4 自由落体运动

第九讲 4 自由落体运动
情景导入
1969年美国实现人类首次登月成功．在这次登月活动中，宇航员David.R.Scott在月球上证实了铁锤与羽毛下落得一样快，月球的引力加速度为1.67 m/s2．可是在我们生活的地球上，让一把铁锤和一片羽毛一起下落，根据我们日常生活经验可以知道，铁锤先落地羽毛后落地，这是什么原因造成的呢 设想地球上也处于真空状态，让我们重复上述实验，请猜想一下，会出现什么情景．同样在地球上让同一把铁锤分别在赤道和北极的10 m高空下落，落地时间相同吗 原因是什么
简答：因为在地球上铁锤和羽毛除了受到重力外，还受到空气的阻力作用．铁锤的重力比较大，空气阻力对铁锤的影响相比很小，而羽毛的重力比较小，空气阻力对羽毛的影响较大，因此铁锤比羽毛先落地．如果地球上也处于真空状态，则铁锤和羽毛将一起落地．让一把铁锤在赤道和北极10 m的高空下落，时间不相同，因为在赤道和北极g的取值不同．
新知预习
自由落体运动：物体由　　　开始只在重力作用下的运动，是初速度为?　　　?、加速度为　　　的匀加速直线运动.?
重力加速度：大小为　　　，方向　　　　.随地球纬度的增加而　　　，即在赤道　　　，两极　　　；并随高度的增大而　　　.?
自由落体运动的规律：由于自由落体运动是　　　　　　　　直线运动，所以　　　直线运动的规律均适用.?
竖直上抛运动特点及规律：分向上和向下两个过程，向上做初速度　　　、加速度　　的______________直线运动；向下做　　　　运动.
知识·巧学·升华
一、自由落体运动
1.定义：物体只在重力作用下从静止开始下落的运动。
2.物体做自由落体运动必须同时满足两个条件：一是物体只受重力作用，除此之外不受其他力的作用；二是从静止开始下落，不能有初速度。
3.对于有空气阻力的问题，若空气阻力远远小于重力，可近似看作自由落体运动。若只是空气阻力很小，而空气阻力与重力大小差不多，空气阻力对物体运动的影响巨大，则物体运动不是自由落体运动。
4.自由落体运动的性质：初速度为零的匀加速直线运动。
二、自由落体加速度
1.自由落体加速度又叫重力加速度，通常用g来表示。
2.自由落体加速度的方向总是竖直向下。
3.在不同地理位置处的自由落体加速度一般不同。在地球上不同的纬度，重力加速度值略有不同，赤道上物体的重力加速度最小，南（北）极处重力加速度最大；物体所处地理位置的纬度越大，重力加速度越大。
4.在同一地点，一切物体的自由落体加速度都相同。
5.在同一地点，距地球表面的高度h不同，重力加速度不同，距地面越高，重力加速度越小。
三、自由落体运动的运动规律
因为自由落体运动是初速度为0的匀加速直线运动，所以匀变速直线运动的基本公式及其推论都适用于自由落体运动。
1.速度公式：v＝gt。
2.位移公式：h＝gt2。
3.位移速度关系式：v2＝2gh。
4.平均速度公式：=。
5.推论：Δh＝gT2。
方法点拨 注意此处空半格因为自由落体运动是初速度为0的匀加速直线运动，所以匀变速直线运动的基本公式及其推论都适用于自由落体运动；利用匀变速直线运动的基本公式及其推论解答物理问题时注意的问题，同样是解答自由落体运动问题时要注意的问题。分析题意时，要弄清物理量中哪些是未知的，哪些是已知的，然后根据匀变速直线运动的公式或关系式列出方程，正确求解。其中，加速度是解决一般问题的关键。
问题·自主·探究
问题1 自由落体是一种理想化模型，请你结合实例谈谈什么情况下，可以将物体下落的运动看成是自由落体运动。
思路：回顾第一章质点的概念，谈谈我们在处理物理问题时，根据研究问题的性质和需要，如何抓住问题中的主要因素，忽略其次要因素，建立一种理想化的模型，使复杂的问题得到简化，进一步理解这种重要的科学研究方法。
探究：在物体所受的空气阻力可以忽略不计时，可以把物体下落的运动看成是自由落体运动，而当下落物体具有体积大，密度小的特点时，其所受的空气阻力比自身重力小得多，可以忽略不计。
问题2 地球上的不同地点，物体做自由落体运动的加速度相同吗？
思路：地球上不同的地点，同一物体所受的重力不同，产生的重力加速度也就不同。
探究：一般来讲，越靠近两极，物体做自由落体运动的加速度就越大;离赤道越近，加速度就越小。
