北京课改版数学八年级下册同步课时练习：15.3.1 第2课时 平行四边形对角线的性质(word版含答案)

第2课时　平行四边形对角线的性质
平行四边形性质定理3:
平行四边形的对角线互相平分.
符号语言:如,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,BO=DO(平行四边形的对角线互相平分).
1.(2020大兴区期末)如,在 ABCD中,AC,BD相交于点O.有下列结论:①OA=OC;②∠BAD=∠BCD;③∠BAD+∠ABC=180°;④AC⊥BD;⑤AB=CD.其中正确的有 (　　)
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
2.在 ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AC=8,则AO的长为 (　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
3.如, ABCD的对角线AC和BD相交于点O,过点O的直线分别交AD和BC于点F,E,若该平行四边形的面积为2,则中阴影部分的面积为 (　　)
A.4 B.1 C. D.无法确定
4.如, ABCD的两条对角线将它分成四个小三角形△AOB,△AOD,△DOC,△BOC,以下说法正确的是 (　　)
A.四个小三角形全等
B.四个小三角形都是等腰三角形
C.四个小三角形都是直角三角形
D.四个小三角形的面积相等
5.已知一个平行四边形相邻的两边长不相等且都为整数,若它的两条对角线长分别为8 cm和12 cm,则它相邻两边长的长度可以分别是 (　　)
A.4 cm,6 cm B.5 cm,6 cm C.6 cm,8 cm D.8 cm,10 cm
6.已知:如,在 ABCD中,AC与BD相交于点O,点E,F在AC上,且 BE∥DF.
求证:BE=DF.
7.如,在 ABCD中,点E,F在对角线AC上,四边形DEBF是平行四边形.
求证:AE=CF.
8.如, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O且与AB,CD分别交于点E,F.求证:△AOE≌△COF.
9.如,四边形ABCD是平行四边形,AC,BD相交于点O,BD⊥AD于点D,BF⊥CD于点F,OB=1.5,AD=4,求DC及BF的长.
10.如, ABCD的周长为8,△AOB的周长比△BOC的周长多2,则AB边的长为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
11.(2019东城区期末)如, ABCD的对角线相交于点O,且AD≠CD,过点O作OM⊥AC,交AD于点M.如果△CDM的周长为8,那么 ABCD的周长是 (　　)
A.8 B.12 C.16 D.20
12.如,坐标原点O为 ABCD的对角线AC的中点,顶点A,B,C,D的坐标分别为(4,2),(a,b),(m,n),(-3,2),则(m+n)(a+b)=　　　　.
13.如,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=3,E是AB上的点,四边形AECF是以AC为对角线的平行四边形,则线段EF长度的最小值是　　　　.
14.如,田村有一个四边形的池塘,在它的四个顶点A,B,C,D处均有一棵大桃树.田村准备开挖养鱼,想使池塘的面积扩大为原来的2倍且桃树不动,并要求扩建后的池塘为平行四边形的形状,田村能否实现这一设想 若能,请画出形,并说明理由.
教 师 详 解 详 析
第2课时　平行四边形对角线的性质
1.B　解： 根据平行四边形的性质可知:①平行四边形的对角线互相平分,则OA=OC,故①正确;②平行四边形的对角相等,则∠BAD=∠BCD,故②正确;③平行四边形的邻角互补,则∠BAD+∠ABC=180°,故③正确;④平行四边形的对角线互相平分,不一定垂直,故④错误;⑤平行四边形的对边相等,则AB=CD,故⑤正确.
2.B
3.B　解： ∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,OA=OC,OB=OD,
∴△AOB≌△COD(SSS),∴S△AOB=S△COD.
同理可证:△AFO≌△CEO(ASA),△BOE≌△DOF(ASA),
∴S△AFO=S△CEO,S△BOE=S△DOF,
∴阴影部分的面积=S四边形ABEF=S ABCD=1.故选B.
4.D
5.C　解： 如所示,
∵平行四边形的两条对角线长分别为8 cm和12 cm,
∴OA=OC=4 cm,OB=OD=6 cm,
∴2又∵AB+AD>12,
∴相邻两边长的长度可以分别是6 cm,8 cm.
6.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BO=DO(平行四边形的对角线互相平分).
∵BE∥DF,
∴∠BEO=∠DFO.
又∵∠EOB=∠FOD,
∴△BEO≌△DFO,
∴BE=DF.
7.证明: 连接BD交AC于点O.
由平行四边形对角线的性质,得AO=CO,EO=FO,
∴AO-EO=CO-FO,即AE=CF.
8.解： 根据平行四边形的性质,可知AO=CO,∠EAO=∠FCO.又根据对顶角相等,可知∠AOE=∠COF,再根据三角形全等的判定定理ASA,可得△AOE≌△COF.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO,AB∥CD,
∴∠EAO=∠FCO.
又∵∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF.
9.解:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴BD=2OB=3.
又∵BD⊥AD,
∴在Rt△ADB中,AB==5.
∴DC=AB=5.
∵S ABCD=AD·BD=DC·BF,
∴5×BF=3×4.∴BF=.
10.C　解： 因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD=BC,DC=AB,OA=OC.又因为 ABCD的周长为8,所以AB+BC=4.又△AOB的周长比△BOC的周长多2,所以AB-BC=2,所以AB=3,BC=1.
11.C　解： ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO.
又∵OM⊥AC,
∴MA=MC,
∴△CDM的周长=MD+MC+CD=MD+MA+CD=AD+CD=8,
∴ ABCD的周长为2(AD+CD)=16.
12.-6　解： 过点A作AM⊥x轴于点M,过点C作CN⊥x轴于点N,如所示.
∵顶点A的坐标为(4,2),
∴AM=2,OM=4.
∵O为 ABCD的对角线AC的中点,
∴OA=OC.
∵∠CNO=∠AMO=90°,∠CON=∠AOM,
∴△CNO≌△AMO,
∴CN=AM=2,ON=OM=4.
∵点C在第三象限,
∴顶点C的坐标为(-4,-2),
即m=-4,n=-2.
同理可求得顶点B的坐标为(3,-2),
即a=3,b=-2,
∴(m+n)(a+b)=-6×1=-6.
13.3　解： 当EF⊥BA时,EF取最小值,由于FC∥AB,因此根据两平行线之间的距离相等,可得EF=BC=3.
14.解:能.连接AC,BD,分别过点A,C作BD的平行线,过点B,D作AC的平行线,构成的平行四边形即为所求.画和理由略.