5.3.2 极值与最值
【题组一 求极值及极值点】
4
1．（2020·北京市第十三中学高三开学考试）设函数 f x x ，则 f x 的极大值点和极小值点分别为
x
（ ）
A．－2，2 B．2，－2 C．5，－3 D．－5，3
【答案】A
【解析】易知函数定义域是{x | x 0}，
f (x) 1 4 (x 2)(x 2)由题意
x2
，
x2
当 x 2或 x 2时， f (x) 0，当 2 x 0或0 x 2时， f (x) 0，
∴ f (x)在 ( , 2)和 (2, )上递增，在 ( 2,0)和 (0,2)上递减，
∴极大值点是－2，极小值点是 2．故选：A．
2．（2020·黑山县黑山中学高二月考）函数 f x x2 6x 2ex的极值点所在的区间为（ ）
A． 1,0 B． 0,1 C． 1,2 D． 2, 1
【答案】B
【解析】 f x 2x 6 2ex，且 f x 为单调函数，
∴ f 1 2 6 2e 0， f 0 6 2 0，
由 f 0 f 1 0，故 f x 的极值点所在的区间为 0,1 ，故选：B.
3．（2020· x河北新华·石家庄二中高二期末）“ a 2 ”是“函数 f x x a e 在 0, 上有极值”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】 f x x a ex ，则 f x x a 1 ex，令 f x 0，可得 x a 1 .
当 x a 1时， f x 0；当 x a 1时， f x 0 .
所以，函数 y f x 在 x a 1处取得极小值.
若函数 y f x 在 0, 上有极值，则 a 1 0， a 1.
“ a 2 ” “ f x x a ex因此， 是 函数 在 0, 上有极值”的充分不必要条件.
故选：A.
4．（2020·扶风县法门高中高二月考（理））设函数 f (x) xe x，则（ ）
A． x 1为 f (x)的极大值点 B． x 1为 f (x)的极小值点
C． x 1为 f (x)的极大值点 D． x 1为 f (x)的极小值点
【答案】D
【解析】因为 f (x) xe x，所以 f x =ex+xex=ex x+1 ,令f x =0得,x=-1．
又由f x >0得:x>-1;由f x <0得：x<-1,所以f x 在 - ，-1 ，在 -1，+ ，所以 x 1为 f (x)
的极小值点．
5．（2020·黑龙江让胡路·铁人中学高二期末（理））已知 x 2是函数 f (x) x3 3ax 2的极小值点，那么
函数 f (x)的极大值为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】D
【解析】 f (x) 3x 2 3a ,又因为 x 2是函数 f (x) x3 3ax 2的极小值点，所以
f (2) 3 22 3a 0， a 4，所以 f (x) 3x2 12，由 f (x) 3x2 12 0， x 2或 x 2，所以
在区间 ( , 2)上，f (x) 0, f (x)单调递增，在区间 ( 2, 2)上，f (x) 0, f (x)单调递减，在区间 (2, )
上， f (x) 0, f (x)单调递增，所以函数 f (x)的极大值为 f ( 2) ( 2)3 12 ( 2) 2 18，故选 D.
6．（2020·甘肃省会宁县第四中学高二期末（理））函数 f (x) xe x 在 x [0, 4]上的极大值为（ ）
1 4 2
A． B．0 C． D．
e e4 e2
【答案】A
1 x
【解析】由 f (x) xe x 可得 f (x)
ex
当 x 0,1 时 f (x) 0， f (x)单调递增
当 x 1,4 时 f (x) 0， f (x)单调递减
所以函数 f (x) xe x 在 x [0, 4]上的极大值为 f 1 1 故选：A
e
7．（2020·天津一中高二期中）函数 f(x)＝3x2＋ln x－2x的极值点的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．无数个
【答案】A
1 6x2 2x 1
【解析】 f x 6x 2 ，由 f x 0得6x2 2x 1 0，方程无解，因此函数无极
x x
值点
1
8．（2020· 2北京高二期末）已知函数 f (x) x ln x .
2
（Ⅰ）求曲线 f x 在 x 1处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 y f x 的极值.
3x 2y 5 0 1 1【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）极小值是 ln 2，无极大值.
