6.4 生活中的圆周运动 教案—2021-2022学年高一下学期物理人教版（2019）必修第二册（word版教案）
文档属性
| 名称 | 6.4 生活中的圆周运动 教案—2021-2022学年高一下学期物理人教版（2019）必修第二册（word版教案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 500.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（2019） | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2022-06-18 12:10:54 | ||
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文档简介
生活中的圆周运动
【教学内容】
(
1
．火车转弯问题：外轨略
高
于内轨，使得火车所受
重力
和
支持力
的合外力
F
合
提供向心力．（
1
）当
v
＝
v
o
时，内外轨均不受侧向挤压的力；（
2
）当
v
＞
v
o
时，
外
轨受到侧向挤压的力；（
3
）当
v
＜
v
o
时，
内
轨受到侧向挤压的力．
2
．汽车过拱桥：汽车过拱桥顶时的向心力是由
重力
和
支持力
的合力提供的，方向
竖直向下
．汽车具有竖直向下的加速度，对桥面的压力
小于
（填“大于”“等于”或“小于”）重力，处于
失重
状态．
3
．航天器中的失重现象：航天器中宇航员的向心力由
地球引力
提供，方向
竖直向下
．宇航员具有竖直向下的加速度，对座椅的压力
等于
零
，处于
完全失重
状态．
4
．离心运动：做匀速圆周运动的物体，在所受合力
突然消失
或者所受合力不足以提供
所需的向心力
时，就做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫做离心运动．
)
【教学目标】
（一）知识目标：
1．进一步加深对向心力的认识，会在实际问题中分析向心力的来源。
2．培养学生独立观察、分析问题、解决问题的能力，提高学生概括总结知识的能力。
（二）能力目标：
1．学会分析圆周运动方法，会分析拱形桥、弯道等实际的例子，培养理论联系实际的能力。
2．通过对几个圆周运动的事例分析，掌握用牛顿第二定律分析向心力的方法。
（三）情感、态度与价值观目标：
1．通过向心力在具体问题中的应用，培养学生将物理知识应用于生活和生产实践的意识。
2．体会圆周运动的奥妙，培养学生学习物理知识的求知欲
【教学重难点】
重点：分析具体问题中向心力的来源。
难点：在具体问题中分析向心力来源，尤其是在火车转弯问题中。
【教学过程】
【情景导入】
1．在日常生活中，我们会见到各种各样的桥：高架桥、吊索桥、石拱桥……但你会发现，桥面要么是平的，要么是凸的。有的人认为：桥是不是不应该设计成拱形向上的，而应该设计成凹形的为好。因为汽车在向下行驶之前具备一定的势能，这个势能可以帮助它顺利地到达桥的那一端。可是拱形向上的桥却没有这个优点。请问这种看法对不对？并探究为什么桥都设计成凸形的？
简答：桥设计成凸形是因为汽车经过桥中部时，桥所承受的压力较小；而相比之下，凹形桥承受的压力较大。由于汽车经过一个弧形的时候，需要有一个向心力F，它是由重力Mg和支撑力FN合成的。
在拱形桥：F＝Mg—FN ，得FN＝Mg一F
在凹形桥：F＝FN一Mg，得 FN＝F＋Mg
由上述两个式子可见，拱形桥的FN较小，FN是桥对汽车的支承力，其大小等于汽车对桥的压力。所以拱形桥对桥的结构强度设计上有利。
(
图
6
―
8
―
1
)2．一般人认为，飞车走壁是一项非常危险的节目。所谓飞车走壁，实际上车子是飞驰在一个高8．6 m、底部和顶部直径分别为9 m和11．6 m的大木桶内壁上的特技表演。与地面成81.5o角的桶壁峻峭陡立，似乎连一只鸟也停不住，请思考演员为什么行车如飞？
简答：因为车子沿桶壁高速行驶时，车子会受到桶壁很大的弹力（车子给桶壁以压力）而使车做匀速圆周运动。车子像被吸附在桶壁上一样落不下来。
我们粗略估算一下，原来人和车子在桶壁上要受到比自身重力大6倍多的力。即使车子动力万一失灵，由于惯性作用，车子也会在成喇叭形的桶壁内慢慢滑行而下。
【课堂互动】
三点剖析 一、应用向心力公式解决圆周运动问题是重点 1．应用向心力公式解题的一般步骤： （1）明确研究对象：解题时要明确所研究的是哪一个做圆周运动的物体。 （2）确定物体做圆周运动的轨道平面，并找出圆心和半径。 （3）确定研究对象在某个位置所处的状态，分析物体的受力情况，判断哪些力提供向心力。这是解题的关键。 （4）根据向心力公式列方程求解。 2．火车转弯时的受力情况 (
图
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―
8
―
2
)在火车转弯处，让外轨高于内轨，如图6―8―2所示，转弯时所需的向心力由重力和支持力的合力提供，否则的话，转弯时所需向心力应由外轨对车轮的挤压力提供，这样对车轨会造成损坏，车速大时，容易出事故。 设车轨间距为L，两轨高度差为h，转弯半径为R，质量为M的火车运行时应当有多大的速度？ 根据三角形知识可得，，由火车的受力情况可得，。因为α角很小，所以，故，所以向心力。又因为，所以车速。由于火车轨迹建成后，h，L，R各量是确定的，所以火车转弯时的车速应当是一个定值。 3．汽车过拱形桥的受力情况 (
图
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8
―
3
)如图6―8―3所示，汽车受到重力、支持力、牵引力和摩擦力四个力的作用。其中重力和支持力的合力提供向心力。设汽车质量为m，桥面圆弧半径为r，汽车在桥面最高点的速率为v，则： 所以， （1）当时，FN＝0 （2）当0≤v＜时， 0＜F≤mg （3）当v＞时，汽车将脱离桥面，发生危险。 二、竖直平面内的圆周运动是难点 1．没有支撑物的物体，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情形。 (
