1+∠2＝180°，CD⊥AB，请填写理由，说明GF⊥AB．
解：因为∠ADE＝∠B（已知），所以DE∥BC（ ）．
得∠1＝∠3（ ）．
又因为∠1+∠2＝180°（已知），所以∠2+∠3＝180°（ ）．
所以 ∥ （ ）．
所以∠FGB＝∠CDB（ ）．
因为CD⊥AB（已知），所以∠CDB＝90°（垂直的意义）．
得∠FGB＝90°，
所以GF⊥AB（垂直的意义）．
41．（2021春 闵行区期末）如图，已知∠AHF＝130°，∠CGE＝50°，那么AB∥CD吗？为什么？
解：AB∥CD．
理由如下：
因为∠AHF+∠AHE＝180°（ ），
又因为∠AHF＝130°（已知），
所以∠AHE＝180°﹣∠AHF＝180°﹣130°＝50°（等式性质）．
因为∠CGE＝50°（已知），
得∠CGE＝∠AHE（ ）．
所以AB∥CD（ ）．
42．（2021春 浦东新区校级期末）已知：如图∠AED＝∠C，∠DEF＝∠B，请你说明∠1与∠2相等吗？为什么？
解：因为∠AED＝∠C（已知）
所以 ∥ （ ）
所以∠B+∠BDE＝180° （ ）
因为∠DEF＝∠B（已知）
所以∠DEF+∠BDE＝180° （ ）
所以 ∥ （ ）
所以∠1＝∠2 （ ）．
八．三角形内角和定理（共1小题）
43．（2021春 静安区校级期末）如图，△ABC中，已知∠B＝60°，∠ACD：∠A＝5：2，求∠A的度数．
九．三角形的外角性质（共1小题）
44．（2021春 静安区校级期末）△ABC中，∠A、∠B、∠C的外角的度数之比是2：3：4，求∠A的度数．
一十．全等三角形的判定与性质（共10小题）
45．（2021春 黄浦区期末）如图，点A、B、C、D在一条直线上如果AC＝BD，BE＝CF，且BE∥CF，那么AE∥DF．为什么？
解：∵BE∥CF（已知），
∴∠EBC＝∠FCB（ ）．
∵∠EBC+∠EBA＝180°，∠FCB+∠FCD＝180°（平角的意义），
∴∠EBA＝∠FCD（ ）．
∵AC＝BD（已知），
∴AC﹣BC＝BD﹣BC（等式性质），
即 ．（完成以下说理过程）
46．（2021春 静安区校级期末）已知：如图，AC⊥BC于C，DE⊥AC于E，AD⊥AB于A，BC＝AE．若AB＝5，求AD的长．
47．（2021春 静安区校级期末）如图，在等边三角形ABC中，D、E分别是边AB、AC上的动点且AD＝CE，连接DC、BE，记交点为F，试问DC、BE所成的∠BFC的大小有无变化？说明理由．
48．（2021春 静安区校级期末）填空并续写解题过程：
如图，已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠3，BE＝EF，说明BC＝FC的理由．
解：因为AB＝AC，∠1＝∠2，
所以 ⊥ （等腰三角形三线合一），
所以∠ADC＝90°（垂直的意义）．
因为∠ADC+∠2+∠ACD＝180°，∠BEC+∠3+∠BCE＝180°（ ），
所以∠ADC+∠2+∠ACD＝∠BEC+∠3+∠BCE．
又因为∠2＝∠3（已知），
所以∠BEC＝∠ ＝90°（等式性质）．
请续写解题过程，说明BC＝FC的理由．
49．（2021春 金山区期末）阅读并填空：如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，且AD＝AE，说明BD＝CE的理由．
解：因为AB＝AC，
所以 ；（等边对等角）
因为 ，（已知）
所以∠AED＝∠ADE；（等边对等角）
因为∠AED＝∠EAC+∠C，
∠ADE＝∠BAD+∠B，（ ）
所以∠BAD＝∠EAC；（等式性质）
在△ABD与△ACE中，
所以△ABD≌△ACE（A．S．A）
所以 ．（全等三角形的对应边相等）
50．（2021春 闵行区期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，CE⊥AB，垂足为点E，AD＝DC，CE和AD交于点F，联结BF，试说明∠FBD＝45°．
51．（2021春 闵行区期末）如图，已知在等腰△ABC中AB＝AC，点D，点E和点F分别是BC，AB和AC边上的点，且BE＝DC，∠B＝∠EDF，试说明DE＝DF．
52．（2021春 浦东新区校级期末）如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．
（1）试说明Rt△ABF≌Rt△DCE的理由；
（2）试说明OE＝OF的理由．
53．（2021春 浦东新区校级期末）如图，已知∠B＝∠C＝90°，AE⊥ED，AB＝EC，EF⊥AD，试说明点F是AD的中点的理由．
54．（2021春 浦东新区校级期末）如图，已知∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1＝44°，求∠BDE的度数．
一十一．等腰三角形的性质（共1小题）
55．（2021春 闵行区期末）已知在等腰△ABC中AB＝AC，∠B＝2∠A，求∠B的度数．
一十二．等腰三角形的判定（共1小题）
56．（2021春 松江区期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝BD，∠ADE＝∠B，请说明△ADE是等腰三角形的理由．
一十三．关于原点对称的点的坐标（共3小题）
57．（2021春 静安区校级期末）已知点A的坐标为（﹣3，2），设点A关于x轴对称的点为点B，点A关于原点的对称点为点C，过点C作y轴的平行线交x轴于点D，
（1）点B的坐标是 ，点C的坐标是 ．
（2）已知在线段BC上存在一点E，恰好能使△ABE≌△DEC，那么此时点E的坐标是 ．
58．（2021春 静安区校级期末）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是（0，4）．
（1）图中B点的坐标是 ．
（2）点B关于原点对称的点C的坐标是 ；点A关于x轴对称的点D的坐标是 ．
（3）△ABC的面积是 ．
（4）如果点E在x轴上，且S△ADE＝S△ABC，那么点E的坐标是 ．
59．（2021春 浦东新区校级期末）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标（﹣2，0）．
（1）图中点B的坐标是 ；
（2）点B关于原点对称的点C的坐标是 ；点A关于y轴对称的点D的坐标是 ；
（3）四边形ABDC的面积是 ；
（4）在y轴上找一点F，使S△ADF＝S△ABC，那么点F的所有可能位置是 ．
一十四．作图-旋转变换（共1小题）
60．（2021春 浦东新区期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，﹣2），B（1，1），C（﹣3，1），△A1B1C1与△ABC关于原点O对称．
（1）写出点A1、B1、C1的坐标，并在右图中画出△A1B1C1；
（2）求△A1B1C1的面积．
参考答案与试题解析
五．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
32．（2021春 金山区期末）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，0），点B（2n﹣10，m+2），当点A向右平移m（m＞0）个单位，再向上平移n（n＞0）个单位时，可与点B重合．
（1）求点B的坐标；
（2）将点B向右平移3个单位后得到的点记为点C，点C恰好在直线x＝b上，点D在直线x＝b上，当△BCD是等腰三角形时，求点D的坐标．
【解答】解：∵点A（﹣4，0），点B（2n﹣10，m+2），且当点A向右平移m（m＞0）个单位，再向上平移n（n＞0）个单位时，可与点B重合，
∴﹣4+m＝2n﹣10，且n＝m+2，解得m＝2，n＝4，
∴点B的坐标为（﹣2，4）；
（2）由（1）知点B（﹣2，4），
∵点B向右平移3个单位后得到的点记为点C，
∴点C（1，4）．
∵点C恰好在直线x＝b上，
∴x＝1，
∵点D在直线x＝1上，
∴BC⊥CD，设点D的坐标为（1，x），
∵△BCD是等腰三角形，
∴BC＝CD，
∴1﹣（﹣2）＝|x﹣4|，
即|x﹣4|＝3，
∴x＝7或1，
∴点D的坐标为（1，1）或（1，7）．
六．平行线的性质（共3小题）
33．（2021春 浦东新区期末）如图，∠ABE＝80°，BF是∠ABE的平分线，且BF∥CD，求∠C的度数．
【解答】解：∵BF是∠ABE的平分线，
∴∠ABF＝∠ABE，
