5.3.1 函数的单调性
思维导图
常见考法
考点一 求函数的单调区间
【例 1】（1）（2020·福建省泰宁第一中学高二月考（文））函数 f (x) x ln x的单调递减区间是（ ）
A． ( ,e) B． ( , 1) C． (0,e) D． (0, 1)
e e
（2）．（2020·林芝市第二高级中学高二期末（文））函数 f(x)＝ex－x的单调递增区间是（ ）
A．(－∞，1] B．[1，＋∞) C．(－∞，0] D．(0，＋∞)
【一隅三反】
1．（2020·江苏省前黄高级中学高二期中）函数 f (x) x ln x的单调递增区间为（ ）
0, 1 (e, ) 1 , 1 A． B． C． D． ,ee e e
2．（2020· 2玛纳斯县第一中学高二期末（理））函数 f x x 2ln x的单调递减区间是（ ）
A． 0,1 B． 1, C． , 1 ， 0,1 D． 1,0 ， 0,1
3 2020· f x 3x2．（ 河南高三月考（文））已知 6x 6ex 5，则函数 f x 的单调减区间为（ ）
A． 1, B． ln 3, C． , ln3 D． ,
考点二 已知单调性求参数
【例 2】（1）（2020·北京高二期末）已知函数 f x ax 2ln x在区间 1, 上单调递增，则 a的取值范
围是（ ）
, 1 1 A． B． , C． , 2 D． 2, 2 2
x
（2）．（2020·山东德州·高二期末）若函数 f x e a 1 x 1在(0，1)上不单调，则 a的取值范围是
（ ）
A． 2,e 1 B． 2,e 1
C． , 2 e 1, D． , 2 e 1,
【一隅三反】
1．（2020·广东汕尾·高二期末）已知函数 f x x2 x alnx在 1, 上单调递增，则实数 a的取值范
围是（ ）
A． 2, B． 3, C． 2,0 D． 3,0
1 1
2．（2020· 3 2广东禅城·佛山一中高二月考）已知函数 f x x mx 4x 3在区间 1,2 上是增函数，
3 2
则实数 m的取值范围为（ ）
A．4 m 5 B． 2 m 4 C．m 2 D．m 4
1
3．（2020·甘肃城关·兰州一中高二期中（理））若函数 f (x) ln x ax2 2 在区间 , 2 内存在单调递增
2
区间，则实数 a的取值范围是（ ）
( , 1 1A． 2] B． ,
C．8
2, D． ( 2, )
8
4．（2020·重庆高二期末）若函数 f x 2x sin x cos x a cos x在 R上单调递增，则实数 a的取值范围
是（ ）
A． 1,1 B． 1,3 C． 3,3 D． 3, 1
考点三 单调性与图像
2 x
【例 3】（2020·辽宁高二期末）函数 f x x 2x e 的图象大致是( )
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1
1 2．（2020·陕西秦都·咸阳市实验中学高二月考（理））函数 f x ln x x 的图象大致是（ ）.
2
A． B． C． D．
2．（2020·江西上高二中高二期末（文））已知函数 f(x)＝ex－(x＋1)2(e为2.718 28…)，则 f(x)的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020·四川省绵阳江油中学高二开学考试（理））已知函数 y xf (x)的图象如图所示(其中 f (x) 是函
数 f (x) 的导函数)，则下面四个图象中， y f (x) 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
考点四 利用单调性解不等式
【例 4】（2020·于洪·辽宁省实验中学分校高二期末）设 f x 是定义在R 上的偶函数， f x 为其导函数，
f 2 0，当 x 0时，有 xf x f x 恒成立，则不等式 xf x 0的解集为（ ）
A． 2,2 B． , 2 0,2
C． 2,0 0,2 D． 2,0 2,
【一隅三反】
1 2020· f x e|x| 2．（ 古丈县第一中学高二月考）已知函数 ax ，对任意 x1 0 ， x2 0 ，都有
x2 x1 f x2 f x1 0，则实数 a的取值范围是（ ）
, e e , e eA． B． C． 0, D． ,0
2 2 2 2
2．（2020·河北省玉田县第一中学高二期末）已知 f (x) 是奇函数 f (x)(x R) 的导函数，当 x ( ,0]时，
