第六章计数原理 期末复习试卷-人教A版（2019）选择性必修第三册（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 第六章计数原理 期末复习试卷-人教A版（2019）选择性必修第三册（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 503.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-06-18 05:29:10 | ||
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文档简介
《计数原理》期末复习卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数
A. 24 B. 48 C. 72 D. 96
6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有
A. 120种 B. 90种 C. 60种 D. 30种
根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派7名党员去甲、乙、丙三个村进行调研，其中有4名男性党员，3名女性党员．现从中选3人去甲村，若要求这3人中既有男性，又有女性，则不同的选法共有
A. 35种 B. 30种 C. 28种 D. 25种
已知展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，，若…，则展开式中常数项
A. 32 B. 24 C. 4 D. 8
在的展开式中，含的项的系数为
A. 25 B. 65 C. D.
正方体六个面上分别标有A、B、C、D、E、F六个字母，现用5种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有种.
A. 420 B. 600 C. 720 D. 780
A. 12 B. 14 C. 15 D. 16
从分别标有数字1、2、3、…7的7张卡片中一次性抽取2张，则抽到的2张卡片上数字之和为8的概率是
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
现安排高二年级三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是
A. 所有可能的方法有种
B. 若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种
C. 若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种
D. 若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种
下列关于排列数与组合数的等式中，正确的是
A. B.
C. D.
如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，，是道路网中位于一条对角线上的5个交汇处，今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则
A. 甲从M到达N处的走法有70种
B. 甲从M必须经过到达N处的走法有12种
C. 若甲、乙两人途中在处相遇，则共有144种走法
D. 若甲、乙两人在行走途中会相遇，则共有1810种走法
现有3名老师，8名男生和5名女生共16人，有一项活动需派人参加，则下列命题中正确的是
A. 只需1人参加，有16种不同选法
B. 若需老师、男生、女生各1人参加，则有120种不同选法
C. 若需1名老师和1名学生参加，则有39种不同选法
D. 若需3名老师和1名学生参加，则有56种不同选法
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
用红、黄、蓝、绿四种颜色给如图中五个区域进行涂色，要求相邻区域所涂颜色不同，共有__________种不同的涂色方法用数字回答
从，，0，1，2，3这六个数中任选3个不重复的数作为二次函数的系数a，b，c，则可以组成抛物线的条数为__________.
的展开式中的常数项为__________.
已知R，其中是关于x的多项式，则__________：若，则除以81的余数为__________.
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
已知的展开式中第7项是常数项．
求n的值；
求展开式中二项式系数最大的项，
“烂漫的山花中，我们发现你.自然击你以风雪，你报之以歌唱.命运置你于危崖，你馈人间以芬芳.不惧碾作尘，无意苦争春，以怒放的生命，向世界表达倔强.你是岸畔的桂，雪中的梅.”这是给感动中国十大人物之一的张桂梅老师的颁奖词，她用实际行动奉献社会，不求回报，只愿孩子们走出大山.受张桂梅老师的影响，有大量志愿者到乡村学校支教，现有甲、乙2名志愿者和A，B，C，D，4名学生排成一排合影留念，求下列不同的排法种数.
甲、乙两人必须站在两端；
与B两人相邻且与C不相邻.
为了某次的航天飞行，现准备从10名预备队员其中男6人，女4人中选4人参加航天任务．
若男甲和女乙同时被选中，共有多少种选法？
若至少两名男航天员参加此次航天任务，问共有几种选法？
若选中的四个航天员分配到A、B、C三个实验室去，其中每个实验室至少一个航天员，共有多少种选派法？
二项式的展开式中，求：
二项式系数之和；
各项系数之和；
所有奇数项系数之和；
各项系数绝对值之和．
把1、2、3、4、5五个数字组成无重复数字的五位数，把它们由小到大排成一个数列.
求43251是这个数列的第几项；
求这个数列的第96项；
求这个数列的所有项和.
设，且已知展开式中所有二项式系数之和为
求n的值以及二项式系数最大的项；
求的值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了排列组合中的涂色问题，考查了分类计数原理.
