5.2 导数的运算
【题组一 初等函数求导】
2
1．（2018·全国高二课时练习）求函数 y f x x 在下列各点处的导数．
x
（1） x x0； （2） x 1； （3） x 2．
2
【答案】(1) 2 1
1
x (2)-1 (3)0 2
【解析】∵ f x 2 x ，∴ f x 2 2 1．x x
2
（1）当 x x 0时， f x0 x2 1．0
2
（2）当 x 1时， f 1 2 1 1．1
2 1
（3）当 x 2时， f 2 2 1 ． 2 2
2．求下列函数的导数：
(1) y x3 ；
(2) y cos
x ；
2
x
(3) y 3 .
3 1 1 x
【答案】（1） x 2 ；（2） cos x；（3） 3 ln 3
2 2
3 1
【解析】(1)y′ 3＝( x 2 )′＝ x
2
2
(2)∵y＝cos ＝sin x，∴y′＝(sin x)′＝cos x.
x x 1(3)y′＝[( ) ]′＝( ) ln ＝
2 3
x
ln3 .
3．（2020·海林市朝鲜族中学高二课时练习）求下列函数的导数：
1
(1) y cos x ；
x
y x x2 1 1(2)
3 . x x
cos x 2xsin x
【答案】（1） ；（2）3x2 2
2x x x3
【解析】(1)y′＝ ′＝ ′cos x＋ (cos x)′＝ ′cos x－ sin x＝－ x－ cos x－ sin x＝
－ － sin x＝－ .
(2)∵y＝x ＝x3＋1＋ ，∴y′＝3x2－ .
4．（2020·海林市朝鲜族中学高二课时练习）求下列函数的导数.
(1) f x 1 1 x3 x4 6；
3 2
(2)f(x)=(5x-4)cos x;
ln x
(3) f x .
x
【答案】（1） x2 2x3；（2）5cos x 5xsin x 4sin x
1 ln x
；（3）
x2
(1) f x 1 x3 1【解析】 ∵ x4 6 2，∴ f ' x x 2x3．
3 2
(2)∵f(x)=(5x-4)cos x，
∴ f ' x 5x 4 cos x ' 5cosx 5xsinx 4sinx ．
(3)∵ f x lnx ，∴ ， ．
x f x lnx lnxx 1 lnx
x2
x2
【题组二 复合函数求导】
1．（2020·宁县第二中学高二期中（理））求下列函数的导数：
（1） y x cos
3
（2） y xnex
' 1
【答案】（1） y sin x 2 y ' e xxn 1；（ ） x n
3 3
x x x '1 y cos y ' sin 1【解析】（ ） ， sin
x .
3 3 3 3 3
（2） y xnex '， y nxn 1e x xne x e xxn 1 x n
2．（2020·江苏徐州·高二月考）求下列函数的导数.
ln x
（1） f x
x
（2 2） f x x 9 x 3
x
（3） f x 2x ln 5x 1
f ' x 1 ln x1 2 f '【答案】（ ） 2 ；（ ） x 3x2
27 5
6 ' x；（3） f x 2 ln 2
x x2 5x 1
1 f ' x (ln x)
' x ln x (x)' 1 ln x
【解析】（ ） ；
x2 x2
'
' 2 'f x 3（2） x 9 2 x x 9x
x 3
x
2x(x 3 ) (x2 9)(1 3 22 ) 2x 6 x
2 3 27 9
x x x2
3x2 27 2 6；x
（3） f ' x 2x ln 2 1 5x 1 ' 2x ln 2 5 .
5x 1 5x 1
3．（2020·江苏省如东高级中学高二期中）求下列函数的导函数.
y 2x 1 5（1）
1
（2） y loga 3x 2
3
【答案】（1） y 10(2x 1)4；（2） y (3x 2) ln a
【解析】（1） y 5(2x 1)4 2 10(2x 1)4；
y 1 3 3（2） y loga (3x 2)， ．(3x 2) ln a (3x 2) ln a
4．（2020·陕西泾阳·高二期中（理））求下列函数的导数：
（Ⅰ） y x2 sin x ；
2
（Ⅱ） y x 2 .
2 y 1 2【答案】（Ⅰ） y 2x sin x x cos x （Ⅱ）
x
【解析】（Ⅰ） y x2 sin x x2 sin x 2x sin x x2 cos x .
