假期作业2
一、单选题
34．已知向量，，若与共线，则实数（ ）
A． B． C．1 D．2
5．定义一种新运算；，设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的图象向左平移个单位后得到的函数是奇函数
B．
C．若，则
D．任取，均有恒成立
6．已知向量.设，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题：
①若，或者相交；
②，，；
③，；
④，或者；
其中正确命题的序号是（ ）
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
8．如图，在长方体中，，M，N分别为棱，的中点，有以下判断：
①AM，NB是异面直线；
②平面ADM；
③直线BN与所成角的大小为60°；
④二面角的大小为．
其中所有正确的判断是（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．②④
二、多选题
9．设非零向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则与垂直的单位向量
B．若，则在上的投影向量为
C．若，则
D．若，且，则与的夹角为
10．已知函数，则（ ）
A．函数的最小正周期为
B．点是函数图象的一个对称中心
C．将函数图象向左平移个单位长度，所得到的函数图象关于轴对称
D．函数在区间上单调递减
11．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列判断错误的是（ ）
A．若，，，则直线与垂直
B．若，，，则直线与可能相交、平行或异面
C．若，，则直线与一定垂直
D．若，，，则直线与平行
12．在棱长为1的正方体中，O为正方形的中心，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．∥平面
C．点B到平面的距离为
D．直线与直线的夹角为
三、填空题
13．已知向量，且，，则___．
14．已知，那么______.
15．已知函数，则下列说法正确的有________.
①的图象可由的图象向右平移个单位长度得到
②在上单调递增
③在内有2个零点
④在上的最大值为
16．如图，在正三棱柱中，各棱长均为4，M，N分别是BC，的中点，则直线AB与平面所成角的余弦值为_________.
四、解答题
17．已知，，，．当k为何值时：
(1)
(2)
18．已知函数的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)将图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数的解的集合.
19．在中，D的边的中点，．
(1)求角C；
(2)求面积的取值范围．
20．已知向量，．
(1)若，求的值；
(2)令，把函数的图像上每一点的横坐标都缩短为原来的一半（纵坐标不变），再把所得的图像沿x轴向左平移个单位长度，得到函数的图像，求函数在上的最大值和最小值．
21．如图，在三棱柱中，底面，且为等边三角形，，D为的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求三棱锥的体积．
22．如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小；
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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(
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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（3）求直线与平面所成角的正弦值第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页整体难度：一般
考试范围：三角函数与解三角形,平面向量,空间向量与立体几何
细 / 目 / 表 / 分 / 析
题号 难度系数 能力维度分析 详细知识点
一、单选题
1 0.85 全部 弧长的有关计算；扇形面积的有关计算；
2 0.65 全部 数量积的运算律；已知数量积求模；向量模的坐标表示；
3 0.85 全部 用基底表示向量；
4 0.85 全部 平面向量线性运算的坐标表示；由向量共线（平行）求参数；
5 0.65 全部 三角函数恒等式的证明——诱导公式；求图象变化前（后）的解析式；辅助角公式；求sinx型三角函数的单调性；
6 0.85 全部 二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；给值求值型问题；
7 0.85 全部 线面关系有关命题的判断；判断线面平行；面面平行证明线面平行；线面平行的性质；
8 0.65 全部 异面直线的判定；求异面直线所成的角；判断线面平行；求二面角；
二、多选题