正确分类是解决本题的关键.
【解答】
解：第一类：若 A ， D 相同，先涂 E 有 4 种涂法，再涂 A ， D 有 3 种涂法，再涂 B 有 2 种涂法， C 只有一种涂法，共有 种，
第二类，若 A ， D 不同，先涂 E 有 4 种涂法，再涂 A 有 3 种涂法，再涂 D 有 3 种涂法，当 B 和 D 相同时， C 有 1 种涂法，
当 B 和 D 不同时， B ， C 只有一种涂法，共有 种，
根据分类计数原理可得，共有 种，
故选：
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查组合与组合数公式、分步乘法计数原理，属于基础题 .
利用组合数公式分别求出“先从 6 名志愿者中选 1 名去甲场馆”、“再选 2 名去乙场馆”、“将剩下的 3 名安排到丙场馆”不同的安排方法种数，根据分步乘法计数原理求出不同的安排方法总种数 .
【解答】
解：甲、乙、丙三个场馆分别安排 1 、 2 、 3 名同学做志愿者，每名同学只去 1 个场馆，
先从 6 名志愿者中选 1 名去甲场馆，再选 2 名去乙场馆，将剩下的 3 名安排到丙场馆，
故不同的安排方法共有 种 .
故选：
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查组合与组合数的公式，属于基础题 .
利用间接法，用总数减去全部是男性和全部是女性的情况即可 .
【解答】
解：从 7 名党员中选 3 人的方法数为 ，
其中全部为男性的情况有 ，全部为女性的情况有 ，
所以不同的方法数为
故选
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查指定项的系数与二项式系数、二项展开式及其通项、二项展开式项的系数和与二项式系数的和，属于中档题．
根据二项式系数求出 n 的值，利用赋值法求出 的值，根据展开式的通项即可求出 展开式中常数项．
【解答】
解：因为 展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，
所以 ，解得 ，
令 ，则 ，
令 ，则 … ，解得 ，
的展开式的通项公式为 ，
令 ，得 ，
故 的展开式中的常数项为
故选：
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
由题意利用二项展开式的通项公式，求得含 的项的系数．
【解答】
解： 的展开式中，
含 的项的系数为 ，
故选：
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查排列组合知识，考查分类计数原理，考查学生的计算能力，属于中档题．
由题意，分三种情况讨论，第一种情况用 5 种颜色，必有 1 组对面同色，第二种情况用 4 种颜色，必有 2 组对面同色；第三种情况用 3 种颜色， 3 组对面都同色，利用分类计数原理，可得结论．
【解答】
解：分三类：第一类，用 5 种颜色，必有 1 组对面同色，此时有 种涂色方案；
第二类，用 4 种颜色，必有 2 组对面同色，此时有 种涂色方案；
第三类，用 3 种颜色， 3 组对面同色，此时有 种涂色方案；
故共有 种涂色方案 .
故本题选：
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了组合公式的计算，属于基础题．
利用组合数公式计算即可得答案．
【解答】
解：根据公式可得， ， ，
，
原式等于
故选：
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查古典概型、组合数，考查数学运算能力，属于基础题．
计算抽到的 2 张卡片上数字之和为 8 的情况种数除以所有抽到的 2 张卡片种数即可解决此题．
【解答】
解：从分别标有数字 1 、 2 、 3 、… 7 的 7 张卡片中一次性抽取 2 张的所有情况有 种，
抽到的 2 张卡片上数字之和为 8 的情况有 ， ， 共 3 种，
抽到的 2 张卡片上数字之和为 8 的概率是
故选：
9.【答案】BCD
【解析】
【分析】
本题考查分步乘法计数原理，属于中档题 .
结合分步乘法计数原理和间接解法，逐一分析求解即可 .
【解答】
解：对于 A ，依次让 3 名同学分别选择工厂，每一个同学都有 4 种方法，所以共有 种方法，故 A 错误；
对于 B ，考虑反面，即 3 名同学去乙、丙、丁三个工厂，共有 种方法，故工厂甲必须有同学去，共有 种方法，故 B 正确；
对于 C ，只需安排 两人，共有 种方法，故 C 正确；
对于 D ，由分步乘法计数原理知，共有 种安排方法，故 D 正确 .