∵∠ABE＝80°，
∴∠ABF＝40°，
∵BF∥CD，
∴∠C＝∠ABF，
∴∠C＝40°．
34．（2021春 静安区校级期末）已知AB∥CD，且CD平分∠FCB，∠CEB＝90°，∠CBE＝40°，求∠EBA的度数．
【解答】解：∵∠CEB＝90°，∠CBE＝40°，
∴∠BCE＝180°﹣90°﹣40°＝50°，
∴∠FCB＝180°﹣∠BCE＝130°，
又∵CD平分∠FCB，
∴，
又∵AB∥CD，
∴∠CBA＝∠BCD＝65°，
∴∠EBA＝∠CBA﹣∠CBE＝65°﹣40°＝25°．
35．（2021春 松江区期末）如图，已知在△ABC中，点D在边AC上，DA＝DB，过点D作DE∥AB交边BC于点E，请说明∠BDE＝∠CDE的理由．
【解答】证明：∵DA＝DB，
∴∠DAB＝∠DBA，
∵DE∥AB，
∴∠BDE＝∠DBA，∠CDE＝∠DAB，
∴∠BDE＝∠CDE．
七．平行线的判定与性质（共7小题）
36．（2021春 嘉定区期末）如图，已知AD⊥BC，FG⊥BC，垂足分别为点D、G，∠1＝∠2，试说明DE∥AC的理由．
解：因为AD⊥BC，FG⊥BC（已知），
所以∠ADC＝90°，∠FGC＝90°（ 垂直的定义 ）．
所以∠ADC＝∠FGC（等量代换）．
所以AD∥FG（ 同位角相等，两直线平行 ）．
所以∠1＝∠CAD（ 两直线平行，同位角相等 ），
因为∠1＝∠2（已知）．
所以∠2＝∠CAD（ 等量代换 ）．
所以DE∥AC（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【解答】解：∵AD⊥BC，FG⊥BC（已知），
∴∠ADC＝90°，∠FGC＝90°（垂直的定义），
∵∠ADC＝∠FGC（等量代换），
∴AD∥FG（同位角相等，两直线平行），
∴∠1＝∠CAD（两直线平行，同位角相等），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠2＝∠CAD（等量代换），
∴DE∥AC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行．
37．（2021春 金山区期末）已知：如图，AB∥CD，AD和BC交于点O，E为OC上一点，F为CD上一点，且∠CEF+∠BOD＝180°．求证：∠EFC＝∠A．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，
∵∠CEF+∠BOD＝180°，∠BOD+∠DOC＝180°，
∴∠CEF＝∠DOC．
∴EF∥AD．
∴∠EFC＝∠D，
∵∠A＝∠D，
∴∠EFC＝∠A．
38．（2021春 静安区校级期末）如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，请说明AD∥BC的理由．
解：因为AB∥CD（已知），
所以∠4＝∠BAE（ 两直线平行，同位角相等 ），
因为∠3＝∠4（已知），
所以∠3＝∠BAE（ 等量代换 ），
因为∠1＝∠2（已知），
所以∠1+∠CAE＝∠2+∠CAE，
即∠BAE＝ ∠DAC ．
所以∠3＝ ∠DAC ．（等量代换）
因此AD∥BC（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【解答】证明：因为AB∥CD（已知），
所以∠4＝∠BAE（两直线平行，同位角相等），
因为∠3＝∠4（已知）
所以∠3＝∠BAE（等量代换），
因为∠1＝∠2（已知），
所以∠CAE+∠1＝∠CAE+∠2，
即∠BAE＝∠DAC，
所以∠3＝∠DAC，
因此AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：两直线平行，同位角相等；等量代换；∠DAC；∠DAC；内错角相等，两直线平行．
39．（2021春 松江区期末）阅读并填空：如图，AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°．
请说明∠GDB＝∠C的理由．
解：因为AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
所以∠ADC＝∠EFC＝90°（ 垂直的定义 ）．
所以EF∥AD（ 同位角相等，两直线平行 ）．
所以∠1+∠2＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）．
又因为∠2+∠3＝180°（已知），
所以∠1＝∠3（同角的补角相等）．
所以 AC ∥ DG （内错角相等，两直线平行）．
所以∠GDB＝∠C（ 两直线平行，同位角相等 ）．
【解答】解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴∠ADC＝∠EFC＝90°（垂直的定义），
∴EF∥AD （同位角相等，两直线平行），
∴∠1+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
又∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠1＝∠3 （同角的补角相等），
∴AC∥DG（内错角相等，两直线平行），
∴∠GDC＝∠BC（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；AC；DG；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
40．（2021春 杨浦区期末）如图，已知∠ADE＝∠B，∠1+∠2＝180°，CD⊥AB，请填写理由，说明GF⊥AB．
解：因为∠ADE＝∠B（已知），所以DE∥BC（ 同位角相等，两直线平行 ）．
得∠1＝∠3（ 两直线平行，内错角相等 ）．
又因为∠1+∠2＝180°（已知），所以∠2+∠3＝180°（ 等量代换 ）．
所以 CD ∥ FG （ 同旁内角互补，两直线平行 ）．
所以∠FGB＝∠CDB（ 两直线平行，同位角相等 ）．
因为CD⊥AB（已知），所以∠CDB＝90°（垂直的意义）．
得∠FGB＝90°，
所以GF⊥AB（垂直的意义）．
【解答】解：∵∠ADE＝∠B（已知），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等），
∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴∠2+∠3＝180°（等量代换），
∴CD∥FG（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠FGB＝∠CDB（两直线平行，同位角相等），
∵CD⊥AB（已知），
∴∠CDB＝90°（垂直的定义），
∴∠FGB＝90°，
∴GF⊥AB（垂直的定义）．
故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；CD；FG；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
41．（2021春 闵行区期末）如图，已知∠AHF＝130°，∠CGE＝50°，那么AB∥CD吗？为什么？
解：AB∥CD．
理由如下：
因为∠AHF+∠AHE＝180°（ 邻补角的意义 ），
又因为∠AHF＝130°（已知），
所以∠AHE＝180°﹣∠AHF＝180°﹣130°＝50°（等式性质）．
因为∠CGE＝50°（已知），
得∠CGE＝∠AHE（ 等量代换 ）．
所以AB∥CD（ 同位角相等，两直线平行 ）．
【解答】解：AB∥CD．
理由如下：
因为∠AHF+∠AHE＝180°（邻补角的意义），
又因为∠AHF＝130°（已知），
所以∠AHE＝180°﹣∠AHF＝180°﹣130°＝50°（等式性质）．
因为∠CGE＝50°（已知），
得∠CGE＝∠AHE（等量代换）．
所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：邻补角的意义；等量代换，同位角相等，两直线平行．
42．（2021春 浦东新区校级期末）已知：如图∠AED＝∠C，∠DEF＝∠B，请你说明∠1与∠2相等吗？为什么？
解：因为∠AED＝∠C（已知）
所以 DE ∥ BC （ 同位角相等，两直线平行 ）
所以∠B+∠BDE＝180° （ 两直线平行，同旁内角互补 ）