（Ⅱ） y 2 x 2 x 2 2 x 1 2 2 1 .
2 x x
5．（2020·长春兴华高中高二期末（文））求下列函数的导数：
（1） y ex sin x ；
2 1 1
（2）y＝ x x 3 ； x x
（3） y x x x sin cos ；
2 2
2 1
【答案】（1）y′＝exsinx＋excosx.（2）y′＝3x2－ 3 .（3）y′＝1－ cosx.x 2
【解析】（1）y′＝(ex)′sinx＋ex(sinx)′＝exsinx＋excosx..
3 1 2（2）因为 y＝x ＋ 2 ＋1，所以 y′＝3x2－x x3
.
1 1
（3）因为 y＝x－ sinx，所以 y′＝1－ cosx.
2 2
6．（2020·江西南昌·高二期末（理））求出下列函数的导数．
（1） y＝ex tan x
（2） y＝ln 4x 5 3
（3） y x x
2 1 1
x x3
sin x
（4） y＝
xn
（5） y＝e﹣x 2 2x 1 5
ex 12 2
【答案】（1） y ' ex tan x ；（2） y ' ；（3 y ' 3x2） 3 ；cos2 x 4x 5 x
y ' xcos x nsin x（4） n 1 ；（5） y
' (9﹣2x) 2x 1 4 e﹣x 2
x
【解析】（1）由 y ex tan x ，
x
则 y ' (ex ) ' tan x ex tan x ' ex tanx e ，
cos2 x
x
即 y ' ex tan x e
cos2 x
12
（2）由 y= ln（4x 5）3，则 y '
4x 5
y 1 13 x x2 x3 ﹣2 ' 2 2（ ）由 3 1 x ，则 y 3x x x x3
，
（4）由 y sin x y ' xcos x nsin x ，则 ，
xn xn 1
（5）由 y e﹣x 2 2x 1 5，则 y ' (9﹣2x) 2x 1 4 e﹣x 2．
【题组三 求导数值】
f x x f x
1．（2020·四川高二期中（理））已知 f x sin 2x ，则 lim （ ）
x 0 x
A．cos2x B． cos2x C． 2cos2x D． 2cos 2x
【答案】C
f x x flim x 【解析】由 f x cos 2 x 2 2cos 2 x .故选：C.
x 0 x
2．（2020·江西高二期末（理））若函数 f x 的导数 f x 1满足 f x 2 f 1 ln x 1 ，则 f （ ）x 2
A．e B．2 C．1 D．0
【答案】D
【解析】∵ f x 2 f 1 ln x 1 f x 2 f 1 1 1 ，∴ 2 ，x x x
令 x 1，可得 f (1) 2 f (1) 1，解得 f (1) 1，
1
f x 2 1 f 因此 2 ， 4 4 0，故选：Dx x 2
3．（2020·四川省南充市白塔中学高二开学考试（文））已知函数 f x 的导函数为 f x ，且满足关系式
f x x2 3xf 2 ex ，则 f 2 的值等于（ ）
A B e
2
2 C e
2 e2
． 2 ． ． D． 2
2 2 2
【答案】D
2
' ' x ' ' 2 e
【解析】依题意 f x 2x 3 f 2 e ，令 x 2得 f 2 4 3 f 2 e ， f ' 2 2，故选
2
D.
1
4．（2020·四川棠湖中学高二月考（文））若函数 f(x)满足 f(x)＝ x3－f′(1)·x2－x，则 f′(1)的值为( )
3
A．1 B．2 C．0 D．－1
【答案】C
f ' x x3【解析】依题意 2 f ' 1 x 1 '，令 x 1得 f 1 1 2 f ' 1 1 '，解得 f 1 0，故选 C.
5．（2020·河南商丘·高二期末（理））已知函数 f x ln x 3x f 1 x2，则 f 1 （ ）
A．2 B．1 C．0 D． 1
【答案】D
【解析】因为 f x ln x 3x f 1 x2 1，则 f x 3 2 f 1 x ，
x
所以 f ' 1 1 3 2 f ' 1 ，则 f 1 2，
所以 f x ln x 3x 2x2，所以 f 1 ln1 3 2 1.故选：D.