问题3 轮船在地处北极圈内的某港口装载了重力为9.823×108N的矿石，当到达赤道附近的某港口卸货时却只称得了9.780×108 N的货物，奇怪!竟凭空少了4.3×106 N的货物!请你分析一下，这些“不翼而飞”的货物到哪儿去了 如果有两人分别位于两个港口，同时使物体从同一高度自由下落，哪个先落地
思路：不同地区的重力加速度大小不同，赤道最小，为9.780 m/s2，极地最大，为9.832 m/s2。而货物在地球上不同地区移动时，其质量并不变，所以物体的重力减小了。
探究：g的不同，会导致物体在不同地区下落时稍有差别，根据公式t=2h/g可知，下落相同高度，加速度大时，用时少。因此，货物并没丢失；在北极圈内的某港口下落的物体先落地。
典题·热题·新题
【例1】 关于自由落体运动，下列说法正确的是（ ）
A．物体竖直向下的运动不一定是自由落体运动
B．自由落体运动是初速度为零、加速度为g的竖直向下的匀加速直线运动
C．物体只在重力作用下从静止开始下落的运动叫自由落体运动
D．当空气阻力的作用比较小、可以忽略不计时，物体自由下落可视为自由落体运动
解析：自由落体运动是物体只在重力作用下从静止开始下落的运动，它是一种初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动．物体竖直向下的运动，初速度不一定为零；如果空气阻力的作用比较小、可以忽略不计时，物体由静止自由下落的运动可视为自由落体运动；所以正确选项为ABCD.
答案：ABCD
【例2】 在测量自由落体加速度的试验中，打点计时器所用电源的频率为50 Hz，实验中得到一条点迹清晰的纸带，把第一个点记作O，另选连续的4个点A、B、C、D作为测量的点，每两个测量点之间还有4个实际打出的点，如图2-4-2所示，图中所标数据是各测量点到O点的距离（单位：mm），那么由此可以计算自由落体加速度为多少？
图2-4-2
思路分析：由条件能求出各时间段位移大小，应考虑利用Δx=aT2解．
解析：因为打点周期T′＝0.02 s，所以各测量点之间的时间为T＝5×T′＝0.1 s．
由纸带数据得：sOA＝49.0 mm，sAB＝147.0 mm，sBC＝245.0 mm，sCD＝343.0 mm，即sAB-sOA＝sBC-sAB＝sCD-sBC＝98.0 mm，重锤做匀变速运动，其加速度a== m/s2＝9.8 m/s2＝g．
答案：9.8 m/s2
类题演练1
在测定自由落体加速度时，在其中一条纸带上取得连续清晰的7个点，用米尺测得第2、3、4、5、6、7各点与第1点的距离d如下表所示：
点的次序 1 2 3 4 5 6 7
距离d/cm 0 6.0 12.5 19.3 26.3 34.1 42.1
请用表中的这些数据求出自由落体加速度的数值．（打点计时器所用交流电的频率为50 Hz）
【例3】 在自来水龙头下放一空罐头盒，调节水龙头，让水一滴一滴地流出，并调节到使第一滴水碰到盒底的瞬间，第二滴水正好从水龙头口开始下落，且能依次持续下去．若给实验者的测量仪器是直尺和秒表，如何利用上述仪器测定重力加速度g的大小？需要测定哪些物理量？试写出计算重力加速度g的表达式．
思路分析：物体做自由落体运动必须满足两个条件：①物体只受重力作用；②初速度必须为零，每一滴水下落过程可近似看作自由落体运动．
解析：根据自由落体运动的规律和所给器材，能测出一滴水下落的高度h和时间t0，由于用秒表测一滴水下落的时间误差较大，可测出n滴水下落的时间，若测出听到n次水滴声的总时间为T，则每滴水自由下落的时间为t=，由h=gt2可得重力加速度的表达式为g=．
答案：g=
类题演练2
伽利略的自由落体实验和加速度实验均被选为最完美的实验，在加速度实验中，伽利略将光滑直木板槽倾斜固定，让铜球从槽顶端沿斜面由静止滑下．并用水钟测量铜球每次下滑的时间，研究铜球的运动路程与时间的关系，亚里士多德曾预言铜球的运动是均匀不变的，伽利略却证明铜球的运动路程与时间的平方成正比，请将亚里士多德的预言和伽利略的结论分别用公式表示（其中路程用s、速度用 v、加速度用a、时间用 t表示．）亚里士多德的预言：_______________________________________________________________________．伽利略的结论________________________________________________________________________．