故选
10.【答案】ABD
【解析】
【分析】
本题主要考查排列数公式、组合数公式的应用，属于基础题．
由题意利用排列数公式、组合数公式，逐一检验各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】
解：由题意利用排列、组合数公式，可得 … ，故 A 正确；
， ，
，故 B 成立；
， ， ，故 C 错误；
… … ，故 D 成立，
故选：
11.【答案】AD
【解析】
【分析】
本题主要考查简单计数问题，掌握步计数乘法原理是解本题的关键，属于中档题．
根据已知条件，结合分步计数乘法原理，即可依次求解．
【解答】
解：对于 A ，甲由道路网 M 处出发，随机地选择一条沿街的最短路径，
路径到达 N 处需走 8 步，横向 4 步，纵向 4 步，故共有 种走法，故 A 正确，
对于 B ，甲由道路网 M 处出发，随机地选择一条沿街的最短路径，
路径到达 处，需走 4 步，横向 2 步，纵向 2 步，有 种走法，
从 处沿街的最短路径到达 N 处需走 4 步，横向 2 步，纵向 2 步，有 种走法，
故共有 种走法，
对于 C ，由 B 可知，甲从 M 必须经过 到达 N 处的走法有 36 种，
同理乙从 N 必须经过 到达 M 处的走法也有 36 种，
故甲，乙两人在 处相遇，共有 种走法，故 C 错误，
对于 D ，甲，乙两人沿各自的最短路径行走，只可能在 ， ， ， ， 处相遇，
从 处沿街的最短路径到达 N 处有 种走法，
故甲从 M 处经过 到达 N 处的走法有 种，
同理乙从 N 处经过 到达 M 处的走法有 种，
他们在 处相遇的走法有 种，
则共有 种走法，故 D 正确．
故选：
12.【答案】ABC
【解析】
【分析】
本题考查了分步计数原理与分类计数原理，属于基础题.
分类计数原理和分步计数原理求解即可.
【解答】
解：选项 A ，分三类：取老师有 3 种选法，取男生有 8 种选法，取女生有 5 种选法，
故共有 种选法，故 A 正确；
选项 B ， 分三步：第一步选老师，第二步选男生，第三步选女生，
故共有 种选法，故 B 正确；
选项 C ， 分两步：第一步选老师，第二步选学生，第二步，又分为两类：第一类选男生，第二类选女生，故共有 种选法，故 C 正确；
选项 D ， 若需 3 名老师和 1 名学生参加，则有 13 种不同选法，故 D 错误 .
故选：
13.【答案】72
【解析】
【分析】
本题考查分类计数原理与分步计数原理的运用，属于中档题 .
按照使用了多少种颜色涂色分两类计数，再相加即可得解
【解答】
解：若四种额色全部用到，则A，C同色或BD同色，则共有种;
若只用三种颜色涂色，则A，C同色且同色，共有种，
根据分类加法计数原理可得，共有种涂色方法.
故答案为：
14.【答案】100
【解析】
【分析】
本题考查了分步乘法计数原理，属于基础题 .
由题意知 a 不能为 0 ，且 a 、 b 、 c 互不相等，根据分步乘法计数原理可以得出答案 .
【解答】
解：由题意知 a 不能为 0 ，故 a 的值有 5 种选法，
则 b 的值有 5 种选法，
则 c 的值有 4 种选法．
由分步乘法计数原理得：可以组成 条抛物线 .
故答案为
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了多项展开式的特定项与特定项的系数，属于中档题 .
由 ，然后利用二项展开式的特定项的系数计算得结论 .
【解答】
解：因为 ，
所以其展开式通项 ，
要求原式的常数项，先求 的展开式中的常数项，
因为 的展开式中的通项 ，
令 ，即 k 是 3 的倍数，所以 ， 3 ，
当 时， ，
当 时， ， ，
所以原式展开后常数项为 ，
故答案为
16.【答案】18
32
【解析】
【分析】
本题考查二项式定理的应用，属于中档题 .