4 2
【解析】（Ⅰ） f x 1的定义域是 0, ， f (x) 2x ，
2x
f 1 1, f 1 3 k 3，故所求切线斜率 = ，
2 2
过 1,1 3的切线方程是： y 1 (x 1)，即 3x 2y 5 0；
2
f (x) 2x 1 (2x 1)(2x 1)（Ⅱ） ，
2x 2x
令 f′ x 0，解得： x 1 ，
2
令 f′ x 0，解得：0 x 1 ，
2
故 f x 1 1在 0, 递减，在 , 递增，
2 2
故 f x f 1 1 1的极小值是 ln
1 1 1
ln 2，无极大值.
2 4 2 2 4 2
9．（2019·湖南雨花·高二期末（文））已知函数 f (x) x3 12x 24．
（1）求函数 f (x)的单调区间；
（2）求函数 f (x)的极值．
【答案】（1）单调增区间为： ( , 2)和 (2, )，单调减区间为： ( 2,2)；（2）极大值 40，极小值 8．
【解析】（1）∵ f (x) x3 12x 24，∴ f (x) 3x2 12．令 f (x) 0，则 x 2或 2，
x ( , 2) 2 ( 2,2) 2 (2, )
f (x) 0 0
f (x) 单调递增 40 单调递减 8 单调递增
故 f (x)的单调增区间为： ( , 2)和 (2, )，单调减区间为： ( 2,2)．
（2）由（1）得：当 x 2时， f (x)有极大值 40，当 x 2时， f (x)有极小值 8．
10．（2020·林芝市第二高级中学高二期中（理））已知函数 f (x) x3 3x2 9x 2，求：
（1）函数 y f (x)的图象在点 (0, f (0))处的切线方程；
（2） f (x)的单调区间及极值．
【答案】（1）9x y 2 0；（2）减区间为 ( , 1]，[3, )，增区间为 ( 1,3)；极小值为 7，极大值
为 25．
【解析】（1）显然由题意有， f (0) 0， f (x) 3x 2 6x 9，
∴ f (0) 9
∴由点斜式可知，切线方程为：9x y 2 0；
（2）由（1）有 f (x) 3x2 6x 9 3(x 1)(x 3)
∴ f (x) 0时， x ( , 1]或 x [3, )
f (x) 0时， x ( 1,3)
∴ f (x)的单减区间为 ( , 1]，[3, )；单增区间为 ( 1,3)
∴ f (x)在 x 1处取得极小值 f ( 1) 7，
f (x)在 x 3处取得极大值 f (3) 25 .
【题组二 求最值点最值】
1．（2020·四川内江·高二期末（文））函数 y x 2cos x 3在区间 0,
2
上的最大值是（ ）
A． 3 B． C．
2 6 2 3
D．1 3
【答案】B
【解析】函数 f x y x 2cos x 3, x 0,
2
， f ' x 1 2sin x，
令 f ' x 0 x ，解得 ．∴函数 f x 在 0,
内单调递增，在 , 内单调递减．6 6 6 2
f x f ∴ x 时函数 取得极大值即最大值． 2cos
3 ．故选 B．
6 6 6 6 6
2．（2020·甘肃武威·高三月考（理））已知函数 f (x) ex cos x x .
（1）求曲线 y f (x)在点 (0, f (0))处的切线方程；
（2）求函数 f (x)在区间[0, ]上的最大值和最小值.
2
【答案】（1） y 1 ；（2）最大值为1，最小值为 .
2
【解析】（1）因为 f (x) ex cos x x，所以 f (x) e x (cos x sin x) 1, f (0) 0 .
又因为 f (0) 1，所以曲线 y f (x)在点 (0, f (0))处的切线方程为 y 1.
（2）设 h(x) e x (cos x sin x) 1，则 h (x) e x (cos x sin x sin x cos x) 2e x sin x ，
当 x (0, π)时， h (x) 0，
2
所以 h(x) π在区间[0, ]上单调递减，
2
x [0, π所以对任意 ]有 h(x) h(0) 0，即 f (x) 0，
2
π
所以函数 f (x)在区间[0, ]上单调递减，
2
f (x) [0, π ] 因此 在区间 上的最大值为 f (0) 1，最小值为 f ( ) .