6．（2020·江西高二期末（文））已知函数 f x 的导函数为 f x ，且满足 f x 3x2 2xf 2 ，则
f 2 ______.
【答案】 12
【解析】因为 f x 3x2 2xf 2 ，所以 f x 6x 2 f 2 ，
将 x 2代入得 f 2 12 2 f 2 ，解得 f 2 12，故答案为： 12 .
7．（2020·四川内江·高二期末（文））已知 f (x) ex x2，则 f (1) f (1) ________．
【答案】 2e 3
【解析】因为 f (x) ex x2，所以 f (x) e x 2x 所以 f (1) e 1, f (1) e 2
所以 f (1) f (1) 2e 3 .故答案为： 2e 3 .
【题组四 求切线方程】
sin x
1．（2020·湖南高二期末）曲线 y x 在点 0,0 处的切线方程为 ______.e
【答案】 x y 0
x x
【解析】因为 f x e cos x sin xe ，所以切线斜率 k f 0 1，
ex
f x ex所以曲线 sin x 在点 0,0 处的切线方程为： x y 0 .
故答案为： x y 0
2．（2020·江西高二期末（理））已知函数 f x ex ae x 为偶函数，则 f x 在其图象上的点 ln3, f ln3
处的切线的斜率为______．
8
【答案】
3
x
【解析】 函数 f x e ae x 为偶函数，
f ( x) f (x)，即 e x aex ex ae x ，解得 a 1，则 f '(x) e x e x ，
f x 在点 ln3, f ln3 处的切线的斜率 k = f '(ln3) = eln3 - e- ln3 = 3 1 8 8- = .故答案为： .
3 3 3
3．（2020·陕西西安·高新一中高三期末（文））曲线 y (x sin x)e x 在点 (0,0)处的切线方程为________.
【答案】 y 2x
x
【解析】 y (x sin x cos x 1)e , y |x 0 2 ,所以切线方程为 y 2x .故答案为: y 2x .
4．（2020·重庆八中高三月考）已知函数 f (x)为奇函数，当 x 0时， f (x) x3 ln x ，则曲线 y f (x)在
点 ( 1, f ( 1))处的切线方程为________.
【答案】 2x y 1 0
【解析】∵函数 f (x)是奇函数， f ( x) f (x)，
当 x 0时， f (x) x3 ln x ，不妨设 x 0，则 x 0，
3
故 f ( x) x ln x f (x)，故 x 0时， f (x) x3 ln x ，
故 f ' (x) 3x 2
1
，故 f ( 1) 1 ln 1 1 '， ，
x f ( 1) 3 1 2
故切线方程是： y 2(x 1) 1，整理得： 2x y 1 0，故答案为： 2x y 1 0．
5．（2020· 2重庆高三期中（文））曲线 f x ln x 2x 在点 1, f 1 处的切线与坐标轴围成的三角形的面
积为____________.
1
【答案】
6
【解析】Q f x ln x 2x2 f ' x 1， 4x, x 0 ，
x
f ' 1 3， f (1) = -2，
切线方程为： y 2 3 x 1 即 y 3x 1，
当 x 0，时 y 1，当 y 0，时 x 1 ，
3
1 1 1三角形面积为： 1 .
2 3 6
1
故答案为： .
6
6．（2020·五华· 2云南师大附中高三月考（理））曲线 y x 1 ln x在 1,0 处的切线方程为______.
【答案】 2x y 2 0
x2
【解析】 y ' 2x ln x 1 ，当 x 1时，切线斜率 k y ' 2，
x
故切线方程为 y 2 x 1 ，即 2x y 2 0 .