利用 ，展开求出 a ， b ，即可得 的值 ; 由 ，展开，即可求余数 .
【解答】
解：因为 ，
所以 ，
所以 ， ，所以
若 ，即 ，则 ，
所以
，
故所求的余数为
故答案为：
17.【答案】解：展开式的通项为
因为第7项为常数项，
所以时，
所以，
即
因为，根据展开式中间项的二项式系数最大，
所以二项系数最大的项为与，
即，
【解析】本题考查二项式系数的性质，考查二项式展开式的通项公式，属于较易题．
展开式的通项为因为第7项为常数项，所以时为常数项，所以，解得即可；
因为，根据展开式中间项的二项式系数最大，所以二项系数最大的项为与，写出即可．
18.【答案】解：由题意得，先把甲、乙排在两端，其他4人排中间，
由分步乘法原理得，共有种方法.
由题意得，除A，B，C外，剩余的3人先排列，有种方法，
然后把A，B捆在一起看成整体与C去插空，有种方法，
由分步乘法原理可得，共有种方法.
【解析】本题考查排列应用，考查分步乘法计数原理应用，属于基础题.
依题意，先把甲、乙排在两端，其他4人排中间，结合分步乘法原理求解即可；
除A，B，C外，剩余的3人先排列，然后把A，B捆在一起看成整体与C去插空，结合分步乘法原理求解即可.
19.【答案】解：若男甲和女乙同时被选中，剩下的2人从8人中任选2人即可，即有种；
至少两名男航天员，可以分为2名，3名，4名男航天员三类，
利用分类计数原理可得种；
先选4名航天员，然后把这4名航天员可以分2，1，1一组，
再分配到A、B、C三个实验室去，共有种．
【解析】本题主要考查分类和分布计数原理，以及分组分配问题，关键是如何分组，属于中档题．
若男甲和女乙同时被选中，剩下的2人从8人中任选2人即可；
至少两名男航天员，可以分为2名，3名，4名三类，利用分类计数原理可得；
先选4名航天员，然后把这4名航天员可以分2，1，1一组，再分配到A、B、C三个实验室去，问题得以解决．
20.【答案】解：在二项式的展开式中，二项式系数之和为
在二项式的展开式中，令，，可得各项系数之和为…
令，，…
令，，可得…，
将两式相加可得，即为所有奇数项系数之和．
由题意可得…即为展开式中各项系数之和，
令，得，…
【解析】本题主要考查二项式定理的应用，在二项展开式中，通过给变量赋值，求得某些项的系数和，是一种简单有效的方法，属于一般题．
根据二项式系数之和为，计算求得结果．
在二项式的展开式中，令，，可得各项系数之和．
在所给的等式中，令，得到一个式子，再令，，又可得一个式子，将两式相加可得的值．
由题意可得…即为展开式中各项系数之和，令，得，…的值．
21.【答案】解：先考虑大于43251的数，分为以下三类，
第一类：以5打头的有：，
第二类：以45打头的有：，
第三类：以435打头的有：，
故不大于43251的五位数有：个，
即43251是第88项.
开头的五位数有；
2开头的五位数有；
3开头的五位数有；
4开头的五位数有；
所以1、2、3、4开头的五位数共有96个，
所以第96项是4开头最大的数，即
因为1，2，3，4，5各在万位上时都有24个五位数，所以万位上数字的和为：，同理它们在千位、十位、个位上也都有24个五位数，所以这个数列各项和为：
【解析】本题考查排列知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
先考虑大于43251的数，利用间接法求解；
、2、3、4开头的五位数共有96个，所以第96项是4开头最大的数，即可得到结论；
因为1，2，3，4，5各在万位上时都有24个五位数，所以万位上数字的和为：；同理它们在千位、十位、个位上也都有24个五位数，所以可求这个数列各项和．
22.【答案】解：展开式中所有二项式系数之和为1024，即，，
故二项式系数最大的项为
，
令，可得
，
令，可得，
【解析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．
由题意利用二项式系数的性质求得n，从而求得二项式系数最大的项．
分别给x赋值，即可得出结论．
第14页，共15页
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
如图，给7条线段的5个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有4种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数
A. 24 B. 48 C. 72 D. 96
6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有
A. 120种 B. 90种 C. 60种 D. 30种
根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派7名党员去甲、乙、丙三个村进行调研，其中有4名男性党员，3名女性党员．现从中选3人去甲村，若要求这3人中既有男性，又有女性，则不同的选法共有