伽利略的两个实验之所以成功，主要原因是自由落体实验中，忽略了空气阻力，抓住了重力这一主要因素．在加速度实验中，选用光滑直木板槽和铜球进行实验研究铜球运动，是为了减小铜球运动过程中的_____________，同时抓住______________________这一主要因素．
【例4】 A球自塔顶自由落下，当落下1 m时，B球自距塔顶7 m处开始自由下落，两球恰好同时落地，则塔高为多少？
思路分析：本题中有用的条件是两球运动时间相等，可由此列方程求解．
图2-4-4
解析：如图2-4-4所示，设塔高H，B下落时间t，A下落1 m时速度v1，则有：
H-1=v1t+gt2,H-7=gt2 v12=2gh（h=1 m）
由以上三式得：H＝16 m．
答案：16 m
类题演练3
如图2-4-5所示，长度为5 m的铁链，上端悬挂在O点．若从O点放开铁链，让其自由落下，求全链通过O点下方25 m处的A点所用的时间．（g取10 m/s2）
图2-4-5
变式提升
一只小球自屋檐自由下落，在Δt＝0.25 s内通过高度为Δh＝2 m的窗口，求窗口的顶端距屋檐多高 （取g＝10 m/s2）
思路分析：本题给出的条件是Δt时间内的位移，而要求出窗口顶端距屋檐的高度，需要求出的是小球到窗口顶端时的速度或从屋檐到窗口顶端所用时间．
【例5】 从离地面500 m的空中自由落下一个小球，取g＝10 m/s2，求小球：
（1）落到地面经过多长时间；
（2）自开始下落计时，在第1 s内的位移、最后1 s内的位移；
（3）下落时间为总时间的一半时的位移．
思路分析：由h＝500 m和自由落体加速度，根据位移公式可
直接算出落地时间，根据连续相等时间内的位移之比可算出位移．
解析：（1）由h=gt2得落地时间为：t== s=10 s.
（2）根据连续相等时间内的位移之比为：1∶3∶5∶…∶（2n-1）可知h1∶h10=1∶19
得h10=19h1=19××10×12 m=95 m．
（3）把下落的全过程时间分为相等的两段，则每段的位移之比为1∶3，所以前半段时间内的位移为：h1′=h=×500 m=125 m．
答案：（1）10 s （2）95 m （3）125 m
类题演练4
屋檐每隔一定时间滴下一滴水，当第5滴正欲滴下时，第1滴刚好落到地面，而第3滴与第2滴分别位于高1 m的窗子的上、下沿，如图2-4-7所示，问：
图2-4-7
（1）此屋檐离地面多高
（2）滴水的时间间隔是多少
【例6】 一个做竖直上抛运动的物体，当它经过抛出点上方0.4 m处时，速度是3 m/s，当它经过抛出点下方0.4 m处时，速度应为多少 （g取10 m/s2，不计空气阻力）
解析：设到达抛出点上方0.4 m处时还能再上升高度h，则h== m=0.45 m．最高点到抛出点下方0.4 m处的距离为h′=0.45 m+0.4×2 m=1.25 m，这段距离物体做自由落体运动，所以v′==5 m/s.
类题演练5
(2004广东高考)一杂技演员，用一只手抛球、接球，他每隔0.40 s抛出一球，接到球便立即把球抛出，已知除正在抛、接球的时刻外，空中总有四个球，将球的运动看作是竖直方向上的运动，球到达的最大高度是（高度从抛球点算起，取g＝10 m/s2）（ ）
A．1.6 m B．2.4 m C．3.2 m D．4.0 m
知识拓展
1.蹦极——体验自由落体
蹦极起源于太平洋的瓦努阿图群岛，是当地土著人的成年礼：男子满18岁时，必须用藤蔓绑住双脚从20 m高的筑台跳下去，才可以成为真正的男人.现在它已成为一种挑战人类意志极限，体验“重生”的现代体育运动，又称“高空弹跳”，风行于欧美及亚太地区，近一两年才被引进中国.
“蹦极”就是跳跃者站在约40 m以上（相当于10层楼高）高度的桥梁、塔顶、高楼、吊车甚至热气球上，把一端固定的一根长长的橡皮绳绑在踝关节处然后两臂伸开，双腿并拢，头朝下跳下去.绑在跳跃者踝部的橡皮条很长，足以使跳跃者在空中享受几秒钟的“自由落体”.当人体落到离地面一定距离时，橡皮绳被拉开、绷紧，阻止人体继续下落，当到达最低点时，橡皮绳再次弹起，人被拉起，随后又落下，这样反复多次直到橡皮绳的弹性消失为止，这就是蹦极的全过程.