图
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―
8
―
7
)如图6―8―7所示，设绳子拉力为F，在最高点小球做圆周运动的向心力是由绳子拉力和重力的合力提供的，即。 （1）临界条件：小球在最高点时绳子的拉力刚好等于零，小球的重力充当圆周运动所需的向心力，设v0是小球能通过最高点的最小速度，则： ， 得。 （2）能过最高点的条件： v≥vo＝。 若v＜v0＝，则小球在达最高点之前就脱离了圆轨道。 2．有支撑物的物体，在竖直平面内做圆周运动情形。 (
图
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―
8
―
8
)如图6—8—8所示，设杆对小球的弹力为FN，在最高点小球做圆周运动的向心力是由杆的弹力和重力的合力提供的。 （1）临界条件：由于硬杆支撑作用，小球能到达最高点的临界速度v＝0，轻杆或轨道对小球的支持力FN＝mg。 （2）当0＜v＜时，在最高点杆对小球有向上的支持力：mg－FN＝，即： ，支持力随速度的增大而减小。 （3）当v＞时，杆对小球施加向下的拉力，由向心力公式，即： 。 三、航天器中的失重现象和离心运动现象是疑点 1．航天器中的失重现象 人造卫星、宇宙飞船、航天飞机等航天器进入轨道后可近似认为绕地球做匀速圆周运动，此时重力提供了卫星做圆周运动的向心力。航天器中的人和物随航天器一起做圆周运动，其向心力也是由重力提供的，此时重力全部用来提供向心力，不对其他物体产生压力，即里面的人和物处于完全失重状态。 2．离心运动 (
图
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―
12
)（1）做圆周运动的质点，当合外力消失时，它就以这一时刻的线速度沿切线方向飞出去。如图6―8―12所示。 （2）做离心运动的质点是做半径越来越大的运动或沿切线方向飞出去的运动，它不是沿半径方向飞出去。 （3）做离心运动的质点不存在所谓的“离心力”作用，因为没有任何物体提供这种力。 （4）离心运动的运动学特征是逐渐远离圆心运动，动力学特征是合外力突然消失或不足以提供所需的向心力。 3．离心运动的应用和防止 （1）应用：离心干燥器、无缝钢管的生产、离心水泵等。 （2）防止：为防止汽车转弯、砂轮转动时发生离心现象，都要对它们的速度加以限制。 各个击破 【例1】高速公路转弯处，若路面向着圆心处是倾斜的，要求汽车在该处转弯时沿倾斜路面没有上下滑动的趋势，在车速v＝15 m／s的情况下，路面的倾角θ应多大？（已知弯道半径R＝100m） (
图
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―
4
)解析：由于汽车在转弯时沿倾斜路面没有上下滑动的趋势，所以路面的支持力与重力的合力提供向心力。受力分析如图6―8―4所示，由牛顿第二定律： ，即 将R＝100 m，v＝15 m／s，g＝9．8m/S2代入，求得θ＝13o。 【类题演练1】如果高速公路转弯处弯道圆半径R＝100 m，汽车轮胎与路面间的静摩擦因数μ＝0.23．若路面是水平的，问汽车转弯时不发生径向滑动（离心现象）所许可的最大速率vmax多大？ 解析：在水平路面上转弯，向心力只能由静摩擦力提供；设汽车质量为m，则最大静摩擦力Ff＝μmg，汽车转弯时所许可的最大速率由运动方程决定： ， 取g＝9．8m/S2，可得。 【例2】一辆质量m＝20 t的小轿车，驶过半径R＝90 m的一段圆弧形桥面，重力加速度g＝10 m/S2．求： （1）若桥面为凹形，汽车以20 m/s的速度通过桥面最低点时，对桥面压力是多大？ （2）若桥面为凸形，汽车以10 m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面压力是多大？ （3）汽车以多大速度通过凸形桥面顶点时，对桥面刚好没有压力？ 思路分析：首先要确定汽车在何位置时对桥面的压力最大，汽车经过凹形桥面时，向心加速度方向向上，汽车处于超重状态；经过凸形桥面时，向心加速度方向向下，汽车处于失重状态。所以当汽车经过凹形桥面的最低点时，汽车对桥面的压力最大。 (
图
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5
)解析：（1）汽车通过凹形桥面最低点时，在水平方向受到牵引力F和阻力f。在竖直方向受到桥面向上的支持力FN，和向下的重力G＝mg，如图6―8―5所示。圆弧形轨道的圆心在汽车上方，支持力FN1与重力的合力为FN1一mg，这个合力就是汽车通过桥面最低点时的向心力，即F向＝FNl－mg。由向心力公式有： 解得桥面的支持力大小为 根据牛顿第三定律，汽车对桥面最低点的压力大小是2．89×104N。 (
图
