5.2 导数的运算
思维导图
常见考法
考点一 初等函数求导
【例 1】（2020·林芝市第二高级中学高二期末（文））求下列函数的导函数.
1 3 2（ ） f x 2x 4x
（2） f x 1 x3 x2 ax 1
3
（3） f (x) x cos x, x (0,1)
（4） f (x) x 2 3x ln x
（5） y sin x
x 1
（6） y
x 1
【一隅三反】
1．（2020·西藏高二期末（文））求下列函数的导数.
（1） y x2 sin x；
（2） y ln x 1 ；
x
（3） y 2x3 3x2 5x 4 .
2．（2020·通榆县第一中学校高二月考（理））求下列函数的导数：
（Ⅰ） y 2x2 ln x cos x；
（Ⅱ） y x3ex .
3．（2020·山东师范大学附中高二期中）求下列函数在指定点的导数：
2
（1） y 4ln(3x 1) ， x 1；
x
2xy 2cos x（2） ， x π ．
2π 1 sin x 2
考点二 复合函数求导
【例 2】．（2020·凤阳县第二中学高二期末（理））求下列函数的导数：
（1） y = e2x；（2） y 1 3x 3 .
【一隅三反】
1．（2020·陕西碑林·西北工业大学附属中学高二月考（理））求下列函数的导数：
(1) y＝(2x+1)n， n N * ；
(2) y ln x 1 x2 ；
x
(3) y e 1 ；
ex 1
(4) y＝2xsin(2x+5)．
2．（2020·横峰中学高二开学考试（文））求下列各函数的导数：
（1） y ln(3x 2)；（2） f x e 2x 1 ex e2（3）y＝ 1 2x2
考点三 求导数值
【例 3】．（2020·甘肃城关·兰州一中高二期中（理））已知函数 f (x)的导函数为 f (x)，且满足
f (x) 3xf (1) ln x，则 f (1)
1
A．
1
B． C． 1 D． e
2 2
【一隅三反】
cos x
1．（2020·广东湛江·高二期末（文））已知函数 f x ，则 f （ ）
x 2
2 2 3 3
A． B． C． D．
1
2 2．（2020·四川高二期中（理））若函数 f x x 2 f 0 cos x x，则 f 的值为（ ）2 6
A．0 B． C． D．
6 3
3．（2020·广西桂林·高二期末（文））已知函数 f (x) x2 x，则 f 1 （ ）
A．3 B．0 C．2 D．1
考点四 求切线方程
1 4
【例 4】．（2020·郸城县实验高中高二月考（理））已知曲线 y x3
3 3
（1）求曲线在点 P(2,4)处的切线方程；
（2）求曲线过点 P(2,4)的切线方程
【一隅三反】
x
1．（2020·黑龙江大庆实验中学高三月考（文））曲线 y 在点 1, 1 处的切线方程为
x 2
A． y 2x 1 B． y 3x 2 C． y 2x 3 D． y x 2
1 3
2．（2020· 2河南高三其他（理））曲线 y x ln 2x 在某点处的切线的斜率为 ，则该切线的方程为
2 2
（ ）
A．3x 2y 1 0 B．3x 2y 1 0
C．6x 4y 5 0 D．12x 8y 7 0
1
3．（2020·北京高二期末）过点 P（0，2）作曲线 y＝ 的切线，则切点坐标为（ ）
x
1 1
A．（1，1） B．（2， ） C．（3， ） D．（0，1）
2 3
4．（2020·吉林洮北·白城一中高二月考（理））已知函数 f(x)＝x3－4x2＋5x－4．
(1)求曲线 f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)求经过点 A(2，－2)的曲线 f(x)的切线方程．
考点五 利用切线求参数
x
【例 5】．（2020·全国高三其他（理））已知曲线 y e ax ln x 在点 1,ae 处的切线方程为 y kx，则 k
（ ）
A． 1 B．0 C．1 D． e
【一隅三反】
ln x
1 2．（2020·岳麓·湖南师大附中月考）已知函数 f x ax ，若曲线 y f x 在 1, f 1 处的切线与
x
直线 2x y 1 0平行，则 a ______.