2 2 2
3．（2020·江苏鼓楼·南京师大附中高三月考）已知函数 f (x) alnx bx 2 ， a，b R．若 f (x)在 x 1处
1
与直线 y = - 相切．
2
（1）求 a，b的值；
1
（2）求 f (x)在 [ ， e]上的最大值．
e
a 1
1
【答案】（1） ；（2） .
b
1
2
2
a
【解析】（1） 函数 f (x) alnx bx 2(x 0)， f (x) 2bx，
x
函数 f (x)在 x 1 1处与直线 y = - 相切，
2
f (1) a 2b 0 a 1
，解得 ；
f (1) b
1 1
2
b
2
2
（2） f (x) lnx 1 x2 ， f (x) 1 x ，
2 x
1
当 x e时，令 f (x) 0 1得： x 1，
e e
令 f (x) 0，得1 x e，
f (x) 1在[ ，1]，上单调递增，
e
在[1， e]上单调递减，
所以函数的极大值就是最大值，
f (x)max f
1
（1） ．
2
4．（2020·安徽庐阳·合肥一中高三月考（文））已知函数 f（x）＝ax3+bx+c在 x＝2处取得极值为 c﹣16.
（1）求 a、b的值；
（2）若 f（x）有极大值 28，求 f（x）在[﹣3，3]上的最大值和最小值.
【答案】（1） a 1,b 12；（2）最小值为 4，最大值为 28.
【解析】（1）因 f (x) ax3 bx c ，故 f (x) 3ax2 b，
由于 f (x) 在点 x 2处取得极值，
f (2) 0 12a b 0 a 1
故有 ，即 ，解得 ；
f (2) c 16 8a 2b c c 16 b 12
（2）由（1）知 f (x) x3 12x c， f (x) 3x2 12
令 f (x) 0 ，得 x1 2, x2 2，
当 x ( , 2)时， f (x) 0故 f (x)在 ( , 2)上为增函数；
当 x ( 2,2) 时， f (x) 0 故 f (x)在 ( 2,2) 上为减函数，
当 x (2, ) 时 f (x) 0 ，故 f (x)在 (2, ) 上为增函数．
由此可知 f (x) 在 x1 2 处取得极大值 f ( 2) 16 c， f (x) 在 x2 2 处取得极小值 f (2) c 16，
由题设条件知16 c 28 ，得 c 12，
此时 f ( 3) 9 c 21， f (3) 9 c 3， f (2) c 16 4，
因此 f (x)上[ 3,3]的最小值为 f (2) 4，最大值为 28.
5．（2020·河南商丘·高三月考（文））已知 f x 2x3 mx2 12x 6的一个极值点为 2.
（1）求函数 f x 的单调区间；
（2）求函数 f x 在区间 2,2 上的最值.
【答案】（1）函数 f x 的减区间为 1,2 ，增区间为 , 1 ， 2, ；（2）最小值是 14，最大值
是 13.
【解析】（1） f x 2x3 mx2 12x 6 2， f x 6x 2mx 12，
f x 2x3 mx2 12x 6的一个极值点为 2，
f 2 6 22 2m 2 12 0，解得m 3 .
f x 2x3 3x2 12x 6， f x 6x2 6x 12 6 x 1 x 2 ，
令 f x 0，得 x 1或 x 2；
令 f x 0，得 1 x 2；令 f x 0，得 x 1或 x 2；
故函数 f x 的减区间为 1,2 ，增区间为 , 1 ， 2, .
（2）由（1）知 f x 2x3 3x2 12x 6， f x 6 x 1 x 2 ，
当 2 x 1时， f x 0；当 1 x 2时， f x 0；
f x 在 2, 1 上为增函数，在 1,2 上为减函数，
x 1是 f x 的极大值点，
又 f 2 2， f 1 13， f 2 14，
所以函数 f x 在 2,2 上的最小值是 14，最大值是 13.
1
6 3 2．（2020·重庆高二期末）已知 f x x ax 3x（ a R）在 x 3处取得极值.
3
（1）求实数 a的值；
（2）求 f x 的单调区间；
（3）求 f x 在区间 3,3 上的最大值和最小值.
【答案】（1）1；（2）增区间为 , 3 ， 1, ，减区间为 3,1 5；（3）最大值为 9，最小值为 .
3
2
【解析】（1） f x x 2ax 3，由于 f x 在 x 3处取得极值，故 f ( 3) 0，解得 a 1，经检验，
当 a 1时， f x 在 x 3处取得极值，故 a 1 .
（2）由（1）得 f x 1 x3 x2 3x， f x x2 2x 3，由 f x 0得 x 1或 x 3；由 f x 0
3
得 3 x 1.
故 f x 的单调增区间为 , 3 ， 1, ，单减区间为 3,1 .
5
（3）由（2）得函数 f x 的极大值为 f 3 9，得函数 f x 的极小值为 f 1 ，又 f 3 9，
3
所以函数 f x 在区间 3,3 5上的最大值为 9，最小值为 .