因为∠DEF＝∠B（已知）
所以∠DEF+∠BDE＝180° （ 等量代换 ）
所以 EF ∥ AB （ 同旁内角互补，两直线平行， ）
所以∠1＝∠2 （ 两直线平行，内错角相等 ）．
【解答】解：因为∠AED＝∠C（已知）
所以 DE∥BC（ 同位角相等，两直线平行）
所以∠B+∠BDE＝180° （ 两直线平行，同旁内角互补）
因为∠DEF＝∠B（已知）
所以∠DEF+∠BDE＝180° （等量代换 ）
所以 EF∥AB（同旁内角互补，两直线平行 ）
所以∠1＝∠2 （ 两直线平行，内错角相等）．
故答案为：DE，BC，同位角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补，等量代换 EF，AB，同旁内角互补，两直线平行，两直线平行，内错角相等．
八．三角形内角和定理（共1小题）
43．（2021春 静安区校级期末）如图，△ABC中，已知∠B＝60°，∠ACD：∠A＝5：2，求∠A的度数．
【解答】解：设∠A＝2x°．
∵∠ACD：∠A＝5：2，则∠ACD＝5x°．
在△ABC中，
∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣2x°﹣60°＝120°﹣2x°，
∠ACB+∠ACD＝120°﹣2x°+5x°＝180°，
解得x＝20，
∴∠A＝2x°＝40°．
九．三角形的外角性质（共1小题）
44．（2021春 静安区校级期末）△ABC中，∠A、∠B、∠C的外角的度数之比是2：3：4，求∠A的度数．
【解答】解：设∠A的外角为2x，则∠B的外角为3x，∠C的外角为4x，
∵任意多边形的外角和为360°，
∴2x+3x+4x＝360°，
解得：x＝40°，
∴∠A的外角为80°，
∴∠A＝100°．
一十．全等三角形的判定与性质（共10小题）
45．（2021春 黄浦区期末）如图，点A、B、C、D在一条直线上如果AC＝BD，BE＝CF，且BE∥CF，那么AE∥DF．为什么？
解：∵BE∥CF（已知），
∴∠EBC＝∠FCB（ 两直线平行，内错角相等 ）．
∵∠EBC+∠EBA＝180°，∠FCB+∠FCD＝180°（平角的意义），
∴∠EBA＝∠FCD（ 等角的补角相等 ）．
∵AC＝BD（已知），
∴AC﹣BC＝BD﹣BC（等式性质），
即 AB＝CD ．（完成以下说理过程）
【解答】解：∵BE∥CF（已知），
∴∠EBC＝∠FCB（ 两直线平行，内错角相等）．
∵∠EBC+∠EBA＝180°，∠FCB+∠FCD＝180°（平角的意义），
∴∠EBA＝∠FCD（ 等角的补角相等）．
∵AC＝BD（已知），
∴AC﹣BC＝BD﹣BC（等式性质），
即AB＝CD．
在△ABE和△DCF中
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠A＝∠D，
∴AE∥DF．
故答案为：两直线平行，内错角相等；等角的补角相等；AB＝CD．
46．（2021春 静安区校级期末）已知：如图，AC⊥BC于C，DE⊥AC于E，AD⊥AB于A，BC＝AE．若AB＝5，求AD的长．
【解答】解：∵AC⊥BC于C，DE⊥AC于E，
∴∠C＝∠AED＝90°，∠CAB+∠B＝90°，
∵AD⊥AB于A，
∴∠CAB+∠EAD＝90°，
∴∠B＝∠EAD（同角的余角相等）
∵BC＝AE，∠C＝∠AED＝90°，∠B＝∠EAD，
∴△ABC≌△DAE（AAS），
∴AD＝AB＝5．
47．（2021春 静安区校级期末）如图，在等边三角形ABC中，D、E分别是边AB、AC上的动点且AD＝CE，连接DC、BE，记交点为F，试问DC、BE所成的∠BFC的大小有无变化？说明理由．
【解答】解：不变化，理由：
∵AD＝CE，
∵在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（SAS），
∴∠EBC＝∠ACD，
∵∠BFC＝180°﹣∠EBC﹣∠BCD，
∴∠BFC＝180°﹣∠ACD﹣∠BCD，
＝180°﹣∠ACB，
∵∠A＝∠ABC＝∠ACB，
∴∠ACB＝60°，
∴∠BFC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BFC无变化．
48．（2021春 静安区校级期末）填空并续写解题过程：
如图，已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠3，BE＝EF，说明BC＝FC的理由．
解：因为AB＝AC，∠1＝∠2，
所以 AD ⊥ BC （等腰三角形三线合一），
所以∠ADC＝90°（垂直的意义）．
因为∠ADC+∠2+∠ACD＝180°，∠BEC+∠3+∠BCE＝180°（ 三角形内角和定理 ），
所以∠ADC+∠2+∠ACD＝∠BEC+∠3+∠BCE．
又因为∠2＝∠3（已知），
所以∠BEC＝∠ ADC ＝90°（等式性质）．
请续写解题过程，说明BC＝FC的理由．
【解答】解：因为AB＝AC，∠1＝∠2，
所以AD⊥BC（三线合一），
所以∠ADC＝90°（垂直的意义），
因为∠ADC+∠2+∠ACD＝180°，∠BEC+∠3+∠BCE＝180°（三角形内角和定理），
所以∠ADC+∠2+∠ACD＝∠BEC+∠3+∠BCE，
又∠2＝∠3（已知），
所以∠BEC＝∠ADC＝90°（等式性质），
因为∠BEC+∠FEC＝180°（邻补角的意义），
所以∠FEC＝90°（等式性质），
所以∠BEC＝∠FEC（等量代换），
在△BEC与△FEC中，
，
所以△BEC≌△FEC（SAS），
∴BC＝FC（全等三角形的对应边相等）．
故答案为：AD，BC，三角形内角和定理；ADC．
49．（2021春 金山区期末）阅读并填空：如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，且AD＝AE，说明BD＝CE的理由．
解：因为AB＝AC，
所以 ∠B＝∠C ；（等边对等角）
因为 AD＝AE ，（已知）
所以∠AED＝∠ADE；（等边对等角）
因为∠AED＝∠EAC+∠C，
∠ADE＝∠BAD+∠B，（ 三角形外角的性质 ）
所以∠BAD＝∠EAC；（等式性质）
在△ABD与△ACE中，
所以△ABD≌△ACE（A．S．A）
所以 BD＝CE ．（全等三角形的对应边相等）
【解答】解：因为AB＝AC，
所以∠B＝∠C；（等边对等角）
因为 AD＝AE，（已知）
所以∠AED＝∠ADE；（等边对等角）
因为∠AED＝∠EAC+∠C，
∠ADE＝∠BAD+∠B，（ 三角形外角的性质）
所以∠BAD＝∠EAC；（等式性质）
在△ABD与△ACE中，
，
所以△ABD≌△ACE（ASA）
所以 BD＝CE．（全等三角形的对应边相等）
故答案为：∠B＝∠C，AD＝AE，三角形外角的性质，BD＝CE．
50．（2021春 闵行区期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，CE⊥AB，垂足为点E，AD＝DC，CE和AD交于点F，联结BF，试说明∠FBD＝45°．
【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°＝∠CEB，
∴∠ABD+∠BAD＝90°＝∠BCE+∠ABD，
∴∠BAD＝∠BCE，
在△ABD和△CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（ASA），
∴BD＝DF，
又∵∠ADB＝90°，
∴∠FBD＝45°．
51．（2021春 闵行区期末）如图，已知在等腰△ABC中AB＝AC，点D，点E和点F分别是BC，AB和AC边上的点，且BE＝DC，∠B＝∠EDF，试说明DE＝DF．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B＝∠EDF，
∴∠C＝∠EDF，
∵∠EDC＝∠B+∠BED＝∠EDF+∠FDC，
∴∠BED＝∠CDF，
在△BDE和△CFD中，
，
∴△BDE≌△CFD（ASA），
∴DE＝DF．
52．（2021春 浦东新区校级期末）如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．
（1）试说明Rt△ABF≌Rt△DCE的理由；
（2）试说明OE＝OF的理由．