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)（2）汽车通过凸形桥面最高点时，在水平方向受到牵引力F和阻力f，在竖直方向受到竖直向下的重力G＝mg和桥面向上的支持力FN2，如图6—8—6所示。圆弧形轨道的圆心在汽车的下方，重力G与支持力FN2的合力为mg一FN2，这个合力就是汽车通过桥面顶点时的向心力，即F向＝mg—FN2，由向心力公式有mg—FN2＝ 解得桥面的支持力大小为 根据牛顿第三定律，汽车在桥的顶点时对桥面压力的大小为1．78×104N。 （3）设汽车速度为vm时，通过凸形桥面顶点时对桥面压力为零。根据牛顿第三定律，这时桥面对汽车的支持力也为零，汽车在竖直方向只受到重力G作用，重力G＝mg就是汽车驶过桥顶点时的向心力，即F向＝mg，由向心力公式有，解得：vm＝＝＝30m/s 汽车以30 m／s的速度通过桥面顶点时，对桥面刚好没有压力。 【温馨提示】公式F＝mV2/R是牛顿第二定律在圆周运动中的应用，向心力就是做圆周运动的物体沿半径方向所受的合外力。因此，牛顿定律及由牛顿定律导出的一些规律（如超重、失重等）在这里仍适用。 【例3】绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m＝0.5 kg，绳长L＝60 cm，求： （1）最高点水不流出的最小速率； （2）水在最高点速率v＝3m/s时，水对桶底的压力。 思路分析：对于水桶中的水做圆周运动，在最高点时其受力为本身的重力和桶底对它的弹力，从而提供向心力，水在最高点的最小合外力是mg。所以，最高点的速度至少为。 解析： （1）在最高点水不流出的临界条件是桶底对水的压力为零，即mg＝mV2/L 解得：最小速率vo＝。 （2）当水在最高点的速率大于vo时，重力已不能提供足够的向心力，此时水桶底对水有一向下的压力，设为FN，由牛顿第二定律有： 由牛顿第三定律知，水对桶底的作用力FN′＝FN＝2．6 N，方向竖直向上。 (
O
R
图
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9
)【类题演练2】如图6―8―9所示，轻杆的一端固定一个小球，另一端是光滑的固定轴O，现给球一初速度，使球和杆一起绕轴O在竖直平面内转动，不计空气阻力，用F表示球到达最高点时杆对球的力，则F（ ） A．可能是拉力 B．可能是推力 C．可能是零 D．以上三种情况都有可能 解析：当球通过最高点，杆对球的作用力为零时，则有，解得。当0≤v＜时，F为推力；当当v＞时，F为拉力。 答案：D (
图
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10
)【例4】一内壁光滑的环形细管固定于竖直平面内，环的半径R（比细管的半径大得多），在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球A、B（可视为质点），A、B球均沿环形管运动，当A球运动到最低点时，B球恰在最高点，且二者的速度同为v0若要此时两球对细管的作用力的合力为零，则A、B两球的质量之比应为。 (
图
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11
)解析：分别画出A、B两球及细管的受力如图6―8―10所示和图6―8―11所示。对A、B球分别应用牛顿第二定律得： ② 由题意知：NA′－NB′＝0 由牛顿第三定律知：NA′＝NA，NB′＝NB 所以 NA－NB＝0③ 由①②③式解得： 答案： (
图
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8
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13
)【例4】如图6―8―13所示，细绳一端系着质量M＝0.6kg的物体，静止于水平面，另一端通过光滑小孔吊着质量m＝0.3kg的物体，M的中点与圆孔距离为0.2 m，并知M和水平面的最大静摩擦力为2N，现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围m会处于静止状态？（g取10 m／S2） 解析：要使m静止，M应与水平面相对静止，考虑M能与水平面相对静止的两个极端状态： 当ω为所求范围的最小值时，M有向圆心运动的趋势，水平面对M的静摩擦力方向背离圆心，大小等于最大静摩擦力2 N，此时对M有： 且T=mg 解得：ω1＝2．9 rad／s。 当ω为所求范围的最大值时，M有远离圆心运动的趋势，水平面对M的摩擦力方向指向圆心，且大小也为2 N，此时： 且T=mg 解得：ω2＝6．5 rad／s 故所求ω的范围为2．9 rad／s≤ω≤6．5 rad／s。 (
图
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14
)【类题演练3】如图6—8—14所示，一质量为m的小球P与穿过光滑水平板中央小孔O的轻绳相连，用手拉着小球的另一端使小球在水平板上绕O做半径为a，角速度为ω的匀速圆周运动。 （1）若将绳子从这个状态迅速放松，后又拉紧，使小球绕O做半径为b的匀速圆周运动，则从绳子被放松到拉紧经过多少时间？ （2）小球沿半径为b的圆周匀速运动时角速度ω2多大？ 解析：（1）小球沿半径为a的圆周运动的线速度V1＝ω1a放松绳子后，小球的速度为v，位移如图6―8―15所示。 ， 所以。 (
图
6
―
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15
)（2）绳拉紧时，小球沿绳子方向的速度分量v″变为0，只有垂直于绳子的速度分量v′，此后小球以线速度v′、半径b做圆周运动。设角速度为ω2，V2＝ω2b 即，整理得 所以
如图4—2—13所示，当汽车通过拱桥顶点的速度为10m/s时，车对桥顶的压力为车重的3/4，如果要使汽车在粗糙的桥面行驶至桥顶时，不受支持力作用，则汽车通过桥顶的速度应为多少？
图4—2—13
思路指津：汽车经过桥顶，第一种状态，FN=mg时，汽车处于失重状态，其向下的加速度即向心加速度，向心力由重力及支持力的合力提供；第二种状态，只受重力，由重力充当向心力。
解答：汽车在桥顶受重力和支持力，且支持力与车对桥顶压力大小相等。
Mg—mg=m
R===40m
汽车在粗糙的桥顶不受摩擦力作用，说明压力FN=0
汽车在桥顶只受重力作用，mg=m
V1===20m/s
答案：20m/s
易错提示 ：受力分析时漏掉重力是求解汽车过桥问题常犯的错误。把汽车过桥作平衡态处理是易犯的另一种错误。
【达标检测】
1．同一辆汽车以同样大小的速度先后开上平直的桥和凸形桥，在桥的中央处有（ ）