2．（2020·安徽庐阳·合肥一中高三月考（文））曲线 y (ax 1)e x 在点（0，1）处的切线的斜率为 2，则 a
＝_____.
3．（2020·山东莱州一中高二月考）已知直线 y x b是曲线 y ex 3的一条切线，则b ________.5.2 导数的运算
思维导图
常见考法
考点一 初等函数求导
【例 1】（2020·林芝市第二高级中学高二期末（文））求下列函数的导函数.
（1） f x 2x3 4x2
f x 1 3 2（2） x x ax 1
3
（3） f (x) x cos x, x (0,1)
（4） f (x) x 2 3x ln x
（5） y sin x
y x 1（6）
x 1
【答案】(1) f (x) 6x2 8x (2) f (x) x2 2x a (3) f (x) sin x 1
1 2
(4) f (x) 2x 3 (5) y cos x (6) y
x (x 1)2
【解析】（1）由 f x 2x3 4x2 '，则 f x 6x2 8x；
（2）由 f x 1 x3 x2 ax 1，则 f ' x x2 2x a；
3
（3）由 f (x) x cos x, x (0,1) ，则 f (x) 1 sin x, x (0,1)；
（4）由 f (x) x 2 3x ln x '，则 f (x) 2x 3 1 ；
x
（5）由 y sin x，则 y ' cos x ；
x 1 (x 1)'y ' (x 1) (x 1) (x 1)
' 2
（6）由 ，则 y .
x 1 (x 1)2 (x 1)2
【一隅三反】
1．（2020·西藏高二期末（文））求下列函数的导数.
（1） y x2 sin x；
（2） y ln x 1 ；
x
（3） y 2x3 3x2 5x 4 .
1 1
【答案】（1） y 2x sin x x 2 cos x（2） y 2 （3） y 6x
2 6x 5
x x
【解析】（1） y x2 sin x y 2x sin x x 2 cos x
y ln x 1 y 1 1（2）
x x x2
（3） y 2x3 3x2 5x 4x y 6x2 6x 5
2．（2020·通榆县第一中学校高二月考（理））求下列函数的导数：
（Ⅰ） y 2x2 ln x cos x；
（Ⅱ） y x3ex .
1
【答案】（Ⅰ） 4x sin x 2；（Ⅱ） 3x x3 ex .
x
2 1
【解析】（Ⅰ）由导数的计算公式，可得 y 2x (ln x) (cos x) 4x sin x .x
（Ⅱ）由导数的乘法法则，可得 y x3 ex x3 ex 3x2 x3 ex .
3．（2020·山东师范大学附中高二期中）求下列函数在指定点的导数：
2
（1） y 4ln(3x 1) ， x 1；
x
y 2
x 2cos x
（2） ， x
π
．
2π 1 sin x 2
【答案】（1） y x 1 2（2） y 1 ln 2x
2
3
12
【解析】（1） y x 2 ， y 2
3x 1 x 1
y 2
x ln2 2
（2） ， y 1 ln2
2 1 sinx x 2
考点二 复合函数求导
【例 2】．（2020·凤阳县第二中学高二期末（理））求下列函数的导数：
（1） y = e2x 2 y 1 3x 3；（ ） .
【答案】（1） 2e2x；（2） 9(1 3x)2 或 y 81x2 54x 9．
【解析】（1） y e2x (2x)' e2x 2 2e2x ；
（2） y 3 1 3x 2 (1 3x)' 9 1 3x 2．或 y 81x2 54x 9．
【一隅三反】
1．（2020·陕西碑林·西北工业大学附属中学高二月考（理））求下列函数的导数：
(1) y＝(2x+1)n， n N * ；
(2) y ln x 1 x2 ；
x
(3) y e 1 ；
ex 1
(4) y＝2xsin(2x+5)．
n 1 1
【答案】（1） y ' 2n 2x 1 ；（2） y ' ；
1 x2
2ex
（3） y x 2 ；（4） y 2sin(2x 5) 4x cos(2x 5) .e 1
【解析】(1) y '＝n 2x＋1 n－1 2x＋1 '＝2n 2x＋1 n－1；
（2） y
1
1
2x 1
2 2 ；x 1 x 2 1 x 1 x2
x x xe 1 2
（3）∵ y 1 ∴ y 2
e 2e
ex 1 ex 1 2 2 ；ex 1 ex 1
（4） y 2sin 2x 5 4xcos 2x 5 .