假设某次“蹦极跳”活动中，某人跳下后，自由下落3 s，然后由于绳的拉力使跳跃者又经过3 s下降到最低点.求该跳跃者下降了多高，在后3 s内平均加速度为多大？方向如何？
解析：设3 s末的速度为v，则：v＝gt＝10×3 m/s＝30 m/s
此时下降的高度为：h1＝gt2＝×10×32 m＝45 m
后阶段减速运动（当成加速度不变的减速运动处理），应有：
a＝
解得：a＝－10 m/s2.
此过程下降的高度为：将此过程看成是由最低点向上运动的加速运动，其初速度、加速度、末速度均与前阶段的自由落体运动一样，故可类似处理.
h2＝gt2＝45 m
该跳跃者下降的总高度为：H＝h1＋h2＝90 m
后3 s内的平均加速度为10 m/s2，方向竖直向上.
处理问题时，可灵活运用一些运动的特点，结合逆向思维的方法，使某些过程变得简单.此种逆向思维方法在处理运动学问题时经常要用到.
2.重力加速度
在地球表面上方不太高的范围内，质点因受地球引力作用而产生的加速度，称为重力加速度.也可以说：物体由于重力作用而获得的加速度叫做重力加速度.地面附近的物体，由于其他天体距离它很远，地球上其他物体对它的万有引力很小，所以该物体的重力皆指地球对它的万有引力，其方向指向地心.在地面附近，任何物体的重力加速度在同一地点都相同，但在不同地点，物体的重力加速度稍有不同.这种加速度用字母g表示.经测定，在赤道附近，g＝9.78 m/s2；在地球北极g＝9.83 m/s2；在北京g＝9.80 m/s2；在上海g＝9.79 m/s2.在一般要求不需太精确的计算中，可近似地取g＝9.8 m/s2.竖直上抛物体的运动是一种匀减速直线运动，在运动过程中只受到重力作用（空气阻力忽略不计），这时它的加速度也就是重力加速度.但是加速度的方向和物体开始竖直上抛时的初速度方向相反.如果取运动物体竖直向上的方向为正，则加速度的方向应取负值，即a＝－g＝－9.8 m/s2.以上各地的重力加速度，都是就平均海平面处而言的.在离地面极高处，重力加速度就显著减小.又因地球是椭圆球，其极半径比赤道半径约小0.3%，所以同一物体在不同的地域所受重力略有不同.地面附近的物体随地球一起转动，万有引力还必须提供其向心力，所以同一物体在不同的地域所受的重力不仅数值略有不同，而且方向也并不指向地心.因此在不同地域的重力加速度也略有不同，方向也并不指向地心.
3.光电门和数字计时器探究自由落体运动的规律
仪器和器材：
物理支架（J1101型）或方座支架（J1102型），铁质小球（直径2～2.5 cm），数字计时器（J0201－1型），光电门2个，直尺或钢卷尺，学生电源（J1202型或J1202－1型），电磁铁.
实验方法：
（1）按如图将光电门A、B和电磁铁安装在支架上，调整它们的位置使三者在一条竖直线上.当电磁铁断电释放小球后，小球能顺利通过两个光电门，如图2－4－7所示.
图2－4－7
（2）将数字计时器通电并调整光电门，当光电门A光路被瞬间切断时，即开始计时；当光电门B的光路被瞬间切断时，则停止计时.再接通电磁铁电源吸住小球，开始实验.切断电磁铁电源，小球落下.此时计时器显示的时间即为小球做自由落体运动通过两光电门A、B的时间Δt，实验连续做三次，然后取平均值.
（3）用直尺测出从小球开始下落的位置到两个光电门中心的距离h1、h2，由公式h1=gt12和h2=gt22，得
Δt=t2－t1=－=（h2－h1）
Δt2=（h2－h1）2，g=
由此就可算出所测的重力加速度.
注意事项：
（1）用电磁铁释放小球的缺点是，当切断电流后，电磁铁的磁性消失需要一段时间，铁球与电磁铁铁心可能有一些剩磁，都会使下落时间较实际值大，引起误差.因此，上面介绍的方法是测定小球通过两光电门之间距离所用的时间.避免了测定小球开始下落的时刻，这样就消除了上述误差.