A．车对两种桥面的压力一样大
B．车对平直桥面的压力大
C．车对凸形桥面的压力大
D．无法判断
解析：在平直的桥上车对桥面的压力等于车的重力，在凸形桥上车做圆周运动，其向心力是由重力和支持力的合力提供的，方向向下指向圆心，所以重力大于支持力，根据牛顿第三定律，车对桥面的压力小于车的重力。
答案：B
2．火车以某一速度v通过某弯道时，内、外轨道均不受侧压力作用，下面分析正确的是（ ）
A．轨道半径R＝
B．若火车速度大于v时，外轨将受到侧压力作用，其方向平行轨道平面向内
C．若火车速度小于v时，外轨将受到侧压力作用，其方向平行轨道平面向内
D．当火车质量改变时，安全速率也将改变
解析：火车转弯的安全速率为，可知A．D错误；当火车速度大于v时，外轨受到侧向挤压的力；当火车速度小于v时，内轨受到侧向挤压的力。
答案：B
(
图
6
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16
)3．如图6—8—16所示，在光滑的轨道上，小球滑下经过圆弧部分的最高点A时，恰好不脱离轨道，此时小球受到的作用力是（ ）
A．重力、弹力和向心力
B．重力和弹力
C．重力和向心力
D．重力
解析：这是没有支撑物的物体在竖直平面内做圆周运动过最高点的临界情况，小球只受重力。
答案：D
4．下列关于离心现象中说法正确的是（ ）
A．当物体所受到离心力大于向心力时产生离心现象
B．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将做背离圆心的圆周运动
C．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将沿切线做直线运动
D．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将做曲线运动
解析：当物体所受的一切外力突然消失或所受外力沿半径方向的合力不能提供足够的向心力时，物体将做离心运动，它将沿那一点的切线方向运动。
答案：C
5．汽车车厢板上放一件货物，货物与车厢之间的摩擦力最大值是货物重力的0.2倍，当汽车以5 m／s的速率匀速转过半径为8 m的弯道时，从司机看来，货物（ ）
A．仍然和车厢相对静止
B．向后方滑动
C．右转时货物从车的左后方滑下，左转时从右后方滑下
D．右转时从右后方滑下，左转时从左后方滑下
(
图
6
―
8
―
17
)解析：车厢对货物的最大静摩擦力为，汽车转弯时货物需要的向心力为=，所以摩擦力不能提供足够的向心力，货物将做离心运动。
答案：C
6．如图6—8—17所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆轨道上做圆周运动。圆半径为R，小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时（ ）
A．小球对圆环的压力大小等于mg
B．小球受到的向心力等于重力mg
C．小球的线速度大小等于
D．小球的向心加速度大小等于g
解析：小球在最高点时的向心力是由重力提供的，向心加速度大小等于重力加速度，由，所以。
答案：BCD
7．如图6—8—18所示，长为l的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动，关于小球在最高点的速度v，下列叙述正确的是（ ）
(
图
6
―
8
―
18
)A．v的极小值为
B．v由零逐渐增大时，向心力也逐渐增大
C．当v从值逐渐增大时，杆对小球的弹力也逐渐增大
D．当v从值逐渐减小时，杆对小球的弹力仍逐渐变大
解析：小球过最高点时的临界速度为零，当速度增大时，向心力增大。当0＜v＜时，在最高点杆对小球有向上的支持力：mg－FN＝，即：，支持力随速度的减小而增大。当v＞时，杆对小球施加向下的拉力，由向心力公式，即：，拉力随速度的增大而增大。
答案：BCD
综合运用
(
图
6
―
8
―
19
)8．小球质量为m，用长为L的轻质细线悬挂在O点，在O点的正下方处有一钉子P，把细线沿水平方向拉直，如图6—8—19所示。无初速度地释放小球，当细线碰到钉子的瞬间，设线没有断裂，则下列说法错误的是（ ）
A．小球的角速度突然增大
B．小球的瞬时速度突然增大
C．小球的向心加速度突然增大
D．小球对悬线的拉力突然增大
解析：绳子的拉力不做功，只有重力做功，所以机械能守恒，当细线碰到钉子时，小球的线速度大小不变，但半径减小了，所以角速度增大，向心力增大，即绳子的拉力增大了，向心加速度也增大了。
答案：B
9．汽车在水平地面上转弯时，地面的摩擦力已达到最大值，当汽车速度增为原来2倍时，则汽车的转弯半径必须变化为原来的 倍。
解析：汽车转弯时地面的摩擦力提供向心力，，因为Ff不变，所以当汽车速度增大为原来的2倍时，汽车转弯半径应变化为原来的4倍。
答案：4
(
图
6
―
8
―
20
)10.如图6—8—20所示，摩托车开到一个半径为R的圆弧形山坡处，山坡的圆弧部分恰为圆弧长，要使摩托车从圆弧山坡顶水平飞出直接落到地面，摩托车的速度大小至少为，落地点B处与坡底的水平距离AB至少为 。
解析：摩托车要脱离圆弧山顶，其在山顶时对地面应没有压力，所以最小速度为，。摩托车脱离山顶后做平抛运动，下落时间为，所以水平距离为，所以A、B间的水平距离为。
答案：；，
11．一根长60cm的细绳，最多能承受100 N的拉力，用它吊起一质量为4kg的物体，当物体摆动起来经过最低点时，绳子恰被拉断，问：
（1）此时物体速度多大？（取g＝10 m／S2）
（2）若绳断处物体距地面0.8 m，则物体落地时速度多大？
解析：
（1）在最低点：，解得
（2）绳子拉断后，物体做平抛运动，根据机械能守恒有，代入数据得
答案：（1）3m/s；（2）5m/s
拓展探究
(
图
6
―
8
―
21