【解答】解：（1）∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
∴BF＝CE，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）；
（2）∵Rt△ABF≌Rt△DCE，
∴∠AFB＝∠DEC，
∴OE＝OF．
53．（2021春 浦东新区校级期末）如图，已知∠B＝∠C＝90°，AE⊥ED，AB＝EC，EF⊥AD，试说明点F是AD的中点的理由．
【解答】解：∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
又∵∠B＝90°，
∴∠B＝∠AED，
∵∠AEC＝∠B+∠BAE，
即∠AED+∠DEC＝∠B+∠BAE，
∴∠BAE＝∠DEC，
在△ABE与△ECD中，
，
∴△ABE≌△ECD（ASA），
∴AE＝ED，
∵EF⊥AD，
∴点F是AD的中点．
54．（2021春 浦东新区校级期末）如图，已知∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1＝44°，求∠BDE的度数．
【解答】（1）证明：∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD＝∠BOE．
在△AOD和△BOE中，∠A＝∠B，
∴∠BEO＝∠2．
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BEO，
∴∠AEC＝∠BED．
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA）；
（2）解：∵△AEC≌△BED，
∴EC＝ED，∠C＝∠BDE．
在△EDC中，
∵EC＝ED，∠1＝44°，
∴∠C＝∠EDC＝68°，
∴∠BDE＝∠C＝68°．
一十一．等腰三角形的性质（共1小题）
55．（2021春 闵行区期末）已知在等腰△ABC中AB＝AC，∠B＝2∠A，求∠B的度数．
【解答】解：∵等腰△ABC中AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B＝2∠A，
∴∠B＝∠C＝2∠A，
设∠A＝x°，
则∠B＝∠C＝2x°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2x+2x+x＝180，
解得：x＝36，
∴∠B＝2x＝2×36°＝72°．
一十二．等腰三角形的判定（共1小题）
56．（2021春 松江区期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝BD，∠ADE＝∠B，请说明△ADE是等腰三角形的理由．
【解答】解：∵AB＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA，
∵∠ADE＝∠B，∠ADE+∠BAD+∠AED＝180°，∠B+∠BDA+∠BAD＝180°，
∴∠AED＝∠BAD，
∴ED＝AD，
∴△ADE为等腰三角形．
一十三．关于原点对称的点的坐标（共3小题）
57．（2021春 静安区校级期末）已知点A的坐标为（﹣3，2），设点A关于x轴对称的点为点B，点A关于原点的对称点为点C，过点C作y轴的平行线交x轴于点D，
（1）点B的坐标是 （﹣3，﹣2） ，点C的坐标是 （3，﹣2） ．
（2）已知在线段BC上存在一点E，恰好能使△ABE≌△DEC，那么此时点E的坐标是 （﹣1，﹣2） ．
【解答】解：（1）∵A的坐标为（﹣3，2），设点A关于x轴对称的点为点B，点A关于原点的对称点为点C，过点C作y轴的平行线，交x轴于点D．
∴点B的坐标是（﹣3，﹣2）；点C的坐标是（3，﹣2）．
故答案为：（﹣3，﹣2）；（3，﹣2）．
（2）如图所示：
∵若△ABE≌△ECD，
∴AB＝CE，BE＝CD，
∵AB＝4，CD＝2，
∴BE＝2，CE＝4，
∴点E坐标为（﹣1，﹣2）．
58．（2021春 静安区校级期末）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是（0，4）．
（1）图中B点的坐标是 （﹣2，3） ．
（2）点B关于原点对称的点C的坐标是 （2，﹣3） ；点A关于x轴对称的点D的坐标是 （0，﹣4） ．
（3）△ABC的面积是 8 ．
（4）如果点E在x轴上，且S△ADE＝S△ABC，那么点E的坐标是 （2，0）或（﹣2，0） ．
【解答】解：（1）由题意得：
图中B点的坐标是（﹣2，3），
故答案为：（﹣2，3）；
（2）∵B与C关于原点对称，B（﹣2，3），
∴C（2，﹣3），
∵A与D关于x轴对称，A（0，4），
∴D（0，﹣4），
故答案为：（2，﹣3），（0，﹣4）；
（3）如图：
＝28﹣1﹣7﹣12
＝8；
（4）∵A（0，4），D（0，﹣4），
∴AD＝4﹣（﹣4）＝4+4＝8，
∵，
∴，
∴|xE|＝2，
∴E（2，0）或（﹣2，0）．
59．（2021春 浦东新区校级期末）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标（﹣2，0）．
（1）图中点B的坐标是 （﹣3，4） ；
（2）点B关于原点对称的点C的坐标是 （3，﹣4） ；点A关于y轴对称的点D的坐标是 （2，0） ；
（3）四边形ABDC的面积是 16 ；
（4）在y轴上找一点F，使S△ADF＝S△ABC，那么点F的所有可能位置是 （0，4）或（0，﹣4） ．
【解答】解：如图，
（1）过点B作x轴的垂线，垂足所对应的数为﹣3，因此点B的横坐标为﹣3，
过点B作y轴的垂线，垂足所对应的数为4，因此点B的纵坐标为4，
所以点B（﹣3，4）；
故答案为：（﹣3，4）；
（2）由于关于原点对称的两个点坐标纵横坐标均为互为相反数，
所以点B（﹣3，4）关于原点对称点C（3，﹣4），
由于关于y轴对称的两个点，其横坐标互为相反数，其纵坐标不变，
所以点A（﹣2，0）关于y轴对称点D（2，0），
故答案为：（3，﹣4），（2，0）；
（3）S平行四边形ABCD＝2S△ABD＝2××4×4＝16，
故答案为：16；
（4）因为S△ABC＝S平行四边形ABCD＝8＝S△ADF，
所以AD OF＝8，
∴OF＝4，
又∵点F在y轴上，
∴点F（0，4）或（0，﹣4），
故答案为：（0，4）或（0，﹣4）．
一十四．作图-旋转变换（共1小题）
60．（2021春 浦东新区期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，﹣2），B（1，1），C（﹣3，1），△A1B1C1与△ABC关于原点O对称．
（1）写出点A1、B1、C1的坐标，并在右图中画出△A1B1C1；
（2）求△A1B1C1的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点A1、B1、C1的坐标分别为（1，2），（﹣1，﹣1），（3，﹣1）；
（2）△A1B1C1的面积＝×4×3＝6．
五．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
32．（2021春 金山区期末）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，0），点B（2n﹣10，m+2），当点A向右平移m（m＞0）个单位，再向上平移n（n＞0）个单位时，可与点B重合．
（1）求点B的坐标；
（2）将点B向右平移3个单位后得到的点记为点C，点C恰好在直线x＝b上，点D在直线x＝b上，当△BCD是等腰三角形时，求点D的坐标．
六．平行线的性质（共3小题）
33．（2021春 浦东新区期末）如图，∠ABE＝80°，BF是∠ABE的平分线，且BF∥CD，求∠C的度数．
34．（2021春 静安区校级期末）已知AB∥CD，且CD平分∠FCB，∠CEB＝90°，∠CBE＝40°，求∠EBA的度数．
35．（2021春 松江区期末）如图，已知在△ABC中，点D在边AC上，DA＝DB，过点D作DE∥AB交边BC于点E，请说明∠BDE＝∠CDE的理由．
七．平行线的判定与性质（共7小题）
36．（2021春 嘉定区期末）如图，已知AD⊥BC，FG⊥BC，垂足分别为点D、G，∠1＝∠2，试说明DE∥AC的理由．
解：因为AD⊥BC，FG⊥BC（已知），
所以∠ADC＝90°，∠FGC＝90°（ ）．
所以∠ADC＝∠FGC（等量代换）．
