北京课改版数学八年级下册同步课时练习：15.4.2 第2课时 菱形的判定(word版含答案)

第2课时　菱形的判定
1.菱形判定定理1:四条边都相等的四边形是菱形.
符号语言:
如,在四边形ABCD中,
∵AB=BC=CD=DA,
∴四边形ABCD是菱形.
2.菱形判定定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
符号语言:如,在 ABCD中,
∵AC⊥BD,
∴四边形ABCD是菱形.
1.如,B,C分别是锐角∠A两边上的点,AB=AC,分别以点B,C为圆心,以AB的长为半径画弧,两弧相交于点D,连接BD,CD,则根据作过程判定四边形ABDC是菱形的依据是(　　)
A.一组邻边相等的四边形是菱形
B.四条边都相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D.对角线平分一组对角的四边形是菱形
2.已知O为 ABCD对角线的交点,下列条件能使 ABCD成为菱形的是 (　　)
A.AB=BC B.AC=BD
C.OA=OC,OB=OD D.∠A=∠B=∠C=90°
3.(2020西城区期中)在四边形ABCD中,对角线AC,BD互相平分,若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形,则这个条件可以是 (　　)
A.∠ABC=90° B.AC⊥BD C.AC=BD D.AB∥CD
4.如,两把完全一样的透明直尺叠放在一起,重合的部分构成一个四边形,这个四边形一定是　　　　.
5.如,已知点D在△ABC的BC边上,DE∥AC交AB于点E,DF∥AB交AC于点F.若AD平分∠BAC,试判断四边形AEDF的形状,并说明理由.
　
6.(2020大兴区期末)如,已知△ABC,D是AC的中点,DE⊥AC于点D,交AB于点E,过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F,连接CE,AF.求证:四边形AECF是菱形.
7.如,在 ABCD中,M,N是BD上两点,BM=DN,连接AM,MC,CN,NA,添加一个条件,使四边形AMCN是菱形,这个条件可以是 (　　)
A.OM=AC B.MB=MO
C.BD⊥AC D.∠AMB=∠CND
8.如,ABCD是一张平行四边形纸片,要求利用所学知识作出一个菱形,甲、乙两名同学的作法如下.关于甲、乙两人的作法,下列判断正确的为 (　　)
甲:连接AC,作AC的垂直平分线分别交AD,BC于点E,F,连接AF,CE,则四边形AFCE是菱形.乙:分别作∠A与∠B的平分线AE,BF,分别交BC于点E,交AD于点F,连接EF,则四边形ABEF是菱形.
A.仅甲正确 B.仅乙正确
C.甲、乙均正确 D.甲、乙均错误
9.如,四边形ABCD是平行四边形,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,且BE=DF.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)连接EF,若∠CEF=30°,AE=2,直接写出四边形ABCD的周长.
10.如,在△ABC中,AB=BC,过点A作BC的平行线与∠ABC的平分线交于点D,连接CD.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若AC与BD交于点O,过点D作DE⊥BC与BC的延长线交于点E,连接EO.若CE=3,DE=4,求OE的长.
11.(2019东城区一模)如,在△ABC 中,CD平分∠ACB交AB于点D,CD的垂直平分线分别交AC,CD,BC于点E,F,G,连接DE,DG.
(1)求证:四边形DGCE是菱形;
(2)若∠ACB=30°,∠B=45°,DE=6,求BG的长.
教 师 详 解 详 析
第2课时　菱形的判定
1.B
2.A　解： 由一组邻边相等的平行四边形是菱形可知选项A正确.
3.B
4.菱形　解： 如,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F.
∵两直尺的宽度相等,∴DE=DF.
∵AB∥CD,AD∥BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵ ABCD的面积=AB·DE=BC·DF,
∴AB=BC,∴ ABCD为菱形.故答案为菱形.
5.解:四边形AEDF是菱形.
理由:∵DE∥AC,DF∥AB,
∴四边形AEDF是平行四边形.
∵DE∥AC,∴∠ADE=∠DAF.
∵AD平分∠BAC,∴∠DAF=∠EAD,
则∠ADE=∠EAD,∴AE=DE,
∴四边形AEDF为菱形.
6.证明:∵D是AC的中点,EF⊥AC,
∴AE=CE,AF=CF,AD=CD.
∵CF∥AB,
∴∠EAD=∠FCD,∠AED=∠CFD,
∴△AED≌△CFD,∴AE=CF,
∴CE=AE=CF=AF,
∴四边形AECF为菱形.
7.C
8.C　解： 甲的作法正确,如①.
∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,
∴∠DAC=∠ACB.
∵EF是AC的垂直平分线,∴AO=CO.
又∵∠AOE=∠COF,
∴△AOE≌△COF,∴AE=CF.
又∵AE∥CF,∴四边形AECF是平行四边形.
∵EF⊥AC,∴四边形AECF是菱形.
乙的作法正确,如②.
∵AD∥BC,∴∠1=∠2,∠6=∠7.
∵BF平分∠ABC,AE平分∠BAD,
∴∠2=∠3,∠5=∠6,则∠1=∠3,∠5=∠7,
∴AB=AF,AB=BE,∴AF=BE.
∵AF∥BE,且AF=BE,
∴四边形ABEF是平行四边形.
又∵AB=AF,
∴四边形ABEF是菱形.
9.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠B=∠ADF.
∵AE⊥BC,AF⊥CD,
∴∠AEB=∠AFD=90°.
又∵BE=DF,
∴△AEB≌△AFD,∴AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形.
(2)∵∠CEF=30°,AE⊥BC,
∴∠AEF=60°.
由(1),知△AEB≌△AFD,
∴AE=AF,∠BAE=∠DAF,
∴△AEF是等边三角形,
∴∠EAF=60°.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB=90°,
则∠DAF=∠DAE-∠EAF=30°,
∴∠BAE=30°,∴BE=AB,
∴AB=2BE.
∵AB2=BE2+AE2,AE=2,
∴(2BE)2=BE2+(2)2,
∴BE=2,∴AB=4.
由(1),知四边形ABCD是菱形,
∴四边形ABCD的周长=4AB=16.
10.解:(1)证明:∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC.
∵AD∥BC,
∴∠ADB=∠DBC,
∴∠ABD=∠ADB,
∴AB=AD.
又∵AB=BC,∴AD=BC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB=BC,
∴四边形ABCD是菱形.
(2)∵DE⊥BC,CE=3,DE=4,
∴CD===5.
∵四边形ABCD是菱形,
∴BC=CD=5,BO=DO,
∴BE=BC+CE=8,
∵DE⊥BC,
∴BD===4.
∵BO=DO,∴OE=BD=2.
11.解:(1)证明:∵EG垂直平分DC,
∴DE=CE,∴∠EDC=∠ECD.
∵CD平分∠ECG,∴∠ECD=∠DCG,
∴∠EDC=∠DCG,∴DE∥GC.
同理可得DG∥EC,
∴四边形DGCE是平行四边形.
又∵DE=CE,
∴四边形DGCE是菱形.
(2)∵四边形DGCE是菱形,
∴DG=DE=6.
∵DG∥EC,∴∠DGB=∠ACB=30°.
过点D作DH⊥BG于点H,
∴DH=DG=3,∴HG=3.
∵∠B=45°,∴BH=DH=3,
∴BG=3+3.