（2）测量小球从开始下落的位置到两个光电门中心的距离h1、h2，应该是从小球下部球表面到两个光电门中心的距离.而不是小球中心到光电门中心的距离，因为光电门在小球下表面隔断光线时就立即开始计时.为了提高精度，光电门的光束应该调得较细，并适当增大两光电门A、B间的距离，使时间测量的相对误差减小.
读书做人
人类对自由落体运动的认识过程
人类对自由落体运动的运动规律的发现和探索，经历了一个漫长而曲折的过程.以下编者就是想让同学们通过对人类探究自由落体运动的历史过程的了解学会怎样有目的地进行实验，并通过推理排除假象和干扰因素，正确理解和认识自由落体运动.
一、亚里士多德对落体运动的认识
亚里士多德为了解释物体为什么运动，提出了“自然归宿说”.他认为：在人类所能达到的物理范围内，每一种物质均由土、水、气、火四种元素组成.这四种元素中每一种都具有天然的要求，既有回到它原来静止的天然趋势或意向.他认为地球和月球之间形成了四个同心球，土在下方，水位于土之上，气环绕于水或位于水之上，而火倾向于上升，故在最外层.这种排序就得到了每种元素的自然归宿，则物体的实际运动就完全取决于占最大数量元素的运动趋势或意向，所以水汽上升是因为其中的火元素太多，而水汽升到高空后，由于火元素被释放到天空，水元素又恢复了优势，因此有了落雨.按他的原理，一个大石块就比小石块包含的土元素多，因此就下落得快.他认为当物体不受外力时，就力图回到自己的天然位置，这就是亚里士多德提出的所谓自然归宿论的天然运动理论和落体规律.
二、历代科学家对亚里士多德学说的挑战
亚里士多德的理论在伽利略以前就曾经不断受到科学家的批评，1585年意大利的数学家贝内德蒂在他的著作《多种多样的思考》中，曾用后来伽利略也采用的归谬法来反驳亚里士多德的落体理论；斯特芬在1586年所著的《静力学》一书中记载，作者和杨·达·格鲁特在德而夫特合作从30英尺高处同时抛出一个重力是另一个重力十倍的两个铅球，结果落地声音差不多是同时发生的，而不是亚里士多德所说的重球落下所用时间只是轻球的1/10.后来，伽利略在《关于两门新科学的对话》中，通过代表亚里士多德观点的新普利邱，代表伽利略新观点的萨尔维阿蒂，还有一位持中立观点的沙格列陀三人的对话，机智而又风趣地对亚里士多德的理论进行了批评.但伽利略是否在比萨斜塔上做过实验已经成为科学界争论不休的一个迷.这里肯定的是伽利略的确通过逐渐增大斜面倾角的著名伽利略斜面实验定性证明了自由落体运动是匀变速直线运动，并进行了定量计算.
思考：（1）有人说存在就说明有道理，那么亚里士多德的学说能够存在2 000多年，就一定是有道理的，你能否设计一个实验来“证明”这个道理的存在并找出其错误的原因？
（2）你能否从石头和树叶捆在一起下落，得到的两个截然相反的结论推翻亚里士多德关于落体运动的结论的例子中学会运用归谬法来解决物理问题.
自主广场
我夯基 我达标
1.下列说法中正确的是（ ）
A.从静止开始下落的物体都必做自由落体运动
B.从地球表面附近做自由落体运动的物体，速度都是相等的
C.自由落体运动加速度的方向总是竖直向下的
D.满足速度跟时间成正比的运动一定是自由落体运动
解析：物体只受重力作用从静止开始落的运动是自由落体运动，所以A错.自由落体加速度大小是随着纬度变化而变化的，且方向竖直向下，所以B错，C对.运动速度与运动时间成正比的运动，是初速度为零的匀加速直线运动，但它不一定是自由落体运动，所以D错.
答案：C
2.下列说法正确的是（ ）
A.物体的初速度为零，竖直向下的匀加速直线运动是自由落体运动
B.加速度为g的匀加速直线运动是自由落体运动
C.物体只在重力作用下从静止开始下落的运动叫自由落体运动
D.当空气阻力的作用较小，可以忽略不计时，物体由静止开始自由下落的运动可视为自由落体运动
解析：自由落体运动是物体只在重力作用下由静止开始下落的运动，它的初速度为零，只受重力作用.若空气阻力比较小，可以忽略不计时，物体由静止开始自由下落可视为自由落体运动，其运动的加速度为g.
答案：CD
3.关于自由落体运动的加速度g，下列说法中正确的是（ ）
A.重的物体g值大 B.同一地点，轻、重物体的g值一样大
C.g值在地球上任何地方都一样大 D.g值在赤道处大于北极处
解析：同一地点的重力加速度一样，但在不同地点重力加速度不一样，它随着纬度的增加而增加，随着高度的增加而减小.