故答案为：2x y 2 0
7．（2020·江西高三月考（理）） f (x) ex 1 2 x 的图像在 x 1处的切线方程为________．
【答案】 2x y 1 0
1 1
【解析】 f (x) ex 1 2x2 ，则 f x ex 1 x 2 ，且 f 1 2
f 1 3, 切线方程为 y 3 2 x 1 ，即 2x y 1 0
故答案为：2x y 1 0
8．（2020·五华·云南师大附中高三月考（文））过原点与曲线 y ln x 相切的切线方程为______．
【答案】 y x
e
【解析】设切点坐标为 x0 , y0 ，切线方程为 y kx ，
1
由 y ln x 1，则 y ，则 y |x x 0 x ，x 0
y0 1 ln x 1
则 0，即 ，即 ln x0 1
1
x x x x ，解得
x0 e，所以 k y |x x ，0
0 0 0 0 e
x
所以原点与曲线 y ln x 相切的切线方程为 y ．
e
x
故答案为： y
e
9 2．（2020·黑龙江萨尔图·大庆实验中学高二期末（文））已知 f x x ，则曲线 y f x 过点 P 1,0 的
切线方程是______．
【答案】 y 0或 4x y 4 0
【解析】设切点为 (m,n)，
f (x) x2的导数为 f (x) 2x，可得切线的斜率为 k 2m，
2
又 2m n 0 m ，解得m 0或m 2，
m 1 m 1
当m 0时， k 0；m 2时， k 4；
曲线 y f (x)过点 P( 1,0)的切线方程为 y k(x 1)，
则切线的方程为 y 0或 y 4x 4．
故答案为： y 0或 y 4x 4．
10．（2020· 3黑龙江道里·哈尔滨三中（文））过函数 f x x 3x上的点 M 2, 2 的切线方程是_________.
【答案】 y 2或9x y 16 0
【解析】因为 f x 3x2 3
设切点为(x0 , y0)，则 k f x0 3x20 3，
3
所以切线方程为： y x0 3x0 3x20 3 x x0 ，
因为 M 2, 2 在切线方程上，
所以 2 x30 3x0 3x20 3 2 x0 ，解得： x0 1或 x0 2 .
当 x0 1时， k 3x20 3 0，此时切线方程为 y 2；
当 x0 2 2时， k 3x0 3 9，此时切线方程为9x y 16 0 .
所以，切线方程为： y 2或9x y 16 0 .
故答案为： y 2或9x y 16 0 .
11．（2020·辽宁省本溪满族自治县高级中学高三其他（文））过点 (0, 1)作曲线 f ( x) lnx（ x 0）的
切线，则切点坐标为________．
【答案】 ( e,1)
【解析】由 f ( x) lnx（ x 0），则 f (x) ln x2 , x 0，化简得 f (x) 2ln x, x 0，
2
则 f (x) ，设切点为 (x0 , 2 ln x0 )，显然 (0, 1)不在曲线上，x
2ln x0 1 2
则 ，得 x0 e ，则切点坐标为x x ( e,1)
.
0 0
故答案为： ( e,1) .
12．（2020·石嘴山市第三中学高二期末（理））过点 ( 1, 1)与曲线 y e x x 相切的直线方程为
______________.
【答案】 y 2x 1.
【解析】设切点坐标为 x ,ex00 x0 ，
由 y ex x 得 y e x 1，
x切线方程为 y e 0 1 x x0 ex0 x0 ，
切线过点 1, 1 ，
1 e x0 1 1 x e x00 x0 ，即 x e x00 0，
x0 0，
即所求切线方程为 y 2x 1.
故答案为： y 2x 1.
13．（2020·吉林净月高新技术产业开发区·东北师大附中高二月考（理））过点 1,1 作曲线 y x3的切线，
则切线方程是______.
【答案】3x 4y 1 0和3x y 2 0
3
【解析】设切点坐标为 t, t ，对函数 y x3求导得 y 3x2 ，则所求切线的斜率为 3t 2，
所以，曲线 y x3 3 3 2在点 t, t 处的切线方程为 y t 3t x t ，
由于该直线过点 1,1 3 2 2 1，即1 t 3t 1 t ，整理得 2t 1 t 1 0，解得 t 或 t 1.
2
1 3 1
当 t 1 时，所求切线的方程为 y x ，即3x 4y 1 0；2 8 4 2
当 t 1时，所求切线的方程为 y 1 3 x 1 ，即3x y 2 0 .
故答案为：3x 4y 1 0和3x y 2 0 .
【题组五 利用切线求参数】
1．（2020·辽宁高二期末）已知函数 f x ax 2 x f 1 1 x f 1 ，若 lim 3，则实数 a 的值为
x 0 x
（ ）
A．2 B．1 C． 1 D． 2
【答案】A
【解析】根据题意，函数 f x ax 2 x 1，
其导数 f x 2ax 1，则 f 1 2a 1，
f 1 x f 1
又由 lim 3，即 f 1 2a 1 3，解可得 a 2；
x 0 x
故选：A.
