5.3.2 极值与最值
思维导图
常见考法
考点一 求极值及极值点
【例 3】（2020·安徽滁州·高二期末（理））已知函数 f (x) a ln x x2 bx 1在点 (1, f (1))处的切线方程为
4x y 12 0 .
（1）求函数 f (x) 的解析式；
（2）求函数 f (x) 的单调区间和极值.
【答案】（1） f (x) 12ln x x 2 10x 1 ;（2）见解析.
f ' x a 1【解析】（1） 2x b，切线为 4x y 12 0 ，即斜率 f ' 1 4，纵坐标 f 1 8
x
即 f ' 1 a 2 b 4， f 1 1 b 1 8，解得b 10， a 12
解析式 f x 12lnx x2 10x 1
2
（2） f ' x 12 x 2 x 3 2x 10 2x 10x 12 2 ，定义域为 0,
x x x
得到 f x 在 0,2 单增，在 2,3 单减，在 3, 单增
极大值 f x 12ln2 15，极小值 f 3 12ln3 20 .
【一隅三反】
1．（2020·重庆高二期末）函数 f (x) x3 12x的极小值点为___________．
【答案】2
【解析】因为 f (x) x3 12x ' 2，所以 f (x) 3x 12 3 x 2 x 2 ，令 f ' (x) 0，得 x1 2, x2 2 ，
所以当 x , 2 '时， f x 0， f x 在 , 2 上单调递增；
当 x 2,2 '时， f x 0， f x 在 2,2 上单调递减；
当 x 2, f '时， x 0， f x 在 2, 上单调递增；
所以 f x 在 x 2时取得极小值，
故填：2.
2．（2020·广东云浮·高二期末）函数 f x 2x e 2x的极大值为__________．
1
【答案】
e
【解析】依题意得 f x 2e 2 x 4xe 2 x 2e 2 x 1 2x .
x , 1 f x 0 x 1 所以当 时， ；当 , 时， f x 0．
2 2
y f x 1 , 1所以，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 , .
2 2
x 1 1所以当 时，函数 y f x 有极大值 ．
2 e
1
故答案为： .
e
1 3 1
3．（2020· 3 2四川内江·高二期末（文））已知函数 f x x x 2x .
3 2 2
（1）求 f x 的单调区间和极值；
（2）若直线 y 2x b是函数 y f x 图象的一条切线，求b的值.
4 7
【答案】（1）单调递增区间为 ,1 和 2, ，单调递减区间为 1,2 ，极大值为 ，极小值为 ；（2）
3 6
b 1 或 b 4 .
2
【解析】（1） f x 1 x3 3 x2 2x 1 2，定义域为 R， f x x 3x 2 .
3 2 2
令 f x 0，解得 x 1或 x 2；令 f x 0，解得1 x 2 .
所以，函数 y f x 的单调递增区间为 ,1 和 2, ，单调递减区间为 1,2 ，
函数 y f x 的极大值为 f 1 4 ，极小值为 f (2) 7= ；3 6
（2 2）令 f x x 3x 2 2 1，解得 x 0或 x 3， f 0 ， f 3 2，
2
1 1
所以，切点坐标为 0, 或 3,2 ，则有b 或2 3 b 2，解得b
1
或 b 4 .
2 2 2
考点二 求最值点最值
【例 2】．（2020·兴仁市凤凰中学高二月考（文））已知函数 f（x）=x2（x-1）．
（1）求函数 f（x）的单调区间；
（2）求 f（x）在区间[-1，2]上的最大值和最小值．
【答案】(1) f x 的递增区间为 ( ,0), ( 2 , ) 2，递减区间为 (0, )．
3 3
(2) f x 最大值 f 2 4， f x 最小值 f 1 2．
1 f x x2 x 1 x3【解析】（ ）∵ x2 ，
∴ f x 3x2 2x．
由 f x 3x2 2x 0，解得 x 0 x 2 或 ；
3
由 f x 3x2 2x 0 2，解得0 x ，
3
f x 2 2 ,0 , , 0, 所以 的递增区间为 ，递减区间为 ．
3 3
2
（2）由（1）知 x 0是 f x 的极大值点， x 是 f x 的极小值点，
3
所以 f x 极大值 f 0 0， f x f 2 4极小值 ，
3 27
又 f 1 2， f 2 4，
所以 f x 最大值 f 2 4， f x 最小值 f 1 2．
【一隅三反】
1．（2020· 3 2四川射洪中学高二期中（文））已知函数 f x ＝x＋ax＋bx＋5，曲线 y＝f x 在点 P 1，f 1
处的切线方程为 y＝3x＋1 .