答案：B
4.甲、乙两物体在同一地点分别从4h和h高处开始做自由落体运动，若甲的质量是乙的4倍，则下列说法中正确的是（ ）
A.甲、乙两物体落地时速度相等 B.落地时甲的速度是乙的2倍
C.甲、乙两物体同时落地 D.甲在空气中运动的时间是乙的2倍
解析：同一地点，物体做自由落体运动的加速度不变，与物体的轻、重无关.根据自由落体运动的规律可知B、D正确.
答案：BD
5.以下对物体做自由落体运动的说法中正确的是（ ）
A.物体自由下落时，速度为零，加速度也为零
B.物体下落过程中速度增加，加速度保持不变
C.物体下落过程中，速度和加速度同时增大
D.物体下落过程中，速度的变化率是个恒量
解析：做自由落体运动的物体，加速度不变，速度增大，而速度的变化率为加速度，是恒量.
答案：BD
我综合 我发展
6.一物体从某高处自由落下，在最后1 s内下落的距离为全程的一半.求从下落到落地所用的时间及物体开始下落时离地面的高度.
解析：设下落的总时间为t，离地高度为x，由自由落体运动的关系式x=gt2知，x-=g(t-1)2，可解得：t=3.4 s，x=56.6 m.
答案：见解析
7.做自由落体运动的物体，通过前一半路程和后一半路程所用的时间之比是多少？
解析：设通过前一半路程的时间为t1，后一半路程的时间为t2，则有=gt12,x=g(t1+t2)2，所以t1∶t2=1∶(-1).
答案：1∶(-1)
8.从屋顶先后落下两滴水A和B，在B落下2 s后，A、B之间的距离为24.5 m，则A比B早下落____________s.（不计空气阻力）
解析：对A、B两物体分别运用自由落体的运动规律，然后找出两者运动的时间关系和位移关系，解方程即可.若无特殊说明，取g=9.8 m/s2.
设A比B早下落t s，则hA=g(t+2)2,hB=gt02,t0=2 s
hA-hB=24.5 m，解得t=1 s.
答案：1
9.系一重物在气球上，以4 m/s的速度匀速上升，当离地9 m时绳断了，求重物的落地时间.（g取10 m/s2）
解析：全过程可视为匀变速运动处理.设向上为正，则g=-10 m/s2，抛出点以下的位移为负，可得-x=v0t-at2，代入数据得，t=1.8 s或t=-1.0 s（舍去）.
答案：1.8 s
10.如图2-4-1所示，在天花板下悬挂一长为l的木棍，在木棍下端的正下方h处有一观察者，他看到木棍因悬线断开而自由下落.求木棍通过观察者P所经历的时间.
解析：绳断后，整个木棍做自由落体运动，则木棍上下两点经过P点的时间差，即为木棍通过P点所经历的时间.
设木棍下端经过t1到达P点，木棍上端经过t2到达P点，则有h=gt12，解得t1=
l+h=gt22，解得t2=，故t2-t1=-.
答案：-
我创新 我超越
11.为研究在月球上的跳高问题，课题研究组的同学小李、小王、小华，在望江楼图书馆的多媒体阅读室里上多媒体宽带网的“世界体坛”网站，点播了当年朱建华破世界纪录的精彩的视频实况录像，并就“朱建华在月球上能跳多高？”展开了相关讨论.
解说员：“……各位观众你们瞧，中国著名跳高选手朱建华正伸臂、扩胸、压腿做准备活动，他身高1．83米.注意了：他开始助跑、踏跳，只见他身轻如燕，好一个漂亮的背跃式，将身体与杆拉成水平，跃过了2．38米高度，成功了！打破了世界纪录.全场响起雷鸣般的掌声……”
小李：朱建华真棒！如果他在月球上还能跳得更高一些．
小王：对.据我们所学的力学知识可知，他在月球上的重力加速度g月是地球上的重力加速度g地 的六分之一，那么他在月球上的重力将是地球上重力的六分之一，因此他在月球上能跳过的高度将是地球上能跳过高度的6倍，由2.38 × 6米=14.28米，即朱建华在月球上能跳过的高度是14.28米.
小华：你的分析是：“力为地球上的六分之一，则跳过的高度为地球上的6倍”，理由似乎不够确切.我认为应从功和能的关系思考问题.我设朱建华在踏跳时，脚蹬地弹力做功为W弹，对于同一个朱建华来说，不论是在月球上还是地球上，W弹 都是相同的，可以计算出朱建华在月球上能跳过的高度也是14.28米.