f (x) 1，则不等式 f (2x 1) f (x 2) x 3的解集为
A． (3, ) B．[3, ) C． ( ,3] D． ( ,3)
3 2020· f x lnx 1 x2 2．（ 青海高二期末（理））已知函数 2x满足 f 2a a f 4a 12 ，则实数 a
2
的取值范围是（ ）
1 3 3 1 1
A． , 4 B． , 4 C． ,0 , 4 2 2 2 2
D．[ 3,0) , 4
2
考点五 利用单调性比较大小
ln x
【例 5】．（2020·四川阆中中学高三开学考试（理））已知 f x ，则（ ）
x
A． f (2) f (e) f (3) B． f (3) f (e) f (2)
C． f (3) f (2) f (e) D． f (e) f (3) f (2)
【一隅三反】
1．（2020·黑龙江工农·鹤岗一中高二期末（理））对任意 x 0, ，不等式 sin x f x ＜cos x f x 恒
2
成立，则下列不等式错误的是（ ）
A． f ＞ 2 f B． f3 4
＞2cos1 f 1
3
C f ＜ 2 cos1 f 1 D f 6 f ． ． ＜
4 4 2 6
ln 2
2 2020· a b
ln 3 c ln 5
．（ 陕西莲湖·西安一中高三月考（理））若 2 3 5 则（ ）
2 3 5
A． c ln 5 a ln 2 b ln 3 B． a ln 2 c ln 5 b ln 3
C．b ln 3 c ln 5 a ln 2 D． a ln 2 b ln 3 c ln 55.3.1 函数的单调性
思维导图
常见考法
考点一 求函数的单调区间
【例 1】（1）（2020·福建省泰宁第一中学高二月考（文））函数 f (x) x ln x的单调递减区间是（ ）
1 1
A． ( ,e) B． ( , ) C． (0,e) D． (0, )
e e
（2）．（2020·林芝市第二高级中学高二期末（文））函数 f(x)＝ex－x的单调递增区间是（ ）
A．(－∞，1] B．[1，＋∞) C．(－∞，0] D．(0，＋∞)
【答案】（1）D（2）D
【解析】（1）函数 f (x) x ln x的定义域为 (0, ) f (x) 1 ln x，
由 f (x) 1 ln x 0 ，解得0 x 1 ，
e
所以函数 f (x) x ln x 1的单调递减区间是 (0, )，故选：D
e
（2）因为 f (x) e x x，所以 f ' (x) e x 1，令 f ' (x) 0，解得： x 0，
即函数 f (x) e x x的增区间为 0, ，故选：D.
【一隅三反】
1．（2020·江苏省前黄高级中学高二期中）函数 f (x) x ln x的单调递增区间为（ ）
A． 0,
1 1 1
B． (e, ) C． ,
D． ,ee e e
【答案】C
【解析】由题意，函数 f x 的定义域为 0, ，则 f x ln x 1，
令 f x ln x 1 0 1，解得 x ，
e
1
所以，函数 f x 的单调递增区间为 , .故选：C.
e
2．（2020·玛纳斯县第一中学高二期末（理））函数 f x x2 2ln x的单调递减区间是（ ）
A． 0,1 B． 1, C． , 1 ， 0,1 D． 1,0 ， 0,1
【答案】A
2
【解析】因为函数 f x x 2ln x，所以函数的定义域为 (0, )，
求出函数 f (x) x2 2lnx的导数： f (x) 2x
2 2(x 1)(x 1)
， (x 0)；
x x
令 f (x) 0 ， (x 0) ，解得0 x 1，所以函数的单调减区间为 0,1 故选： A．
3．（2020·河南高三月考（文））已知 f x 3x2 6x 6ex 5，则函数 f x 的单调减区间为（ ）
A． 1, B． ln 3, C． , ln3 D． ,
【答案】D
f x 3x2 x【解析】由题可知， 6x 6e 5，且 f x 的定义域为 R，
则 f x 6x 6 6ex 6 x 1 ex ，
令 g x x 1 ex ，则 g x 1 ex， x R ，
当 x ,0 时， g x 0 ，当 x 0, 时， g x 0，
所以 g x 在 ,0 上单调递增， g x 在 0, 上单调递减，
则 g x 的最大值为： g 0 0，
故 g x 0 恒成立，故 f x 0在 R上恒成立，
所以 f x 在 R上单调递减，即函数 f x 的单调减区间为 , .