（1）求 a，b的值；
（2）求 y＝f x 在 －3,1 上的最大值．
【答案】（1） a＝2，b＝－4；（2）13
【解析】(1)依题意可知点P 1，f 1 为切点，代入切线方程 y＝3x＋1可得， f 1 ＝3 1＋1＝4，
所以 f 1 ＝1＋a＋b＋5＝4，即 a＋b＝－2，
又由 f x ＝x3＋ax2＋bx＋5，则 f' x ＝3x2＋2ax＋b，
而由切线 y＝3x＋1的斜率可知 f' 1 ＝3，∴3 2a b＝3，即 2a b＝0，
a b 2 a 2
由 ，解得 ，
2a b 0 b 4
∴a＝2， b＝－4．
(2)由(1)知 f x ＝x3 2x2－4x 5 f x ＝3x2，则 4x－4＝ 3x－2 x 2 ，
令 f' x 2＝0 ，得 x 或 x＝－2，
3
当 x 变化时， f x ， f' x 的变化情况如下表：
x 2 2 2－3 －3，－2 －2 2, ,1 1
3 3 3
f' x ＋ 0 － 0 ＋
f x 8 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 4
∴ f x 的极大值为 f －2 ＝13 2 95，极小值为 f ，
3 27
又 f －3 ＝8， f 1 ＝4，所以函数 f x 在 －3,1 上的最大值为 13．
2．（2020·霍邱县第二中学高二月考（文））已知函数 f (x) x3 ax2 3x (a R ).
（1）若 f (3) 0，求 f (x) 在[1,4]上的最小值和最大值；
（2）若 f (x) 在[1, )上是增函数，求实数 a的取值范围.
【答案】（1）最小值是 18，最大值是 6；（2） ( ,0] .
【解析】（1） f (x) 3x2 2ax 3，由 f (3) 0得 27 6a 3 0，
解得 a 4，∴ f (x) 3x2 8x 3，
令 f (x) 0 1，即3x2 8x 3 (3x 1)(x 3) 0 ，解得 x 或 x 3，
3
x 1 (1,3) 3 (3,4) 4
f (x) f (x) 0 0 f (x) 0
f (x) 6 极小值 18 12
∴ f (x) 在[1,4]上的最小值是 f (3) 18，最大值是 f (1) 6；
3 1
（2）由题意得： f (x) 3x2 2ax 3 0 在区间[1, )上恒成立，∴ a (x ) ，
2 x
x 1 g(x) 3 (x 1又当 时， )是增函数，其最小值为 g(1) 0，∴ a 0 ，
2 x
即实数 a的取值范围是 ( ,0] .
3．（2020· 3山东中区·济南外国语学校高二月考）设函数 f x ax 4x 4 过点 P 3,1
（1）求函数 f x 的单调区间和极值；
（2）求函数 f x 在[ 1,3]上的最大值和最小值.
【答案】（1）增区间 ( , 2)， (2, ) ，减区间 ( 2,2) ，极大值 f ( 2) 28 ，极小值 f (2) 4 ．（2）
3 3
23 4
最大值 ，最小值 ．
3 3
【解析】（1）∵点 P 3,1 在函数 f x 的图象上,∴ f 3 27a 12 4 27a 8 1 1,解得 a ,∴
3
f x 1 x3 4x 4 ,∴ f ' x x2 4 x 2 x 2 ,当 x 2或 x 2时, f ' x 0 , f x 单调递
3
增;当 2 x 2时, f (x) < 0 , f x 单调递减.∴当 x 2时, f x 有极大值,且极大值为
f 1 2 8 8 28 1 4 4 ,当 x 2时, f x 有极小值,且极小值为 f 2 8 8 4
3 3 3 3
4
（2）由 1 可得:函数 f x 在区间 1,2 上单调递减,在区间 2,3 上单调递增.∴ f x min f 2 ,3
又 f 1 1 23 4 4 , f 3 9 12 4 1,∴ f x 23
3 3 max
f 1
3
考点三 已知极值及最值求参数
【例 3-1】（2020·霍邱县第二中学高二开学考试（文））已知函数 f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数 a
的取值范围是( )
A．(－∞，0) B． C．(0,1) D．(0，＋∞)
【答案】B
【解析】函数 f（x）=x（lnx﹣ax），则 f′（x）=lnx﹣ax+x（ ﹣a）=lnx﹣2ax+1，
令 f′（x）=lnx﹣2ax+1=0 得 lnx=2ax﹣1，
函数 f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于 f′（x）=lnx﹣2ax+1 有两个零点，