)12．如图6—8—21所示质量相等的小球A和B分别固定在轻杆的中心及端点，当棒在光滑的水平面上绕O点匀速转动时，求棒的OA段及AB段对球的拉力之比。
解析：小球A和B绕同一转轴转动，其角速度相等，A球的向心力是由OA段和AB段的拉力的合力提供的，即。
B球的向心力是由AB段的拉力提供的，即。
两式相比得，所以。
答案：
【教学内容】
(
1
．火车转弯问题：外轨略
高
于内轨，使得火车所受
重力
和
支持力
的合外力
F
合
提供向心力．（
1
）当
v
＝
v
o
时，内外轨均不受侧向挤压的力；（
2
）当
v
＞
v
o
时，
外
轨受到侧向挤压的力；（
3
）当
v
＜
v
o
时，
内
轨受到侧向挤压的力．
2
．汽车过拱桥：汽车过拱桥顶时的向心力是由
重力
和
支持力
的合力提供的，方向
竖直向下
．汽车具有竖直向下的加速度，对桥面的压力
小于
（填“大于”“等于”或“小于”）重力，处于
失重
状态．
3
．航天器中的失重现象：航天器中宇航员的向心力由
地球引力
提供，方向
竖直向下
．宇航员具有竖直向下的加速度，对座椅的压力
等于
零
，处于
完全失重
状态．
4
．离心运动：做匀速圆周运动的物体，在所受合力
突然消失
或者所受合力不足以提供
所需的向心力
时，就做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫做离心运动．
)
【教学目标】
（一）知识目标：
1．进一步加深对向心力的认识，会在实际问题中分析向心力的来源。
2．培养学生独立观察、分析问题、解决问题的能力，提高学生概括总结知识的能力。
（二）能力目标：
1．学会分析圆周运动方法，会分析拱形桥、弯道等实际的例子，培养理论联系实际的能力。
2．通过对几个圆周运动的事例分析，掌握用牛顿第二定律分析向心力的方法。
（三）情感、态度与价值观目标：
1．通过向心力在具体问题中的应用，培养学生将物理知识应用于生活和生产实践的意识。
2．体会圆周运动的奥妙，培养学生学习物理知识的求知欲
【教学重难点】
重点：分析具体问题中向心力的来源。
难点：在具体问题中分析向心力来源，尤其是在火车转弯问题中。
【教学过程】
【情景导入】
1．在日常生活中，我们会见到各种各样的桥：高架桥、吊索桥、石拱桥……但你会发现，桥面要么是平的，要么是凸的。有的人认为：桥是不是不应该设计成拱形向上的，而应该设计成凹形的为好。因为汽车在向下行驶之前具备一定的势能，这个势能可以帮助它顺利地到达桥的那一端。可是拱形向上的桥却没有这个优点。请问这种看法对不对？并探究为什么桥都设计成凸形的？
简答：桥设计成凸形是因为汽车经过桥中部时，桥所承受的压力较小；而相比之下，凹形桥承受的压力较大。由于汽车经过一个弧形的时候，需要有一个向心力F，它是由重力Mg和支撑力FN合成的。
在拱形桥：F＝Mg—FN ，得FN＝Mg一F
在凹形桥：F＝FN一Mg，得 FN＝F＋Mg
由上述两个式子可见，拱形桥的FN较小，FN是桥对汽车的支承力，其大小等于汽车对桥的压力。所以拱形桥对桥的结构强度设计上有利。
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1
)2．一般人认为，飞车走壁是一项非常危险的节目。所谓飞车走壁，实际上车子是飞驰在一个高8．6 m、底部和顶部直径分别为9 m和11．6 m的大木桶内壁上的特技表演。与地面成81.5o角的桶壁峻峭陡立，似乎连一只鸟也停不住，请思考演员为什么行车如飞？
简答：因为车子沿桶壁高速行驶时，车子会受到桶壁很大的弹力（车子给桶壁以压力）而使车做匀速圆周运动。车子像被吸附在桶壁上一样落不下来。
我们粗略估算一下，原来人和车子在桶壁上要受到比自身重力大6倍多的力。即使车子动力万一失灵，由于惯性作用，车子也会在成喇叭形的桶壁内慢慢滑行而下。
【课堂互动】
三点剖析 一、应用向心力公式解决圆周运动问题是重点 1．应用向心力公式解题的一般步骤： （1）明确研究对象：解题时要明确所研究的是哪一个做圆周运动的物体。 （2）确定物体做圆周运动的轨道平面，并找出圆心和半径。 （3）确定研究对象在某个位置所处的状态，分析物体的受力情况，判断哪些力提供向心力。这是解题的关键。 （4）根据向心力公式列方程求解。 2．火车转弯时的受力情况 (
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)在火车转弯处，让外轨高于内轨，如图6―8―2所示，转弯时所需的向心力由重力和支持力的合力提供，否则的话，转弯时所需向心力应由外轨对车轮的挤压力提供，这样对车轨会造成损坏，车速大时，容易出事故。 设车轨间距为L，两轨高度差为h，转弯半径为R，质量为M的火车运行时应当有多大的速度？ 根据三角形知识可得，，由火车的受力情况可得，。因为α角很小，所以，故，所以向心力。又因为，所以车速。由于火车轨迹建成后，h，L，R各量是确定的，所以火车转弯时的车速应当是一个定值。 3．汽车过拱形桥的受力情况 (
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3
)如图6―8―3所示，汽车受到重力、支持力、牵引力和摩擦力四个力的作用。其中重力和支持力的合力提供向心力。设汽车质量为m，桥面圆弧半径为r，汽车在桥面最高点的速率为v，则： 所以， （1）当时，FN＝0 （2）当0≤v＜时， 0＜F≤mg （3）当v＞时，汽车将脱离桥面，发生危险。 二、竖直平面内的圆周运动是难点 1．没有支撑物的物体，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情形。 (
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7