故选：D.
考点二 已知单调性求参数
【例 2】（1）（2020·北京高二期末）已知函数 f x ax 2ln x在区间 1, 上单调递增，则 a的取值范
围是（ ）
1 1
A． , B． 2
, C． , 2 D． 2,
2
（2 x）．（2020·山东德州·高二期末）若函数 f x e a 1 x 1在(0，1)上不单调，则 a的取值范围是
（ ）
A． 2,e 1 B． 2,e 1
C． , 2 e 1, D． , 2 e 1,
【答案】（1）D（2）A
【解析】∵函数 y ax 2 ln x在 1, 内单调递增，∴当 x 1时， y a 2 0恒成立，即 a 2 ，
x x
∴a 2，即 a的取值范围为 2, ，故选：D.
（2） f (x) ex (a 1)x 1， f (x) ex a 1，
若 f (x) 在 (0,1)上不单调，则 f (x) 在 (0,1)上有变号零点，
又 f (x)单调递增， f 0 f 1 0 ，即 (1 a 1)(e a 1) 0 ，解得2 a e 1．
a的取值范围是 (2,e +1) ．故选： A．
【一隅三反】
1．（2020· 2广东汕尾·高二期末）已知函数 f x x x alnx在 1, 上单调递增，则实数 a的取值范
围是（ ）
A． 2, B． 3, C． 2,0 D． 3,0
【答案】B
f x x2【解析】由题意，函数 x a ln x在 1, 上单调递增，
可得 f x a 2x 1 0在 1, 上恒成立，即 a 2x2 x在 1, 上恒成立，
x
令 g x 2x2 x, x 1, ，
根据二次函数的性质知，函数 g x 在 1, 单调递减，所以 g x max g 1 3，
所以 a 3，即实数 a的取值范围是 3, .故选：B．
1 1
2．（2020· 3 2广东禅城·佛山一中高二月考）已知函数 f x x mx 4x 3在区间 1,2 上是增函数，
3 2
则实数 m的取值范围为（ ）
A．4 m 5 B． 2 m 4 C．m 2 D．m 4
【答案】D
【解析】由 f x 1 1 x3 mx2 4x 3，得 f ' (x) x2 mx 4 ，
3 2
f x 1 x3 1 2因为函数 mx 4x 3在区间 1,2 上是增函数，
3 2
所以 x2 mx 4 0在 1,2 上恒成立，
得m x 4 恒成立
x
4
因为 x 4 4 2 x 4 ，当且仅当 x ，即 x 2时取等号，
x x x
所以m 4，
故选：D
1
3．（2020·甘肃城关·兰州一中高二期中（理））若函数 f (x) ln x ax2 2 在区间 , 2
内存在单调递增
2
区间，则实数 a的取值范围是（ ）
A． ( ,
1 1
2] B． ,
C． 2,
8 8
D． ( 2, )
【答案】D
1
【解析】因为 f (x) ln x ax2 2 在区间 , 2 内存在单调递增区间，
2
1 1
所以 f (x) 2ax 0在区间 , 2
上成立，x 2
1
即 2a 1
x2
在区间 , 2 上有解，
2
2a 1
1 2
4
因此，只需 ，解得 a 2 .
2
故选 D
4．（2020·重庆高二期末）若函数 f x 2x sin x cos x a cos x在 R上单调递增，则实数 a的取值范围
是（ ）
A． 1,1 B． 1,3 C． 3,3 D． 3, 1
【答案】A
【解析】由函数 f x 2x sin x cos x a cos x '得 f x 3 2sin2 x asin x '，由题意可得 f x 0恒
成立，即为3 2sin2 x a sin x 0，
设 t sin x 1 t 1 ，即 2t 2 +at 3 0，
当 t 0时，不等式显然成立；
0 3 3 3当 t 1时， a 2t，由 y 2t在 0,1 上单调递减，可得 t 1时， y 2t取得最小值 1，可
t t t
得a 1，
当 1 t 0 时，a 3 3 3 2t，由 y 2t在 1，0 上单调递减，可得 t 1时，y 2t取得最小值 1，
t t t
可得 a 1，
综上可得实数 a的取值范围是 1，1 ，
故选：A.