等价于函数 y=lnx 与 y=2ax﹣1 的图象有两个交点，
在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）
当 a= 时，直线 y=2ax﹣1 与 y=lnx 的图象相切，
由图可知，当 0＜a＜ 时，y=lnx 与 y=2ax﹣1 的图象有两个交点．
则实数 a 的取值范围是（0， ）．
故选 B．
【例 3-2】（2020· x山东高三月考）已知函数 f x ae x．
（1）求 f x 的极值；
（2）求 f x 在 0,1 上的最大值．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【解析】（1）函数 f x 的定义域为 R，
f x aex 1，
当 a 0 时， f x 0恒成立，则 f x 在 R上是减函数，无极值；
当a 0时，令 f x 0，解得 x ln a，
则 f x 在 , ln a 上是减函数，在 ln a, 上是增函数，
所以当 x lna时， f x 有极小值， f ln a 1 ln a，无极大值，
综上，当 a 0 时， f x 无极值，当a 0时， f x 有极小值1 ln a，无极大值；
（2）①当 a 0 时，由（1）知 f x 在 R上是减函数，
所以当 x 0时， f x 有最大值 f 0 a；
②当 a 0时，由（1）知 f x 在 , ln a 上是减函数，在 ln a, 上是增函数，
（i）当 ln a 0，即 a 1时， f x 在 0,1 上是增函数，
所以当 x 1时， f x 有最大值 f 1 ae 1；
1
（ii）当 0 lna 1即 a 1时， f x 在 0, ln a 上是减兩数，在 ln a,1 上是增函数.
e
1 1
若 f 0 f 1 ，即 a 时， f x 有最大值 a；
e e 1
若 f 0 1 f 1 ，即 a 1时， f x 有最大值 ae 1；
e 1
1
（ⅲ）当 ln a 1即0 a 时， f x 在 0,1 上是减函数，
e
所以当 x 0时， f x 有最大值 f 0 a，
1
综上所述，当 a 时， f x 有最大值 a；
e 1
a 1当 时， f x 有最大值 ae 1.
e 1
【一隅三反】
1．（2020·重庆北碚·西南大学附中高二期末）已知函数 f (x) ln x ax在 x 2处取得极值，则a （ ）
1
A．1 B．2 C． D．-2
2
【答案】C
' 1 1
【解析】 f x a '，依题意 f 2 0，即 a 0,a 1 .
x 2 2
'
此时 f x 1 1 2 x x 0 ，所以 f x 在区间 0,2 上递增，在区间 2, 上递减，所以 f x
x 2 2x
在 x 2处取得极大值，符合题意.
a 1所以 .
2
故选：C
2．（2020·山西应县一中高二期中（理））已知函数 f (x) x3 2ax2 3bx c 的两个极值点分别在（-1，0）
与（0，1）内，则 2a-b 的取值范围是（ ）
( 3 3 3A． ,1) B． ( , ) 1 3C． ( , ) 3D． (1, )
2 2 2 2 2 2
【答案】B
【解析】由函数 f（x）＝x3+2ax2+3bx+c，求导 f′（x）＝3x2+4ax+3b，
f（x）的两个极值点分别在区间（﹣1，0）与（0，1）内，
由 3x2+4ax+3b＝0 的两个根分别在区间（0，1）与（﹣1，0）内，
f ' 0 ＜0
即 f ' 1 ＞0，令 z＝2a﹣b，
f ' 1 ＞0
3b＜0
∴转化为在约束条件为 3 4a 3b＞0 时，求 z＝2a﹣b的取值范围，可行域如下阴影（不包括边界），
3 4a 3b＞0
3 3 3 3
目标函数转化为 z＝2a﹣b，由图可知，z在 A（ ，0）处取得最大值 ，在（ ，0）处取得最小值 ，
4 2 4 2
3 3
因为可行域不包含边界，∴z＝2a﹣b的取值范围（ ， ）．
2 2
故选 B．
3．（2020·四川省绵阳江油中学高二开学考试（理））若函数 f (x) e x (m 1) ln x 2(m 1)x 1 恰有两个
极值点，则实数m的取值范围为（ ）
e
A． ( e2 , e) B． ( , ) C． ( , 1 ) D． ( , e 1)
2 2
【答案】D
x m 1
【解析】由题可得： f ' x e 2 m 1 ， x 0
x
因为函数 f x e x m 1 lnx 2 m 1 x 1恰有两个极值点，
所以函数 f ' x ex m 1 2 m 1 x 0 有两个不同的零点.