)如图6―8―7所示，设绳子拉力为F，在最高点小球做圆周运动的向心力是由绳子拉力和重力的合力提供的，即。 （1）临界条件：小球在最高点时绳子的拉力刚好等于零，小球的重力充当圆周运动所需的向心力，设v0是小球能通过最高点的最小速度，则： ， 得。 （2）能过最高点的条件： v≥vo＝。 若v＜v0＝，则小球在达最高点之前就脱离了圆轨道。 2．有支撑物的物体，在竖直平面内做圆周运动情形。 (
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)如图6—8—8所示，设杆对小球的弹力为FN，在最高点小球做圆周运动的向心力是由杆的弹力和重力的合力提供的。 （1）临界条件：由于硬杆支撑作用，小球能到达最高点的临界速度v＝0，轻杆或轨道对小球的支持力FN＝mg。 （2）当0＜v＜时，在最高点杆对小球有向上的支持力：mg－FN＝，即： ，支持力随速度的增大而减小。 （3）当v＞时，杆对小球施加向下的拉力，由向心力公式，即： 。 三、航天器中的失重现象和离心运动现象是疑点 1．航天器中的失重现象 人造卫星、宇宙飞船、航天飞机等航天器进入轨道后可近似认为绕地球做匀速圆周运动，此时重力提供了卫星做圆周运动的向心力。航天器中的人和物随航天器一起做圆周运动，其向心力也是由重力提供的，此时重力全部用来提供向心力，不对其他物体产生压力，即里面的人和物处于完全失重状态。 2．离心运动 (
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)（1）做圆周运动的质点，当合外力消失时，它就以这一时刻的线速度沿切线方向飞出去。如图6―8―12所示。 （2）做离心运动的质点是做半径越来越大的运动或沿切线方向飞出去的运动，它不是沿半径方向飞出去。 （3）做离心运动的质点不存在所谓的“离心力”作用，因为没有任何物体提供这种力。 （4）离心运动的运动学特征是逐渐远离圆心运动，动力学特征是合外力突然消失或不足以提供所需的向心力。 3．离心运动的应用和防止 （1）应用：离心干燥器、无缝钢管的生产、离心水泵等。 （2）防止：为防止汽车转弯、砂轮转动时发生离心现象，都要对它们的速度加以限制。 各个击破 【例1】高速公路转弯处，若路面向着圆心处是倾斜的，要求汽车在该处转弯时沿倾斜路面没有上下滑动的趋势，在车速v＝15 m／s的情况下，路面的倾角θ应多大？（已知弯道半径R＝100m） (
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)解析：由于汽车在转弯时沿倾斜路面没有上下滑动的趋势，所以路面的支持力与重力的合力提供向心力。受力分析如图6―8―4所示，由牛顿第二定律： ，即 将R＝100 m，v＝15 m／s，g＝9．8m/S2代入，求得θ＝13o。 【类题演练1】如果高速公路转弯处弯道圆半径R＝100 m，汽车轮胎与路面间的静摩擦因数μ＝0.23．若路面是水平的，问汽车转弯时不发生径向滑动（离心现象）所许可的最大速率vmax多大？ 解析：在水平路面上转弯，向心力只能由静摩擦力提供；设汽车质量为m，则最大静摩擦力Ff＝μmg，汽车转弯时所许可的最大速率由运动方程决定： ， 取g＝9．8m/S2，可得。 【例2】一辆质量m＝20 t的小轿车，驶过半径R＝90 m的一段圆弧形桥面，重力加速度g＝10 m/S2．求： （1）若桥面为凹形，汽车以20 m/s的速度通过桥面最低点时，对桥面压力是多大？ （2）若桥面为凸形，汽车以10 m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面压力是多大？ （3）汽车以多大速度通过凸形桥面顶点时，对桥面刚好没有压力？ 思路分析：首先要确定汽车在何位置时对桥面的压力最大，汽车经过凹形桥面时，向心加速度方向向上，汽车处于超重状态；经过凸形桥面时，向心加速度方向向下，汽车处于失重状态。所以当汽车经过凹形桥面的最低点时，汽车对桥面的压力最大。 (
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)解析：（1）汽车通过凹形桥面最低点时，在水平方向受到牵引力F和阻力f。在竖直方向受到桥面向上的支持力FN，和向下的重力G＝mg，如图6―8―5所示。圆弧形轨道的圆心在汽车上方，支持力FN1与重力的合力为FN1一mg，这个合力就是汽车通过桥面最低点时的向心力，即F向＝FNl－mg。由向心力公式有： 解得桥面的支持力大小为 根据牛顿第三定律，汽车对桥面最低点的压力大小是2．89×104N。 (
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)（2）汽车通过凸形桥面最高点时，在水平方向受到牵引力F和阻力f，在竖直方向受到竖直向下的重力G＝mg和桥面向上的支持力FN2，如图6—8—6所示。圆弧形轨道的圆心在汽车的下方，重力G与支持力FN2的合力为mg一FN2，这个合力就是汽车通过桥面顶点时的向心力，即F向＝mg—FN2，由向心力公式有mg—FN2＝ 解得桥面的支持力大小为 根据牛顿第三定律，汽车在桥的顶点时对桥面压力的大小为1．78×104N。 （3）设汽车速度为vm时，通过凸形桥面顶点时对桥面压力为零。根据牛顿第三定律，这时桥面对汽车的支持力也为零，汽车在竖直方向只受到重力G作用，重力G＝mg就是汽车驶过桥顶点时的向心力，即F向＝mg，由向心力公式有，解得：vm＝＝＝30m/s 汽车以30 m／s的速度通过桥面顶点时，对桥面刚好没有压力。 【温馨提示】公式F＝mV2/R是牛顿第二定律在圆周运动中的应用，向心力就是做圆周运动的物体沿半径方向所受的合外力。因此，牛顿定律及由牛顿定律导出的一些规律（如超重、失重等）在这里仍适用。 【例3】绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m＝0.5 kg，绳长L＝60 cm，求： （1）最高点水不流出的最小速率； （2）水在最高点速率v＝3m/s时，水对桶底的压力。 思路分析：对于水桶中的水做圆周运动，在最高点时其受力为本身的重力和桶底对它的弹力，从而提供向心力，水在最高点的最小合外力是mg。所以，最高点的速度至少为。 解析： （1）在最高点水不流出的临界条件是桶底对水的压力为零，即mg＝mV2/L 解得：最小速率vo＝。 （2）当水在最高点的速率大于vo时，重力已不能提供足够的向心力，此时水桶底对水有一向下的压力，设为FN，由牛顿第二定律有： 由牛顿第三定律知，水对桶底的作用力FN′＝FN＝2．6 N，方向竖直向上。 (