3
【题组三 已知极值及最值求参数】
1．（2020·湖南其他（理））已知函数 f (x) ae x 3x 2 (a R )，若 x [0, 2]时， f (x)在 x 0处取得最大
值，则 a的取值范围为（ ）
12 6 12 6
A． a 0 B． a
e2
C． a D． 2 a e e e
【答案】A
【解析】∵ f (x) aex 6x ex (a 6x x )
6x
，令 g(x) ，
e ex
∴ g (x) 6(1 x) x ，∴ x 1时 g (x) 0， g(x)在 ( ,1)单调递增；e
∴ x 1时 g (x) 0， g(x)在 1, g(x) g(1) 6单调递减.如图，∴ max ，e
a 6 6x∴当 时， a 0，∴ f (x) 0， f (x)在 R上单调递增，不成立；
e ex
当 a 0时， f (x)在[0,2]上单调增减，成立；
6
当0 a 时， a 6x x 0有两个根 x1， x2 0 x1 x2 ，e e
∵当 x x a 6x1时， 0， f (x) 0x ；e
6x
当 x1 x x2 时， a x 0， f (x) 0；e
6x
当 x x2时， a 0， f (x) 0ex
，
∴ f x 在[0, x1]，[x2 , )上单调递增，在[x1, x2 ]上单调递减，显然不成立.
综上， a 0 .
故选：A
3
2．（2020· 3 2河南郑州·高三月考（文））已知函数 f x x 3a x 6ax，若 f x 在 1, 上既
2
1
有极大值，又有最小值，且最小值为3a ，则 a的取值范围为（ ）
2
1 , 1 1 , 1 1 , 1 1 1 A． B． C． 6 2 2 6 2 6
D． ,2 2
【答案】 C
【解析】 f x 3x2 6a 3 x 6a 3x 6a x 1 的零点为 2a和 1，
1
因为 f 1 3a ，所以 1是函数的极小值即最小值点，
2
则2a是函数的极大值点，
所以 1 2a 1，且 f 1 3a 1 ，
2
1 1
解得 a .
2 6
故选：C.
3．（2020·广东高二期末（理））函数 f (x) 3x x 3 在 [0，m]上最大值为 2，最小值为 0，则实数m取值范
围为（ ）
A．[1， 3] B．[1， ) C． (1， 3] D． (1, )
【答案】A
【解析】. f (x) 3x x 3， f (x) 3 3x 2 3(1 x)(1 x)，
令 f (x) 0，则 x 1或 1(舍负)，
当0 x 1时， f (x) 0， f (x)单调递增；当 x 1时， f (x) 0， f (x)单调递减.
函数 f (x)在[0，m]上最大值为 2，最小值为 0，且 f (0) f ( 3) 0， f （1） 2，
1 m 3 .
故选：A.
1
4 3 2．（2020·贵州遵义·高三其他（文））若函数 f (x) x ax x 5无极值点则实数 a的取值范围是（ ）
3
A． ( 1,1) B．[ 1,1] C． ( , 1) (1, )D． ( , 1] [1, )
【答案】B
1 3 2
【解析】 f (x) x ax x 5 ,
3
f (x) x2 2ax 1，
1 3 2
由函数 f (x) x ax x 5无极值点知，
3
f (x) 0至多 1个实数根，
( 2a)2 4 0，
解得 1 a 1，
实数 a的取值范围是[ 1,1]，
故选：B
5．（2020· x四川省绵阳江油中学高二开学考试（理））函数 y x 2 e +m在[0，2]上的最小值是 2-e，则最
大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】 y ' ex (x 2)ex (x 1)ex ，
因为 x [0, 2]，
所以当 x [0,1)时， y ' 0，当 x (1, 2]时， y ' 0，
所以函数在[0,1)上单调递减，在 (1,2]上单调递增，
所以函数在 x 1处取得最小值，根据题意有 e m 2 e，
所以m 2，
当 x 0时， y 2 2 0，当 x 2时， y 0 2 2，
所以其最大值是 2，
故选：B.