老师：小华的计算还有问题，在重心计算时没有注意到著名的“黄金律”，这是一条普适定律.现给你们介绍如下：
公元前6世纪数学家华达可拉斯发现0.618的比率叫做黄金律又叫黄金比，人体的新陈代谢、生理节奏、生理功能的最佳环境温度为23 ℃，这是由于37 ℃×0.618≈23 ℃的缘故.标准身高用黄金分割得肚脐眼，脐眼以上分割得肩膀，肩膀以上分割得鼻眼，肚脐眼以下分割得膝盖，上长肢跟下长肢的比≈0.618，下长肢跟身高之比≈0.618等等.
请根据以上的讨论，求出朱建华在月球上能跳多高.
答案：略
更上一层楼
基础·巩固·达标
1.下列各种运动中，属于自由落体运动的是（ ）
A.在沿水平方向运动的飞机上释放一个物体
B.纸片由静止释放，在空气中下落
C.初速度为零，加速度大小恒等于g的运动
D.小铁球由静止下落，空气阻力要略去不计
解析：自由落体运动是物体只在重力作用下从静止开始的运动，选项A不满足v0＝0的条件，选项B不满足只受重力作用的条件，故均不正确。自由落体运动是加速度a＝g的匀变速直线运动，但不能认为v0＝0,a＝g的运动都是自由落体运动，如果物体在水平面上以a＝g沿水平方向运动，就不满足只受重力作用的条件，故C也被排除，只有选项D正确。
答案：D
2.甲物体的重力比乙物体的重力大5倍，甲从H m高处自由落下，乙从2H m高处同时自由落下。以下几种说法中正确的是（ ）
A.两物体下落过程中，同一时刻甲的速率比乙大
B.下落1 s末，它们的速度相等
C.各自下落1 m它们的速度相等
D.下落过程中甲的加速度比乙大
解析：物体在下落过程中，因是自由下落，只受重力影响，加速度都为g，与质量无关，D选项错误。又由v＝gt，知A选项错B选项正确。又由公式v2＝2gh可知C选项正确，故答案应选B、C。本题是对自由落体运动基本概念的应用的考查，最易出现的错误是误认为质量大的物体加速度大，而质量小的物体加速度小，以至于错选为A、D两个答案。其主要原因是没有弄清楚“自由下落”即为物体做自由落体运动。
答案：BC
3.自由下落的物体，当它落到全程一半和全程所用时间之比是（ ）
A.1∶2 B.2∶1 C.∶2 D. ∶1
解析：本题考查位移公式的理解和应用。自由落体运动是一种特殊的匀加速直线运动（初速度为零、加速度为g恒定），所以运动学中的速度公式和位移在自由落体中都适用。全程的时间为t＝，半程时间为t′＝，所以t′∶t＝∶2。
答案：C
4.自由下落的物体，从H高处自由落下，当物体的运动速度是着地速度的一半时，距地面的高度为____________。
解析：本题是在具体的情景中考查自由落体运动中的速度与位移的关系，掌握公式，抓住题中条件是解答本题的关键。当物体的运动速度是着地速度的一半时，物体距地面的高度为x，则物体着地速度为v＝。距地面高度为x时的速度为v′＝，根据题中要求v′＝，即＝，解得x＝。
答案：
5.关于自由落体运动，下列说法中正确的是 （ ）
A.它是竖直S向下、v0＝0、a＝g的匀加速直线运动
B.在开始连续的三个1 s内通过的位移之比是1∶3∶5
C.在开始连续的三个1 s末的速度大小之比是1∶2∶3
D.从开始运动起下落4.9 m、9.8 m、14.7 m所经历的时间之比为1∶2∶3
解析：本题考查了自由落体运动的规律、特点的应用，在解答问题的过程要善于根据题中的条件，变换情景，进而达到解答问题的目的。自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，所以满足初速度为零的匀加速直线运动规律，则A、B、C正确。当h1＝4.9 m，h2＝9.8 m，h3＝14.7 m时h1∶h2∶h3＝1∶2∶3，因为t＝，所以t1∶t2∶t3＝∶∶＝1∶∶。
答案：ABC
6.物体从80 m高处自由落下，要把这80 m高度分为四段，使物体通过每一段所用的时间都相等，则这四段的高度是___________、___________、___________和___________。
