第十八章勾股定理 复习学案
文档属性
| 名称 | 第十八章勾股定理 复习学案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 98.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2013-05-22 22:49:08 | ||
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文档简介
第十八章 勾股定理
一、课程学习目标
1、体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单的实际问题。
2、会运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形。
3、了解勾股数的概念，能识记一些常见的勾股数。
4、能在数轴上找到一些表示无理数的点的位置，如、等。
5、了解逆命题、逆定理的概念。能写出一个命题的逆命题，会判定是否成立。
6、领会和掌握“数形结合”“方程”“转化”“分类讨论”等数学思想方法。
二、本章知识结构图
三、勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法,用拼图的方法验证勾股定理的思路是:
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
常见方法如下：
方法一：，，化简可证。
方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
大正方形面积为
所以
方法三：
，
，化简得证。
四、知识要点———经典例题———跟踪练习
18.1勾股定理
（一）知识要点
1、勾股定理： 。
2、至少会用三种方法来证明勾股定理。
（二）经典例题
例1：直角三角形的两条直角边长分别为5，12，则斜边上的高为 。
例2：已知Rt△ABC的周长为24，∠C=90°，且AB：AC=5：3，则BC的长等于（ ）。
例3：在△ABC中，，AB=10，
（1）若，求BC、AC的长（精确地0.01）
（2）若，求BC、AC的长（精确地0.01）
例4：有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门,如果把竹竿竖立放比门高1尺,斜放则恰好等于门的对角线长,已知门宽4尺,求门的高度.
例5：如图,我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是 1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，那么 的值为（ ）
A．13 B.19 C.25 D.169
例6：一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动 。
例7：如图,有一个圆柱形玻璃杯,它的高为12cm,底面半径 为3 cm,在玻璃杯底部A处有一只蚂蚁,它想吃到杯子上部B处的食物,则蚂蚁爬行的最短路程是 cm( 精确地0.1cm)
例8：直角三角形两边长为5和12，则它的斜边上的高为 。
例9：有一只小鸟在一棵高4米的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12米，高20米的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4米/秒的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？
例10：如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，任意连接这些小正方形的顶点，可得到一些线段。请在图中画出这样的线段。
例11：在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为 。
例12：（2012·黔东南），如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为（ ）
A (2，0) B ( C D (
例13：（2010·呼和浩特）如图，矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C/处，BC/交AD于点E，AD=8，AB=4，则DE的长为 。
例14：若△ABC的三边长a、b、c，满足，则△ABC的形状是（ ）A 直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 钝角三角形
例15：如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村A和李庄B送水，已知张村A、李庄B到河边的距离分别为2km和7km，且张、李二村庄相距13km．
（1）水泵应建在什么地方，可使所用的水管最短？请在图中设计出水泵站的位置；
（2）如果铺设水管的工程费用为每千米20000元，为使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少元？
例16：配套练习册，第77页第22题。
例17：（2012·菏泽）如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8．在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标．
例18：如图，每个小正方形的边长为1.
（1）求四边形ABCD的面积与周长（周长的结果精确到0.01）；
（2）∠BCD是直角吗？
例19：一个无盖纸盒，底面是面积为的正方形，高是15cm，小丽把一根木棒放在纸盒中，量得木棒露在纸盒外面部分是2cm，请求出这根木棒的总长度的取值范围。
例20：在数轴上作出表示的点。
18.2 勾股定理的逆定理
（一）知识要点
1、勾股定理的逆定理： 。
2、勾股数：①定义 ；
②举例 。
逆命题： ；
4、逆定理： 。
（二）经典例题
例21：下列各命题都成立，写出它们的逆命题。这些逆命题成立吗？
同旁内角互补，两直线平行。
对顶角相等。
全等三角形的对应角相等。
直角都相等。
如果两个实数相等，那么它们的平方相等。
角平分线上的点到角的两边的距离相等。
等角的余角相等。
例22：一个三角形的三边的比为，这个三角形是直角三角形吗？
例23：下列说法中是错误的（ ）
在△ABC中，∠C=∠A—∠B，则△ABC为直角三角形；
在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=5:2:3，则△ABC为直角三角形；
在△ABC中，若，则△ABC为直角三角形；
在△ABC中，若a：b：c=2：2:4，则△ABC为直角三角形；
例24：下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
若a=b，则；
全等三角形的周长相等；
若a=0，则ab=0；
有两边相等的三角形是等腰三角形。
例25：一个三角形的三边长分别是，则三角形中最大的角是 。
例26：若△ABC的三边a，b，c，满足，则△ABC是（ ）
等腰三角形 B、等边三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰三角形或直角三角形
例27：已知两条线段的长为5cm和12cm，当第三条线段的长为 cm时，这三条线段能组成一个直角三角形。
例28：如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB＝4，，F为CD的中点，连接AF、AE，问△AEF是什么三角形？请说明理由.