A. 35种 B. 30种 C. 28种 D. 25种
已知展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，，若…，则展开式中常数项
A. 32 B. 24 C. 4 D. 8
在的展开式中，含的项的系数为
A. 25 B. 65 C. D.
正方体六个面上分别标有A、B、C、D、E、F六个字母，现用5种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有种.
A. 420 B. 600 C. 720 D. 780
A. 12 B. 14 C. 15 D. 16
从分别标有数字1、2、3、…7的7张卡片中一次性抽取2张，则抽到的2张卡片上数字之和为8的概率是
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
现安排高二年级三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是
A. 所有可能的方法有种
B. 若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种
C. 若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种
D. 若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种
下列关于排列数与组合数的等式中，正确的是
A. B.
C. D.
如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，，是道路网中位于一条对角线上的5个交汇处，今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则
A. 甲从M到达N处的走法有70种
B. 甲从M必须经过到达N处的走法有12种
C. 若甲、乙两人途中在处相遇，则共有144种走法
D. 若甲、乙两人在行走途中会相遇，则共有1810种走法
现有3名老师，8名男生和5名女生共16人，有一项活动需派人参加，则下列命题中正确的是
A. 只需1人参加，有16种不同选法
B. 若需老师、男生、女生各1人参加，则有120种不同选法
C. 若需1名老师和1名学生参加，则有39种不同选法
D. 若需3名老师和1名学生参加，则有56种不同选法
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
用红、黄、蓝、绿四种颜色给如图中五个区域进行涂色，要求相邻区域所涂颜色不同，共有__________种不同的涂色方法用数字回答
从，，0，1，2，3这六个数中任选3个不重复的数作为二次函数的系数a，b，c，则可以组成抛物线的条数为__________.
的展开式中的常数项为__________.
已知R，其中是关于x的多项式，则__________：若，则除以81的余数为__________.
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
已知的展开式中第7项是常数项．
求n的值；
求展开式中二项式系数最大的项，
“烂漫的山花中，我们发现你.自然击你以风雪，你报之以歌唱.命运置你于危崖，你馈人间以芬芳.不惧碾作尘，无意苦争春，以怒放的生命，向世界表达倔强.你是岸畔的桂，雪中的梅.”这是给感动中国十大人物之一的张桂梅老师的颁奖词，她用实际行动奉献社会，不求回报，只愿孩子们走出大山.受张桂梅老师的影响，有大量志愿者到乡村学校支教，现有甲、乙2名志愿者和A，B，C，D，4名学生排成一排合影留念，求下列不同的排法种数.
甲、乙两人必须站在两端；
与B两人相邻且与C不相邻.
为了某次的航天飞行，现准备从10名预备队员其中男6人，女4人中选4人参加航天任务．
若男甲和女乙同时被选中，共有多少种选法？
若至少两名男航天员参加此次航天任务，问共有几种选法？
若选中的四个航天员分配到A、B、C三个实验室去，其中每个实验室至少一个航天员，共有多少种选派法？
二项式的展开式中，求：
二项式系数之和；
各项系数之和；
所有奇数项系数之和；
各项系数绝对值之和．
把1、2、3、4、5五个数字组成无重复数字的五位数，把它们由小到大排成一个数列.
求43251是这个数列的第几项；
求这个数列的第96项；
求这个数列的所有项和.
设，且已知展开式中所有二项式系数之和为
求n的值以及二项式系数最大的项；
求的值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了排列组合中的涂色问题，考查了分类计数原理.
正确分类是解决本题的关键.