6．（2020· 3四川省绵阳江油中学高二月考（理））函数 f x x 3ax a在 0,1 内有最小值，则 a的取值
范围为( )
A．0 a 1 B．0 a 1
C． 1 1 a 1 D． 0 a
2
【答案】B
【解析】
∵函数 f（x）=x3﹣3ax﹣a在（0，1）内有最小值，
∴f′（x）=3x2﹣3a=3（x2﹣a），
①若 a≤0，可得 f′（x）≥0，f（x）在（0，1）上单调递增，
f（x）在 x=0 处取得最小值，显然不可能，
②若 a＞0，f′（x）=0解得 x=± a，
当 x＞ a，f（x）为增函数，0＜x＜ a为减函数，
f（x）在 x= a处取得极小值，也是最小值，
所以极小值点应该在（0，1）内，符合要求．
综上所述，a的取值范围为（0，1）
故答案为 B
7 2．（2020·黑龙江高二期中（理））已知函数 f x ax a 2 x ln x
（1）若 a 1，求函数 f x 的极值；
（2）当 a 0时，若 f x 在区间 1, e 上的最小值为-2，求 a的取值范围.
5
【答案】(1) 函数 f x 的极大值为 ln 2函数 f x 的极小值为 2 (2) 1,
4
2
【解析】（1） a 1， f x x 3x lnx，定义域为 0, ，
2
f x 1 2x 3 2x 3x 1 2x 1 x 1 又 .
x x x
x 1 0 x 1当 或 时 f x 0 1；当 x 1时 f x 0
2 2
∴函数 f x 1 5的极大值为 f ln2
2 4
函数 f x 的极小值为 f 1 2 .
（2）函数 f x ax2 a 2 x lnx的定义域为 0, ，
f x 2ax a 2 1 2ax
2 a 2 x 1 2x 1 ax 1
且 ，
x x x
令 f x 0，得 x 1 或 x 1 ，
2 a
0 1当 1，即 a 1时， f x 在 1,e 上单调递增，
a
∴ f x 在 1,e 上的最小值是 f 1 2，符号题意；
1
当1 e时， f x 在 1,e f 1 上的最小值是
a
f 1 2，不合题意；
a
1
当 e时， f x 在 1,e 上单调递减，
a
∴ f x 在 1,e 上的最小值是 f e f 1 2，不合题意
故 a的取值范围为 1,
8．（2020·北京八中高二期末）已知函数 f (x) (2x2 4ax) ln x x2 .
（1）当 a 1时，求函数 f (x)在[1, )上的最小值；
（2）若函数 f (x)在[1, )上的最小值为 1，求实数 a的取值范围；
1
（3）若 a ，讨论函数 f (x)在[1, )上的零点个数．
e
【答案】（1）1；（2） ( ,1]；（3）答案见解析.
【解析】(1)当 a 1时， f (x) (2x 2 4x) ln x x 2,
f (x) (4x 4) ln x 2x 4 2x 4(x 1)(ln x 1)，
因为 x [1, )，所以 f (x) 0，所以 f (x)为单调递增函数，
所以 f (x)min f (1) 1．
(2) f (x) (4x 4a) ln x 2x 4a 2x 4(x a)(ln x 1)， x [1, )，
当a 1时， f (x) 0，所以 f (x)为单调递增函数， f (x)min f (1) 1，符合题意；
当 a 1时，在[1,a)上， f (x) 0, f (x)单调递减，在 (a, )上， f (x) 0, f (x)单调递增，所以
f (x)min f (a)，
因为 f 1 1，故 f a f 1 1，与 f x 的最小值为 1矛盾.
故实数 a的取值范围为 ( ,1].
1
(3)由(2)可知，当 a 1时，在[1, )上， f (x)为单调递增函数， f (x)
e min
1，
此时函数 f (x)的零点个数为 0；
当 a 1时， f (x)min f (a) 2a
2 ln a a2，令 g(x) 2x 2 ln x x 2, x (1, ) ，
则 g (x) 4x ln x 2x 2x 4ax ln x 0，函数 g(x)单调递减，
1
令 g(x) 2x2 ln x x2 0，解得 x e2 ，
1 1
所以当 x (1,e2 )， g(x) 0， x e， g(x) 0， x (e2 , )， g(x) 0，
1
所以当a (1,e2 )时， f (x)min 0，此时函数 f (x)在[1, )上的零点个数为 0；
1
当 a e 2 时， f (x)min 0，此时函数 f (x)在[1, )上的零点个数为 1；
1
a (e 2 , ), f (x) ，min 0
又 f 1 1 0，故 f (x)在 1,a 存在一个零点，
f 2a 4a2 0，故 f (x)在 a, 2a 存在一个零点，
此时函数 f (x)在[1, )上的零点个数为 2．
1 1
综上，可得a ( ,e 2 )时，函数 f (x)在[1, )上的零点个数为 0；
e
1
a e 2时，函数 f (x)在[1, ）上的零点个数为 1；
1
a (e2 , )，函数 f (x)在 f (x) 0上的零点个数为 2.