考点三 单调性与图像
【例 3】（2020·辽宁高二期末）函数 f x x2 2x ex的图象大致是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
f x x2 2x ex【解析】函数 ，
f x x2 x则 2 e ，令 f x 0，
解得 f x 的两个极值点为 2 ，故排除 AD，
且当 x 0 时， f x 恒为正，排除 C，
即只有 B 选项符合要求，
故选：B.
【一隅三反】
1
1．（2020·陕西秦都· 2咸阳市实验中学高二月考（理））函数 f x ln x x 的图象大致是（ ）.
2
A． B． C． D．
【答案】B
1
【解析】由题得， f x x(x 0) ，当 (0,1)时， f x 0，函数 f x 为增函数，当 (1, )时，
x
f x 0，函数 f x 1为减函数，则当 x 1时， f x 取最大值， f 1 ，则 B选项正确.
2
故选： B
2．（2020·江西上高二中高二期末（文））已知函数 f(x)＝ex－(x＋1)2(e为2.718 28…)，则 f(x)的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】函数 f x ＝ex－(x+1)2 ，当 x 1 f 1 ＝e 1时， = 1 0，故排除 A、D，又
e
f (x) e x 2x 2，f (x) e x 2 0 x ln 2，，当 0 x ln 2时， f (x) 0， f (x) f (0) 0，
所以 f x 在 0, ln 2 为减函数，故排除 B,故选：C.
3．（2020·四川省绵阳江油中学高二开学考试（理））已知函数 y xf (x)的图象如图所示(其中 f (x) 是函
数 f (x) 的导函数)，则下面四个图象中， y f (x) 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由 y xf (x)的图象可得：
当 x 1时, xf (x) 0 ,∴ f (x) 0 ,即函数 y f (x) 单调递增；
当0 x 1时, xf (x) 0 ,∴ f (x) 0 ,即函数 y f (x) 单调递减；
当 1 x 0时, xf (x) 0 ,∴ f (x) 0 ,即函数 y f (x) 单调递减；
当 x 1时, xf (x) 0 ,∴ f (x) 0 ,即函数 y f (x) 单调递增,
观察选项,可得 C 选项图像符合题意.故选：C.
考点四 利用单调性解不等式
【例 4】（2020·于洪·辽宁省实验中学分校高二期末）设 f x 是定义在R 上的偶函数， f x 为其导函数，
f 2 0，当 x 0时，有 xf x f x 恒成立，则不等式 xf x 0的解集为（ ）
A． 2,2 B． , 2 0,2
C． 2,0 0,2 D． 2,0 2,
【答案】B
'
f x x 0 xf x f x【解析】设 g x ， ，则 g x ，
x x2
∵当 x 0 '时，有 xf x f x 恒成立，∴当 x 0时， g x 0 ， g x 在 0, 上单调递增，
∵ f x 是定义在 R上的偶函数，
f x f x∴ g x g x ，即 g x 是定义在 ,0 0, 上的奇函数，
x x
∴ g x 在 ,0 上也单调递增.
又 f 2 0 f 2 ，∴ g 2 0 ，∴ g 2 0 .
2
不等式 xf x 0的解可等价于即 g x 0的解，
∴0 x 2或 x 2，
∴不等式的解集为 , 2 0,2 .
故选：B.
【一隅三反】
1．（2020· |x| 2古丈县第一中学高二月考）已知函数 f x e ax ，对任意 x1 0 ， x2 0 ，都有
x2 x1 f x2 f x1 0，则实数 a的取值范围是（ ）
e e e e
A． , 2
B． , C．
2
0,
2
D． ,0 2
【答案】A
【解析】由题意可知函数 f (x) 是 ( ,0)上的单调递减函数，
1 2axex 1
且当 x 0 时， f (x) e x ax2 , f (x) x 2ax 0，e ex
x 1据此可得： 2axe 1 0，即 a x 恒成立，2xe
令 g(x) xex (x 0)，则 g (x) ex (x 1) ，据此可得函数 g(x) 在区间 ( , 1)上单调递减，在区间 ( 1,0)
1 1 e
上单调递增，函数 g(x)的最小值为 g(-1) = - ，则 ( )
e 2xex min
，
2
a , e 据此可得：实数 的取值范围是 ．
2
故选： A．
2．（2020·河北省玉田县第一中学高二期末）已知 f (x) 是奇函数 f (x)(x R) 的导函数，当 x ( ,0]时，
f (x) 1，则不等式 f (2x 1) f (x 2) x 3的解集为
A． (3, ) B．[3, ) C． ( ,3] D． ( ,3)
【答案】B
【解析】令 g x f x x，当 x ,0 时， g ' x f ' x 1 0，
g x f x x在 , 0 上单调递增，
f x 为奇函数， g x 也是奇函数，且在 R上单调递增，
由 f 2x 1 f x 2 x 3化为
f 2x 1 2x 1 f x 2 x 2
得 g 2x 1 g x 2 ，
2x 1 x 2 x 3，
f 2x 1 f x 2 x 3的解集为 3, ，故选 B.