所以AD∥FG（ ）．
所以∠1＝∠CAD（ ），
因为∠1＝∠2（已知）．
所以∠2＝∠CAD（ ）．
所以DE∥AC（ ）．
37．（2021春 金山区期末）已知：如图，AB∥CD，AD和BC交于点O，E为OC上一点，F为CD上一点，且∠CEF+∠BOD＝180°．求证：∠EFC＝∠A．
38．（2021春 静安区校级期末）如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，请说明AD∥BC的理由．
解：因为AB∥CD（已知），
所以∠4＝∠BAE（ ），
因为∠3＝∠4（已知），
所以∠3＝∠BAE（ ），
因为∠1＝∠2（已知），
所以∠1+∠CAE＝∠2+∠CAE，
即∠BAE＝ ．
所以∠3＝ ．（等量代换）
因此AD∥BC（ ）．
39．（2021春 松江区期末）阅读并填空：如图，AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°．
请说明∠GDB＝∠C的理由．
解：因为AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
所以∠ADC＝∠EFC＝90°（ ）．
所以EF∥AD（ ）．
所以∠1+∠2＝180°（ ）．
又因为∠2+∠3＝180°（已知），
所以∠1＝∠3（同角的补角相等）．
所以 ∥ （内错角相等，两直线平行）．
所以∠GDB＝∠C（ ）．
40．（2021春 杨浦区期末）如图，已知∠ADE＝∠B，∠1+∠2＝180°，CD⊥AB，请填写理由，说明GF⊥AB．
解：因为∠ADE＝∠B（已知），所以DE∥BC（ ）．
得∠1＝∠3（ ）．
又因为∠1+∠2＝180°（已知），所以∠2+∠3＝180°（ ）．
所以 ∥ （ ）．
所以∠FGB＝∠CDB（ ）．
因为CD⊥AB（已知），所以∠CDB＝90°（垂直的意义）．
得∠FGB＝90°，
所以GF⊥AB（垂直的意义）．
41．（2021春 闵行区期末）如图，已知∠AHF＝130°，∠CGE＝50°，那么AB∥CD吗？为什么？
解：AB∥CD．
理由如下：
因为∠AHF+∠AHE＝180°（ ），
又因为∠AHF＝130°（已知），
所以∠AHE＝180°﹣∠AHF＝180°﹣130°＝50°（等式性质）．
因为∠CGE＝50°（已知），
得∠CGE＝∠AHE（ ）．
所以AB∥CD（ ）．
42．（2021春 浦东新区校级期末）已知：如图∠AED＝∠C，∠DEF＝∠B，请你说明∠1与∠2相等吗？为什么？
解：因为∠AED＝∠C（已知）
所以 ∥ （ ）
所以∠B+∠BDE＝180° （ ）
因为∠DEF＝∠B（已知）
所以∠DEF+∠BDE＝180° （ ）
所以 ∥ （ ）
所以∠1＝∠2 （ ）．
八．三角形内角和定理（共1小题）
43．（2021春 静安区校级期末）如图，△ABC中，已知∠B＝60°，∠ACD：∠A＝5：2，求∠A的度数．
九．三角形的外角性质（共1小题）
44．（2021春 静安区校级期末）△ABC中，∠A、∠B、∠C的外角的度数之比是2：3：4，求∠A的度数．
一十．全等三角形的判定与性质（共10小题）
45．（2021春 黄浦区期末）如图，点A、B、C、D在一条直线上如果AC＝BD，BE＝CF，且BE∥CF，那么AE∥DF．为什么？
解：∵BE∥CF（已知），
∴∠EBC＝∠FCB（ ）．
∵∠EBC+∠EBA＝180°，∠FCB+∠FCD＝180°（平角的意义），
∴∠EBA＝∠FCD（ ）．
∵AC＝BD（已知），
∴AC﹣BC＝BD﹣BC（等式性质），
即 ．（完成以下说理过程）
46．（2021春 静安区校级期末）已知：如图，AC⊥BC于C，DE⊥AC于E，AD⊥AB于A，BC＝AE．若AB＝5，求AD的长．
47．（2021春 静安区校级期末）如图，在等边三角形ABC中，D、E分别是边AB、AC上的动点且AD＝CE，连接DC、BE，记交点为F，试问DC、BE所成的∠BFC的大小有无变化？说明理由．
48．（2021春 静安区校级期末）填空并续写解题过程：
如图，已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠3，BE＝EF，说明BC＝FC的理由．
解：因为AB＝AC，∠1＝∠2，
所以 ⊥ （等腰三角形三线合一），
所以∠ADC＝90°（垂直的意义）．
因为∠ADC+∠2+∠ACD＝180°，∠BEC+∠3+∠BCE＝180°（ ），
所以∠ADC+∠2+∠ACD＝∠BEC+∠3+∠BCE．
又因为∠2＝∠3（已知），
所以∠BEC＝∠ ＝90°（等式性质）．
请续写解题过程，说明BC＝FC的理由．
49．（2021春 金山区期末）阅读并填空：如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，且AD＝AE，说明BD＝CE的理由．
解：因为AB＝AC，
所以 ；（等边对等角）
因为 ，（已知）
所以∠AED＝∠ADE；（等边对等角）
因为∠AED＝∠EAC+∠C，
∠ADE＝∠BAD+∠B，（ ）
所以∠BAD＝∠EAC；（等式性质）
在△ABD与△ACE中，
所以△ABD≌△ACE（A．S．A）
所以 ．（全等三角形的对应边相等）
50．（2021春 闵行区期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，CE⊥AB，垂足为点E，AD＝DC，CE和AD交于点F，联结BF，试说明∠FBD＝45°．
51．（2021春 闵行区期末）如图，已知在等腰△ABC中AB＝AC，点D，点E和点F分别是BC，AB和AC边上的点，且BE＝DC，∠B＝∠EDF，试说明DE＝DF．
52．（2021春 浦东新区校级期末）如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．
（1）试说明Rt△ABF≌Rt△DCE的理由；
（2）试说明OE＝OF的理由．
53．（2021春 浦东新区校级期末）如图，已知∠B＝∠C＝90°，AE⊥ED，AB＝EC，EF⊥AD，试说明点F是AD的中点的理由．
54．（2021春 浦东新区校级期末）如图，已知∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1＝44°，求∠BDE的度数．
一十一．等腰三角形的性质（共1小题）
55．（2021春 闵行区期末）已知在等腰△ABC中AB＝AC，∠B＝2∠A，求∠B的度数．
一十二．等腰三角形的判定（共1小题）
56．（2021春 松江区期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝BD，∠ADE＝∠B，请说明△ADE是等腰三角形的理由．
一十三．关于原点对称的点的坐标（共3小题）
57．（2021春 静安区校级期末）已知点A的坐标为（﹣3，2），设点A关于x轴对称的点为点B，点A关于原点的对称点为点C，过点C作y轴的平行线交x轴于点D，
（1）点B的坐标是 ，点C的坐标是 ．
（2）已知在线段BC上存在一点E，恰好能使△ABE≌△DEC，那么此时点E的坐标是 ．
58．（2021春 静安区校级期末）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是（0，4）．
（1）图中B点的坐标是 ．
（2）点B关于原点对称的点C的坐标是 ；点A关于x轴对称的点D的坐标是 ．
（3）△ABC的面积是 ．
（4）如果点E在x轴上，且S△ADE＝S△ABC，那么点E的坐标是 ．
59．（2021春 浦东新区校级期末）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标（﹣2，0）．
（1）图中点B的坐标是 ；
（2）点B关于原点对称的点C的坐标是 ；点A关于y轴对称的点D的坐标是 ；
（3）四边形ABDC的面积是 ；
（4）在y轴上找一点F，使S△ADF＝S△ABC，那么点F的所有可能位置是 ．
一十四．作图-旋转变换（共1小题）
60．（2021春 浦东新区期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，﹣2），B（1，1），C（﹣3，1），△A1B1C1与△ABC关于原点O对称．
（1）写出点A1、B1、C1的坐标，并在右图中画出△A1B1C1；
（2）求△A1B1C1的面积．