【解答】
解：第一类：若 A ， D 相同，先涂 E 有 4 种涂法，再涂 A ， D 有 3 种涂法，再涂 B 有 2 种涂法， C 只有一种涂法，共有 种，
第二类，若 A ， D 不同，先涂 E 有 4 种涂法，再涂 A 有 3 种涂法，再涂 D 有 3 种涂法，当 B 和 D 相同时， C 有 1 种涂法，
当 B 和 D 不同时， B ， C 只有一种涂法，共有 种，
根据分类计数原理可得，共有 种，
故选：
2.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查组合与组合数公式、分步乘法计数原理，属于基础题 .
利用组合数公式分别求出“先从 6 名志愿者中选 1 名去甲场馆”、“再选 2 名去乙场馆”、“将剩下的 3 名安排到丙场馆”不同的安排方法种数，根据分步乘法计数原理求出不同的安排方法总种数 .
【解答】
解：甲、乙、丙三个场馆分别安排 1 、 2 、 3 名同学做志愿者，每名同学只去 1 个场馆，
先从 6 名志愿者中选 1 名去甲场馆，再选 2 名去乙场馆，将剩下的 3 名安排到丙场馆，
故不同的安排方法共有 种 .
故选：
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查组合与组合数的公式，属于基础题 .
利用间接法，用总数减去全部是男性和全部是女性的情况即可 .
【解答】
解：从 7 名党员中选 3 人的方法数为 ，
其中全部为男性的情况有 ，全部为女性的情况有 ，
所以不同的方法数为
故选
4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查指定项的系数与二项式系数、二项展开式及其通项、二项展开式项的系数和与二项式系数的和，属于中档题．
根据二项式系数求出 n 的值，利用赋值法求出 的值，根据展开式的通项即可求出 展开式中常数项．
【解答】
解：因为 展开式中第三项的二项式系数与第四项的二项式系数相同，
所以 ，解得 ，
令 ，则 ，
令 ，则 … ，解得 ，
的展开式的通项公式为 ，
令 ，得 ，
故 的展开式中的常数项为
故选：
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
由题意利用二项展开式的通项公式，求得含 的项的系数．
【解答】
解： 的展开式中，
含 的项的系数为 ，
故选：
6.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查排列组合知识，考查分类计数原理，考查学生的计算能力，属于中档题．
由题意，分三种情况讨论，第一种情况用 5 种颜色，必有 1 组对面同色，第二种情况用 4 种颜色，必有 2 组对面同色；第三种情况用 3 种颜色， 3 组对面都同色，利用分类计数原理，可得结论．
【解答】
解：分三类：第一类，用 5 种颜色，必有 1 组对面同色，此时有 种涂色方案；
第二类，用 4 种颜色，必有 2 组对面同色，此时有 种涂色方案；
第三类，用 3 种颜色， 3 组对面同色，此时有 种涂色方案；
故共有 种涂色方案 .
故本题选：
7.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了组合公式的计算，属于基础题．
利用组合数公式计算即可得答案．
【解答】
解：根据公式可得， ， ，
，
原式等于
故选：
8.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查古典概型、组合数，考查数学运算能力，属于基础题．
计算抽到的 2 张卡片上数字之和为 8 的情况种数除以所有抽到的 2 张卡片种数即可解决此题．
【解答】
解：从分别标有数字 1 、 2 、 3 、… 7 的 7 张卡片中一次性抽取 2 张的所有情况有 种，
抽到的 2 张卡片上数字之和为 8 的情况有 ， ， 共 3 种，
抽到的 2 张卡片上数字之和为 8 的概率是
故选：
9.【答案】BCD
【解析】
【分析】
本题考查分步乘法计数原理，属于中档题 .
结合分步乘法计数原理和间接解法，逐一分析求解即可 .
【解答】
解：对于 A ，依次让 3 名同学分别选择工厂，每一个同学都有 4 种方法，所以共有 种方法，故 A 错误；
对于 B ，考虑反面，即 3 名同学去乙、丙、丁三个工厂，共有 种方法，故工厂甲必须有同学去，共有 种方法，故 B 正确；
对于 C ，只需安排 两人，共有 种方法，故 C 正确；
对于 D ，由分步乘法计数原理知，共有 种安排方法，故 D 正确 .