O
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)【类题演练2】如图6―8―9所示，轻杆的一端固定一个小球，另一端是光滑的固定轴O，现给球一初速度，使球和杆一起绕轴O在竖直平面内转动，不计空气阻力，用F表示球到达最高点时杆对球的力，则F（ ） A．可能是拉力 B．可能是推力 C．可能是零 D．以上三种情况都有可能 解析：当球通过最高点，杆对球的作用力为零时，则有，解得。当0≤v＜时，F为推力；当当v＞时，F为拉力。 答案：D (
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)【例4】一内壁光滑的环形细管固定于竖直平面内，环的半径R（比细管的半径大得多），在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球A、B（可视为质点），A、B球均沿环形管运动，当A球运动到最低点时，B球恰在最高点，且二者的速度同为v0若要此时两球对细管的作用力的合力为零，则A、B两球的质量之比应为。 (
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11
)解析：分别画出A、B两球及细管的受力如图6―8―10所示和图6―8―11所示。对A、B球分别应用牛顿第二定律得： ② 由题意知：NA′－NB′＝0 由牛顿第三定律知：NA′＝NA，NB′＝NB 所以 NA－NB＝0③ 由①②③式解得： 答案： (
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)【例4】如图6―8―13所示，细绳一端系着质量M＝0.6kg的物体，静止于水平面，另一端通过光滑小孔吊着质量m＝0.3kg的物体，M的中点与圆孔距离为0.2 m，并知M和水平面的最大静摩擦力为2N，现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围m会处于静止状态？（g取10 m／S2） 解析：要使m静止，M应与水平面相对静止，考虑M能与水平面相对静止的两个极端状态： 当ω为所求范围的最小值时，M有向圆心运动的趋势，水平面对M的静摩擦力方向背离圆心，大小等于最大静摩擦力2 N，此时对M有： 且T=mg 解得：ω1＝2．9 rad／s。 当ω为所求范围的最大值时，M有远离圆心运动的趋势，水平面对M的摩擦力方向指向圆心，且大小也为2 N，此时： 且T=mg 解得：ω2＝6．5 rad／s 故所求ω的范围为2．9 rad／s≤ω≤6．5 rad／s。 (
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)【类题演练3】如图6—8—14所示，一质量为m的小球P与穿过光滑水平板中央小孔O的轻绳相连，用手拉着小球的另一端使小球在水平板上绕O做半径为a，角速度为ω的匀速圆周运动。 （1）若将绳子从这个状态迅速放松，后又拉紧，使小球绕O做半径为b的匀速圆周运动，则从绳子被放松到拉紧经过多少时间？ （2）小球沿半径为b的圆周匀速运动时角速度ω2多大？ 解析：（1）小球沿半径为a的圆周运动的线速度V1＝ω1a放松绳子后，小球的速度为v，位移如图6―8―15所示。 ， 所以。 (
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)（2）绳拉紧时，小球沿绳子方向的速度分量v″变为0，只有垂直于绳子的速度分量v′，此后小球以线速度v′、半径b做圆周运动。设角速度为ω2，V2＝ω2b 即，整理得 所以
如图4—2—13所示，当汽车通过拱桥顶点的速度为10m/s时，车对桥顶的压力为车重的3/4，如果要使汽车在粗糙的桥面行驶至桥顶时，不受支持力作用，则汽车通过桥顶的速度应为多少？
图4—2—13
思路指津：汽车经过桥顶，第一种状态，FN=mg时，汽车处于失重状态，其向下的加速度即向心加速度，向心力由重力及支持力的合力提供；第二种状态，只受重力，由重力充当向心力。
解答：汽车在桥顶受重力和支持力，且支持力与车对桥顶压力大小相等。
Mg—mg=m
R===40m
汽车在粗糙的桥顶不受摩擦力作用，说明压力FN=0
汽车在桥顶只受重力作用，mg=m
V1===20m/s
答案：20m/s
易错提示 ：受力分析时漏掉重力是求解汽车过桥问题常犯的错误。把汽车过桥作平衡态处理是易犯的另一种错误。
【达标检测】
1．同一辆汽车以同样大小的速度先后开上平直的桥和凸形桥，在桥的中央处有（ ）
A．车对两种桥面的压力一样大
B．车对平直桥面的压力大
C．车对凸形桥面的压力大
D．无法判断
解析：在平直的桥上车对桥面的压力等于车的重力，在凸形桥上车做圆周运动，其向心力是由重力和支持力的合力提供的，方向向下指向圆心，所以重力大于支持力，根据牛顿第三定律，车对桥面的压力小于车的重力。
答案：B
2．火车以某一速度v通过某弯道时，内、外轨道均不受侧压力作用，下面分析正确的是（ ）
A．轨道半径R＝
B．若火车速度大于v时，外轨将受到侧压力作用，其方向平行轨道平面向内
C．若火车速度小于v时，外轨将受到侧压力作用，其方向平行轨道平面向内
D．当火车质量改变时，安全速率也将改变
解析：火车转弯的安全速率为，可知A．D错误；当火车速度大于v时，外轨受到侧向挤压的力；当火车速度小于v时，内轨受到侧向挤压的力。