参考答案与试题解析
五．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
32．（2021春 金山区期末）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，0），点B（2n﹣10，m+2），当点A向右平移m（m＞0）个单位，再向上平移n（n＞0）个单位时，可与点B重合．
（1）求点B的坐标；
（2）将点B向右平移3个单位后得到的点记为点C，点C恰好在直线x＝b上，点D在直线x＝b上，当△BCD是等腰三角形时，求点D的坐标．
【解答】解：∵点A（﹣4，0），点B（2n﹣10，m+2），且当点A向右平移m（m＞0）个单位，再向上平移n（n＞0）个单位时，可与点B重合，
∴﹣4+m＝2n﹣10，且n＝m+2，解得m＝2，n＝4，
∴点B的坐标为（﹣2，4）；
（2）由（1）知点B（﹣2，4），
∵点B向右平移3个单位后得到的点记为点C，
∴点C（1，4）．
∵点C恰好在直线x＝b上，
∴x＝1，
∵点D在直线x＝1上，
∴BC⊥CD，设点D的坐标为（1，x），
∵△BCD是等腰三角形，
∴BC＝CD，
∴1﹣（﹣2）＝|x﹣4|，
即|x﹣4|＝3，
∴x＝7或1，
∴点D的坐标为（1，1）或（1，7）．
六．平行线的性质（共3小题）
33．（2021春 浦东新区期末）如图，∠ABE＝80°，BF是∠ABE的平分线，且BF∥CD，求∠C的度数．
【解答】解：∵BF是∠ABE的平分线，
∴∠ABF＝∠ABE，
∵∠ABE＝80°，
∴∠ABF＝40°，
∵BF∥CD，
∴∠C＝∠ABF，
∴∠C＝40°．
34．（2021春 静安区校级期末）已知AB∥CD，且CD平分∠FCB，∠CEB＝90°，∠CBE＝40°，求∠EBA的度数．
【解答】解：∵∠CEB＝90°，∠CBE＝40°，
∴∠BCE＝180°﹣90°﹣40°＝50°，
∴∠FCB＝180°﹣∠BCE＝130°，
又∵CD平分∠FCB，
∴，
又∵AB∥CD，
∴∠CBA＝∠BCD＝65°，
∴∠EBA＝∠CBA﹣∠CBE＝65°﹣40°＝25°．
35．（2021春 松江区期末）如图，已知在△ABC中，点D在边AC上，DA＝DB，过点D作DE∥AB交边BC于点E，请说明∠BDE＝∠CDE的理由．
【解答】证明：∵DA＝DB，
∴∠DAB＝∠DBA，
∵DE∥AB，
∴∠BDE＝∠DBA，∠CDE＝∠DAB，
∴∠BDE＝∠CDE．
七．平行线的判定与性质（共7小题）
36．（2021春 嘉定区期末）如图，已知AD⊥BC，FG⊥BC，垂足分别为点D、G，∠1＝∠2，试说明DE∥AC的理由．
解：因为AD⊥BC，FG⊥BC（已知），
所以∠ADC＝90°，∠FGC＝90°（ 垂直的定义 ）．
所以∠ADC＝∠FGC（等量代换）．
所以AD∥FG（ 同位角相等，两直线平行 ）．
所以∠1＝∠CAD（ 两直线平行，同位角相等 ），
因为∠1＝∠2（已知）．
所以∠2＝∠CAD（ 等量代换 ）．
所以DE∥AC（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【解答】解：∵AD⊥BC，FG⊥BC（已知），
∴∠ADC＝90°，∠FGC＝90°（垂直的定义），
∵∠ADC＝∠FGC（等量代换），
∴AD∥FG（同位角相等，两直线平行），
∴∠1＝∠CAD（两直线平行，同位角相等），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠2＝∠CAD（等量代换），
∴DE∥AC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行．
37．（2021春 金山区期末）已知：如图，AB∥CD，AD和BC交于点O，E为OC上一点，F为CD上一点，且∠CEF+∠BOD＝180°．求证：∠EFC＝∠A．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，
∵∠CEF+∠BOD＝180°，∠BOD+∠DOC＝180°，
∴∠CEF＝∠DOC．
∴EF∥AD．
∴∠EFC＝∠D，
∵∠A＝∠D，
∴∠EFC＝∠A．
38．（2021春 静安区校级期末）如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，请说明AD∥BC的理由．
解：因为AB∥CD（已知），
所以∠4＝∠BAE（ 两直线平行，同位角相等 ），
因为∠3＝∠4（已知），
所以∠3＝∠BAE（ 等量代换 ），
因为∠1＝∠2（已知），
所以∠1+∠CAE＝∠2+∠CAE，
即∠BAE＝ ∠DAC ．
所以∠3＝ ∠DAC ．（等量代换）
因此AD∥BC（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【解答】证明：因为AB∥CD（已知），
所以∠4＝∠BAE（两直线平行，同位角相等），
因为∠3＝∠4（已知）
所以∠3＝∠BAE（等量代换），
因为∠1＝∠2（已知），
所以∠CAE+∠1＝∠CAE+∠2，
即∠BAE＝∠DAC，
所以∠3＝∠DAC，
因此AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：两直线平行，同位角相等；等量代换；∠DAC；∠DAC；内错角相等，两直线平行．
39．（2021春 松江区期末）阅读并填空：如图，AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°．
请说明∠GDB＝∠C的理由．
解：因为AD⊥BC，EF⊥BC（已知），
所以∠ADC＝∠EFC＝90°（ 垂直的定义 ）．
所以EF∥AD（ 同位角相等，两直线平行 ）．
所以∠1+∠2＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）．
又因为∠2+∠3＝180°（已知），
所以∠1＝∠3（同角的补角相等）．
所以 AC ∥ DG （内错角相等，两直线平行）．
所以∠GDB＝∠C（ 两直线平行，同位角相等 ）．
【解答】解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴∠ADC＝∠EFC＝90°（垂直的定义），
∴EF∥AD （同位角相等，两直线平行），
∴∠1+∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
又∵∠2+∠3＝180°（已知），
∴∠1＝∠3 （同角的补角相等），
∴AC∥DG（内错角相等，两直线平行），
∴∠GDC＝∠BC（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；AC；DG；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
40．（2021春 杨浦区期末）如图，已知∠ADE＝∠B，∠1+∠2＝180°，CD⊥AB，请填写理由，说明GF⊥AB．
解：因为∠ADE＝∠B（已知），所以DE∥BC（ 同位角相等，两直线平行 ）．
得∠1＝∠3（ 两直线平行，内错角相等 ）．
又因为∠1+∠2＝180°（已知），所以∠2+∠3＝180°（ 等量代换 ）．
所以 CD ∥ FG （ 同旁内角互补，两直线平行 ）．
所以∠FGB＝∠CDB（ 两直线平行，同位角相等 ）．
因为CD⊥AB（已知），所以∠CDB＝90°（垂直的意义）．
得∠FGB＝90°，
所以GF⊥AB（垂直的意义）．
【解答】解：∵∠ADE＝∠B（已知），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等），
∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴∠2+∠3＝180°（等量代换），
∴CD∥FG（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠FGB＝∠CDB（两直线平行，同位角相等），
∵CD⊥AB（已知），
∴∠CDB＝90°（垂直的定义），
∴∠FGB＝90°，
∴GF⊥AB（垂直的定义）．
故答案为：同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；CD；FG；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