9．（2020·广东禅城·佛山一中高二月考）已知函数 f x alnx ex ；
1 讨论 f x 的极值点的个数；
2 若 a 2，求证： f x 0．
【答案】（1）当 a≤0时，f（x）无极值点；当 a＞0时，函数 y=f（x）有一个极大值点，无极小值点；(2)见
解析
x
【解析】（1）根据题意可得， f x a e x a xe (x 0)，
x x
当 a 0时， f (x) < 0，函数 y f x 是减函数，无极值点；
当a 0时，令 f (x) = 0，得 a xex 0，即 xex a，
又 y xex a在(0,+ )上存在一解，不妨设为 x0，
所以函数 y f x 在 0, x0 上是单调递增的，在 x0 , 上是单调递减的.
所以函数 y f x 有一个极大值点，无极小值点；
总之：当 a 0时，无极值点；
当a 0时，函数 y f x 有一个极大值点，无极小值点.
x
（2） f x 2lnx ex ， f x 2 xe (x 0)，
x
由（1）可知 f x 有极大值 f x0 x，且 x 满足 x 00 0e 2①，
又 y xex在(0,+ )上是增函数，且0 2 e，所以 x0 0,1 ，
f x f x 2lnx ex又知： 0max 0 0 ，②
x 2 20
由①可得 e ，代入②得 f x f x 2lnx x max 0 0 x ，0 0
g x 2lnx 2 2 x 1令 2 2 ，则 g x 0恒成立，
x x x2 x2
所以 g x 在(0,1)上是增函数，
所以 g x0 g 1 2 0，即 g x0 0，
所以 f x 0 .
10．（2020·四川达州·高二期末（理））已知 a R，函数 f x x a ln x， g x 1 x2 ax .
2
（1）讨论 f x 的单调性；
（2）记函数 h x g x 1 f x ，求 h x 在 ,1
上的最小值. 2
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
f x x a ln x x 0 f x 1 a x a【解析】（1） ，则 .
x x
当 a 0时，当 x 0, 时， f x 0，函数 y f x 单调递增；
当a 0时，当 x a, 时， f x 0，函数 y f x 单调递增，
当 x 0,a 时， f x 0，函数 y f x 单调递减.
综上所述，当 a 0时，函数 y f x 的单调递增区间为 0, ；
当a 0时，函数 y f x 的单调递减区间为 0,a ，单调递增区间为 a, ；
1
（2） h x g x f x 1 x2 ax x a ln x x ,1 ， ，
2 2
x
2
h x x a 1 a a 1 x a x a x 1 .
x x x
a 1
1
①当 时，对任意的 x ,1 ， h x 0，函数 y h x 单调递增，
2
y h x 1 ,1 h x h 1 3 a所以，函数 在 上的最小值为 a ln 2 2 min ； 2 8 2
a 1②若 ，对任意的 x
1
,1 ， h x 0，函数 y h x 单调递减，2 2
1
所以，函数 y h x 在 ,1
上的最小值为 h x h 1min
1
a ；
2 2
1 1
③若 a 1 时，当 x ,a
时， h x 0，函数 y h x 单调递增，
2 2
当 x a,1 时， h x 0，函数 y h x 单调递减，
h 1 3 a又因为 a ln 2 h 1
1
， a ，
2 8 2 2
h 1 3 a 1 1 a h 1
a ln 2
a
a ln 2 .
2 8 2 2 8 2
1 a a ln 2 0 1 a 1
1
（i）当 时，即当 时， h h 1 ，
8 2 2 8ln 2 4 2
y h x 1 ,1 h x h 1 a 1此时，函数 在区间 上的最小值为 ； 2 min 2
1 a 1 1
（ii）当 a ln 2 0 时，即当 a 1时， h
8 2 8ln 2 4
h 1 .