解析：本题考查了对自由落体运动规律的综合应用，牢记规律、牢记规律使用的条件是解答此类题的关键。匀变速直线运动的公式及推论在自由落体运动中照常使用，而且使用起来特别方便。因为h1∶h2∶h3∶h4＝1∶3∶5∶7，所以＝，所以h1＝5 m；h2＝3h1＝15 m；h3＝5h1＝25 m；h4＝7h1＝35 m。
答案：5 m 15 m 25 m 35 m
7.一物体自由下落，另一物体同时以3 m/s的速度竖直下抛，经5 s两物体同时落地。求抛出时两物体的高度差。
解析：将自由落体运动和竖直下抛运动综合在一起，以两个物体的不同运动创设情景，画出描述物体运动图景的图，合理地选取公式是解答此类题的关键。
解：Δh＝h1－h2＝gt2－（v0t+gt2）＝v0t＝15 m。
综合·应用·创新
8.从某一高度相隔1 s先后释放两个相同的小球甲和乙，不计空气阻力，它们在空中下落的过程中（ ）
A.两球距离始终保持不变，两球速度差保持不变
B.两球距离越来越大，速度之差也越来越大
C.两球距离越来越大，速度之差保持不变
D.两球距离越来越小，速度之差越来越小
解析：相隔距离Δh=gt2-g（t－1）2=gt-g，随t的增加Δh增加，速度差Δv=gt－g（t－1）=g，不变。
答案：C
9.(2004广东)一杂技演员，用一只手抛球、接球，他每隔0.40 s抛出一球，接到球便立即把球抛出，已知除正在抛、接球的时刻外，空中总有四个球，将球的运动看作是竖直方向上的运动，球到达的最大高度是（高度从抛球点算起，取g=10 m/s2）（ ）
A. 1.6 m B. 2.4 m C.3.2 m D.4.0m
解析：由题意知，球抛出后上升到最大高度所用的时间为0.8 s，则球上升的最大高度为H=gt2=×10×0.82=3.2 m。
答案：C
10.物体由A点自由下落，经过B点到达C点，已知物体经过B点时的速度是到达C点时的1/3，B、C之间的距离是24 m，则A、C之间的距离是________________。
解析：因为vB=vC，所以gtB=gtC，所以tB=tC。
又因为gtc2－g（tC）2=24，所以·（gt02）=24，所以hC=gtc2=27 m。
答案：27 m
11.物体从高处自由落下，通过1.75 m高的窗户所需的时间为0.1 s，物体从窗底落到地面所需的时间为0.2 s，则物体是从___________m的高处开始下落的。
解析：设物体下落高度为x，窗户的高度为x1，从开始下落到窗顶的速度为v，所需的时间为t1，通过窗户所需要的时间为t2，从窗底到地面所需的时间为t3。
则有v＝gt1x1＝vt2+gt22
由以上两式并代入数据得1.75＝10×t1×0.1+×10×0.12，
解得t1＝1.7 s
物体下落的高度x1＝g（t1+t2+t3）2＝×10×（1.7+0.1+0.2）2m＝20 m。
答案：20
12.竖直悬挂一根长15 m的杆，在杆的正下方距下端5 m处有一观察点A，问杆自由落下且全部经过A点总共需多少时间？（g取10 m/s2）
解：当杆下落5 m时开始过A点，此时杆的速度为v1=m/s=
10 m/s，当杆下落到全部经过A点时，杆下落的距离为20 m，此时杆的速度为v2==m/s=20 m/s，也就是杆经过A点的时间是杆的速度由v1=10 m/s变为v2=20 m/s时，即v2=v1+gt，所以t=1 s。
13.(2005全国)原地起跳时，先屈腿下蹲，然后突然蹬地。从开始蹬地到离地是加速过程(视为匀加速)，加速过程中重心上升的距离称为“加速距离”。离地后重心继续上升，在此过程中重心上升的最大距离称为“竖直高度”。现有下列数据：人原地上跳的“加速距离”d1＝0.50 m，“竖直高度”h1＝1.0 m；跳蚤原地上跳的“加速距离”d2＝0.000 80 m，“竖直高度”h2＝0.10 m。假想人具有与跳蚤相等的起跳加速度，而“加速距离”仍为0.50 m，则人上跳的“竖直高度”是多少
解：用a表示跳蚤起跳时的加速度，v表示离地时的速度，则对加速过程和离地后上升过程分别有：v2=2ad2,v2=2gh2,若假想人具有和跳蚤相同的加速度a，令v表示在这种假想下人离地时的速度，H表示与此相应的竖直高度，则对加速过程和离地后上升的过程分别有v2=2ad1,v2=2gh，由以上各式可得H=，代入数据得H=63 m。