41．（2021春 闵行区期末）如图，已知∠AHF＝130°，∠CGE＝50°，那么AB∥CD吗？为什么？
解：AB∥CD．
理由如下：
因为∠AHF+∠AHE＝180°（ 邻补角的意义 ），
又因为∠AHF＝130°（已知），
所以∠AHE＝180°﹣∠AHF＝180°﹣130°＝50°（等式性质）．
因为∠CGE＝50°（已知），
得∠CGE＝∠AHE（ 等量代换 ）．
所以AB∥CD（ 同位角相等，两直线平行 ）．
【解答】解：AB∥CD．
理由如下：
因为∠AHF+∠AHE＝180°（邻补角的意义），
又因为∠AHF＝130°（已知），
所以∠AHE＝180°﹣∠AHF＝180°﹣130°＝50°（等式性质）．
因为∠CGE＝50°（已知），
得∠CGE＝∠AHE（等量代换）．
所以AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：邻补角的意义；等量代换，同位角相等，两直线平行．
42．（2021春 浦东新区校级期末）已知：如图∠AED＝∠C，∠DEF＝∠B，请你说明∠1与∠2相等吗？为什么？
解：因为∠AED＝∠C（已知）
所以 DE ∥ BC （ 同位角相等，两直线平行 ）
所以∠B+∠BDE＝180° （ 两直线平行，同旁内角互补 ）
因为∠DEF＝∠B（已知）
所以∠DEF+∠BDE＝180° （ 等量代换 ）
所以 EF ∥ AB （ 同旁内角互补，两直线平行， ）
所以∠1＝∠2 （ 两直线平行，内错角相等 ）．
【解答】解：因为∠AED＝∠C（已知）
所以 DE∥BC（ 同位角相等，两直线平行）
所以∠B+∠BDE＝180° （ 两直线平行，同旁内角互补）
因为∠DEF＝∠B（已知）
所以∠DEF+∠BDE＝180° （等量代换 ）
所以 EF∥AB（同旁内角互补，两直线平行 ）
所以∠1＝∠2 （ 两直线平行，内错角相等）．
故答案为：DE，BC，同位角相等，两直线平行，两直线平行，同旁内角互补，等量代换 EF，AB，同旁内角互补，两直线平行，两直线平行，内错角相等．
八．三角形内角和定理（共1小题）
43．（2021春 静安区校级期末）如图，△ABC中，已知∠B＝60°，∠ACD：∠A＝5：2，求∠A的度数．
【解答】解：设∠A＝2x°．
∵∠ACD：∠A＝5：2，则∠ACD＝5x°．
在△ABC中，
∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣2x°﹣60°＝120°﹣2x°，
∠ACB+∠ACD＝120°﹣2x°+5x°＝180°，
解得x＝20，
∴∠A＝2x°＝40°．
九．三角形的外角性质（共1小题）
44．（2021春 静安区校级期末）△ABC中，∠A、∠B、∠C的外角的度数之比是2：3：4，求∠A的度数．
【解答】解：设∠A的外角为2x，则∠B的外角为3x，∠C的外角为4x，
∵任意多边形的外角和为360°，
∴2x+3x+4x＝360°，
解得：x＝40°，
∴∠A的外角为80°，
∴∠A＝100°．
一十．全等三角形的判定与性质（共10小题）
45．（2021春 黄浦区期末）如图，点A、B、C、D在一条直线上如果AC＝BD，BE＝CF，且BE∥CF，那么AE∥DF．为什么？
解：∵BE∥CF（已知），
∴∠EBC＝∠FCB（ 两直线平行，内错角相等 ）．
∵∠EBC+∠EBA＝180°，∠FCB+∠FCD＝180°（平角的意义），
∴∠EBA＝∠FCD（ 等角的补角相等 ）．
∵AC＝BD（已知），
∴AC﹣BC＝BD﹣BC（等式性质），
即 AB＝CD ．（完成以下说理过程）
【解答】解：∵BE∥CF（已知），
∴∠EBC＝∠FCB（ 两直线平行，内错角相等）．
∵∠EBC+∠EBA＝180°，∠FCB+∠FCD＝180°（平角的意义），
∴∠EBA＝∠FCD（ 等角的补角相等）．
∵AC＝BD（已知），
∴AC﹣BC＝BD﹣BC（等式性质），
即AB＝CD．
在△ABE和△DCF中
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠A＝∠D，
∴AE∥DF．
故答案为：两直线平行，内错角相等；等角的补角相等；AB＝CD．
46．（2021春 静安区校级期末）已知：如图，AC⊥BC于C，DE⊥AC于E，AD⊥AB于A，BC＝AE．若AB＝5，求AD的长．
【解答】解：∵AC⊥BC于C，DE⊥AC于E，
∴∠C＝∠AED＝90°，∠CAB+∠B＝90°，
∵AD⊥AB于A，
∴∠CAB+∠EAD＝90°，
∴∠B＝∠EAD（同角的余角相等）
∵BC＝AE，∠C＝∠AED＝90°，∠B＝∠EAD，
∴△ABC≌△DAE（AAS），
∴AD＝AB＝5．
47．（2021春 静安区校级期末）如图，在等边三角形ABC中，D、E分别是边AB、AC上的动点且AD＝CE，连接DC、BE，记交点为F，试问DC、BE所成的∠BFC的大小有无变化？说明理由．
【解答】解：不变化，理由：
∵AD＝CE，
∵在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（SAS），
∴∠EBC＝∠ACD，
∵∠BFC＝180°﹣∠EBC﹣∠BCD，
∴∠BFC＝180°﹣∠ACD﹣∠BCD，
＝180°﹣∠ACB，
∵∠A＝∠ABC＝∠ACB，
∴∠ACB＝60°，
∴∠BFC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BFC无变化．
48．（2021春 静安区校级期末）填空并续写解题过程：
如图，已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠3，BE＝EF，说明BC＝FC的理由．
解：因为AB＝AC，∠1＝∠2，
所以 AD ⊥ BC （等腰三角形三线合一），
所以∠ADC＝90°（垂直的意义）．
因为∠ADC+∠2+∠ACD＝180°，∠BEC+∠3+∠BCE＝180°（ 三角形内角和定理 ），
所以∠ADC+∠2+∠ACD＝∠BEC+∠3+∠BCE．
又因为∠2＝∠3（已知），
所以∠BEC＝∠ ADC ＝90°（等式性质）．
请续写解题过程，说明BC＝FC的理由．
【解答】解：因为AB＝AC，∠1＝∠2，
所以AD⊥BC（三线合一），
所以∠ADC＝90°（垂直的意义），
因为∠ADC+∠2+∠ACD＝180°，∠BEC+∠3+∠BCE＝180°（三角形内角和定理），
所以∠ADC+∠2+∠ACD＝∠BEC+∠3+∠BCE，
又∠2＝∠3（已知），
所以∠BEC＝∠ADC＝90°（等式性质），
因为∠BEC+∠FEC＝180°（邻补角的意义），
所以∠FEC＝90°（等式性质），
所以∠BEC＝∠FEC（等量代换），
在△BEC与△FEC中，
，
所以△BEC≌△FEC（SAS），
∴BC＝FC（全等三角形的对应边相等）．
故答案为：AD，BC，三角形内角和定理；ADC．
49．（2021春 金山区期末）阅读并填空：如图，已知在△ABC中，AB＝AC，点D、E在边BC上，且AD＝AE，说明BD＝CE的理由．
解：因为AB＝AC，
所以 ∠B＝∠C ；（等边对等角）
因为 AD＝AE ，（已知）
所以∠AED＝∠ADE；（等边对等角）
因为∠AED＝∠EAC+∠C，
∠ADE＝∠BAD+∠B，（ 三角形外角的性质 ）
所以∠BAD＝∠EAC；（等式性质）
在△ABD与△ACE中，
所以△ABD≌△ACE（A．S．A）
所以 BD＝CE ．（全等三角形的对应边相等）
【解答】解：因为AB＝AC，
所以∠B＝∠C；（等边对等角）
因为 AD＝AE，（已知）
所以∠AED＝∠ADE；（等边对等角）
因为∠AED＝∠EAC+∠C，
∠ADE＝∠BAD+∠B，（ 三角形外角的性质）
所以∠BAD＝∠EAC；（等式性质）
在△ABD与△ACE中，
，
所以△ABD≌△ACE（ASA）
所以 BD＝CE．（全等三角形的对应边相等）
故答案为：∠B＝∠C，AD＝AE，三角形外角的性质，BD＝CE．
50．（2021春 闵行区期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，CE⊥AB，垂足为点E，AD＝DC，CE和AD交于点F，联结BF，试说明∠FBD＝45°．