故选
10.【答案】ABD
【解析】
【分析】
本题主要考查排列数公式、组合数公式的应用，属于基础题．
由题意利用排列数公式、组合数公式，逐一检验各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】
解：由题意利用排列、组合数公式，可得 … ，故 A 正确；
， ，
，故 B 成立；
， ， ，故 C 错误；
… … ，故 D 成立，
故选：
11.【答案】AD
【解析】
【分析】
本题主要考查简单计数问题，掌握步计数乘法原理是解本题的关键，属于中档题．
根据已知条件，结合分步计数乘法原理，即可依次求解．
【解答】
解：对于 A ，甲由道路网 M 处出发，随机地选择一条沿街的最短路径，
路径到达 N 处需走 8 步，横向 4 步，纵向 4 步，故共有 种走法，故 A 正确，
对于 B ，甲由道路网 M 处出发，随机地选择一条沿街的最短路径，
路径到达 处，需走 4 步，横向 2 步，纵向 2 步，有 种走法，
从 处沿街的最短路径到达 N 处需走 4 步，横向 2 步，纵向 2 步，有 种走法，
故共有 种走法，
对于 C ，由 B 可知，甲从 M 必须经过 到达 N 处的走法有 36 种，
同理乙从 N 必须经过 到达 M 处的走法也有 36 种，
故甲，乙两人在 处相遇，共有 种走法，故 C 错误，
对于 D ，甲，乙两人沿各自的最短路径行走，只可能在 ， ， ， ， 处相遇，
从 处沿街的最短路径到达 N 处有 种走法，
故甲从 M 处经过 到达 N 处的走法有 种，
同理乙从 N 处经过 到达 M 处的走法有 种，
他们在 处相遇的走法有 种，
则共有 种走法，故 D 正确．
故选：
12.【答案】ABC
【解析】
【分析】
本题考查了分步计数原理与分类计数原理，属于基础题.
分类计数原理和分步计数原理求解即可.
【解答】
解：选项 A ，分三类：取老师有 3 种选法，取男生有 8 种选法，取女生有 5 种选法，
故共有 种选法，故 A 正确；
选项 B ， 分三步：第一步选老师，第二步选男生，第三步选女生，
故共有 种选法，故 B 正确；
选项 C ， 分两步：第一步选老师，第二步选学生，第二步，又分为两类：第一类选男生，第二类选女生，故共有 种选法，故 C 正确；
选项 D ， 若需 3 名老师和 1 名学生参加，则有 13 种不同选法，故 D 错误 .
故选：
13.【答案】72
【解析】
【分析】
本题考查分类计数原理与分步计数原理的运用，属于中档题 .
按照使用了多少种颜色涂色分两类计数，再相加即可得解
【解答】
解：若四种额色全部用到，则A，C同色或BD同色，则共有种;
若只用三种颜色涂色，则A，C同色且同色，共有种，
根据分类加法计数原理可得，共有种涂色方法.
故答案为：
14.【答案】100
【解析】
【分析】
本题考查了分步乘法计数原理，属于基础题 .
由题意知 a 不能为 0 ，且 a 、 b 、 c 互不相等，根据分步乘法计数原理可以得出答案 .
【解答】
解：由题意知 a 不能为 0 ，故 a 的值有 5 种选法，
则 b 的值有 5 种选法，
则 c 的值有 4 种选法．
由分步乘法计数原理得：可以组成 条抛物线 .
故答案为
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了多项展开式的特定项与特定项的系数，属于中档题 .
由 ，然后利用二项展开式的特定项的系数计算得结论 .
【解答】
解：因为 ，
所以其展开式通项 ，
要求原式的常数项，先求 的展开式中的常数项，
因为 的展开式中的通项 ，
令 ，即 k 是 3 的倍数，所以 ， 3 ，
当 时， ，
当 时， ， ，
所以原式展开后常数项为 ，
故答案为
16.【答案】18
32
【解析】
【分析】
本题考查二项式定理的应用，属于中档题 .