x
ex m 1
x
令 2 m 1 0 xe，等价转化成 m 1 x 0 有两个不同的实数根，x 1 2x
x xe x ' 1 2x xe x
h x xe
1 2x ' ex 2x 1 x 1
记： ，所以h ' x
1 2x 1 2x 2
，
1 2x 2
x 0, 1 当 时， h ' x 0，此时函数 h x 在此区间上递增，
2
x 1 ,1 当 时， h ' x 0，此时函数 h x 在此区间上递增，
2
当 x 1, 时， h ' x 0 ，此时函数 h x 在此区间上递减，
x
作出 h x xe 的简图如下：
1 2x
xex
要使得 m 1有两个不同的实数根，则h 1 m 1，即： e m 1，
1 2x
整理得：m 1 e .
故选 D
4．（2020·江苏溧水·高二期中）已知函数 f (x) x2 (2a 1)x a ln x ．
（Ⅰ）当 a 1时，求函数 f (x) 的单调增区间；
（Ⅱ）求函数 f (x) 在区间[1,e]上的最小值．
2a a 1
1
【答案】（Ⅰ）(0， )，(1，＋∞) （Ⅱ）[ f (x)]min { a(ln a a 1) 1 a e2
e2 (2a 1)e a a e
【解析】（Ⅰ）当 a 1时， f (x) x2 3x a ln x，定义域为 (0, )．
f (x) 2x 3 1 2x
2 3x 1 (2x 1)(x 1)
．
x x x
令 f (x) 0 1，得 x 1或 x ．
2
列表如下
x (0, 1) (1 ,1) (1, )
2 2
f (x) ＋ － ＋
f (x) ↗ ↘ ↗
1
所以函数 f (x) 的单调增区间为 (0, )和 (1, )．
2
f (x) 2x (2a 1) a 2x
2 (2a 1)x a (2x 1)(x a)
（Ⅱ） ．
x x x
令 f (x) 0 x a x 1，得 或 ．
2
当a 1 1 1时，不论 a 还是 a 1，在区间[1,e]上， f (x) 均为增函数．
2 2
所以[ f (x)]min f (1) 2a ；
当1 a e时，
x (1,a) a (a, )
f (x) － 0 ＋
f (x) ↘ 极小值 a(ln a a 1) ↗
所以[ f (x)]min f (a) a(ln a a 1) ；
当a e时，
x 1 (1,e) e
f (x) －
f (x) 2a ↘ e2 (2a 1)e a
所以[ f (x)]min f (e) e2 (2a 1)e a．
2a a 1
综上，[ f (x)]min { a(ln a a 1) 1 a e．.
e2 (2a 1)e a a e
5 2020· x．（ 邢台市第二中学高二期末）设函数 f x e ax 3 （ a R）.
（1）讨论函数 f x 的极值；
（2）若函数 f x 在区间 1,2 上的最小值是 4，求 a的值.
【答案】（1）当 a 0 时，函数 f x 在 R上无极值；当 a 0时， f x 的极小值为 a a ln a 3，无极大
值.（2） e 1
x
【解析】（1） f x e a .
当 a 0 时， f x 0， f x 在 R上单调递增；无极值
当a 0时， f x 0，解得 x ln a，
由 f x 0，解得 x ln a .
函数 f x 在 , ln a 上单调递减，函数 f x 在 ln a, 上单调递增，
f x 的极小值为 f ln a a a ln a 3，无极大值
综上所述：当 a 0 时，函数 f x 在 R上无极值；
当a 0时， f x 的极小值为 a a ln a 3，无极大值.
（2）由（1）知，当 a 0 时，函数 f x 在 R上单调递增，
∴函数 f x 在 1,2 上的最小值为 f 1 e a 3 4 ，即 a e 1 0，矛盾.
当a 0时，由（1）得 x ln a是函数 f x 在 R上的极小值点.
①当 ln a 1即0 a e时，函数 f x 在 1,2 上单调递增，
则函数 f x 的最小值为 f 1 e a 3 4 ，即 a e 1，符合条件.