2
y h x 1 ,1 h x h 1 3 a此时，函数 在区间 上的最小值为 a ln 2 2 min . 2 8 2
3 a 1
a ln 2,a 8 2 8ln 2 4
综上所述，h x min .
a 1 ,a 1
2 8ln 2 4
11．（2020·四川省绵阳江油中学高二期中（文））已知函数 f (x) a 2x3 (a 1)x 2 x b 在 x 1处取得极
小值 1．
（1）求 f (x)的解析式；
（2）求 f (x)在 [0,2]上的最值．
【答案】（1） f (x) x3 2x2 x 1（2）最小值为 1，最大值为 3．
【解析】（1） f (x) 3a 2x 2 2(a 1)x 1，
1
由 f (1) 3a 2 2a 1 (a 1)(3a 1) 0 ，得 a 1或 a ．
3
1
当 a 1时， f (x) 3x2 4x 1 (x 1)(3x 1) ，则 f (x)在 ( , ), (1, ) 1上单调递增，在 ( ,1)上单调
3 3
递减，符合题意，由 f (1) 1 2 1 b 1，得b 1；
当a 1 1 4 (x 1)(x 3) 2时， f (x) x x 1 ，则 f (x)在 ( ,1), (3, )上单调递增，在 (1,3)上单
3 3 3 3
调递减， f (x)在 x 1处取得极大值，不符合题意．
所以 f (x) x3 2x2 x 1．
1
（2）由（1）知 f (x)在[0, ), (1,2] 1上单调递增，在 ( ,1)上单调递减，
3 3
1 31
因为 f (0) f (1) 1, f ( ) , f (2) 3，所以 f (x)的最小值为 1，最大值为 3．
3 27
12．（2020·扶风县法门高中高二月考（理））已知函数 f (x) ex (ax b) x 2 4x，曲线 y f (x)在点
(0, f (0))处切线方程为 y 4x 4．
（1）求 a,b的值；
（2）讨论 f (x)的单调性，并求 f (x)的极大值．
【答案】（1） a b 4；（2）见解析.
【解析】（1） f x ex ax a b 2x 4．
由已知得 f 0 4， f 0 4．
故b 4， a b 8．
从而 a 4，b 4．
（2）由（1）知， f x 4ex x 1 x2 4x，
f x 4ex x 2 2x 4 4 x 1 2 ex
2
．
令 f x 0得， x ln2或 x 2．
从而当 x , 2 ln 2, 时， f x 0；
当 x 2, ln 2 时， f x 0．
故 f x 在 , 2 ， ln 2, 上单调递增，在 2, ln 2 上单调递减．
当 x 2时，函数 f x 2取得极大值，极大值为 f 2 4 1 e ．5.3.2 极值与最值
【题组一 求极值及极值点】
4
1．（2020·北京市第十三中学高三开学考试）设函数 f x x ，则 f x 的极大值点和极小值点分别为
x
（ ）
A．－2，2 B．2，－2 C．5，－3 D．－5，3
2．（2020· 2 x黑山县黑山中学高二月考）函数 f x x 6x 2e 的极值点所在的区间为（ ）
A． 1,0 B． 0,1 C． 1,2 D． 2, 1
3．（2020·河北新华·石家庄二中高二期末）“ a 2 ”是“函数 f x x a ex在 0, 上有极值”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2020·扶风县法门高中高二月考（理））设函数 f (x) xe x，则（ ）
A． x 1为 f (x)的极大值点 B． x 1为 f (x)的极小值点
C． x 1为 f (x)的极大值点 D． x 1为 f (x)的极小值点
5．（2020·黑龙江让胡路·铁人中学高二期末（理））已知 x 2是函数 f (x) x3 3ax 2的极小值点，那么
函数 f (x)的极大值为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
6．（2020·甘肃省会宁县第四中学高二期末（理））函数 f (x) xe x 在 x [0, 4]上的极大值为（ ）
1 4 2
A． B．0 C． D．
e e4 e2
7．（2020·天津一中高二期中）函数 f(x)＝3x2＋ln x－2x的极值点的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．无数个
1
8．（2020· 2北京高二期末）已知函数 f (x) x ln x .
2
（Ⅰ）求曲线 f x 在 x 1处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 y f x 的极值.
9．（2019·湖南雨花·高二期末（文））已知函数 f (x) x3 12x 24．
（1）求函数 f (x)的单调区间；
（2）求函数 f (x)的极值．
10．（2020·林芝市第二高级中学高二期中（理））已知函数 f (x) x3 3x2 9x 2，求：
（1）函数 y f (x)的图象在点 (0, f (0))处的切线方程；
（2） f (x)的单调区间及极值．
【题组二 求最值点最值】
1．（2020·四川内江·高二期末（文））函数 y x 2cos x 3在区间 0, 上的最大值是（ ） 2
A． 3 B． C．
2 6 2 3
D．1 3
2．（2020·甘肃武威·高三月考（理））已知函数 f (x) ex cos x x .