1 0.65 全部 零向量与单位向量；向量夹角的计算；垂直关系的向量表示；求投影向量；
2 0.65 全部 求cosx型三角函数的单调性；求cosx（型）函数的对称轴及对称中心；结合三角函数的图象变换求三角函数的性质；sinxcosx的降幂公式及应用；
3 0.85 全部 线面关系有关命题的判断；面面关系有关命题的判断；
4 0.65 全部 求异面直线所成的角；判断线面平行；求点面距离；线面垂直证明线线垂直；
三、填空题
1 0.85 全部 已知数量积求模；垂直关系的向量表示；
2 0.64 全部 三角恒等变换；
3 0.85 全部 求含sinx(型)函数的值域和最值；求图象变化前（后）的解析式；求sinx型三角函数的单调性；
4 0.65 全部 证明线面垂直；求线面角；线面垂直证明线线垂直；面面垂直证线面垂直；
四、解答题
1 0.85 全部 由向量共线（平行）求参数；利用向量垂直求参数；
2 0.85 全部 解正弦不等式；由图象确定正（余）弦型函数解析式；求图象变化前（后）的解析式；
3 0.65 全部 二倍角的余弦公式；余弦定理解三角形；求三角形中的边长或周长的最值或范围；
4 0.65 全部 求图象变化前（后）的解析式；三角恒等变换的化简问题；用定义求向量的数量积；垂直关系的向量表示；
5 0.65 全部 锥体体积的有关计算；证明线面平行；证明面面垂直；
6 0.65 全部 证明线面平行；求二面角；
知 / 识 / 点 / 分 / 析
知识模块 题量 题号 难度系数 详细知识点
三角函数与解三角形 9 1 0.85 弧长的有关计算；扇形面积的有关计算；
5 0.65 三角函数恒等式的证明——诱导公式；求图象变化前（后）的解析式；辅助角公式；求sinx型三角函数的单调性；
6 0.85 二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；给值求值型问题；
10 0.65 求cosx型三角函数的单调性；求cosx（型）函数的对称轴及对称中心；结合三角函数的图象变换求三角函数的性质；sinxcosx的降幂公式及应用；
14 0.64 三角恒等变换；
15 0.85 求含sinx(型)函数的值域和最值；求图象变化前（后）的解析式；求sinx型三角函数的单调性；
18 0.85 解正弦不等式；由图象确定正（余）弦型函数解析式；求图象变化前（后）的解析式；
19 0.65 二倍角的余弦公式；余弦定理解三角形；求三角形中的边长或周长的最值或范围；
20 0.65 求图象变化前（后）的解析式；三角恒等变换的化简问题；用定义求向量的数量积；垂直关系的向量表示；
平面向量 7 2 0.65 数量积的运算律；已知数量积求模；向量模的坐标表示；
3 0.85 用基底表示向量；
4 0.85 平面向量线性运算的坐标表示；由向量共线（平行）求参数；
9 0.65 零向量与单位向量；向量夹角的计算；垂直关系的向量表示；求投影向量；
13 0.85 已知数量积求模；垂直关系的向量表示；
17 0.85 由向量共线（平行）求参数；利用向量垂直求参数；
20 0.65 求图象变化前（后）的解析式；三角恒等变换的化简问题；用定义求向量的数量积；垂直关系的向量表示；
空间向量与立体几何 7 7 0.85 线面关系有关命题的判断；判断线面平行；面面平行证明线面平行；线面平行的性质；
8 0.65 异面直线的判定；求异面直线所成的角；判断线面平行；求二面角；
11 0.85 线面关系有关命题的判断；面面关系有关命题的判断；
12 0.65 求异面直线所成的角；判断线面平行；求点面距离；线面垂直证明线线垂直；
16 0.65 证明线面垂直；求线面角；线面垂直证明线线垂直；面面垂直证线面垂直；
21 0.65 锥体体积的有关计算；证明线面平行；证明面面垂直；
22 0.65 证明线面平行；求二面角；假期作业2参考答案：
1-4BAAA 5-8 BCCB 9BC 10BCD 11ABD 12CD
4．A 因为，，
所以，，
因为 与共线，所以，解得，故选：A
5．B ，
对于A，向左平移个单位后不是奇函数，A错误；
对B，，B正确；
对C，若，则，，C错；
对于D，当时，，为增函数，则，D错误.
故选：B.
6．C
则
所以又，故所以．故选：C
7．C 对于①，若，，则m与n在同一个平面α内，所以或者m，n相交，故①正确；
对于②，，，，则m与n平行或者异面，故②错误；
对于③，，，则或者，故③错误；
对于④，，，根据线面平行的判定定理可得：如果则；如果，则，所以或者是正确的，故④正确；综上正确命题①④；故选：C
8．B
由长方体结构易知：AM，BN是异面直线，故①正确；
若为中点，连接，则，而面，面，故面，易知BN与平面ADM不平行，故②错误；
取CD的中点O，连接BO，ON，直线BN与所成角为，而三角形BON为等边三角形，故③正确；
由题意AD⊥面，面，则，
故二面角的平面角为，而，故④错误．故选：B
9．BC 与垂直的单位向量有两个，它们是相反向量，A错；
，又，所以在上的投影向量为，B正确；
若，则，
所以，C正确；
若，且，
则
，所以，D错．故选：BC．
10．BCD
，故最小正周期为，A错误；
，点是一个对称中心，B正确；
向左平移个单位长度得到，关于轴对称，C正确；，单调递减，D正确.故选：BCD.