利用 ，展开求出 a ， b ，即可得 的值 ; 由 ，展开，即可求余数 .
【解答】
解：因为 ，
所以 ，
所以 ， ，所以
若 ，即 ，则 ，
所以
，
故所求的余数为
故答案为：
17.【答案】解：展开式的通项为
因为第7项为常数项，
所以时，
所以，
即
因为，根据展开式中间项的二项式系数最大，
所以二项系数最大的项为与，
即，
【解析】本题考查二项式系数的性质，考查二项式展开式的通项公式，属于较易题．
展开式的通项为因为第7项为常数项，所以时为常数项，所以，解得即可；
因为，根据展开式中间项的二项式系数最大，所以二项系数最大的项为与，写出即可．
18.【答案】解：由题意得，先把甲、乙排在两端，其他4人排中间，
由分步乘法原理得，共有种方法.
由题意得，除A，B，C外，剩余的3人先排列，有种方法，
然后把A，B捆在一起看成整体与C去插空，有种方法，
由分步乘法原理可得，共有种方法.
【解析】本题考查排列应用，考查分步乘法计数原理应用，属于基础题.
依题意，先把甲、乙排在两端，其他4人排中间，结合分步乘法原理求解即可；
除A，B，C外，剩余的3人先排列，然后把A，B捆在一起看成整体与C去插空，结合分步乘法原理求解即可.
19.【答案】解：若男甲和女乙同时被选中，剩下的2人从8人中任选2人即可，即有种；
至少两名男航天员，可以分为2名，3名，4名男航天员三类，
利用分类计数原理可得种；
先选4名航天员，然后把这4名航天员可以分2，1，1一组，
再分配到A、B、C三个实验室去，共有种．
【解析】本题主要考查分类和分布计数原理，以及分组分配问题，关键是如何分组，属于中档题．
若男甲和女乙同时被选中，剩下的2人从8人中任选2人即可；
至少两名男航天员，可以分为2名，3名，4名三类，利用分类计数原理可得；
先选4名航天员，然后把这4名航天员可以分2，1，1一组，再分配到A、B、C三个实验室去，问题得以解决．
20.【答案】解：在二项式的展开式中，二项式系数之和为
在二项式的展开式中，令，，可得各项系数之和为…
令，，…
令，，可得…，
将两式相加可得，即为所有奇数项系数之和．
由题意可得…即为展开式中各项系数之和，
令，得，…
【解析】本题主要考查二项式定理的应用，在二项展开式中，通过给变量赋值，求得某些项的系数和，是一种简单有效的方法，属于一般题．
根据二项式系数之和为，计算求得结果．
在二项式的展开式中，令，，可得各项系数之和．
在所给的等式中，令，得到一个式子，再令，，又可得一个式子，将两式相加可得的值．
由题意可得…即为展开式中各项系数之和，令，得，…的值．
21.【答案】解：先考虑大于43251的数，分为以下三类，
第一类：以5打头的有：，
第二类：以45打头的有：，
第三类：以435打头的有：，
故不大于43251的五位数有：个，
即43251是第88项.
开头的五位数有；
2开头的五位数有；
3开头的五位数有；
4开头的五位数有；
所以1、2、3、4开头的五位数共有96个，
所以第96项是4开头最大的数，即
因为1，2，3，4，5各在万位上时都有24个五位数，所以万位上数字的和为：，同理它们在千位、十位、个位上也都有24个五位数，所以这个数列各项和为：
【解析】本题考查排列知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
先考虑大于43251的数，利用间接法求解；
、2、3、4开头的五位数共有96个，所以第96项是4开头最大的数，即可得到结论；
因为1，2，3，4，5各在万位上时都有24个五位数，所以万位上数字的和为：；同理它们在千位、十位、个位上也都有24个五位数，所以可求这个数列各项和．
22.【答案】解：展开式中所有二项式系数之和为1024，即，，
故二项式系数最大的项为
，
令，可得
，
令，可得，
【解析】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．
由题意利用二项式系数的性质求得n，从而求得二项式系数最大的项．
分别给x赋值，即可得出结论．
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