（1）求曲线 y f (x)在点 (0, f (0))处的切线方程；
（2）求函数 f (x)在区间[0, ]上的最大值和最小值.
2
3．（2020·江苏鼓楼·南京师大附中高三月考）已知函数 f (x) alnx bx 2 ， a，b R．若 f (x)在 x 1处
1
与直线 y = - 相切．
2
（1）求 a，b的值；
1
（2）求 f (x)在 [ ， e]上的最大值．
e
4．（2020·安徽庐阳·合肥一中高三月考（文））已知函数 f（x）＝ax3+bx+c在 x＝2处取得极值为 c﹣16.
（1）求 a、b的值；
（2）若 f（x）有极大值 28，求 f（x）在[﹣3，3]上的最大值和最小值.
5．（2020·河南商丘· 3 2高三月考（文））已知 f x 2x mx 12x 6的一个极值点为 2.
（1）求函数 f x 的单调区间；
（2）求函数 f x 在区间 2,2 上的最值.
1
6．（2020·重庆高二期末）已知 f x x3 ax2 3x（ a R）在 x 3处取得极值.
3
（1）求实数 a的值；
（2）求 f x 的单调区间；
（3）求 f x 在区间 3,3 上的最大值和最小值.
【题组三 已知极值及最值求参数】
1．（2020·湖南其他（理））已知函数 f (x) ae x 3x 2 (a R )，若 x [0, 2]时， f (x)在 x 0处取得最大
值，则 a的取值范围为（ ）
A． a 0 B． a 12 6 12 6 2 C． a D． 2 a e e e e
3
2．（2020·河南郑州·高三月考（文））已知函数 f x x3 3a 22 x 6ax，若 f x 在 1, 上既
1
有极大值，又有最小值，且最小值为3a ，则 a的取值范围为（ ）
2
1 , 1 1 , 1 1A． B． C． ,
1 1 D． ,
1
6 2 2 6 2 6 2 2
3．（2020·广东高二期末（理））函数 f (x) 3x x 3 在 [0，m]上最大值为 2，最小值为 0，则实数m取值范
围为（ ）
A．[1， 3] B．[1， ) C． (1， 3] D． (1, )
1
4．（2020·贵州遵义·高三其他（文））若函数 f (x) x3 ax2 x 5无极值点则实数 a的取值范围是（ ）
3
A． ( 1,1) B．[ 1,1] C． ( , 1) (1, )D． ( , 1] [1, )
5．（2020· x四川省绵阳江油中学高二开学考试（理））函数 y x 2 e +m在[0，2]上的最小值是 2-e，则最
大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（2020· 3四川省绵阳江油中学高二月考（理））函数 f x x 3ax a在 0,1 内有最小值，则 a的取值
范围为( )
A．0 a 1 B．0 a 1
C． 1 a 1 1 D． 0 a
2
7．（2020· 2黑龙江高二期中（理））已知函数 f x ax a 2 x ln x
（1）若 a 1，求函数 f x 的极值；
（2）当 a 0时，若 f x 在区间 1, e 上的最小值为-2，求 a的取值范围.
8．（2020·北京八中高二期末）已知函数 f (x) (2x2 4ax) ln x x2 .
（1）当 a 1时，求函数 f (x)在[1, )上的最小值；
（2）若函数 f (x)在[1, )上的最小值为 1，求实数 a的取值范围；
（3）若 a 1 ，讨论函数 f (x)在[1, )上的零点个数．
e
9 x．（2020·广东禅城·佛山一中高二月考）已知函数 f x alnx e ；
1 讨论 f x 的极值点的个数；
2 若 a 2，求证： f x 0．
1
10．（2020·四川达州·高二期末（理））已知 a R，函数 f x x a ln x， g x x2 ax .
2
（1）讨论 f x 的单调性；
（2）记函数 h x g x f x ，求 h x 1在 ,1
2
上的最小值.
11．（2020·四川省绵阳江油中学高二期中（文））已知函数 f (x) a 2x3 (a 1)x 2 x b 在 x 1处取得极
小值 1．
（1）求 f (x)的解析式；
（2）求 f (x)在 [0,2]上的最值．
12．（2020·扶风县法门高中高二月考（理））已知函数 f (x) ex (ax b) x 2 4x，曲线 y f (x)在点
(0, f (0))处切线方程为 y 4x 4．
（1）求 a,b的值；
（2）讨论 f (x)的单调性，并求 f (x)的极大值．