【解答】解：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADC＝∠ADB＝90°＝∠CEB，
∴∠ABD+∠BAD＝90°＝∠BCE+∠ABD，
∴∠BAD＝∠BCE，
在△ABD和△CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（ASA），
∴BD＝DF，
又∵∠ADB＝90°，
∴∠FBD＝45°．
51．（2021春 闵行区期末）如图，已知在等腰△ABC中AB＝AC，点D，点E和点F分别是BC，AB和AC边上的点，且BE＝DC，∠B＝∠EDF，试说明DE＝DF．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B＝∠EDF，
∴∠C＝∠EDF，
∵∠EDC＝∠B+∠BED＝∠EDF+∠FDC，
∴∠BED＝∠CDF，
在△BDE和△CFD中，
，
∴△BDE≌△CFD（ASA），
∴DE＝DF．
52．（2021春 浦东新区校级期末）如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．
（1）试说明Rt△ABF≌Rt△DCE的理由；
（2）试说明OE＝OF的理由．
【解答】解：（1）∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，
∴BF＝CE，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）；
（2）∵Rt△ABF≌Rt△DCE，
∴∠AFB＝∠DEC，
∴OE＝OF．
53．（2021春 浦东新区校级期末）如图，已知∠B＝∠C＝90°，AE⊥ED，AB＝EC，EF⊥AD，试说明点F是AD的中点的理由．
【解答】解：∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
又∵∠B＝90°，
∴∠B＝∠AED，
∵∠AEC＝∠B+∠BAE，
即∠AED+∠DEC＝∠B+∠BAE，
∴∠BAE＝∠DEC，
在△ABE与△ECD中，
，
∴△ABE≌△ECD（ASA），
∴AE＝ED，
∵EF⊥AD，
∴点F是AD的中点．
54．（2021春 浦东新区校级期末）如图，已知∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O．
（1）求证：△AEC≌△BED；
（2）若∠1＝44°，求∠BDE的度数．
【解答】（1）证明：∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD＝∠BOE．
在△AOD和△BOE中，∠A＝∠B，
∴∠BEO＝∠2．
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BEO，
∴∠AEC＝∠BED．
在△AEC和△BED中，
，
∴△AEC≌△BED（ASA）；
（2）解：∵△AEC≌△BED，
∴EC＝ED，∠C＝∠BDE．
在△EDC中，
∵EC＝ED，∠1＝44°，
∴∠C＝∠EDC＝68°，
∴∠BDE＝∠C＝68°．
一十一．等腰三角形的性质（共1小题）
55．（2021春 闵行区期末）已知在等腰△ABC中AB＝AC，∠B＝2∠A，求∠B的度数．
【解答】解：∵等腰△ABC中AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B＝2∠A，
∴∠B＝∠C＝2∠A，
设∠A＝x°，
则∠B＝∠C＝2x°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2x+2x+x＝180，
解得：x＝36，
∴∠B＝2x＝2×36°＝72°．
一十二．等腰三角形的判定（共1小题）
56．（2021春 松江区期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝BD，∠ADE＝∠B，请说明△ADE是等腰三角形的理由．
【解答】解：∵AB＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA，
∵∠ADE＝∠B，∠ADE+∠BAD+∠AED＝180°，∠B+∠BDA+∠BAD＝180°，
∴∠AED＝∠BAD，
∴ED＝AD，
∴△ADE为等腰三角形．
一十三．关于原点对称的点的坐标（共3小题）
57．（2021春 静安区校级期末）已知点A的坐标为（﹣3，2），设点A关于x轴对称的点为点B，点A关于原点的对称点为点C，过点C作y轴的平行线交x轴于点D，
（1）点B的坐标是 （﹣3，﹣2） ，点C的坐标是 （3，﹣2） ．
（2）已知在线段BC上存在一点E，恰好能使△ABE≌△DEC，那么此时点E的坐标是 （﹣1，﹣2） ．
【解答】解：（1）∵A的坐标为（﹣3，2），设点A关于x轴对称的点为点B，点A关于原点的对称点为点C，过点C作y轴的平行线，交x轴于点D．
∴点B的坐标是（﹣3，﹣2）；点C的坐标是（3，﹣2）．
故答案为：（﹣3，﹣2）；（3，﹣2）．
（2）如图所示：
∵若△ABE≌△ECD，
∴AB＝CE，BE＝CD，
∵AB＝4，CD＝2，
∴BE＝2，CE＝4，
∴点E坐标为（﹣1，﹣2）．
58．（2021春 静安区校级期末）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标是（0，4）．
（1）图中B点的坐标是 （﹣2，3） ．
（2）点B关于原点对称的点C的坐标是 （2，﹣3） ；点A关于x轴对称的点D的坐标是 （0，﹣4） ．
（3）△ABC的面积是 8 ．
（4）如果点E在x轴上，且S△ADE＝S△ABC，那么点E的坐标是 （2，0）或（﹣2，0） ．
【解答】解：（1）由题意得：
图中B点的坐标是（﹣2，3），
故答案为：（﹣2，3）；
（2）∵B与C关于原点对称，B（﹣2，3），
∴C（2，﹣3），
∵A与D关于x轴对称，A（0，4），
∴D（0，﹣4），
故答案为：（2，﹣3），（0，﹣4）；
（3）如图：
＝28﹣1﹣7﹣12
＝8；
（4）∵A（0，4），D（0，﹣4），
∴AD＝4﹣（﹣4）＝4+4＝8，
∵，
∴，
∴|xE|＝2，
∴E（2，0）或（﹣2，0）．
59．（2021春 浦东新区校级期末）如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标（﹣2，0）．
（1）图中点B的坐标是 （﹣3，4） ；
（2）点B关于原点对称的点C的坐标是 （3，﹣4） ；点A关于y轴对称的点D的坐标是 （2，0） ；
（3）四边形ABDC的面积是 16 ；
（4）在y轴上找一点F，使S△ADF＝S△ABC，那么点F的所有可能位置是 （0，4）或（0，﹣4） ．
【解答】解：如图，
（1）过点B作x轴的垂线，垂足所对应的数为﹣3，因此点B的横坐标为﹣3，
过点B作y轴的垂线，垂足所对应的数为4，因此点B的纵坐标为4，
所以点B（﹣3，4）；
故答案为：（﹣3，4）；
（2）由于关于原点对称的两个点坐标纵横坐标均为互为相反数，
所以点B（﹣3，4）关于原点对称点C（3，﹣4），
由于关于y轴对称的两个点，其横坐标互为相反数，其纵坐标不变，
所以点A（﹣2，0）关于y轴对称点D（2，0），
故答案为：（3，﹣4），（2，0）；
（3）S平行四边形ABCD＝2S△ABD＝2××4×4＝16，
故答案为：16；
（4）因为S△ABC＝S平行四边形ABCD＝8＝S△ADF，
所以AD OF＝8，
∴OF＝4，
又∵点F在y轴上，
∴点F（0，4）或（0，﹣4），
故答案为：（0，4）或（0，﹣4）．
一十四．作图-旋转变换（共1小题）
60．（2021春 浦东新区期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，﹣2），B（1，1），C（﹣3，1），△A1B1C1与△ABC关于原点O对称．
（1）写出点A1、B1、C1的坐标，并在右图中画出△A1B1C1；
（2）求△A1B1C1的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点A1、B1、C1的坐标分别为（1，2），（﹣1，﹣1），（3，﹣1）；
（2）△A1B1C1的面积＝×4×3＝6．
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