例29：观察下列两组勾股数:
(1) 3，4，5；5，12，13；7，24，25；┄
（2）6，8，10；10，24，26；14，48，50；┄
你发现上述两组勾股数各有什么特征？请用含有字母m,n的式子表示出来你还能发现勾股数有什么特征？
例30：正方形网格中，小格的顶点叫做格点，小华按下列要求作图：
①在正方形网格的三条不同实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上；
②连接三个格点，使之构成直角三角形．
小华在左边的正方形网格中作出了Rt△ABC，请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并求出这个直角三角形的面积．（要求：三个网格中的直角三角形互不全等）
跟踪练习一：
1、下面三角形：①三角形三内角之比为1：2：3；②三角形三边之比为3：4：5；③三角形三边长分别为2.5,6,6.5;④三角形三边长分别为8,15,17.其中是直角三角形的个数是( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
2、如图，一牧童在A处牧马，牧童家在B处，A、B处距河岸的距离AC、BD的长分别为50m和700m，且C、D两地的距离为500m，天黑前牧童从A点将马牵引到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童至少要走（ ）
A、 m B、1200m C、1300m D、1700m
如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm。当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）。想一想，此时EC有多长？
4、如图，在一个高BC为6米，长AC为10米，宽为2.5米的楼梯表面铺地毯，若每平方米地毯50元，你能算出共需多少元吗？
已知等边三角形的边长为6，求它的面积。
6、（2003 烟台）细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题．
（）2+1=2， S1=
（）2+1=3， S2=
（）2+1=4 ，S3=
（1）请用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；
（2）推算出OA10的长；
（3）求出S12+S22+S32+…+S102的值。
直角三角形
勾股定理
应用
判定直角三角形的一种方法
A
B
A
B
河边
l
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一、课程学习目标
1、体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单的实际问题。
2、会运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形。
3、了解勾股数的概念，能识记一些常见的勾股数。
4、能在数轴上找到一些表示无理数的点的位置，如、等。
5、了解逆命题、逆定理的概念。能写出一个命题的逆命题，会判定是否成立。
6、领会和掌握“数形结合”“方程”“转化”“分类讨论”等数学思想方法。
二、本章知识结构图
三、勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法,用拼图的方法验证勾股定理的思路是:
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理
常见方法如下：
方法一：，，化简可证。
方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为
大正方形面积为
所以
方法三：
，
，化简得证。
四、知识要点———经典例题———跟踪练习
18.1勾股定理
（一）知识要点
1、勾股定理： 。
2、至少会用三种方法来证明勾股定理。
（二）经典例题
例1：直角三角形的两条直角边长分别为5，12，则斜边上的高为 。
例2：已知Rt△ABC的周长为24，∠C=90°，且AB：AC=5：3，则BC的长等于（ ）。
例3：在△ABC中，，AB=10，
（1）若，求BC、AC的长（精确地0.01）
（2）若，求BC、AC的长（精确地0.01）
例4：有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门,如果把竹竿竖立放比门高1尺,斜放则恰好等于门的对角线长,已知门宽4尺,求门的高度.
例5：如图,我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是 1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，那么 的值为（ ）
A．13 B.19 C.25 D.169
例6：一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动 。
例7：如图,有一个圆柱形玻璃杯,它的高为12cm,底面半径 为3 cm,在玻璃杯底部A处有一只蚂蚁,它想吃到杯子上部B处的食物,则蚂蚁爬行的最短路程是 cm( 精确地0.1cm)
例8：直角三角形两边长为5和12，则它的斜边上的高为 。
例9：有一只小鸟在一棵高4米的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12米，高20米的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4米/秒的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？
例10：如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，任意连接这些小正方形的顶点，可得到一些线段。请在图中画出这样的线段。
例11：在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为 。
例12：（2012·黔东南），如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的坐标为（ ）
A (2，0) B ( C D (
例13：（2010·呼和浩特）如图，矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C/处，BC/交AD于点E，AD=8，AB=4，则DE的长为 。
例14：若△ABC的三边长a、b、c，满足，则△ABC的形状是（ ）A 直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 钝角三角形
例15：如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村A和李庄B送水，已知张村A、李庄B到河边的距离分别为2km和7km，且张、李二村庄相距13km．
（1）水泵应建在什么地方，可使所用的水管最短？请在图中设计出水泵站的位置；
（2）如果铺设水管的工程费用为每千米20000元，为使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费用为多少元？
例16：配套练习册，第77页第22题。
例17：（2012·菏泽）如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=10，OC=8．在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标．
例18：如图，每个小正方形的边长为1.