2．（2020·横峰中学高二开学考试（文））求下列各函数的导数：
（1） y ln(3x 2) 2 f x e 2x 1；（ ） ex e2（3）y＝ 1 2x2
3 2x 1 x y 2x【答案】（1） y ；（2） f (x) 2e e .（3）
3x 2 1 2x2
【解析】（1）因为 y ln(3x 2)令 t 3x 2， y ln t
所以 y 3x 1 3 2 ln t 3
t 3x 2
2 f x e 2x 1 ex e2 , f (x) 2e 2x 1 ex（ ） .
1
（3）令 t 1 2x2，则 y t 2，
1 1
所以 y (t 2 )
1
t 2 t 1 1 ( 4x) 2 x ；
2 2 1 2x2 1 2x2
考点三 求导数值
【例 3】．（2020·甘肃城关·兰州一中高二期中（理））已知函数 f (x)的导函数为 f (x)，且满足
f (x) 3xf (1) ln x，则 f (1)
1
1A． B． C． 1 D． e
2 2
【答案】A
【解析】 f x 3xf 1 ln x，求导得 f x 3 f 1 1 ，则 f 1 3 f 1 1，解得 f 1 1 .
x 2
故选：A.
【一隅三反】
cos x
1．（2020·广东湛江·高二期末（文））已知函数 f x ，则 f （ ）
x 2
2 2 3 3
A． B． C． D．
【答案】A
cos x
sin
2
f x f x xsin x cos x f 2
2
【解析】 ， ，因此， 2 .x x2 2
2
故选：A.
1
2 2
．（2020·四川高二期中（理））若函数 f x x 2 f 0 cos x x，则 f
2 6
的值为（ ）
A．0 B． C． D．
6 3
【答案】B
【解析】因为 f x x 2 f 0 sin x 1，所以令 x 0，则 f 0 1，
所以 f x x 2sin x 1 ，则 f ，故选： B.
6 6
3．（2020·广西桂林·高二期末（文））已知函数 f (x) x2 x，则 f 1 （ ）
A．3 B．0 C．2 D．1
【答案】A
【解析】由题得 f (x) 2x 1， f (1) 3 .故选：A
考点四 求切线方程
1 3 4
【例 4】．（2020·郸城县实验高中高二月考（理））已知曲线 y x
3 3
（1）求曲线在点 P(2,4)处的切线方程；
（2）求曲线过点 P(2,4)的切线方程
【答案】（1） 4x y 4 0；（2） x y 2 0或 4x y 4 0．
【解析】（1）∵ y x2，∴在点 P 2,4 处的切线的斜率 k y |x 2 4，
∴曲线在点 P 2,4 处的切线方程为 y 4 4 x 2 ，即 4x y 4 0．
1 4
（2）设曲线 y 1 x3 4 与过点 P 2,4 3 的切线相切于点 A x0 , x3 3 3 0 ， 3
则切线的斜率 k y |x x x
2
，
0 0
1 3 4
∴切线方程为 y x0
x
2
0 x x0 ，即 y x2
2
0 x x
3 4
0 ． 3 3 3 3
2 2 3 4 3 2
∵点 P 2,4 在该切线上，∴ 4 2x0 x0 ，即 x0 3x0 4 0，3 3
3 2 2
∴ x0 x0 4x0 4 0
2
，∴ x0 x0 1 4 x0 1 x0 1 0，
x 1 x 2 2∴ 0 0 0，解得 x0 1或 x0 2．
故所求切线方程为 4x y 4 0或 x y 2 0．
【一隅三反】
x
1．（2020·黑龙江大庆实验中学高三月考（文））曲线 y 在点 1, 1 处的切线方程为
x 2
A． y 2x 1 B． y 3x 2 C． y 2x 3 D． y x 2
【答案】A
x 2
【解析】 y 的导数为 y '
x 2 (x 2)2
，
可得曲线 y 2 在点 1, 1 处的切线斜率为 k y ' |
x 2 x 1
2，
x
所以曲线 y 在点 1, 1 处的切线方程为 y 1 2(x 1) ，即 y 2x 1，故选 A.