2．（2020·湖北省天门中学高二月考）曲线 f (x) x3 x 2在 P0处的切线平行于直线 y 4x 1，则 P0点
的坐标为（ ）
A．(1, 0) B．(2, 8)
C．(1, 0)和(-1, -4) D．(2, 8)和(-1, -4)
【答案】C
【解析】依题意,令 f (x) 3x2 1 4，解得 x 1
f (1) 0, f ( 1) 4
故 P0点的坐标为(1, 0)和(-1, -4)，
故选：C
2
3．（2020·甘肃城关·兰州一中高二期中（文）） 设函数 f(x) x＝ －aln x，若 f′(2)＝3，则实数 a 的值为
4
( )
A．4 B．－4
C．2 D．－2
【答案】B
【解析】f′(x)＝ － ，故 f′(2)＝ － ＝3，因此 a＝－4.
4．（2020·唐山市第十一中学高二期末）设 f x x ln x ，若 f a 3，则 a =（ ）
e ln 2A． B． ln 2 C． e2 D． 2
【答案】C
【解析】对 f x 求导得 f x ln x+1
将 a 带入有 f a ln a+1 3 a e2．
5．（2020·陕西新城·西安中学高二期末（理））如图，y f (x)是可导函数，直线 l : y kx 2是曲线 y f (x)
在 x 3处的切线，令 g(x) xf (x)， g '(x)是 g(x)的导函数，则 g '(3) （ ）．
A．－1 B．0 C．2 D．4
【答案】B
【解析】将点 3,1 代入直线 y kx 2的方程得3k 2 1 k 1 ，得 ，所以， f 3 k 1 ，
3 3
由于点 3,1 在函数 y f x 的图象上，则 f 3 1，
对函数 g x xf x 求导得 g x f x xf x ，
g 3 f 3 3 f 3 1 3 1 0，故选 B．
3 5.2 导数的运算
【题组一 初等函数求导】
2
1．（2018·全国高二课时练习）求函数 y f x x 在下列各点处的导数．
x
（1） x x0； （2） x 1； （3） x 2．
2．求下列函数的导数：
(1) y x3 ；
(2) y cos
x
；
2
x
(3) y 3 .
3．（2020·海林市朝鲜族中学高二课时练习）求下列函数的导数：
y 1(1) cos x ；
x
y x x2 1 1 (2) .
x x3
4．（2020·海林市朝鲜族中学高二课时练习）求下列函数的导数.
(1) f x 1 x3 1 x4 6；
3 2
(2)f(x)=(5x-4)cos x;
(3) f x ln x .
x
【题组二 复合函数求导】
1．（2020·宁县第二中学高二期中（理））求下列函数的导数：
（1） y cos x
3
（2） y xnex
2．（2020·江苏徐州·高二月考）求下列函数的导数.
f x ln x（1）
x
2 3
（2） f x x 9 x x
（3） f x 2x ln 5x 1
3．（2020·江苏省如东高级中学高二期中）求下列函数的导函数.
（1） y 2x 1 5
1
（2） y loga 3x 2
4．（2020·陕西泾阳·高二期中（理））求下列函数的导数：
（Ⅰ） y x2 sin x ；
2（Ⅱ） y x 2 .
.
5．（2020·长春兴华高中高二期末（文））求下列函数的导数：
（1） y ex sin x ；
（2）y＝ x 2
1 1
x
；
x x3
x x
（3） y x sin cos ；
2 2
6．（2020·江西南昌·高二期末（理））求出下列函数的导数．
（1） y＝ex tan x
（2） y＝ln 4x 5 3
y x 3 x2
1 1
（ ）
x x3
（4） y＝ sin x
xn
（5） y＝e﹣x 2 2x 1 5
【题组三 求导数值】
1．（2020·四川高二期中（理））已知 f x sin 2x f x x f x，则 lim （ ）
x 0 x
A．cos2x B． cos2x C． 2cos2x D． 2cos 2x
1
2．（2020·江西高二期末（理））若函数 f x 的导数 f x 满足 f x 2 f 1 ln x 1 f ，则 （ ）
x 2
A．e B．2 C．1 D．0
3．（2020·四川省南充市白塔中学高二开学考试（文））已知函数 f x 的导函数为 f x ，且满足关系式
f x x2 3xf 2 ex ，则 f 2 的值等于（ ）
A B e
2 e2 e2
． 2 ． 2 C． D． 2
2 2 2
1
4．（2020·四川棠湖中学高二月考（文））若函数 f(x)满足 f(x)＝ x3－f′(1)·x2－x，则 f′(1)的值为( )
3
A．1 B．2 C．0 D．－1
5．（2020·河南商丘·高二期末（理））已知函数 f x ln x 3x f 1 x2，则 f 1 （ ）
A．2 B．1 C．0 D． 1
6．（2020· 2江西高二期末（文））已知函数 f x 的导函数为 f x ，且满足 f x 3x 2xf 2 ，则
f 2 ______.