②当 ln a 2 即a e2 时，函数 f x 在 1,2 上单调递减，
2
f x f 2 e2则函数 的最小值为 2a 3 4 a e 1即 e2 ，矛盾.
2
③当1 ln a 2 即 e a e2 时，函数 f x 在 1, ln a 上单调递减，函数 f x 在 ln a, 2 上单调递增，
则函数 f x ln a的最小值为 f ln a e a ln a 3 4 ，即 a a lna 1 0 .
令 h a a a ln a 1（ e a e2 ），则 h a ln a 0 ，
∴h a 在 e,e2 上单调递减，
而 h e 1 2，∴ h a 在 e,e 上没有零点，
即当 e a e2 时，方程 a a lna 1 0无解.
综上，实数 a的值为 e 1 .5.3.2 极值与最值
思维导图
常见考法
考点一 求极值及极值点
【例 3】（2020·安徽滁州·高二期末（理））已知函数 f (x) a ln x x2 bx 1在点 (1, f (1))处的切线方程为
4x y 12 0 .
（1）求函数 f (x) 的解析式；
（2）求函数 f (x) 的单调区间和极值.
【一隅三反】
1．（2020·重庆高二期末）函数 f (x) x3 12x的极小值点为___________．
2．（2020· 2x广东云浮·高二期末）函数 f x 2x e 的极大值为__________．
1 3 1
3．（2020· 3 2四川内江·高二期末（文））已知函数 f x x x 2x .
3 2 2
（1）求 f x 的单调区间和极值；
（2）若直线 y 2x b是函数 y f x 图象的一条切线，求b的值.
考点二 求最值点最值
【例 2】．（2020·兴仁市凤凰中学高二月考（文））已知函数 f（x）=x2（x-1）．
（1）求函数 f（x）的单调区间；
（2）求 f（x）在区间[-1，2]上的最大值和最小值．
【一隅三反】
1 3 2．（2020·四川射洪中学高二期中（文））已知函数 f x ＝x＋ax＋bx＋5，曲线 y＝f x 在点 P 1，f 1
处的切线方程为 y＝3x＋1 .
（1）求 a，b的值；
（2）求 y＝f x 在 －3,1 上的最大值．
2．（2020·霍邱县第二中学高二月考（文））已知函数 f (x) x3 ax2 3x (a R ).
（1）若 f (3) 0，求 f (x) 在[1,4]上的最小值和最大值；
（2）若 f (x) 在[1, )上是增函数，求实数 a的取值范围 .
3．（2020·山东中区·济南外国语学校高二月考）设函数 f x ax3 4x 4 过点 P 3,1
（1）求函数 f x 的单调区间和极值；
（2）求函数 f x 在[ 1,3]上的最大值和最小值.
考点三 已知极值及最值求参数
【例 3-1】（2020·霍邱县第二中学高二开学考试（文））已知函数 f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数 a
的取值范围是( )
A．(－∞，0) B． C．(0,1) D．(0，＋∞)
B．
【例 3-2】（2020· x山东高三月考）已知函数 f x ae x．
（1）求 f x 的极值；
（2）求 f x 在 0,1 上的最大值．
【一隅三反】
1．（2020·重庆北碚·西南大学附中高二期末）已知函数 f (x) ln x ax在 x 2处取得极值，则a （ ）
1
A．1 B．2 C． D．-2
2
2．（2020·山西应县一中高二期中（理））已知函数 f (x) x3 2ax2 3bx c 的两个极值点分别在（-1，0）
与（0，1）内，则 2a-b 的取值范围是（ ）
A． ( 3 3 3 1 3 3 ,1) B． ( , ) C． ( , ) D． (1, )
2 2 2 2 2 2
3．（2020·四川省绵阳江油中学高二开学考试（理））若函数 f (x) e x (m 1) ln x 2(m 1)x 1 恰有两个
极值点，则实数m的取值范围为（ ）
e
A． ( e2 , e) B． ( , ) C． ( , 1 ) D． ( , e 1)
2 2
4．（2020·江苏溧水·高二期中）已知函数 f (x) x2 (2a 1)x a ln x ．
（Ⅰ）当 a 1时，求函数 f (x) 的单调增区间；
（Ⅱ）求函数 f (x) 在区间[1,e]上的最小值．
5．（2020· x邢台市第二中学高二期末）设函数 f x e ax 3 （ a R）.
（1）讨论函数 f x 的极值；
（2）若函数 f x 在区间 1,2 上的最小值是 4，求 a的值.