1
3．（2020·青海高二期末（理））已知函数 f x lnx x2 2x 2满足 f 2a a f 4a 12 ，则实数 a
2
的取值范围是（ ）
1 3 3 1 1
A． , 4 B． , 4 C． ,0 , 4 D．[ 3,0) , 4 2 2 2 2 2
【答案】C
【解析】 f (x) 的定义域是 (0, )，
f (x) 1 1 x 2 2 x 2 0 ，
x x
故 f (x) 在 (0, )递增，
f (2a2 a) f (4a 12)， 0 2a2 a 4a 12，
3
解得： a 0 1 或 a 4，故选：C．
2 2
考点五 利用单调性比较大小
f x ln x【例 5】．（2020·四川阆中中学高三开学考试（理））已知 ，则（ ）
x
A． f (2) f (e) f (3) B． f (3) f (e) f (2)
C． f (3) f (2) f (e) D． f (e) f (3) f (2)
【答案】D
f x ln x【解析】由 ，则 f x 1 ln x
x x2
，
令 f x 0，解得0 x e，
令 f x 0，解得 x e，
所以函数的单调递增区间为 0,e ，单调递减区间为 e, ，
故 x e时， f x f emax ，
而 f 2 ln 2 ln8 f 3 ln3 ln9 ， ，
2 6 3 6
所以 f (e) f (3) f (2) .
故选：D
【一隅三反】
1．（2020·黑龙江工农·鹤岗一中高二期末（理））对任意 x 0, ，不等式 sin x f x ＜cos x f x 恒
2
成立，则下列不等式错误的是（ ）
f 2 f A． ＞ B． f
＞2cos1 f 1
3 4 3
C． f ＜ 2 cos1 f 1 f
6D ． ＜ f 4 4 2 6
【答案】D
【解析】构造函数 g x f x cosx，则 g x cosx f x sinx f x ，
∵sinx f x ＜cosx f x ，∴ g x cosx f x sinx f x ＞0，
即 g x 在 x 0, 上为增函数，
2
g 2 1 由 ＜g ，即 f cos ＜f cos ，即 f ＜ f ，故 A 正确； 4 3 4 4 3 3 2 4 2 3
g 1 g f 1 cos1 f cos 由 ＜ ，即 ＜ ，即 f3 3 3 3 ＞2cos1 f 1 ，故 B 正确；
由g ＜g 1 f cos ＜f 1 cos1 2 f ，即 ，即 ＜f 1 cos1，故 C 正确； 4 4 4 2 4
g 由 ＜g ，即 f cos ＜f cos
3 f 2 f 6 ，即
6 4 6 6 4 4 2
＜ ，即 f6 2
＜f ，
4 2 6 4
故错误的是 D．故选 D．
ln 2 ln 3 ln 5
2 a b c．（2020·陕西莲湖·西安一中高三月考（理））若 2 3 5 则（ ）
2 3 5
A． c ln 5 a ln 2 b ln 3 B． a ln 2 c ln 5 b ln 3
C．b ln 3 c ln 5 a ln 2 D． a ln 2 b ln 3 c ln 5
【答案】A
【解析】由函数 f x ln x ， f x 1 ln x ，
x x
所以 x 0，e 时， f x 0，函数 f x 单调递增， x e， 时， f x 0，函数 f x 单调
递减，
f 2 ln 2 2 ln 2 ln 4又 f 4 ln 3 ln 4 ln 2 ln 5， 与
2 4 4 3 4 2 5
2a ln 2 3b ln 3 ln 5 5c 5c 2a 3b ，所以将不等式两边取自然对数得 c ln5 a ln 2 b ln3，
2 3 5
故选：A．