（1）求四边形ABCD的面积与周长（周长的结果精确到0.01）；
（2）∠BCD是直角吗？
例19：一个无盖纸盒，底面是面积为的正方形，高是15cm，小丽把一根木棒放在纸盒中，量得木棒露在纸盒外面部分是2cm，请求出这根木棒的总长度的取值范围。
例20：在数轴上作出表示的点。
18.2 勾股定理的逆定理
（一）知识要点
1、勾股定理的逆定理： 。
2、勾股数：①定义 ；
②举例 。
逆命题： ；
4、逆定理： 。
（二）经典例题
例21：下列各命题都成立，写出它们的逆命题。这些逆命题成立吗？
同旁内角互补，两直线平行。
对顶角相等。
全等三角形的对应角相等。
直角都相等。
如果两个实数相等，那么它们的平方相等。
角平分线上的点到角的两边的距离相等。
等角的余角相等。
例22：一个三角形的三边的比为，这个三角形是直角三角形吗？
例23：下列说法中是错误的（ ）
在△ABC中，∠C=∠A—∠B，则△ABC为直角三角形；
在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=5:2:3，则△ABC为直角三角形；
在△ABC中，若，则△ABC为直角三角形；
在△ABC中，若a：b：c=2：2:4，则△ABC为直角三角形；
例24：下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
若a=b，则；
全等三角形的周长相等；
若a=0，则ab=0；
有两边相等的三角形是等腰三角形。
例25：一个三角形的三边长分别是，则三角形中最大的角是 。
例26：若△ABC的三边a，b，c，满足，则△ABC是（ ）
等腰三角形 B、等边三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰三角形或直角三角形
例27：已知两条线段的长为5cm和12cm，当第三条线段的长为 cm时，这三条线段能组成一个直角三角形。
例28：如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB＝4，，F为CD的中点，连接AF、AE，问△AEF是什么三角形？请说明理由.
例29：观察下列两组勾股数:
(1) 3，4，5；5，12，13；7，24，25；┄
（2）6，8，10；10，24，26；14，48，50；┄
你发现上述两组勾股数各有什么特征？请用含有字母m,n的式子表示出来你还能发现勾股数有什么特征？
例30：正方形网格中，小格的顶点叫做格点，小华按下列要求作图：
①在正方形网格的三条不同实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上；
②连接三个格点，使之构成直角三角形．
小华在左边的正方形网格中作出了Rt△ABC，请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并求出这个直角三角形的面积．（要求：三个网格中的直角三角形互不全等）
跟踪练习一：
1、下面三角形：①三角形三内角之比为1：2：3；②三角形三边之比为3：4：5；③三角形三边长分别为2.5,6,6.5;④三角形三边长分别为8,15,17.其中是直角三角形的个数是( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
2、如图，一牧童在A处牧马，牧童家在B处，A、B处距河岸的距离AC、BD的长分别为50m和700m，且C、D两地的距离为500m，天黑前牧童从A点将马牵引到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童至少要走（ ）
A、 m B、1200m C、1300m D、1700m
如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm。当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）。想一想，此时EC有多长？
4、如图，在一个高BC为6米，长AC为10米，宽为2.5米的楼梯表面铺地毯，若每平方米地毯50元，你能算出共需多少元吗？
已知等边三角形的边长为6，求它的面积。
6、（2003 烟台）细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题．
（）2+1=2， S1=
（）2+1=3， S2=
（）2+1=4 ，S3=
（1）请用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；
（2）推算出OA10的长；
（3）求出S12+S22+S32+…+S102的值。
直角三角形
勾股定理
应用
判定直角三角形的一种方法
A
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