7．（2020·四川内江·高二期末（文））已知 f (x) ex x2，则 f (1) f (1) ________．
【题组四 求切线方程】
sin x
1．（2020·湖南高二期末）曲线 y x 在点 0,0 处的切线方程为______.e
2．（2020· x x江西高二期末（理））已知函数 f x e ae 为偶函数，则 f x 在其图象上的点 ln3, f ln3
处的切线的斜率为______．
3．（2020·陕西西安·高新一中高三期末（文））曲线 y (x sin x)e x 在点 (0,0)处的切线方程为________.
4．（2020·重庆八中高三月考）已知函数 f (x)为奇函数，当 x 0时， f (x) x3 ln x ，则曲线 y f (x)在
点 ( 1, f ( 1))处的切线方程为________.
5 2．（2020·重庆高三期中（文））曲线 f x ln x 2x 在点 1, f 1 处的切线与坐标轴围成的三角形的面
积为____________.
6 2020· · y x2．（ 五华 云南师大附中高三月考（理））曲线 1 ln x在 1,0 处的切线方程为______.
7．（2020·江西高三月考（理）） f (x) ex 1 2 x 的图像在 x 1处的切线方程为________．
8．（2020·五华·云南师大附中高三月考（文））过原点与曲线 y ln x 相切的切线方程为______．
9．（2020· 2黑龙江萨尔图·大庆实验中学高二期末（文））已知 f x x ，则曲线 y f x 过点 P 1,0 的
切线方程是______．
10．（2020· 3黑龙江道里·哈尔滨三中（文））过函数 f x x 3x上的点 M 2, 2 的切线方程是_________.
11．（2020·辽宁省本溪满族自治县高级中学高三其他（文））过点 (0, 1)作曲线 f ( x) lnx（ x 0）的
切线，则切点坐标为________．
12．（2020·石嘴山市第三中学高二期末（理））过点 ( 1, 1)与曲线 y e x x 相切的直线方程为
______________.
13．（2020·吉林净月高新技术产业开发区·东北师大附中高二月考（理））过点 1,1 作曲线 y x3的切线，
则切线方程是______.
【题组五 利用切线求参数】
f x ax 2 x 1 f 1 x f 1 lim 1．（2020·辽宁高二期末）已知函数 ，若 3，则实数 a 的值为
x 0 x
（ ）
A．2 B．1 C． 1 D． 2
2．（2020·湖北省天门中学高二月考）曲线 f (x) x3 x 2在 P0处的切线平行于直线 y 4x 1，则 P0点
的坐标为（ ）
A．(1, 0) B．(2, 8)
C．(1, 0)和(-1, -4) D．(2, 8)和(-1, -4)
2
3．（2020· x甘肃城关·兰州一中高二期中（文）） 设函数 f(x)＝ －aln x，若 f′(2)＝3，则实数 a 的值为
4
( )
A．4 B．－4
C．2 D．－2
4．（2020·唐山市第十一中学高二期末）设 f x x ln x ，若 f a 3，则 a =（ ）
A． e
ln 2
B． ln 2 C． e2 D． 2
5．（2020·陕西新城·西安中学高二期末（理））如图，y f (x)是可导函数，直线 l : y kx 2是曲线 y f (x)
在 x 3处的切线，令 g(x) xf (x)， g '(x)是 g(x)的导函数，则 g '(3) （ ）．
A．－1 B．0 C．2 D．4