x 2
1
2．（2020· 2河南高三其他（理））曲线 y x ln 2x 3在某点处的切线的斜率为 ，则该切线的方程为
2 2
（ ）
A．3x 2y 1 0 B．3x 2y 1 0
C．6x 4y 5 0 D．12x 8y 7 0
【答案】D
1 1 3 1
【解析】求导得 y x ，根据题意得 y x ，解得 x 2（舍去）或 x ，可得切点的坐
x x 2 2
1 1 1 3 1
标为 , ，所以该切线的方程为 y x ，整理得12x 8y 7 0 .故选：D.
2 8 8 2 2
1
3．（2020·北京高二期末）过点 P（0，2）作曲线 y＝ 的切线，则切点坐标为（ ）
x
1 1
A．（1，1） B．（2， ） C．（3， ） D．（0，1）
2 3
【答案】A
1 1 1 1
【解析】设切点 (x0 , ) ,Q y 2 2 2 (x0 0) x0 1x x x x ,即切点
(1,1)
0 0 0
故选：A
4．（2020·吉林洮北·白城一中高二月考（理））已知函数 f(x)＝x3－4x2＋5x－4．
(1)求曲线 f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)求经过点 A(2，－2)的曲线 f(x)的切线方程．
【答案】（1）x－y－4＝0
（2）x－y－4＝0或 y＋2＝0
【解析】(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，
∴f′(2)＝1，又 f(2)＝－2，
∴曲线 f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为 y－(－2)＝x－2，即 x－y－4＝0．
(2)设切点坐标为(x0，x03－4x02＋5x0－4)，
∵f′(x0)＝3x02－8x0＋5，
∴切线方程为 y－(－2)＝(3x02－8x0＋5)(x－2)，
又切线过点(x0，x03－4x02＋5x0－4)，
∴x03－4x02＋5x0－2＝(3x02－8x0＋5)(x0－2)，
整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得 x0＝2或 x0＝1，
∴经过 A(2，－2)的曲线 f(x)的切线方程为 x－y－4＝0或 y＋2＝0．
考点五 利用切线求参数
【例 5】．（2020· x全国高三其他（理））已知曲线 y e ax ln x 在点 1,ae 处的切线方程为 y kx，则 k
（ ）
A． 1 B．0 C．1 D． e
【答案】D
【解析】令 y f x ex ax ln x ，则 f x ex ax ln x 1 e（x a ），
x
所以 f 1 2ea e，
x
因为曲线 y e ax ln x 在点 1,ae 处的切线方程为 y kx，
所以该切线过原点，
所以 f 1 2ea e ae，解得 a 1，
即 k e .
故选：D.
【一隅三反】
ln x
1 2．（2020·岳麓·湖南师大附中月考）已知函数 f x ax ，若曲线 y f x 在 1, f 1 处的切线与
x
直线 2x y 1 0平行，则 a ______.
1
【答案】
2
ln x 2
【解析】因为函数 f x ax ，所以 f x 1 ln x 2 2ax，x x
又因为曲线 y f x 在 1, f 1 处的切线与直线 2x y 1 0平行，
所以 f 1 1 2a 2 1 1，解得 a ，故答案为：
2 2
2．（2020·安徽庐阳·合肥一中高三月考（文））曲线 y (ax 1)e x 在点（0，1）处的切线的斜率为 2，则 a
＝_____.
【答案】1
【解析】 y (ax 1)e x ， y (ax a 1)e x y x 0 a 1 2，\ a=1 .
故答案为：1.
3．（2020·山东莱州一中高二月考）已知直线 y x b是曲线 y ex 3的一条切线，则b ________.
【答案】4
【解析】设 f x ex 3 x，切点为 x 0 ,e 0 +3 ，
因为 f x ex，
所以 ex0 1，解得 x0 0，
所以 y0 e
0 3 4，
故切点为 (0, 4)，又切点在切线 y x b上，
故b 4 .
故答案为：4
