北京课改版数学八年级下册同步课时练习：15.4.1 第2课时 菱形的性质(word版含答案)

第2课时　菱形的性质
1.菱形性质定理1:
菱形的四条边都相等.
符号语言:
如,∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=DA.
2.菱形性质定理2:
菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角.
符号语言:如,
∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD于点O,∠1=∠2=∠3=∠4=∠ADC=∠ABC.
3.菱形的面积:
S菱形=×对角线长的乘积,S菱形=底×高.
1.若菱形ABCD的周长为8 cm,则AB的长为(　　)
A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm
2.下列性质中,菱形具有而矩形不一定具有的是 (　　)
A.对角线相等 B.对角线互相垂直
C.邻边垂直 D.邻角互补
3.如,一块三角尺放在一张菱形纸片上,斜边与菱形的一边平行,则∠1的度数是 (　　)
A.45° B.50° C.60° D.75°
4.如,在菱形ABCD中,AB=6,∠BCD=120°,则对角线AC的长是 (　　)
A.8 B.15 C.10 D.6
5.如,菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别是6和8,则这个菱形的面积是 (　　)
A.20 B.24 C.40 D.48
6.如,四边形ABCD是菱形,DH⊥AB于点H.若AC=8,BD=6,则DH的长度为 (　　)
A.2.4 B.3.6 C.4.8 D.7.2
7.已知菱形的一条对角线长为6,面积是12,则这个菱形的另一条对角线长是　　　　.
8.如,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,),B(-1,0),菱形ABCD的顶点C在x轴的正半轴上,则点D的坐标为　　　　.
9.如,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,DH⊥AB于点H,连接OH,
∠DHO=20°,则∠CAD的度数是 (　　)
A.20° B.25° C.30° D.40°
10.如,E,F分别是菱形ABCD的边BC,CD上的点,且∠EAF=∠D=60°,∠FAD=45°,则∠CFE的度数为 (　　)
A.30° B.45° C.60° D.75°
11.如,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,E是边AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,若AB=2,则PB+PE的最小值是　　　　.
12.如,四边形ABCD和四边形BFGH都是菱形,且A,B,F三点共线.DE是菱形ABCD的高,连接DG,K是DG的中点,连接CK,KH.
(1)若AE=5,BE=8,求菱形ABCD的面积;
(2)求证:CK⊥KH.
13.如,已知菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且∠ABC=60°,AB=4,现有线段BO上的一个动点E(不与点B,O重合),连接AE,CE.
(1)求证:AE=CE;
(2)若F为射线DC上的一点,且∠AEF=120°,求线段EF长可能的整数值.
教 师 详 解 详 析
第2课时　菱形的性质
1.B　解： ∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=DA.∵AB+BC+CD+DA=8 cm,
∴AB=2 cm,∴AB的长为2 cm.
2.B　解： ∵菱形的对角线互相垂直,但矩形的对角线不一定垂直,∴菱形具有而矩形不一定具有的是对角线互相垂直.故选B.
3.C
4.D　解： ∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,∠ACB=∠ACD=∠BCD=60°,
∴△ABC是等边三角形,∴AC=AB=6.
5.B
6.C　解： 设AC与BD的交点为O.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,OA=OC=4,OB=OD=3,
∴AB=5,∴=×8×6=24=AB·DH,
则DH=4.8.
7.4　解： 设另一条对角线的长为x,则×6x=12,解得x=4.
8.(2,)　解： ∵点A(0,),B(-1,0),
∴AO=,BO=1,∴AB=2.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD=2,AD∥BC,
∴点D的坐标为(2,).
9.A　解： ∵四边形ABCD是菱形,
∴OB=OD,AC⊥BD.
∵DH⊥AB,
∴OH=OB=BD.
∵∠DHO=20°,
∴∠OHB=90°-∠DHO=70°,
∴∠ABD=∠OHB=70°,
∴∠CAD=∠CAB=90°-∠ABD=20°.
10.B　解： 如,连接AC.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,∠B=∠D=60°,
∴△ABC为等边三角形,∠BCD=120°,
∴AB=AC,∠ACF=∠BCD=60°,
∴∠B=∠ACF.
∵△ABC为等边三角形,
∴∠BAC=60°,即∠BAE+∠EAC=60°.
又∵∠EAF=60°,即∠CAF+∠EAC=60°,
∴∠BAE=∠CAF,
∴△ABE≌△ACF,∴AE=AF.
又∵∠EAF=∠D=60°,则△AEF是等边三角形,∴∠AFE=60°.
又∵∠AFD=180°-45°-60°=75°,则∠CFE=180°-75°-60°=45°.
11.　解： 如,连接DE交AC于点P,连接DB.
由菱形的对角线互相垂直平分,可得点B,D关于AC对称,则PD=PB,
∴PE+PB=PE+PD=DE,即DE就是PE+PB的最小值.
∵∠ABC=120°,
∴∠BAD=60°.
又∵AD=AB,
∴△ABD是等边三角形.
∵E为AB的中点,
∴DE⊥AB.
在Rt△ADE中,DE==,
∴PB+PE的最小值为.
12.解:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD=AE+BE=5+8=13.
∵DE⊥AB,∴∠DEA=90°,
∴DE===12,
∴菱形ABCD的面积为12×13=156.
(2)证明:如,延长HK交CD于点M.
∵四边形ABCD和四边形BFGH都是菱形,
∴CD∥AB∥GH,CD=CB,BH=GH,
∴∠MDK=∠HGK.
又∵∠MKD=∠HKG,DK=GK,
∴△DMK≌△GHK(ASA),
∴KM=KH,DM=HG,∴DM=BH.
又∵CD=CB,∴CM=CH.
∵KM=KH,∴CK⊥KH.
13.解:(1)证明:∵在菱形ABCD中,AB=BC,∠ABE=∠CBE=∠ABC=30°,BE=BE,
∴△ABE≌△CBE,∴AE=CE.
(2)设∠OCE=∠OAE=α,∠AEO=90°-α,∴∠DEF=120°-(90°-α)=30°+α.
当点F在线段DC上时,∠EFC=∠CDE+∠DEF=60°+α.
∵∠ECF=∠DCO+∠OCE=60°+α,
∴∠ECF=∠EFC,∴CE=EF,∴AE=EF.
当点F在DC的延长线上时,同理可证AE=EF.
∵AB=4,∠ABE=30°,
∴在Rt△ABO中,AO=2.
∵OA∴AE的长的整数值是3,
∴线段EF长可能的整数值为3.