11．ABD 对A，两平面垂直，不能得出两平面内的任意两直线垂直，故A错误；
对B，垂直于两个互相垂直的平面的两条直线必互相垂直，不可能平行，故B错误；
对C，若一条直线和一个平面垂直，另一条直线和该平面垂直，
则这两条直线互相垂直，故C正确；
对D，若两个平面平行，不能得出两个平面内的任意直线平行，故D错误.故选：ABD
12．CD 对于A，如图，连接 ,则交于点O,
正方体中，
平面平面 ,
故,而平面 ,
故平面,故平面，而平面,
故，即，故A正确；
对于B，连接BD,交AC于E,连接 ,则 ,
故四边形是平行四边形，故平面不在平面,
故平面，故B正确；
对于C，设点B到平面的距离为d,因为 ,
故 ，解得 ，故C错误；
对于D，连接 ,则即为直线BO与直线的夹角或其补角，
在 中， ,所以 ,则 ,故D错误故选：CD
13．【详解】因为，所以，
所以，
所以．故答案为：
14．
由得：，，故答案为.
15．②③ 由函数，
对于①中，将函数的图象向右平移个单位长度，
得到，所以①不正确；
对于②中，令，解得，
当时，可得，即函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，所以②正确；
对于③中，令，可得，解得，
当时，可得；当时，可得，
所以在内有2个零点，所以③正确；
对于④中，由，可得，
当时，即时，函数取得最大值，最大值为，所以④不正确.
故答案为：②③.
16．因为，且为的中点，所以.
在正三棱柱中,平面平面 平面且平面平面,所以平面.
因为平面,所以.
因为M，N分别是BC，的中点，所以
又因为，所以
所以
所以∠所以
又因为平面,平面,,
所以平面.
设,连接.由平面.如图所示
可知平面，所以为直线AB与平面所成角.
由题可知，
所以O为等腰三角形，作于，则为的中点，
所以
所以
在中，，所以.
所以直线AB与平面所成角的余弦值为.故答案为：.
17．(1)或2 (2)
(1)解：因为，，，，
所以，
．
因为，所以，
整理为，解得或2；
(2)因为，
所以，
整理为，解得：.
18．(1)(2)
（1）由函数图象，得到和，得到，结合图象过点，得到，求得，即可求得的解折式；
（2）根据三角函数的图象变换，得到，根据，得到不等式，进而求得不等式的解集.
(1)解：由函数图象，可得，，所以，
因为，可得，所以，
又因为图象过点，可得，即，
所以，解得，
又由，所以，所以函数的解折式为.
(2)解：将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到，
由，可得，解得，
所以，即不等式的解集为.
19．(1)(2)
(1)因为，所以
所以，故，又；所以.
(2)
在中，由余弦定理可得
因为，，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，又，当且仅当时等号成立，
所以面积．
20．(1) (2)最大值，有最小值．
(1)因为，所以，
所以，所以．
(2)由题可得
则
当时，，当时有最大值，
当时有最小值．
21．（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）．
【详解】
（1）连接交于，连接，在中，为中点，为中点，所以，又面，∴直线面；
（2）∵面，面，∴．又，
，∴，面，∴面．
又面，∴面面；
（3）∵为正三角形，为中点，∴，由，可知，
．∴，又∵面，且，
∴面，且，∴．
【点睛】
方法点睛：在证明线面平行时，主要通过以下几种形式得到线线平行：1、通过三角形中位线；2、通过构造平行四边形；3、通过面面平行；由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．
22．（1）详见解析；（2）；（3）.
试题解析：（1）设与相交于点，连接，则为中点，
为中点，.
又平面，平面
平面.
（2）正三棱柱，底面.
又，，
就是二面角的平面角.
，，.
，即二面角的大小是.
（3）由（2）作，为垂足.
，平面平面，平面平面，
平面，
平面，.
，平面，连接，则就是直线与平面所成的角.
，，在中，，
，.
.
直线与平面所成的角的正弦值为.
（备注：也可以建立空间直角坐标系来解答.）