答案：B
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)3．如图6—8—16所示，在光滑的轨道上，小球滑下经过圆弧部分的最高点A时，恰好不脱离轨道，此时小球受到的作用力是（ ）
A．重力、弹力和向心力
B．重力和弹力
C．重力和向心力
D．重力
解析：这是没有支撑物的物体在竖直平面内做圆周运动过最高点的临界情况，小球只受重力。
答案：D
4．下列关于离心现象中说法正确的是（ ）
A．当物体所受到离心力大于向心力时产生离心现象
B．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将做背离圆心的圆周运动
C．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将沿切线做直线运动
D．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失时，它将做曲线运动
解析：当物体所受的一切外力突然消失或所受外力沿半径方向的合力不能提供足够的向心力时，物体将做离心运动，它将沿那一点的切线方向运动。
答案：C
5．汽车车厢板上放一件货物，货物与车厢之间的摩擦力最大值是货物重力的0.2倍，当汽车以5 m／s的速率匀速转过半径为8 m的弯道时，从司机看来，货物（ ）
A．仍然和车厢相对静止
B．向后方滑动
C．右转时货物从车的左后方滑下，左转时从右后方滑下
D．右转时从右后方滑下，左转时从左后方滑下
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)解析：车厢对货物的最大静摩擦力为，汽车转弯时货物需要的向心力为=，所以摩擦力不能提供足够的向心力，货物将做离心运动。
答案：C
6．如图6—8—17所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆轨道上做圆周运动。圆半径为R，小球经过圆环最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时（ ）
A．小球对圆环的压力大小等于mg
B．小球受到的向心力等于重力mg
C．小球的线速度大小等于
D．小球的向心加速度大小等于g
解析：小球在最高点时的向心力是由重力提供的，向心加速度大小等于重力加速度，由，所以。
答案：BCD
7．如图6—8—18所示，长为l的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动，关于小球在最高点的速度v，下列叙述正确的是（ ）
(
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)A．v的极小值为
B．v由零逐渐增大时，向心力也逐渐增大
C．当v从值逐渐增大时，杆对小球的弹力也逐渐增大
D．当v从值逐渐减小时，杆对小球的弹力仍逐渐变大
解析：小球过最高点时的临界速度为零，当速度增大时，向心力增大。当0＜v＜时，在最高点杆对小球有向上的支持力：mg－FN＝，即：，支持力随速度的减小而增大。当v＞时，杆对小球施加向下的拉力，由向心力公式，即：，拉力随速度的增大而增大。
答案：BCD
综合运用
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19
)8．小球质量为m，用长为L的轻质细线悬挂在O点，在O点的正下方处有一钉子P，把细线沿水平方向拉直，如图6—8—19所示。无初速度地释放小球，当细线碰到钉子的瞬间，设线没有断裂，则下列说法错误的是（ ）
A．小球的角速度突然增大
B．小球的瞬时速度突然增大
C．小球的向心加速度突然增大
D．小球对悬线的拉力突然增大
解析：绳子的拉力不做功，只有重力做功，所以机械能守恒，当细线碰到钉子时，小球的线速度大小不变，但半径减小了，所以角速度增大，向心力增大，即绳子的拉力增大了，向心加速度也增大了。
答案：B
9．汽车在水平地面上转弯时，地面的摩擦力已达到最大值，当汽车速度增为原来2倍时，则汽车的转弯半径必须变化为原来的 倍。
解析：汽车转弯时地面的摩擦力提供向心力，，因为Ff不变，所以当汽车速度增大为原来的2倍时，汽车转弯半径应变化为原来的4倍。
答案：4
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)10.如图6—8—20所示，摩托车开到一个半径为R的圆弧形山坡处，山坡的圆弧部分恰为圆弧长，要使摩托车从圆弧山坡顶水平飞出直接落到地面，摩托车的速度大小至少为，落地点B处与坡底的水平距离AB至少为 。
解析：摩托车要脱离圆弧山顶，其在山顶时对地面应没有压力，所以最小速度为，。摩托车脱离山顶后做平抛运动，下落时间为，所以水平距离为，所以A、B间的水平距离为。
答案：；，
11．一根长60cm的细绳，最多能承受100 N的拉力，用它吊起一质量为4kg的物体，当物体摆动起来经过最低点时，绳子恰被拉断，问：
（1）此时物体速度多大？（取g＝10 m／S2）
（2）若绳断处物体距地面0.8 m，则物体落地时速度多大？
解析：
（1）在最低点：，解得
（2）绳子拉断后，物体做平抛运动，根据机械能守恒有，代入数据得
答案：（1）3m/s；（2）5m/s
拓展探究
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)12．如图6—8—21所示质量相等的小球A和B分别固定在轻杆的中心及端点，当棒在光滑的水平面上绕O点匀速转动时，求棒的OA段及AB段对球的拉力之比。
解析：小球A和B绕同一转轴转动，其角速度相等，A球的向心力是由OA段和AB段的拉力的合力提供的，即。
B球的向心力是由AB段的拉力提供的，即。
两式相比得，所以。
答案：